最新椭圆的简单几何性质练习题

椭圆的几何性质练习题椭圆的几何性质练习题椭圆是数学中一种重要的几何形状，具有许多特殊的性质和应用。

在本文中，我们将通过一些练习题来探索椭圆的一些几何性质。

练习题一：椭圆的定义1. 如何定义一个椭圆？2. 椭圆的焦点和直径分别是什么？练习题二：椭圆的离心率1. 什么是椭圆的离心率？2. 离心率为1的椭圆是什么特殊的形状？练习题三：椭圆的焦点性质1. 椭圆的焦点位于什么位置？2. 如何通过椭圆的焦点和直径来确定椭圆的方程？练习题四：椭圆的长轴和短轴1. 如何确定椭圆的长轴和短轴？2. 长轴和短轴之间的关系是什么？练习题五：椭圆的周长和面积1. 如何计算椭圆的周长和面积？2. 椭圆的周长和面积与长轴和短轴之间有什么关系？练习题六：椭圆的焦点到点的距离1. 如何计算椭圆上任意一点到焦点的距离？2. 椭圆上任意一点到焦点的距离与椭圆的离心率之间有什么关系？练习题七：椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中有哪些应用？2. 椭圆在科学和工程领域中有哪些应用？通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握椭圆的几何性质。

椭圆作为一种特殊的几何形状，具有许多独特的特点和应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。

在解答这些练习题的过程中，我们需要熟练掌握椭圆的定义、离心率、焦点性质、长轴和短轴的确定方法，以及椭圆的周长、面积和焦点到点的距离的计算方法。

同时，我们还需要了解椭圆在不同领域中的应用，以便更好地理解和应用椭圆的几何性质。

通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提高对椭圆的理解和应用能力。

椭圆作为数学中的一种重要几何形状，不仅具有美丽的形态，还具有广泛的应用价值。

在学习和应用中，我们应该保持好奇心和求知欲，不断探索和发现椭圆的更多奥秘。

总之，椭圆的几何性质是数学中的重要内容之一，通过练习题的探索和解答，我们可以更好地理解和应用椭圆的特点和应用。

希望通过这些练习题，读者们能够对椭圆有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用椭圆的几何性质。

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

椭圆的简单几何性质一、选择题x 2 y 21．已知点 (3,2)在椭圆 a 2＋ b 2 ＝1 上，则 ( )A ．点 ( －3，－ 2)不在椭圆上B ．点 (3 ，－ 2)不在椭圆上C ．点 ( －3,2)在椭圆上D ．没法判断点 (－ 3，－ 2)，(3，－ 2)，(－3,2)能否在椭圆上2．曲线 x 2 y 2x 2 ＋ y 2＝1(0<k<9)的关系是 () 25＋9＝1与－－9 k 25 kA ．有相等的焦距，同样的焦点B ．有相等的焦距，不一样的焦点C ．有不等的焦距，不一样的焦点D ．以上都不对3．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 ()x 2y 2x 2y 2 A.36＋ 16＝1B.16＋ 36＝1x 2 y 2y 2 x 2C.6＋ 4 ＝1D. 6＋4 ＝14．椭圆的短轴的一个极点与两焦点构成等边三角形，则它的离心率为()11 12A. 2B. 3C.4D. 25．我国于 2007 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运转的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地址到地心的距离为m，远地址到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地址是指卫星距离地面近来的点，远地址是距离地面最远的点 )，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较()A．没变B．变小C．变大D．没法确立二、填空题6．椭圆 9x2＋y2＝36 的短轴长为 ________．7．(2013 ·吉林高二检测 ) 已知长方形 ABCD， AB＝4，BC＝3，则以 A，B 为焦点，且过 C、D 的椭圆的离心率为 ________．8．(2011 课·标全国卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，2焦点 F1，F 2在 x 轴上，离心率为2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且△ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 ________．三、解答题．求与椭圆x2＋y25(1)＝1 有同样的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；9945(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个极点坐标分别是(－ 6,0)，(6,0)，求焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程．10．椭圆以直线3x＋4y－12＝ 0 和两坐标轴的交点分别作极点和焦点，求椭圆的标准方程．x2y211．如图，已知椭圆a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，F1， F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上极点，直线AF2交椭圆于另一点 B.(1)若∠ F1AB＝90°，求椭圆的离心率；→→(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝ 2F2B，求椭圆的方程．。

椭圆的几何性质练习题1. 给定一个椭圆，其长轴长度为12cm，短轴长度为8cm。

求椭圆的离心率。

2. 已知一个椭圆的长轴AB长度为20cm，短轴CD长度为16cm。

求椭圆的焦点坐标。

3. 若一个椭圆的两个焦点之间的距离为10cm，离心率为0.6。

求椭圆的短轴长度。

4. 给定一个椭圆，其长轴AB长度为24cm，焦距为10cm。

求椭圆的离心率。

5. 椭圆的焦距为8cm，离心率为0.8。

求椭圆的长轴和短轴长度。

解答：1. 椭圆的离心率定义为焦距与长轴的比值。

已知长轴为12cm，短轴为8cm，根据椭圆的性质可知，焦距长度为c，满足c^2 = a^2 - b^2，其中a为长轴长度，b为短轴长度。

代入已知数据可得c^2 = 12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80，所以焦距长度为√80 = 8√5 cm。

离心率为e = c/a =(8√5)/12 = (2√5)/3 ≈ 1.13。

2. 已知长轴长度为20cm，短轴长度为16cm。

根据椭圆的性质可知，焦距长度为c，满足c^2 = a^2 - b^2，其中a为长轴长度，b为短轴长度。

代入已知数据可得c^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144，所以焦距长度为√144 = 12 cm。

由于椭圆的焦点在长轴上方和下方对称，所以焦点坐标为(0, ±6)。

3. 已知焦点之间的距离为10cm，离心率为0.6。

设焦距长度为c，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

由于离心率e = c/a，可得c = ea。

又因为c^2 = a^2 - b^2，代入已知数据可得(ea)^2 = a^2 - b^2，即e^2a^2 = a^2 - b^2。

由离心率的定义可知e < 1，所以e^2 < 1，即a^2 - b^2 > 0。

将e^2a^2 = a^2 - b^2移项整理可得a^2 - e^2a^2 = b^2，即a^2(1 - e^2) = b^2。

椭圆的几何性质一、选择题1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率3．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22B.32 C.53D.634．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．x ，y 有相同的取值范围5．以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.22C.32D.2556．中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝17．焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝18．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22D.329．若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( ) A.x 236＋y 220＝1 B.x 228＋y 212＝1C.x 225＋y 29＝1 D.x 220＋y 24＝1二、填空题10．如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________．12．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题13．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，求椭圆的方程．14．已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率为e ＝105，求m 的值．椭圆的几何性质（答案）1、[答案] C [解析] ∵点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C. 2、[答案] D [解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a，椭圆x 2a 2k ＋y 2b 2k ＝1(k >0)的离心率e 2＝k a 2－b 2ka＝a 2－b 2a .3、[答案] A [解析] 由题意得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，e ＝c a ＝22.4、[答案] B [解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25，∴25－k －9＋k ＝16，故两椭圆有相等的焦距．5、[答案] B [解析] 由题意得b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.6、[答案] A [解析] ∵2a ＝18，∴a ＝9，由题意得2c ＝13×2a ＝13×18＝6，∴c ＝3，∴a 2＝81，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，故椭圆方程为x 281＋y 272＝1.7、[答案] A [解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10，∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20， 解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y 216＝1.8、[答案] D [解析] 由题意得a ＝2b ，a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴c a ＝32.9、[答案] C [解析] 由题意得c ＝4，∵P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积为12，∴12×2c ×b ＝12，即bc ＝12，∴b ＝3，a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1. 10、[答案]5－12 [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则有A (a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e >0，∴e ＝5－12.11、[答案] 12 [解析] 由题意得4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12.12、[答案] 2b 2a[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±c x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 4a 2，∴|y |＝b 2a ，故弦长为2b 2a .13、[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16c a ＝32，∴a ＝4，c ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.14、[解析] 由已知可得椭圆方程为x 25＋y 2m＝1(m >0且m ≠5)． 当焦点在x 轴上，即0<m <5时，有a ＝5，b ＝m ，则c ＝5－m ， 依题意得5－m 5＝105，解得m ＝3.当焦点在y 轴上，即m >5时，有a ＝m ，b ＝ 5. 则c ＝m －5，依题意有m －5m＝105.解得m ＝253.即m 的值为3或253.。

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想 其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

《椭圆的简单几何性质》练习题二1.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）22（B ）212- （C ）2—2 （D ）2—1 2．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且 BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.124. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴5．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8776．椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点距离为8，则点P 到右准线的距离是（ ） （A ） 25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425 7．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得 02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）（A ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 8．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ） （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）9109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25B ．27C ．3D ．410. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆 上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____．11.椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ， M 到右焦点的距离为 .12.椭圆14922=+y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝 角时，则点P 的横坐标的范围是13.直线062=+-y x 过椭圆12522=+my x 的左焦点，则椭圆的右准线方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上， 且B F x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是15.已知， 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．16已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求（1）||35||1MF MA +的最小值 （2）||5||31MF MA +的最小值17.已知椭圆C 的方程为1121622=+y x ，F 1、F 2是它的左右两个焦点，点A 的坐标 为(3,1)，试在椭圆上求一点P ，(1)使得|PA|+|PF 2|最小；(2)使得|PA|+2|PF 2|最小，并求出相应的最小值。

1．椭圆63222=+y x 的焦距是〔 〕A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( )A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D.），），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 192522=+〔 〕 A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为14．以下说法错误的选项是．．．．．．( ) A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为：“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞 B ．22320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题.D ．假设命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥〞5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是〔 〕 A.22 B. 2 C.2D. 16．椭圆焦点在x 轴，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是〔 〕 A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、2218136x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>∀x x x 的否认_____________________________________8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，那么=n a ___________,7S =_________________9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，那么2468a a a a +++=__________10．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’那么y x z -=2的取值范围是______________11．在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为__________12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，那么椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 那么椭圆方程为______________ 13．〔思考〕椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且21PF F ∠＝60°，那么△21PF F 的面积为__________________14．动点P 〔x ，y 〕到定点()2,0F 的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．求动点P 的轨迹C 的方程； 〔参考教材P47 例6〕15．点()11,M 位于椭圆12422=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。

《椭圆的简单几何性质》练习题一1.椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是（ ）A.(－1,0)、(1,0)B.(－6,0)、(6,0)C.(－6，0)、(6,0)D.(0,－6)、(0,6)2.已知点（m ，n ）在椭圆8x 2+3y 2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）A.[4-23,4+23]B.[4-3,4+3]C.[4-22,4+22]D.[4-2,4+2]3.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8B.10，6，0.8C.5，3，0.6D.10，6，0.64.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A.51 B.43 C.33 D.21 5.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1422=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x 6.已知椭圆22a x +22b y =1与椭圆252x +162y =1有相同的长轴，椭圆22ax +22b y =1的短轴长与椭圆 212y +92x =1的短轴长相等，则（ ） A.a 2=25,b 2=16 B.a 2=9,b 2=25 C.a 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25 D.a 2=25,b 2=97.已知椭圆C ：22ax +22b y =1与椭圆42x +92y =1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ） A.82x +42y =m 2(m ≠0) B.162x +642y =1 C. 82x +22y =1 D.以上都不可能 8.椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为（ ） A.3422y x +=1 B.31622y x +=1 C.121622y x +=1 D.41622y x +=1 9.两对称轴与坐标轴重合，离心率e =0.8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是（ ） A.92522y x +=1或92522x y +=1 B.92522y x +=1或162522y x +=1 C.162x +92y =1 D.162522x y +=1 10.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是 ( ) A.13422=+y x B.1342=+y x C.1342=+y x D.1342=+y x 11.椭圆12222=+ay b x (a >b >0)的准线方程是 ( ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222b a a y +±=12.已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．877 13. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆过(3，0)点，离心率e =36。

能力拓展提升一、选择题11．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2，3D ．4,2 3 [答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.12．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.63 [答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝ca ＝22.13．(2013·新课标Ⅱ文，5)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33[答案] D [解析]如图，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan30°＝|PF 2||F 1F 2|＝x 2c ＝33，得x ＝233c ，而由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴a ＝32x ＝3c .∴e ＝c a ＝c3c ＝33，故选D.二、填空题14．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎨⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.15．(2012·四川理，15)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由⎩⎨⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，∴y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.三、解答题16．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|FA |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组， ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝5.所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1.17．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y . ∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．。

椭圆的简单几何性质1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．若方程221x y a b-=表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是（A > （B < （C > （D <4．曲线221259x y +=与221259x y k k+=-- (k <9)有相同的 （A ）短轴 （B ）焦点 （C ）准线 （D ）离心率5．椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a , 0), B (0, b )，则椭圆的离心率为（A ）21 （B ）54 （C （D 6．设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32 7．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22159x y += （C ）2213620x y += （D ）2213620x y +=或2212036x y += 8．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点P 1, P 2, P 3,……, P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100的等差数列，则n 的最大值为 （A ）199 （B ）200 （C ）198 （D ）20111．一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（A ）3－1 （B ）2－3 （C ）22 （D ）23 12．椭圆短轴的两端点为B 1, B 2，过其左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的比例中项(O 为中心)，则12||||PF OB 等于 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）32 13若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45B.35C.25D.15 14若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.3215我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°16若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．817设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能18．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .19．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2: 2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 20．若椭圆22189x y k +=+的离心率为e =21，则k 的值等于 . 21．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 .22．椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 .23．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤23，则长轴的最大值等于 . 24．若椭圆的一个焦点分长轴为3 : 2的两段，则其离心率为 .25在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径的圆过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0过P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率e ＝________. 26过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．27过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．28椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程． 29．椭圆12222=+by a x (a >b >0)长轴的右端点为A ，若椭圆上存在一点P ，使∠APO =90°，求此椭圆的离心率的取值范围。

练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
2a 3 2b
a 3, b 1
a 3b
或b 3，a 9
x2 x2 y 2 2 y 1或 1 9 9 81
分类讨论的数学思想
练习：已知椭圆中心在原点，它在x轴的一个焦点与短轴的 两个端点的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端 点距离为 10 5，求这个椭圆方程。
c sin 75 6 e a sin 45 sin 60 3
MF1
MF2
F1 F2
题型三：椭圆的离心率问题 例3(3) :已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶
点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1 F1A,,PO AB(O为 椭圆中心)时,求椭圆的离心率．


解： ⑴方法一： 设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
x2 y 2 所求椭圆方程为： 1 9 4 注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
⑴定位； ⑵定量
题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２:１的两部分,且经过点 P 3 2, 4
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点（截距） 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。

2．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质双基达标 （限时20分钟）1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．A.32B.34C.22D.23解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1解析 因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. 答案 A4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝15．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析 当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案 4或－546．求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 已知方程为x 24＋y 21＝1，所以，a ＝2，b ＝1，c ＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a ＝4，2b ＝2，离心率e ＝c a ＝32，两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆的四个顶点是A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)．综合提高 （限时25分钟）7．已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( )． A.14 B.12 C ．2 D ．4解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y21m＝1，∵焦点在y轴上，∴1m>1，∴0<m<1.由方程得a＝1m，b＝1.∵a＝2b，∴m＝14.答案 A8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．A.52 B.33 C.12 D.13解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3，则椭圆的离心率e＝2c2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c2c3＋4c3＝33，故选B.答案 B9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析依题意，设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e＝ca ＝a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，∴b2＝9.∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案x236＋y29＝110．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝111．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程． 解 法一 依题意a ＝2b .(1)当椭圆焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标，得44b 2＋36b 2＝1，解得b 2＝37， ∴a 2＝4b 2＝4×37＝148， ∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b 2＝1. 代入点A (2，－6)坐标得364b 2＋4b 2＝1， ∴b 2＝13，∴a 2＝52.∴椭圆的标准方程为y 252＋x 213＝1.综上所述， 所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. 法二 设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 由已知椭圆过点A (2，－6)，所以有4m ＋36n ＝1.① 由题设知a ＝2b ，∴m ＝2n ，② 或n ＝2m ，③由①②可解得n ＝37，∴m ＝148.由①③可解得 m ＝13，∴n ＝52.所以所求椭圆的标准方程为 x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.12．(创新拓展)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3. ∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP→·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1. ∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。

[解题过程] (1)将椭圆方程变形为x92＋y42＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5，
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率
3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1， F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上 一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的 离心率．
[规范作答] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程ax22＋by22＝1，得 y＝±ba2，
故所求椭圆的标准方程为3x62 ＋2y02 ＝1.
(2)∵2a＝2×2b，∴a＝2b， 当焦点在 x 轴上时，设方程为4xb22＋by22＝1， ∵点(－2，－4)在椭圆上，∴44b2＋1b62＝1，∴b2＝17. ∴椭圆的标准方程为6x82 ＋1y72 ＝1， 当焦点在 y 轴上时，设方程为：bx22＋4yb22＝1，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
e＝ac＝21m＝

3 2.
m
学生课堂练习
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶 点坐标和离心率． (1)25x2＋y2＝25； (2)4x2＋9y2＝1.
解析： (1)将椭圆方程变形为 x2＋2y52 ＝1，
则 PF2 ___7 _____
2
3、已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆

椭圆的简单几何性质同步练习一、选择题1.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m +y2=1(m>1)和双曲线x2n−y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化2.已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−2=0D. 2x−y+1=03.若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A. 3x+4y−13=0B. 3x−4y−5=0C. 4x+3y−15=0D. 4x−3y−9=04.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A. (−3,0)B. (−4,0)C. (−10,0)D. (−5,0)5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A. 5，4B. √3，1C. 5，3D. √72，16. 如图，F 1F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2的面积为√3的正三角形，则b 2的值为（ ）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O为坐标原点)，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√528. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 4√33D. 2√3310. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k=（ ）A. 1B. √2C. √3D. 211. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=112. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则弦长|AB|=( )A. 5√2B. 2√5C. 5√22D. √1013. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为（ ）A. 6√2B. 8√2C. 6D. 814. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题15. 已知抛物线C ：x 2=−2py(p >0)的焦点F 与y 28+x 24=1的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长|AB|=________． 16. 设M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若△PMQ 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为________． 17. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为_________． 18. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的坐标是_________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的顶点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2b 23相切且交椭圆E 于两点M,N ，求线段|MN|的最大值．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−a,0),B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．答案和解析1.【答案】B【解答】解：由题意，不妨设P 是双曲线右支上的一点，|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，则x +y =2√m ，x −y =2√n ， ∴x 2+y 2=2(m +n)， ∵两曲线有相同的焦点， ∴m −1=n +1， ∴m =n +2， ∴x 2+y 2=4(n +1)， 即|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形， 故选B ．2.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 124+y 122=1，①，x 224+y 222=1，②①−②，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0．∴y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2．又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2x1−x 2=−12．∴直线AB 的方程为y −1=−12(x −1)，即2y +x −3=0． 故选：A ．3.【答案】A【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， P 为AB 中点得{x 1+x 2=6y 1+y 2=2，由A ， B 在椭圆上有{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1,两式相减得x12−x2216+y12−y224=0，即(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，即3(x1−x2)8+y1−y22=0，即y1−y2x1−x2=−34，则斜率k=−34，且过点P(3,1)，有y−1=−34(x−3)，整理得3x+4y−13=0．故选A．4.【答案】D【解答】解：∵圆的标准方程为(x−3)2+y2=1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c=3．又b=4，∴a=√b2+c2=5．∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(−5,0)．故选D．5.【答案】D【解析】解：由题意可得|OF2|=√b2−c2=12，|OF0|=c=√3|OF2|=√32，解得b=1，又a2=b2+c2=1+34=74，得a=√72，即a=√72，b=1．6.【答案】B 【解答】解：∵△POF2的面积为√3的正三角形，S=12×c×√32c=√34c2∴√34c2=√3，解得c=2．∴P(1,√3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=2√3．故选B．7.【答案】A【解答】解：设焦点坐标F 1(−c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ， 所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a(√2−1)，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a(√2−1)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，设线段PF 1的中点为M ，则OM ⊥PF 1, 则|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PF 1⊥PF 2，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(2√2a(√2−1))2+(2a(√2−1))2=4c 2， 可得c 2=(9−6√2)a 2，解得e 2=9−6√2， 则椭圆的离心率为√6−√3． 故选A ．8.【答案】C【解答】 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，代入椭圆方程化简得y 2<b 4a 2−b 2，又−b <y <b ，所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22， 又0<e <1，∴0<e <√22， 故选C ．9.【答案】D【解答】解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．10.【答案】B【解答】 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2， 可得：b =1，ca =√32，解得：a =2，c =√3，b =1， 椭圆方程为x 24+y 2=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=−3y 2， 设直线AB 方程为y =k(x −√3)， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得(14k 2+1)y 2+√32k y −14=0， ∴y 1+y 2=−√32k 1+14k2=−2√3k1+4k 2，y 1y 2=−141+14k2=−k 24k 2+1，−2y 2=−2√3k 1+4k2，−3y 22=−k 24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．11.【答案】C【解答】解：F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，可得c =1， 过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3， 令椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中x =1，得y =±√b 2−b 2a 2，可得2√b 2−b 2a2=3， 化简得4a 4−17a 2+4=0， 解得a =2，则b =√3， 所求的椭圆方程为：x 24+y 23=1．故选：C ．12.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 代入椭圆方程得x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =−1−01−3=12．∴2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．AB 的斜率为12，且过(1,−1)，∴直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即y =12x −32，代入椭圆方程，得3x 2−6x −27=0． ∴x 1+x 2=2.x 1x 2=−9．∴|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√2． 故选：A ．13.【答案】B【解析】解：∵直线l 过椭圆C 的左焦点F′(−2,0)， 直线l ：x −√3y +2=0经过左焦点F′， ∴△PQF 的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a =8√2，14.【答案】C【解析】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，⇒mn =4， 又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ．设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由数量积及∠F 1MF 2的大小可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得b 的值．本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．15.【答案】10【解答】解：由题意可得F(0,−2)，则p =4，抛物线方程为x 2=−8y ． 设直线AB 方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1=−x 128，y 2=−x 228．由y =−x28得y′=−x4，所以在点A处的切线方程为y−y1=−x14(x−x1)，化简得y=−x14x+x128，①同理可得在点B处的切线方程为y=−x24x+x228.②联立①②得x M=x1+x22，又∵M的横坐标为2，∴x1+x2=4．将AB方程代入抛物线得x2+8kx−16=0，∴x1+x2=−8k=4，∴k=−12，∴y1+y2=k(x1+x2)−4=−12×4−4=−6，∴|AB|=p−y1−y2=10．故答案为10．16.【答案】√33【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，可得|PQ|=2√33c，再由题意可得M(c,b2a )，则圆M为(x−c)2+(y−b2a)2=b4a2，取x=0，可得y1=b2a −√b4−a2c2a，y2=b2a+√b4−a2c2a，∴2√b4−a2c2a =2√33c，即3(e2)2−10e2+3=0，解得：e=√33．故答案为：√33．17.【答案】6【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+3(1−x 024)=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故答案为6． 18.【答案】(0,1)或(0,−1)【解答】解：设A(m,n)．由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B (m+6√25,n 5)． 又A ，B 均在椭圆上，所以有{m 23+n 2=1,(m+6√25)23+(n 5)2=1,解得{m =0,n =1或{m =0,n =−1, 所以点A 的坐标为(0,1)或(0,−1)．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 所以a =√3b,b =√3，即a =3，所以椭圆E 的方程为x 29+y 23=1，(Ⅱ)圆O:x 2+y 2=2，因为直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2相切， 所以√1+k 2=√2，即m 2=2(1+k 2)； 联立{x 29+y 23=1y =kx +m得(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2−3)=0，Δ>0， 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−6km 1+3k 2,x 1·x 2=3(m 2−3)1+3k 2,由弦长公式得|MN|=√1+k 2·|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√12(9k 2+3−m 2)1+3k 2， 将m 2=2(1+k 2)代入：|MN|=√6·√(2+2k 2)(7k 2+1)1+3k 2≤√6·(2+2k 2)+(7k 2+1)21+3k 2=3√62， 当且仅当2+2k 2=7k 2+1，即k 2=15时等号成立，故弦长|MN|最大值为3√62． 20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)为椭圆上的点，则x 02a 2+y 02b 2=1，整理得：y 02=−b 2a 2(x 02−a 2)， 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0−a ，∴k 1k 2=y 02x 02−a 2=−12， 联立两个方程则k 1k 2=−b 2a 2=−12， 解得e =c a =√1−b2a 2=√22． (2)由(1)知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．由题意，设直线l 的方程为：x =my −1，代入椭圆的方程有：(m 2+2)y 2−2my −1=0，则Δ=(−2m )2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则△OMN 的面积S =12|OD |·|y 1−y 2| =12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12×√8m 2+8m 2+2=√2·√m 2+1m 2+2， 令√m 2+1=t ，(t ≥1)，则有m 2=t 2−1，代入上式有S =√2·√m 2+1m 2+2=√2t t 2+1=√2t+1t ≤√22， 当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 面积的最大值为√22． 21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c =1，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为a +c =3，则a =2， b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可设直线MN 的方程为：y =√3(x −1)，联立方程组{y =√3(x −1)3x 2+4y 2=12消去x 得：5y 2+2√3y −9=0． y 1+y 2=−2√35，y 1⋅y 2=−95，⇒(y 1−y 2)2=(−2√35)2−4×(−95)=19225． ∴△OMN 的面积S =12×OF ×|y 1−y 2|=12×1×8√35=4√35 22.【答案】解：(1)∵{2c =2a 2=c 2+3, ∴{a =2c =1, 所以b 2=a 2−c 2=3∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)连结BM ，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则k AM ⋅k BM =y 1x 1+2⋅y 1x 1−2=y 12x 12−4，∵点M(x 1,y 1)在椭圆上，∴k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34，∵k BN =3k AM ，∴k BN ⋅k BM =−94，①当MN 斜率不存在时，设MN:x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴M(m,√12−3m 24),N(m,−√12−3m 24)， ∵k BN ⋅k BM =−94， ∴m =1；②当MN 斜率存在时，设MN:y =kx +t ，由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0，整理，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2,x 1⋅x 2=4t 2−123+4k 2， ∵k BN ⋅k BM =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+t)⋅(kx 1+t)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94，∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=−k或t=−2k，当t=−k时，y=kx−k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；当t=−2k，y=kx−2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，∴直线恒过定点(1,0)．。