自动控制原理课件之第七章_数字控制系统分析(

作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
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4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
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<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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<<自动控制原理>>第七章
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向

X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e

3．数字计算机已经作为控制仪表成为控制系统的一个组成部 分 由于计算机技术的飞速发展，作为构成控制系统的控制设备， 数字计算机已经被广泛的用于工业生产过程自动化中，用数字 计算机替代常规仪表完成控制器及其校正装置的功能。图7-2 所示为数字控制系统原理框图。
r(t) e(t) A/D e*(t)
u*(t)
r r r e r r T r 脉冲控制器 r 保持器 r c r
图7-1
典型采样系统结构图

e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e， 脉冲控制器对e进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u， 保持器将采样信号u变成模拟信号u，作用于被控对象G(s)。
2．被控对象存在的大延迟大惯性

工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯 性非常大并具有滞后特性。尤其是电站的电 力生产过程，这种延迟和惯性显得更为严重。 对于这类被控对象，采用简单的连续控制系 统的设计方法，容易出现过调现象，往往很 难得到高质量的控制效果。离散控制系统的 合理应用可以较好地解决这一问题。
|E (j )|
|E *(j )| 1/T
|H(j )| 1
- m
0
m
t
- m 0 - s/2
m s/2
t
- s/2
0
s/2

图7-5单一频谱
图 7-6多频谱之和
图 7-7 理想滤波器的频率特性

如果加大采样周期T,采样角频率ω相应能够 的减小，采样频谱中的补分量相互交叠，致 使采样器输出的信号发生畸变，这时即使采 用理想滤波器(理想滤波器的频率特性如图77所示），也无法恢复原来连续信号的频谱， 因此，对采样周期T的设定有一个约束条件， 用于保证附加频谱不覆盖主频谱。所以如何 选择采样周期时离散控制系统设计过程中的 一个重要问题 。

离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
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01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点

7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn

集成化：智能控制技术将更加集 成化，能够实现多种控制技术的 融合和应用。
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网络化：智能控制技术将更加网 络化，能够实现远程控制和信息 共享。
绿色化：智能控制技术将更加绿 色化，能够实现节能减排和环保 要求。
控制系统的网络化与信息化融合
网络化控制：通过互联网实现远程控制和监控
现代控制理论设计方法
状态空间法：通过建立状态空间模型，进行系统分析和设计 频率响应法：通过分析系统的频率响应特性，进行系统分析和设计 极点配置法：通过配置系统的极点，进行系统分析和设计 线性矩阵不等式法：通过求解线性矩阵不等式，进行系统分析和设计
最优控制理论设计方法
基本概念：最优控制、状态方程、控制方程等 设计步骤：建立模型、求解最优控制问题、设计控制器等 控制策略：线性二次型最优控制、非线性最优控制等 应用领域：航空航天、机器人、汽车电子等
动态性能指标
稳定性：系统在受到扰动后能否恢复到平衡状态 快速性：系统在受到扰动后恢复到平衡状态的速度 准确性：系统在受到扰动后恢复到平衡状态的精度 稳定性：系统在受到扰动后能否保持稳定状态
抗干扰性能指标
稳定性：系统在受到干扰后能够 恢复到原来的状态
准确性：系统在受到干扰后能够 保持原有的精度和准确性
信息化控制：利用大数据、云计算等技术实现智能化控制
融合趋势：网络化与信息化的融合将成为未来控制系统的发展方向 应用领域：工业自动化、智能家居、智能交通等领域都将受益于网络化与 信息化的融合
控制系统的模块化与集成化发展
模块化：将复杂的控制系统分解为多个模块，每个模块负责特定的功能，便于设计和维护 集成化：将多个模块集成为一个整体，提高系统的性能和可靠性 发展趋势：模块化和集成化是未来控制系统发展的重要方向 应用领域：广泛应用于工业自动化、智能家居、智能交通等领域

模拟前置滤波器常常置于传感器和模数转换器之间，它的 作用是抑制来自传感器的模拟信号中的高频噪声分量，以防 止在采样过程中出现混叠现象。
y(nT) y r － 传感器
T
数字控 制器
T
ZOH
对象
数字计算机作为数字控制器方块，它的输入端的采样开 关表示对连续时间信号进行采样，变换为离散时间信号。它 的输出端的采样开关只是一个符号，提醒这里的信号是离散 时间信号。 方块ZOH表示零阶保持器，它把离散时间信号变换为连 续时间信号。 系统的输出一般为连续时间信号，他把整个系统作为离 散时间系统分析时，是当做输出信号经过虚拟的采样开关变 成了离散时间信号来分析的。
a s(s a)
的z变换。
解： E ( s )
a 1 1 e(t ) 1(t ) e at s( s a ) s s a z z z(1 e aT ) E( z) aT z 1 z e ( z 1)(z e aT )
例 求e(t)=sint 的z变换。 解：
E ( s ) Lsint s2 2
1 1 1 E( s) ( ) 2 j s j s j
1 z z E(z) j T j T 2j ze ze 1 z ( e j T e j T ) 2 z z (e jT e jT ) 1) 2j z si nT 2 z 2 z cosT 1
* n 0 k 0 n 0
拉普拉斯变换
Y * ( s) x(nT ) g (kT nT )e kTs
k 0 n 0



令m=k－n，则k=n+m，上式变为

基本思想 相轨迹的特点 相轨迹的绘制方法 线性系统的相平面图 非线性系统的相平面图
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例

上面两式相减并取极限z 1 ，得
lim f (nT ) { f [(n 1)T ] f (nT )} f (0) lim(z 1)F (z)
n
n0
z 1
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6．卷积定理
如果 c(kT ) k g[(k ，n则)T ]r(nT ) n0
证明：
C(z) G(z)R(z)
k
C(z) g[(k n)T ]r(nT )zk k0 n0
7．Z域尺度定理
• 若已知
f (kT的)z变换函数为
，则
F(z)
Z[ak
f
(kT
)]
F
z a
其中，a 为任意常数。
证明：
Z[ak f (kT )] ak f (kT ) zk k 0
k 0
f
(kT
)
z a
k
F
z a
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三、 z 变换的方法
1．级数求和法 思想：只要知道连续函数 f (t) 在各个采样时刻 的数值，即可按照z变换的定义求得其z变换。
f (t) • 若
的 z变换为 ，则
F(z)
Z[ f (t nT)] znF(z)
n1
Z[ f (t nT ) zn[F (z) f (kT )zk ] k 0
第22页/共46页
证明:
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk
k 0
zn f (kT nT )z(kn)
n0
n0
• 因为只在采样瞬间时才有意义，故上式也可写成
e*(t) e(nT )T (t nT ) n0
第9页/共46页
2 保持器
• 原因：连续信号经过采样器后转换成离散信号，经由脉 冲控制器处理后仍然是离散信号，而采样控制系统的连 续部分只能接收连续信号，因此需要保持器来将离散信 号转换为连续信号。

是有确切值的。而 e(t ) 经过采样后，只能给出采样 时刻的数值 e(nT)。从时域上看，在采样间隔内连 续信号的信息丢失了。
下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。 设连续信号 e(t )的频谱 E(j)为有限带宽，其最大角 频率为 h 。
自动控制原理第七章课件
下面分析一下采样后e * ( t ) 的频谱。
e*(t)e(t)δT(t)e(t) δ(tn)T
n
理想单位脉冲序列 T (t)是一个以T为周期的周期函数，
可以展开成傅氏级数形式：
T(t) Cnejnst
s 2/T 为采样角频率
n
T
Cn
1 T
2
T(t)e d jnst t
T2
Cn
1 T
0
(t)dt
1
0
T
为傅氏系数
T(t)
1
Tn
ejnst
如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间t 的连续函数，而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列 形式出现，这样的系统则称为离散控制系统。
系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称 为采样控制系统或脉冲控制系统。
系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称 为数字控制系统或计算机控制系统。
自动控制原理第七章课件
或数码，控制的过程是不连续的，不能沿用连续系统 的研究方法。
研究离散系统的工具是z变换，通过z变换，可以 把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念 应用于离散系统。 自动控制原理第七章课件
7-2 信号的采样与保持
采样器与保持器是离散系统的两个基本环节， 为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的 采样过程和保持过程加以描述。 一、采样过程
采样信号

2 1 2 1

0

0
• 这个过程实际上是一个线性化过程，经 过线性化输出的信号与输入信号同频率， 只是在幅值和相位上有差异；
• 经过线性化之后的输入输出关系 Y1 A1 2 2 N ( A) 1 A1 B1 A arctg B1 A Y1 Y1 B1 A1 cos 1 j sin 1 j A A A A • N ( A) 被称为非线性特性的描述函数。 • 一般情况下，描述函数 N ( A) 为入幅值 A 的函数，而与频率无关。当非线性特 性为单值时，相应的描述函数为一实 数，表示输入与输出是同相的。
A1 0
B1
KA sin t 2. 饱和特性 y (t ) Kc
2
0 t
t
4


2
0
1
y (t )sin t d t
0
4

KA sin 2 t d t
2 Kc sin t d t

一.实际系统中的非线性因素
图7-1 一些常见的非线性特性

除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因 素外，有时为了改善系统的性能
或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引 入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件， 最简单和最普遍的就是继电器。

图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性
7.3 描述函数法
一、描述函数的基本概念
R


G1
x1
非线性
x2
G2
Y
H
当非线性元件输入一个正弦信号 x A sin t 输出是一个含有高次谐波的周期函数：

通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是 ms、μs级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间 常数。
分析时，可认为τ=0，这样的采样器可用理想采样 器来代替，且采样过程可看成是幅值调制过程。
c图所示为a图信号调制在b图载波上的结果。
第七章 线性离散系统的分析与校正
3. 香农采样定理
如果采样器的输入信号 具有有限带宽，并且有直
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念
连续系统： ①系统中所有信号都是时间的连续函数。 ②信号在全部时间上都是已知的。
离散(时间)系统 ①系统中至少一处信号是脉冲或数码。 ②那些信号只定义在离散时间上。
采样/脉冲控制系统： 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。
数字/计算机控制系统 系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。
离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟
采样频率足够高时，连续模拟趋近于真正连续。 ③计算机的输出寄存器和解码网络相当于信号保持器。
第七章 线性离散系统的分析与校正
⑶数字控制系统的典型结构图
假定：
①A/D足够字长，量化单位q足够小，忽略幅值断续性。
②采样编码过程是瞬时完成的。
③可用理想脉冲幅值等效代替数字信号大小。
⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数字信号， 则数字信号可以看成脉冲信号， A/D转换器可用每隔T秒瞬时 闭合一次的理想采样开关S来表示。
第七章 线性离散系统的分析与校正
第七章 线性离散系统的分析与校正
⑵D/A转换器 ①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。 ②D/A转换包括解码和复现两个过程。
第七章 线性离散系统的分析与校正
炉温 采样 控制 系统

(b)线性二阶系统

系统自由运动的微分方程为:
(5)
x 2 n x n2 x 0
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示: d x 2 ( 2 x x) (6) n n dt dx x (7) dt dx 2 n x n2 x (8) 式(6)除以式(7): dx x dx n2 x 第一种情况, 0 , 式(8)为: dx x 2 对式(9)两边积分得: x d x n xdx
x


2 n
, 是由初始条件 ( x0 , x0 ) 决定


即使由解析表达式画相轨迹也不太容易. 教材P.360~P.367 给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各
奇点的概念, 请参阅. (2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 二阶系统一般形式的微分方程如下:

的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为: x x x 0 (13) 即 0.5,n 1, 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡
过程. 由式(13)可得: d x/ dx ( x x) / x
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念 所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此 法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的 非线性系统. 设一二阶系统可用下面常微分方程描述:
x f ( x, x) (1) 上面微分方程的解可用 x(t )对 t 的关系曲线表示, 也可用
x(t ) 与 x(t ) 的关系曲线表示, 当用后一种关系曲线时,是 把曲线画在 x x 的直角坐标平面上, 而 t 作为参变量 在 x x 平面上并不出现.

零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为 一个高度为1、宽度为 T 的矩形波gh(t)，称 为脉冲过渡函数。
由于 其拉氏变换
1 1 e T s 1 G ( s ) L [ g ( t ) ] e h h ss s
T s
gt ( ) 1 ( t ) 1 ( t T ) h
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
7.2 信号的采样与保持 一、采样过程 把连续信号转换成离散信号的过程，叫作 采样过程。 实现采样的装置叫作采样开关或采样器。
e ( t ) e ( t ) T
* e ( t ) * e ( t )

ek (T )
O
t
O
T 2 T 3 T
t
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
零阶保持器
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
工业炉的温度自动控制系统的框图：
给 定 信 号
偏 差 信 号
放 大 器 与 执 行 电 机
-
K
电 机 转 速
燃料 供 应 泵
1 s
阀 口 开 度
炉 子
s e T s 1 1
炉 温
传 感 器
采用采样控制：
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
二、典型信号的 z 变换 1. 单位脉冲函数： 设e(t) = (t)，所以有
E () z ek (T ) z 1 z 1
k 0 k 0
2. 单位阶跃信号： 设e(t) = 1(t)，则
k 1 2 3 E ( z ) e ( k T ) z 1 z z z