上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.1圆的基本性质导学案新版沪科版

1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。

• 提示: 垂径定理是圆
∴AM=BM,
中一个重要的
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运
用自如.
练一练
1.在半径为5cm的⊙O中，弦
A
P
B
AB=8cm，则O到AB的距离（弦心距）
O
= 3cm，∠OAB的余弦值
= 0.8 。 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心
动动手、想想
1、如果把圆形纸片对折一下，你能发现什么？ 2、圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?它有多少条对称轴？ 3、我们是用什么方法解决上述问题的?
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过
圆心的直线,它有无数条对
称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决
上述问题.
探究活动
如图：AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）所作的图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴
是什么?
C
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法.
A M└
B 发现图中有:
●O
CD是直径 CD⊥AB
可推得
AM=BM,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ ｛ （1）过圆心
R
解得 R≈27.9（m）.
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
做一做
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.

圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

（3）固定的端点O 叫做圆心。

（4）线段OA 的长为r 叫做半径。

2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。

（3）小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）经过圆心的弦叫做直径。

4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。

考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。

考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

④平行弦夹的弧相等。

24.2.4 圆的基本性质课
法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。

设情境
．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么
作圆，只要圆心确定下来，半径
等，则圆心应在线段的垂直平分线上任意取一点，都能满足到
径．圆就确定下来了．由于线段
三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．1．连结AB、BC
为圆心
符合要求．
作的垂直平
此这样的画法满足条件．
由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个
作出它们的外接圆．它们外心的位
锐角三角形直角三角形钝角三角形
接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在
点作圆的方法．。

在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
D A
B
E
A
O
A
E
C A
CE
O
B B
C
C
12/11/2021
O E D B
O
AE
B
D
O
D D
O
AE
B
C
垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
AE=BE
D
CD⊥AB
结论 A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱所在圆半径约为27.9m.
12/11/2021
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm.
O AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm .
C
A
12/11/2021
·O
E B
D
? 交流
C
.O
E A
D
条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
垂径定理：
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
垂直于弦的直径平分这条弦，
B
并且平分这条弦所对的两条弧.
12/11/2021
已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， ⌒AC =⌒BC, A⌒D =⌒BD.
第二十四章
24.2 圆的基本性质
第2课时
12/11/2021

第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。

圆的基本性质教学过程(一）、复习提问：1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？分别有几条对称轴？(等腰三角形,等边三角形,矩形，菱形,正方形,等腰三角形.）2。

圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．(可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）教师板书：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线．（二）、探究新知问题1：作⊙O的直径CD,然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？(说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线。

）问题2：在⊙O上取一点A,作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系.(AE=BE，=,=．）这些等量关系如果用语言来叙述的话,我们可以说成什EOA BDC么？A垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

首先我们分析一下这个定理的题设和结论。

题设：垂直于弦的直径.结论：平分弦和弦所对的弧。

(学生完成)根据题设和结论,结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。

已知：在⊙O中，CD是直径,AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。

求证：AE=BE，=，=分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合（连结OA，OB, 并且有OA=OB。

两个半圆重合;A点、B点重合；弧AC、弧BC重合；弧AD、弧BD重合）既然AE,BE重合，我们就可以得到AE=BE；弧AC、弧BC重合，我们就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我们就可以得到=.同样的方法可证明定理：平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

初中数学 九年级(下册)
24.2.3圆的基本性质
复习 1、圆的对称性有哪几方面？
O 轴对称性
导入 2、将圆绕圆心任意旋转：
α O
圆具有旋转不变性,是中心对称图形
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
A
圆绕圆心旋转
A
C
O
D
B
图6
变式：如图，如果A⌒D=B⌒C，求证：AB=CD
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△⌒OE⌒F的形状，并说明理由； （2）求证：AC=BD
O
E C
A
F
D B
图7
课后思考题
1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分 别延长到E、F，使BE= DF。
A
C
∵M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD
N M
O
∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM
B
D
∴∠AMN=∠CNM
图2
基础训练
2、如图4，AB是⊙O的直径，⌒BC=⌒CD=D⌒E， ∠COD=35°，求∠AOE的度数。
E
D
C
A
O
B
图4
基础训练
3、如图，点O是∠EPF角平分线上的一点，以O为圆 心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。
求证：AB= CD。
P
A
M
BE
C
O N
DF

圆的基本性质
圆的确定
问题：车间工人要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
探究发现
过一点可以做几条直线？过两点呢？
●A
●A
●B
●O
●O
● ●A O
●O
●O
●O ●O
●A
●O
●B
●O
1.过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？ 2.过已知点A，B作圆，你能作出几个这样的圆？
过已知点A，B作圆，可以作无数个圆。
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021
如何确定圆心和半径？
●O
其圆心的分布有什么特点？与线
●O
段AB有什么关系？
●A
●O
●B
●O
经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。

在 圆内 ； （2、3）矩若形O的P=四个2c顶m 点是，否则一点定P在能圆在上同。一个圆上，为 什以么O？为圆心、以3cm为半径再画一个圆。如图
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．

于是有结论： = ，AB=CD，OE=OF．
以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．
定理：在同圆或等圆中，相 等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？
（让学生自主思考，学习和研究几何问题）
（五）、巩固练习
课本第19页练习1、2、3.
（六）、课堂小结
学生自己归纳，老师指导．1.圆的对称性和旋转不变性；2.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换；3.增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；
布置作业
《练习册》习题
教后记
本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。
平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问：(1)结果怎样？(2)这样的图形叫做什么图形？
（和原来的平行四边形重合．中心对称图形．）
进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α， 你发现什么？（仍然与原来的图形重合．）
由学生 归纳总结，得出圆所特有的性质：
圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．
材
分析
重点
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理的推论；
难点
从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．
教具
电脑、投影仪
教
学
过
程
（一）、创设情景，引入新课
圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性？

例如：
命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．
假设：经过同一直线的三点能作出一个圆． 矛盾：过一点有两条直线垂直于已知直线．
定理：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
用反证法完成下题.
例 已知：两条直线AB、CD分别于直线EF平 行，即AB∥EF,CD∥EF.
求证：AB∥CD.
A
B
C
D
E
F
1.已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
A
N
（1）圆心O到A、B、C三点距离
相等 （填“相等”或”
EO
不相等”）.
B
F
C M
（2）连接AB、AC，因为OA=OB,所以点O在边 AB的 垂直平分线 上；因为OA=OC,所以点O 在边AC的 垂直平分线 上.
（3）AB、AC的垂直平分线的交点O就是该圆的 圆心 .
已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作：⊙O使它经过点A、B、C.
●A
●
●
A
B
经过两点只能作一条直线.
经过一个已知点A能确定一 个圆吗?
A
经过一个已知点能 作无数个圆.
经过两点A、B能确定一个圆吗?
经过两点A、B能作无 数个圆
经过两点A、B 所作的圆的圆心在 怎样的一条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的 垂直平分线上
过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
A B
C O
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆一心个叫三做角三形角的形外的接外圆心，这个三角形叫 做圆的内接有三几角个形？.
A
如图：⊙O是△ABC的外接圆，

B
D
C
请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。
探究：
如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，
你认为都有哪些结论成立？
C
C
COA源自EABD
EO D
EO B BA
D
AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所
对的两条弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分
C
弦，并且平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
位置有 5
个。
注意圆的轴对称性
O
A pP1 C p2 B
2．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径 的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm, EF=3cmD ,则EAB=__F_ C
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
C
使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线 段和弧？为什么？
O
E
A
B
D
垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
C
求AD的长
B
A
D
小结
一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．）
二、垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．

你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点?与线 段AB有什么关系？
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB
的垂直平分线上.
A●
以线段AB的垂直平分线上的任意
一点为圆心,这点到A或B的距离为
半径作圆.
●O ●O
●O
●B
●O
那么过三点可以画几个圆呢？
B ·
·
·C
A
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直
线”矛盾，所以l1、 l2同时垂直于l，
所以经过同一直线的三点不能作圆．
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出 矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到 原命题成立，这种方法叫做反证法．
例如：
命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．
假设：经过同一直线的三点能作出一个圆． 矛盾：过一点有两条直线垂直于已知直线．
方法: 1.在圆弧上任取三 点A、B、C。 2.作线段AB、BC的 垂直平分线,其交 点O即为圆心。 3.以点O为圆心， OC长为半径作圆。 ⊙O即为所求。
A B
C O
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的一圆个心三叫角做形三的角外形接的圆外心，这个三角形叫 做圆的内有接几三个角？形。
植物园
动物园
人工湖
3.图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边， 怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。
A
B
·D 圆心
C
4.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ， C 90
若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。
解：设Rt⊿ABC 的外接圆 的用心为O，连接OB,OC,OA,

●O ●O
●
O
●A
●O ●B
●O
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ?
读一读
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点?与线
●O
段AB有什么关系？
●O
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
老师提示:
●A
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆 的经圆过心两在点线B,段C的AB圆的的垂圆直心平在分线线段上A.B的垂
●B ┏ ●O
●C
直平分线上.
经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条
垂直平分线的交点O的位置.
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB ●A ●O ●B
的垂直平分线上.
●O
以线段AB的垂直平分线上的任意 一点为圆心,这点到A或B的距离为
想一想
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直 线上),你能作出几个这样的圆?
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
初中数学 九年级(下册)
24.2.4圆的基本性质
读一读
确定圆的条件
• 类比确定直线的条件: • 经过一点可以作无数条直线；
驶向胜利 的彼岸
●A
●A
●B
经过两点只能作一条直线.
猜一猜
确定圆的条件
驶向胜利 的彼岸
• 1.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
●
●O
● ●A O O
●O