2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义 新人教A版必修1.doc

考点一： 函数单调性1.1 如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及函数)(x f y =的最值。

2.1 写出下列函数的单调区间并求其最值。

（1）22y x x =- （2）]3,1(,11∈-=x x y （3）]5,0(,432∈+-=x x x y 531-2-5xOy2.1证明：11)(--=xx f 在区间上是单调增函数。

3.1 讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数。

减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

1.1根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间)0,(-∞（3）函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，求f(a 2-a+1)与f(43)大小关系；3.2 函数])1,[(,22)(2+∈+-=t t x x x x f 是单调函数，求t 的范围。

考点二：函数的奇偶性1.1、下列命题中正确的是（1）)(x f 是R 上的函数，若)2()2(f f =-，则函数)(x f 是偶函数。

（2）)(x g 是R 上的函数，若)2()2(g g -≠-，则函数)(x g 不是R 上的奇函数。

（3）函数)),2[]1,((,1)(+∞⋃--∞∈+=x xx x f 是奇函数。

（4）函数R x x f ∈=,0)(既不是偶函数也不是奇函数。

（5）既是偶函数又是奇函数的函数一定是R x x f ∈=,0)(（6）已知)(x f 是R 上的偶函数，则点))(,(a f a -必在)(x f y =的图像上1.2判断下面函数的奇偶性（1）3()4f x x x =+ （2）x x x f 2)(2+=（3）1)(=x f （4）11)(-+-=x x x f2.1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。

专题八函数的基本性质知识精讲一知识结构图二.学法指导1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．2. 利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号.(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.3．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．4.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：5.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.6.利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).7、解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.三.知识点贯通知识点1 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．例1.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.【解析】(1)函数f (x )＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 知识点二 函数单调性的判断与证明1.增函数与减函数的定义例题2：试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是减函数．【证明】f(x)＝2＋2x－1，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．知识点三函数单调性应用1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.例题3 .(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．【答案】(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)【解析】(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．知识点四 利用函数的单调性求最值(值域) 1.函数最大值与最小值的定义例题4．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．【解析】(1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)， 因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.知识点五 函数奇偶性的判断 1.函数的奇偶性的定义例题5.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.【解析】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称．又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－(x －1)，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 知识点六 奇偶性应用1.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。

学习目标核心素养１．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．（重点）２．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）３．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．（重点）４．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．（重点、难点）１．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．２．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f（x）≤M f（x）≥M∃x0∈I，使得f（x0）＝M结论M是函数y＝f（x）的最大值M是函数y＝f（x）的最小值几何意义f（x）图象上最高点的纵坐标f（x）图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．１．函数y＝f（x）在[—２,２]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）Ａ．—１,0 Ｂ．0,２Ｃ．—１,２Ｄ．错误!，２C[由图可知，f（x）的最大值为f（１）＝２，f（x）的最小值为f（—２）＝—１．]２．设函数f（x）＝２x—１（x<0），则f（x）（）Ａ．有最大值Ｂ．有最小值Ｃ．既有最大值又有最小值Ｄ．既无最大值又无最小值D[∵f（x）在（—∞，0）上单调递增，∴f（x）<f（0）＝—１，故选Ｄ．]３．函数f（x）＝错误!，x∈[１,２]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．１错误![∵f（x）＝错误!在区间[１,２]上为减函数，∴f（２）≤f（x）≤f（１），即错误!≤f（x）≤１．]利用函数的图象求函数的最值（值域）【例１】已知函数f（x）＝错误!（１）在直角坐标系内画出f（x）的图象；（２）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解] （１）图象如图所示：（２）由图可知f（x）的单调递增区间为（—１,0），（２,５），单调递减区间为（0,２），值域为[—１,３]．利用图象求函数最值的方法１画出函数y＝f x的图象；２观察图象，找出图象的最高点和最低点；３写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.１．已知函数f（x）＝错误!求f（x）的最大值、最小值．[解] 作出函数f（x）的图象（如图）．由图象可知，当x＝±１时，f（x）取最大值为f（±１）＝１．当x＝0时，f（x）取最小值f（0）＝0，故f（x）的最大值为１，最小值为0．利用函数的单调性求最值（值域）【例２】已知函数f（x）＝错误!.（１）判断函数在区间（—１，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（２）求该函数在区间[２,４]上的最大值和最小值．[解] （１）f（x）在（—１，＋∞）上为增函数，证明如下：任取—１<x１<x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!，因为—１<x１<x２⇒x１＋１>0，x２＋１>0，x１—x２<0，所以f（x１）—f（x２）<0⇒f（x１）<f（x２），所以f（x）在（—１，＋∞）上为增函数．（２）由（１）知f（x）在[２,４]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（２）＝错误!＝错误!，最大值f（４）＝错误!＝错误!.１．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤（１）判断函数的单调性．（２）利用单调性求出最大（小）值．２．函数的最大（小）值与单调性的关系（１）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）．（２）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，在区间[b，c]上是减（增）函数，则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个．提醒：（１）求最值勿忘求定义域．（２）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．２．求函数f（x）＝x＋错误!在[１,４]上的最值．[解] 设１≤x１<x２<２，则f（x１）—f（x２）＝x１＋错误!—x２—错误!＝x１—x２＋错误!＝（x１—x２）·错误!＝（x１—x２）错误!＝错误!.∵１≤x１<x２<２，∴x１—x２<0，x１x２—４<0，x１x２>0，∴f（x１）>f（x２），∴f（x）在[１,２）上是减函数．同理f（x）在[２,４]上是增函数．∴当x＝２时，f（x）取得最小值４；当x＝１或x＝４时，f（x）取得最大值５．函数最值的实际应用【例３】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资１00万元，此外每生产１件该产品还需要增加投资１万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤２0时，年销售总收入为（３３x—x２）万元；当x>２0时，年销售总收入为２60万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．（年利润＝年销售总收入—年总投资）（１）求y（万元）与x（件）的函数关系式；（２）当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] （１）当0<x≤２0时，y＝（３３x—x２）—x—１00＝—x２＋３２x—１00；当x>２0时，y ＝２60—１00—x＝１60—x.故y＝错误!（x∈N*）．（２）当0<x≤２0时，y＝—x２＋３２x—１00＝—（x—１6）２＋１５6，x＝１6时，y max＝１５6．而当x>２0时，１60—x<１４0，故x＝１6时取得最大年利润，最大年利润为１５6万元．即当该工厂年产量为１6件时，取得最大年利润为１５6万元．解实际应用题的四个步骤１审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.２建模：建立数学模型，列出函数关系式.３求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围.４回归：数学问题回归实际问题，写出答案.３．将进货单价为４0元的商品按５0元一个出售时，能卖出５00个，已知这种商品每涨价１元，其销售量就减少１0个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价（x—５0）元，销量减少１0（x—５0）个，销量为５00—１0（x—５0）＝（１000—１0x）个，则y＝（x—４0）（１000—１0x）＝—１0（x—70）２＋9 000≤9 000．故当x＝70时，y max＝9 000．即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数的最值问题[探究问题]１．二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：２．求二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝—错误!与区间[m，n]的关系．【例４】已知函数f（x）＝x２—ax＋１，求f（x）在[0,１]上的最大值．[思路点拨] 错误!错误!错误!错误!错误![解] 因为函数f（x）＝x２—ax＋１的图象开口向上，其对称轴为x＝错误!，当错误!≤错误!，即a≤１时，f（x）的最大值为f（１）＝２—a；当错误!>错误!，即a>１时，f（x）的最大值为f（0）＝１．１．在题设条件不变的情况下，求f（x）在[0,１]上的最小值．[解] （１）当错误!≤0，即a≤0时，f（x）在[0,１]上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝１．（２）当错误!≥１，即a≥２时，f（x）在[0,１]上单调递减，∴f（x）min＝f（１）＝２—a.（３）当0<错误!<１，即0<a<２时，f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，故f（x）min＝f错误!＝１—错误!.２．在本例条件不变的情况下，若a＝１，求f（x）在[t，t＋１]（t∈R）上的最小值．[解] 当a＝１时，f（x）＝x２—x＋１，其图象的对称轴为x＝错误!，１当t≥错误!时，f（x）在其上是增函数，∴f（x）min＝f（t）＝t２—t＋１；２当t＋１≤错误!，即t≤—错误!时，f（x）在其上是减函数，∴f（x）min＝f（t＋１）＝错误!２＋错误!＝t２＋t＋１；３当t<错误!<t＋１，即—错误!<t<错误!时，函数f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，所以f（x）min＝f错误!＝错误!.二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax２＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系—错误!＜m＜n，即—错误!∈（—∞，m）m＜—错误!＜n，即—错误!∈（m，n）m＜n＜—错误!，即—错误!∈（n，＋∞）图象最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f错误!f（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）１．函数的最大（小）值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大（小）的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．２．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（１）图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；（２）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；（３）对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．３．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．１．思考辨析（１）任何函数都有最大（小）值．（）（２）函数f（x）在[a，b]上的最值一定是f（a）（或f（b））．（）（３）函数的最大值一定比最小值大．（）[答案] （１）×（２）×（３）√２．函数y＝x２—２x，x∈[0,３]的值域为（）Ａ．[0,３] Ｂ．[—１,0]Ｃ．[—１，＋∞）Ｄ．[—１,３]D[∵函数y＝x２—２x＝（x—１）２—１，x∈[0,３]，∴当x＝１时，函数y取得最小值为—１，当x＝３时，函数取得最大值为３，故函数的值域为[—１,３]，故选Ｄ．]３．函数y＝ax＋１在区间[１,３]上的最大值为４，则a＝______.１[若a<0，则函数y＝ax＋１在区间[１,３]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋１＝４，解得a＝３，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋１在区间[１,３]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即３a＋１＝４，解得a＝１．综上，a＝１．]４．已知函数f（x）＝错误!（x∈[２,6]）．（１）判断函数f（x）的单调性，并证明；（２）求函数的最大值和最小值．[解] （１）函数f（x）在x∈[２,6]上是减函数．证明：设x１，x２是区间[２,6]上的任意两个实数，且x１<x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!＝错误!.由２≤x１<x２≤6，得x２—x１>0，（x１—１）（x２—１）>0，于是f（x１）—f（x２）>0，即f（x１）>f （x２），所以函数f（x）＝错误!是区间[２,6]上的减函数．（２）由（１）可知，函数f（x）＝错误!在区间[２,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝２时取得最大值，最大值是２，在x＝6时取得最小值，最小值是错误!.。