2019-2020学年西安一中高二下学期期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年西安一中高二下学期期中数学试卷(理科)

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若复数𝑧=(3−6𝑖)(1+9𝑖)，则( )

A. 复数z的实部为21

B. 复数z的虚部为33

C. 复数z的共轭复数为57−21𝑖

D. 在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限

2. 关于综合法和分析法说法错误的是( )

A. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法

B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法

C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法

D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法

3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A. 189 B. 1024 C. 1225 D. 1378

4. 某个命题与正整数有关，若当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时该命题成立，那么推得𝑛=𝑘+1时该命题成立，现已知当𝑛=8时，该命题不成立，那么可推得( )

A. 当𝑛=7时，该命题成立 B. 当𝑛=7时，该命题不成立

C. 当𝑛=9时，该命题成立 D. 当𝑛=9时，该命题不成立

5. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则𝑃(𝐵|𝐴)=( )

A.B.C.D.

A. A B. B C. C D. D

6. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )

A. 𝜌=6+5𝑐𝑜𝑠𝜃

B. 𝜌=6+5𝑠𝑖𝑛𝜃

C. 𝜌=6−5𝑐𝑜𝑠𝜃

D. 𝜌=6−5𝑠𝑖𝑛𝜃

7. 由曲线，直线以及轴围成的封闭图形面积为

A. B. C. D.

8. 设函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)内可导，且𝑓(𝑒𝑥)=𝑥+𝑒𝑥，则𝑓′(1)=( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 设𝑎=𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)…(𝑛−50)，则a可表示为( )

A. 𝐴𝑛51 B. 𝐶𝑛51 C. 𝐴𝑛50 D. 𝐶𝑛50

10. 函数𝑓(𝑥)=−12𝑥+𝑥3的单调递减区间为( )

A. (−√3,√3) B. (−2,2)

C. (0,2) D. (−∞,−2)，(2,+∞)

11. 已知集合𝑆={𝑃|𝑃=(𝑥1,𝑥2,𝑥3)，𝑥𝑖∈{0,1}，𝑖=1，2，3}对于𝐴=(𝑎1,𝑎2,𝑎3)，𝐵=(𝑏1,𝑏2,𝑏3)∈𝑆，定义A与B的差为𝐴−𝐵=(|𝑎1−𝑏1|,|𝑎2−𝑏2|,|𝑎3−𝑏3|)，定义A与B之间的距离为𝑑(𝐴,𝐵)=∑|3𝑖=1𝑎𝑖−𝑏𝑖|.对于∀𝐴，B，𝐶∈𝑆，则下列结论中一定成立的是( )

A. 𝑑(𝐴,𝐶)+𝑑(𝐵,𝐶)=𝑑(𝐴,𝐵) B. 𝑑(𝐴,𝐶)+𝑑(𝐵,𝐶)>𝑑(𝐴,𝐵)

C. 𝑑(𝐴−𝐶,𝐵−𝐶)=𝑑(𝐴,𝐵) D. 𝑑(𝐴−𝐶,𝐵−𝐶)>𝑑(𝐴,𝐵)

12. 已知函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)满足𝑓(1)=1，且𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)<13，则𝑓(𝑥)<𝑥3+23的解集为( )

A. {𝑥|−1<𝑥<1} B. {𝑥|<−1}

C. {𝑥|𝑥<−1或𝑥>1} D. {𝑥|𝑥>1}

二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）

13. 在(𝑥2+1√𝑥)5展开式中，常数项为______ ．

14. 在(𝑥2+𝑥+1)5的展开式中，𝑥5的系数是______． 15. 已知函数𝑓(𝑥)={√1−(𝑥−1)2+12−√1−(𝑥+1)2+12的图象与函数𝑔(𝑥)=𝑘𝑥3+12的图象有三个交点A，B，C，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，记三个交点的横坐标之和为a，纵坐标之和为b，则∫[𝑏𝑎𝑓(𝑥)−12]𝑑𝑥=______．

16. 一场晚会共有7个节目A、B、C、D、E、F、G，要求第一个节目不能排G，节目A必须排在前4个，节目D必须后3个，则有______种不同的排法．(用数字作答)

17. 设定义在[−𝜋,𝜋]上的函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−4𝑥2，则不等式𝑓(𝑙𝑛𝑥)+𝜋2>0的解集是______ ．

三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）

18. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=(𝑛+2)𝑎𝑛2−𝑛𝑎𝑛+𝑛+1𝑎𝑛2+1(𝑛∈𝑁+)，且𝑎1=1．

(1)求𝑎2，𝑎3，𝑎4，猜测𝑎𝑛，并用数学归纳法证明；

(2)若𝑛≥4，试比较3𝑎𝑛与(𝑛−1)⋅2𝑛+2𝑛2的大小，并给出证明过程．

19. 华为推出以款6时大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用户：

分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)

频数 20 40 80 50 10

男性用户：

分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)

频数 45 75 90 60 30

(1)如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关： 女性用户 男性用户 合计

“认可”手机 ______ ______ ______

“不认可”手机 ______ ______

______

合计 ______ ______ ______

附：

𝑃(𝐾2≧𝑘) 0.05 0.01

k 3.841 6.635

𝐾2=𝑛(𝑎+𝑑−𝑏+𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)

(2)根据评分的不同，运动分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80

分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和数学期望．

20. 已知𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥2+ln(𝑥+1)．

(1)若函数𝑦=𝑓(𝑥)有三个零点，求实数a的取值范围；

(2)若𝑎=2，设𝑔(𝑥)=𝑏𝑥+𝑐𝑥，其中𝑏≤2，𝑐>0𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)的两根为𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2)，求证：𝑥2𝑓(𝑥1)−𝑥1𝑓(𝑥2)<0．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥．

(1)求𝑓(𝑥)的单调区间；

(2)若方程𝑓(𝑥)=0恰有两解，求实数a取值范围．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念逐一核对四个选项得答案．

解：∵复数𝑧=(3−6𝑖)(1+9𝑖)=57+21𝑖．

∴复数z的实部为57，虚部为21，复数z的共轭复数为57−21𝑖，

在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(57,21)，位于第一象限．

故选：C．

2.答案：D

解析：试题分析：根据题意，由于综合法和分析法分别是从条件入手推出结论和从结论入手得到结论成立的充分条件法，同时综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，故可知综合法又叫顺推证法或由因导果法，分析法又叫逆推证法或执果索因法。因此可知答案为D．

考点：综合法和分析法

点评：主要是考查了综合法和分析法的概念的运用，属于基础题。

3.答案：C

解析：

本题考查了合情推理(归纳类比推理)．

利用合情推理中的归纳推理计算得结论．

解：由图形可得三角形数构成的数列通项为 𝑎𝑛=𝑛2(𝑛+1)，

同理可得正方形数构成的数列通项为，

则由()可排除D， 又由𝑎𝑛=𝑛2(𝑛+1)，

与𝑛2(𝑛+1)=1024无正整数解，

故选C．

4.答案：B

解析：

本题考查数学归纳法，考查互为逆否命题的两个命题同真同假的性质应用，属于基础题．

利用互为逆否命题的两个命题同真同假的原理，当𝑃(𝑛)对𝑛=𝑘不成立时，则它对𝑛=𝑘−1也不成立，于是可得到答案．

解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，

𝑃(𝑛)对𝑛=8不成立，𝑃(𝑛)对𝑛=7也不成立，

否则𝑛=7时命题成立，由已知必推得𝑛=8也成立．

与当𝑛=8时该命题不成立矛盾，

故选：B．

5.答案：B

解析：试题分析：由题意，则．

考点：条件概率．

6.答案：D

解析：

本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由图形可知：𝜃=−𝜋2时，𝜌取得最大值，即可判断出结论．