容斥原理和容斥问题

高考数学中的容斥原理知识点总结

在高中数学中，容斥原理是一个非常重要的知识点，也是数学竞赛、数学建模等数学应用领域常用的思想方法。在高考数学中也经常出现相关的考题，因此掌握容斥原理的思想和应用是非常有必要的。

一、容斥原理的基本概念

容斥原理是一种计算交集的方法，指的是为了确定若干集合的并集的元素个数，而不必逐一列出其中的元素，而采用计算各个集合的元素个数之和，然后减去交集中的元素个数，再加上交集的元素个数。即：

$|A_1∪A_2∪\cdots∪A_n|=|A_1|+|A_2|+\cdots+|A_n|-\sum\limits_{i

其中，$|A_i|$表示集合$A_i$的元素个数。

以上为容斥原理的基本公式，容斥原理主要用于处理集合的交集问题，在应用时需要将问题转化为若干个集合的交集或并集的形式进行计算。

二、容斥原理的应用

1、某种颜色的球

某种颜色的球有$x$个，其中有$a$个是带编号的，$b$个是大小不同的，$c$个是重量不同的，$d$个是带编号且大小不同的，$e$个是带编号且重量不同的，$f$个是大小和重量都不同的。求这种颜色的球有多少个。

解析：根据题目描述，我们可以分别将这种颜色的球分为以下六类：

$A$：带编号的球；

$B$：大小不同的球；

$C$：重量不同的球；

$D$：带编号且大小不同的球；

$E$：带编号且重量不同的球；

$F$：大小和重量都不同的球。

那么根据容斥原理，我们可以得到该颜色球的总个数为：

$$x=|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩ B|-|A ∩ C|-|B ∩ C|+|A ∩ B ∩

C|$$

因为带编号的和大小不同和带编号的和重量不同的球都是带编号的球，因此$A=D∪E$，所以$|A|=|D|+|E|-|D ∩ E|=a+b+e-abde$。

因为大小不同的和重量不同的球都是普通球，即$(B∩C)⊆(A\cup F)$，所以$|B ∩ C|=f$。

给人改变未来的力量

容斥问题

一、考情分析 容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出

现。难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。在各省市的公

务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。因此，这一题型还是需要重点关注。

二、题型简介 涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为

“容斥原理”问题。 当几个集合之间存在交叉关系时，可以用容斥原理来描述它们元素个数之间的关系，在

公务员考试中，多涉及两个集合或三个集合。

三、两个集合容斥问题 两个集合的容斥问题公式：

Ａ∪Ｂ＝Ａ＋Ｂ－Ａ∩Ｂ

（一）公式法解两个集合容斥问题 例题１：某班有５６人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有４６人，参加科技组的有２８人，两组都参加的有多少人？

Ａ．１０ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．３０ 【答案详解】集合Ａ＝｛参加生物组的人｝、集合Ｂ＝｛参加科技组的人｝

由Ａ∪Ｂ＝Ａ＋Ｂ－Ａ∩Ｂ，可以知道两组都参加的有Ａ∩Ｂ＝４６＋２８－５６＝１８

人。 （二）文氏图法解两个集合容斥问题 例题２：某单位有青年员工８５人，其中６８人会骑自行车，６２人会游泳，既不会骑

车又不会游泳的有１２人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人。

Ａ．５７ Ｂ．７３ Ｃ．１３０ Ｄ．６９ 【答案详解】我们来用集合Ⅰ表示所有的青年员工，Ａ表示会骑自行车的人，Ｂ表示会游泳的人，则Ａ∩Ｂ表示既会骑车又会游泳的人，现在设Ａ∩Ｂ＝ｘ，把题中的数据一一填

到表格里面，可以得到：

直接计算可以知道，６８－ｘ＋ｘ＋６２－ｘ＋１２＝８５，因此ｘ＝５７。

四、三个集合容斥问题

三个集合的容斥问题公式： 给人改变未来的力量

Ａ∪Ｂ∪Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ－Ａ∩Ｂ－Ｂ∩Ｃ－Ｃ∩Ａ＋Ａ∩Ｂ∩Ｃ

（一）公式法解三个集合容斥问题 例题３：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，

36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程

容斥原理公式大全

容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。

1. 容斥原理的基本形式：

如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：

|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ|

- ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，

其中|X|表示集合X中元素的个数。

2. 两个集合的容斥原理：

如果A和B是两个有限集合，则有：

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。

3. 三个集合的容斥原理：

如果A，B和C是三个有限集合，则有：

|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。

4. 四个集合的容斥原理：

如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：

|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -

|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +

|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。

5. n个集合的容斥原理： 如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：

|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ...

+ (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。

容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。

容斥原理问题经典例题

在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。

例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？

首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25

＋ 20 ＝ 75 人。

但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。所以要减去重复计算的部分：

既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。

所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。

所以要再加上 3 人。

综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。 例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。请问该校参加课外活动的学生共有多少人？

我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋

70 ＝ 280 人。

然后减去重复计算的部分：

既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40

＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。

但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。