北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试(含解析)
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1
图形的相似
一、选择题
1.已知x∶y=5∶2,则下列各式中不正确的是( )
A.
=
B. -
=
C.
=
D.
- =
答案 D A.由合比性质,得
=
,故A正确;
B.由分比性质,得 -
=
,故B正确;
C.由反比性质,得y∶x=2∶5,由合比性质,得
=
,再由反比性质,得
=
,故C正确;
D.由反比性质,得y∶x=2∶5,由分比性质,得 -
=-
,再由反比性质,得
- =
- ,故D错误.故选D.
2.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C.直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则
的值为( )
A.
B.2 C.
D.
答案 D 由直线l1∥l2∥l3,得
=
.因为AH=2,HB=1,所以AB=3.因为BC=5,所以
=
.所以
=
.
3.如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )
A.AB2=BC·BD B.AB2=AC·BD
2
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
答案 A 因为△ABC∽△DBA,所以
=
=
,所以AB2=BC·BD,AB·AD=AC·DB.
4.在比例尺为1∶10 000的地图上,一块面积为2 cm2的区域表示的实际面积是( )
A.2 000 000 cm2 B.20 000 m2
C.4 000 000 m2 D.40 000 m2
答案 B 设实际面积是x cm2,则
=
,
解得x=200 000 000,∵1 m2=10 000 cm2,∴200 000 000 cm2=20 000 m2.故选B.
5.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
答案 A ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴
=
=
,故选项A正确,故选A.
6.如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
答案 D ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,
∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CBP,∴△EDC∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.
7.如图,在△ABC中,中线BE、CD相交于点O,连接DE,下列结论:①
=
;② △
△ =
;③
=
;④ △
△ =
.其中正确的个数是( )
3
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C 由中线BE、CD知,DE为△ABC的中位线,所以DE=
BC,DE∥BC,所以
=
,①正确;由DE∥BC可得△DOE∽△COB,则 △
△ =
=
,②错误;由DE∥BC易得
=
,
=
,所以
=
,③正确;④ △
△ =
=
,设△DOE的高为h,则△BOC的高为2h,△ABC的高为6h,则 △
△ =
=
, △
△ =
,所以 △
△ =
,④正确.故选C.
8.如图,点E,点F分别在菱形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD的延长线于H,若
=2,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B 设菱形ABCD的边长为3a.因为四边形ABCD是菱形,
=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,AB∥CD,所以
=
=
=
,所以HD=
AB=
a,HF=
HB.因为AB∥CD,所以
=
=
=
,所以BG=
HB.所以
=
=
.
9.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=
CD.下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为( )
4
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B ∵在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=
CD,∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1.∴△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,∠AEB=∠EFC.∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°,
∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+∠FEC=90°.
∴∠AEF=∠B=90°.
∴△ABE∽△AEF,AE⊥EF.∴②③正确.
由已知条件推不出①④正确.故选B.
10.如图,△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( )
A.1 B.2 C.12 -6 D.6 -6
答案 D 如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H.
∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC,
∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG∽△ABC,
∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∴AN⊥DG.
∵四边形DEFG是正方形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC,
∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=
BC=6,
∴AM= - =12 .
5
∵△ADG∽△ABC,∴
=
,∴
=
,∴AN=6 ,∴MN=AM-AN=6
,
∴FH=MN-GF=6 -6.即点F到BC的距离为6 -6.
故选D.
二、填空题
11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为 .
答案 5∶4
解析 相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的周长比等于相似比.因为△ABC与△DEF相似且面积比为25∶16,所以△ABC与△DEF的周长比为5∶4.
12.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶ ,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为 .
答案 ( , )
解析 ∵点A的坐标为(1,0),∴点B的坐标为(1,1).又∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶ ,∴点E的坐标为( , ).
13.如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,
=
,△CEF的面积为S1,△AEB的面积为S2,则
的值等于 .
答案
解析 ∵BF⊥AC,∴∠CFB+∠FCE=90°,
6
又∠CFB+∠CBF=90°,∴∠FCE=∠CBF.
∵AB∥CD,∴∠FCE=∠BAE.∴∠EAB=∠CBF.
∵∠BCF=∠ABC,∴△FCB∽△CBA.
∴CF∶CB=CB∶AB=1∶2.∴FC∶AB=1∶4.
∵FC∥AB,∴△FCE∽△BAE.∴
=
=
.
14.如图,小明把手臂水平向前伸直,手持小尺竖直,瞄准小尺的两端E、F,不断调整站立的位置,使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A,设小明的手臂长l=45 cm,小尺长a=15 cm,点D到铁塔底部的距离AD=42 m,则铁塔的高度是 m.
答案 14
解析 作CH⊥AB于H,交EF于P,如图,则CH=DA=42 m,由题意知,CP=45 cm=0.45 m,EF=15
cm=0.15 m.
∵EF∥AB,∴△CEF∽△CBA,∴
=
,即
=
,
∴AB=14 m,即铁塔的高度为14 m.
15.如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是 .
7
答案 5
解析 ∵直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,
∴
=
,∵BC∥EF,∴△ABC∽△AEF,∴
=
=
,又∵BC=2,∴EF=5.
16.如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,若四边形AEFB与四边形ABCD相似,AB=4,则AD的长度为 .
答案 4
解析 设AE=x(x>0),则AD=2x,∵四边形ABCD与四边形ABFE相似,∴
=
,∴AB2=2x2,∴AB= x=4,∴x=2 ,∴AD=4 .
17.如图,平面内有16个格点,每个格点小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为 .
答案
解析 如图,
