北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)

精品 Word 可修改 欢迎下载 第四章 图形的相似

第Ⅰ卷 (选择题 共30分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )

A．1 cm，2 cm，20 cm，40 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm

C．6 cm，4 cm，1 cm，3 cm D．5 cm，10 cm，15 cm，20 cm

2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长为( )

图1

A．4 B．5 C．6 D．7

3．若ab＝35，则a＋bb的值是( )

A.58 B.35 C.85 D.32

4．如图2，△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是( )

精品 Word 可修改 欢迎下载 图2

A．22.5° B．30° C．36° D．45°

5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )

A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)

图3

6．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为(

)

图4

A.5 B.5＋1 C．4 D．23

7．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )

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图5

A．3倍 B.12

C.13 D．不知AB的长度，故无法判断

8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，则树(AB)的高度为( )

图6

A．4.2米 B．4.8米

C．6.4米 D．16.8米

9．如图7，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD边的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )

精品 Word 可修改 欢迎下载 A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9

图7

10．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )

图8

A．3 s或4.8 s B．3 s

C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s

请将选择题答案填入下表：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分

答案

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(每小题3分，共18分)

精品 Word 可修改 欢迎下载 11．如图9，D是等边三角形ABC中边AB上的点，AD＝2，DB＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝________．

图9

12．如图10，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为________．

图10

13．若ab＝cd＝ef＝12，则3a－2c＋e3b－2d＋f(3b－2d＋f≠0)＝________．

14．如图11所示，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，若AB＝8，BE＝4，DH＝3，则△HEC的面积为________．

图11

15．如图12，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠B，CD＝2，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．

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图12

16．如图13，直线y＝12x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为________．

图13

三、解答题(共72分)

17．(6分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a＋43＝b＋32＝c＋84，a＋b＋c＝12，试求a，b，c的值，并判断△ABC的形状．

精品 Word 可修改 欢迎下载 18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．

(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；

(2)写出点A1，B1，C1的坐标；

(3)求四边形OA1B1C1的面积．

图14

19．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.

精品 Word 可修改 欢迎下载 (1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

图15

20．(8分)如图16①，点D，E分别在AB，AC上，且ADAB＝AEAC.

(1)求证：DE∥BC；

(2)如图②，在△ABC中，D为边AC上任意一点，连接BD，取BD的中点E，连接CE并

精品 Word 可修改 欢迎下载 延长CE交边AB于点F，求证：BFAF＝CDAC；

(3)在(2)的条件下，若AB＝AC，AF＝CD，求BFAF的值．

图16

21．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一

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图17

22．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．

(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；

(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

图18

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23．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

图19

精品 Word 可修改 欢迎下载 24．(12分)如图20①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．

(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；

(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上一点，若直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，求BE的长．

图20

精品 Word 可修改 欢迎下载 详解详析

1．A

2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，∴ABBC＝DEEF.

∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝4，∴DF＝DE＋EF＝2＋4＝6.故选C.

3．C

4．C [解析] ∵点D是线段AB的一个黄金分割点，∴AD2＝BD·AB.

∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，

即BC∶BD＝AB∶BC.

而∠ABC＝∠CBD，∴△BCD∽△BAC，

∴∠A＝∠BCD.

设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠BCD＝x°，

∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x°.

而AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝2x°，

∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，

即∠A＝36°.故选C.

5．A

6．B [解析] 由折叠知AF＝AB＝2，设AD＝x，则FD＝x－2，EF＝2，