近世代数

第 1 页 共 4 页 一.判断题:

1、平面P的一个运动是平面P的一个保距变换 （ T ）

2、群G的所有子群的交与并均为其子群 （ T ）

3、有限群中每个元素的阶都是群的阶的因子 （ F ）

4、任何n阶有限群都同n次对称群nS的一个子群同构 （ T ）

5、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的极大理想，则S0 （ T ）

6、如果环R的阶2R，那么R的单位元10 （ F ）

7、模5剩余类环5Z的特征为5 （ T ）

二.填空题

1、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA

2、设aG为循环群，若a，则G同构于 整数群Z

3、整数环Z的全部理想为)(1,0Rrrnn的所有

4、在剩余类环12Z中，零因子是 {2},{3},{4},{6},{8}.{9},{10} ，可逆元是

{1},{5},{7},{11}

5、有单位元的整环R的一个元素p叫做R的一个素元，如果 P既不是零元，也不是单位，并且P只有平凡因子

6、在2，3i，2，3e中，3e是有理数域Q上的代数元

7、幂零元：某个环R的一个元素x是一个幂零元，当且仅当存在一个正整数n，使得nx等于加法中的零元素。

三、单项选择题

1、设A是实数集，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（ C ）

A．:fxx10； B. :fxx2；

C. :fxx； D. :fxx 第 2 页 共 4 页 2、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（ A ）

数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)

近世代数教学大纲

Modern Algebra

一、基本信息

适用专业：数学与应用数学（师范）专业

课程编号：

教学时数：72学时

学 分：4

课程性质：专业基础课

开课系部：数学与计算机科学院

使用教材：张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978

参考书：

[1] 吴品山，《近世代数》，人民教育出版社，1979

[2] 刘绍学，《近世代数基础》，高等教育出版社，1999

[3] 聂灵沼、丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社，2000

[4] 杨子胥，《近世代数》，高等教育出版社，2003

二、课程介绍

近世代数是以讨论代数体系的性质与构造为中心的一门学科。它是现代数学各个分支的基础，而且随着科学技术的不断进步，特别是计算机的发展与推广，近世代数的思想、理论和方法的应用日趋广泛。本课程将主要介绍近世代数的基本概念与基本理论。主要介绍群、环、域等理论。

三、．考试形式

均为考试课程，考试成绩由平时成绩（平时考勤，作业，课堂提问情况）和期末考试组成，平时作业占百分之二十(三十)，期末考试百分之八十(七十)。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 基本概念（12学时）

要求：

1、集合、映射、代数运算、集合律、交换律、分配律 （识记）

2、一一映射和变换、同态、同构、自同构 （掌握 理解）

3、等价关系与集合的分类 （理解）

主要内容：

1、集合、映射、代数运算

2、结合律、交换律、分配律

3、映射及变换、

4、同态、同构及自同构

5、等价关系与集合的分类

数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)

重点：

1、同态映射及同态满射、同构（同构映射）及自同构的概念及性质；

2、关系、等价关系、集合分类、代表、全体代表团、同余关系及模n的剩余类。

难点：同态映射，同构映射，同余关系

近世代数

⽬录

基本概念

元素。集合。空集合。⼦集 。真⼦集 。A=B⟺A⊆B∧B⊆A 。幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P(A) 。交集。并集。性质：幂

等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。

关系：M×M 的⼦集。即 ∀a,b∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。记做 aRb 和 a¯Rb 。等价关系：满⾜⾃反性（

∀a∈M,aRa ）、对称性（ aRb⇔bRa ）和传递性（ aRb,bRc⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a∼b 。分类：把集合 M 的全体元素分

为若⼲互不相交的⼦集。每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。

映射：集合 A,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x∈A 存在唯⼀的 y∈B 与之对应。记作 φ:x⟶y 或 y=φ(x) 。y 叫做 x 在映射 φ 下的像，

把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。

满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。双射：满射+单射。

逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。有限集合满⾜ |A|=|B| 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出

φ 是双射。

相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x∈A,σ(x)=τ(x) 。

映射合成/映射乘法： τ:A⟶B,σ:B⟶C ，则 x⟶σ(τ(x))(∀x∈A) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x) 。

代数运算：集合 M 的对应法则 M×M⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。代数系统：有代数运算的

集合。（注意代数运算的封闭性。即 d∈M ）。⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元

素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。

变换： 集合 A 到⾃⾝的映射。双射变换也叫⼀⼀变换。恒等变换是每个元素与⾃⾝对应的变换。含 n 个元素的任意集合共有 n! 个双射变

近世代数试卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。 （ ）

2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。 （ ）

4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ）

6、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。 （ ）

7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。 （ ）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ）

9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。 （ ）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与pZ同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。 （ ）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设nAAA,,,21和D都是非空集合，而f是nAAA21到D的一个映射，那么（ ）

①集合DAAAn,,,,21中两两都不相同；②nAAA,,,21的次序不能调换；

③nAAA21中不同的元对应的象必不相同；

④一个元naaa,,,21的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ）

①在整数集Z上，abbaba； ②在有理数集Q上，abba；