近世代数2

第九章 特殊的代数系统

习题

1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群：

⑴},max{baba； ⑵bba；⑶abba2；⑷baba。

解 ⑴是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，,N是一个代数系统，

另一方面，,,,Ncba有cbacbacba,,max,max，

而cbacbacba,,max,max，因此，cbacba，所以，运算“”满足结合律的，故,N是半群；

⑵是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，,N是一个代数系统，

另一方面，Ncba,,，有ccbcba，而ccacba，则

cbacba，所以，运算“”满足结合律，故,N是半群；

⑶是半群。显然，二元运算“”在N上是封闭的， 所以，,N是一个代数系统，

另一方面，Ncba,,，有abccabcabcba4)2(2)2(，

abcbcabcacba422)2(，即cbacba ，所以，运算“”满足结合律，故,N是半群。

⑷不是半群。虽然，二元运算“”在N上是封闭的，即,N是一个代数系统，但是

对于5，3，6，因为，4635635635，而2635635)63(5，即)63(5635，所以，运算“”不满足结合律，故,N不是半群。

2 在实数集R上的二元运算定义为：

),(Rbaabbaba

试判断下列论断是否正确：

⑴,R是一个代数系统；

⑵,R是一个半群；

⑶,R是一个独异点。

解 ⑴正确。因为，运算显然封闭。

⑵正确。

abcbcacabcbacabbacba)()(，

bcacabcbabccbacba)()(，

即是cbacba，所以满足结合律。故,R是半群。

⑶Na，有aaaa000，又有,00aaaa

即存在单位元是0，故,R是独异点。

3 集合{a,b}上的运算由表1定义，问哪一个能使<{a,b},>构成独异点。

解 431,,fff都不能使<{a,b},>构成独异点，因为没有一个函数存在单位元。而

2f的单位元是a, <{a,b},2f>能构成独异点。

4 设S={1,2,3,4}，M={2,3},是一个独异点，问：

⑴是否是的子代数；

⑵是否是的子半群；

⑶是否是的子独异点。

解 ⑴是，因为M={2,3}关于min是封闭的，故是的子代数；

⑵是的子半群；

⑶不是，因为S的单位元是4，而4M,故不是的子独异点。

习题

1. 下列集合关于给定的运算是否构成群

⑴ 给定实数0a，集合}{InaGn，关于数的乘法；

⑵ 正有理数集Q+，关于数的乘法。 1f b a

a a

a a ba 2f b a

b a

a b ba

3f b a

a b

a a ba 4f b a

b a

b a ba

表1 ⑶ 给定正整数n，集合}1,{nnzCzzU，关于数的乘法；

⑷

一元实系数多项式集合，关于多项式加法；

⑸ n维实向量的集合，关于向量的加法。

解 ⑴是，因为实数乘法满足结合律，存在单位元a0=1，任意元素a存在逆元素a-1；

⑵是，因为有理数乘法满足结合律，存在单位元1，任意元素a存在逆元素a-1；

（3）是，因为复数乘法满足结合律，存在单位元1,任意元素z的逆元素是z共轭复数；

（4）是，因为多项式的加法满足结合律，多项式关于加法的单位元是0多项式，任意元素P(x)的逆元素是-P(x).

（5）是, 因为向量的加法满足结合律，n维实向量关于向量的加法的单位元是n维零向量，任意的n维实向量的逆元素是-。

2 设I为整数集合,在I上定义二元运算，对任意的Iyx,，2yxyx,那么I与运算能否构成群为什么

解 可以构成群。⑴因为，对于任意的2)2()(,,,zyxzyxIzyx

)(2)2(4zyxzyxzyx，所以，运算满足结合律；，

⑵关于运算有单位元2，这是因为对于任意的,Ia都有aaa222，且aaa222；

⑶对于任意的a I，若要a有逆元b，需要有ab=ba=2，即需要a+b-2= b+a-2=2，事实上只要b=a-4即可。因此，对于任意的a I，a都可逆，且a的逆元是a-4。

综上所述，由⑴，⑵，⑶得出结论I与运算能构成群。

3．给定独异点,且对任何元素a∈G,有a*a=1。试证：是Abel群。

证明 因为对于任意的1,aaGa，所以a可逆,且aa1，因此，是群。要证明是Abel群，只需证明运算满足交换律，事实上，因为，对于任意的1,1,,yyxxGyx，所以)()(1)()(yxyxyyxx， 因此，由结合律则有yyxxyxyx)()(，再由消去律得：yxxy。故是Abel群。

4 设,G是一群，Gcba,,。证明：

cbabxa

在G中有且仅有一个解。

证明 当1110bacbax时，因为，

abbacbaaabxa)(1110=cb，

所以，1110bacbax是方程cbabxa的解。下面方程的解是唯一的。

对于,,,Gcba若cbabxa解y，即cbabya，由于群中的任何元素都可逆，则对上式两边同时左乘a-1，并两边同时右乘a-1b-1则得，

)()()()(111111bacbabaabyaa

由结合律则有，111bacbay。证毕。

5． 设G为群，证明单位元为G中唯一的幂等元。

证明 设1是群G的单位元，若G中存在幂等元a，即

aaa

因为群中的任何元素都可逆，因此，a也可逆，则有

aaaaaaaaaa1)()(1111

故单位元为G中惟一的幂等元。

6． 群,R与,{0}-R之间的关系是_________。 A．同态； B.同构；

C．后者是前者的子群； ,B,C均不正确。

解 答案是A，因为存在同态映射f:RR-{0},f(x)=ex，但不存在同构映射。

习题

1.请给出循环群的所有生成元。并说明什么元素才可以作的生成元。

解 1，5，7，11为其生成元，任何与12互素的正整数都可作的生成元。

2.证明：循环群的任何子群都是循环群。

证明 设H是循环群G的子群，且G的生成元是a。

若H={e}，则H是循环群。

若H≠{e}，由于H非空，则必存在正整数m>0使am∈H。设m是使am∈H的最小的正整数，若对于任何的an∈H(nN)，则由带余除法有

n=mk+r,0≤r

则有ar=an-mk=ana-mk=an(am)k∈H，而因为m是使am∈H的最小的正整数，且0≤r

习题

1.给定群，且H=｛aa,x∈G∧x*a=a*x，试证 是 的子群。

证明 ①显然HG；

②证明运算*关于H的封闭性。任取a,bH，对于任意的x G有bxxbaxxa,，则)()()()()()(baxbaxbxabxaxbaxba，因此，Hba；

③设1是G中的单位元，因为对于任意的x G有xx11故，H1；

④任取aHG，对于任意的xG，则由H的定义有, x*a=a*x ，由于群的元素都有逆元，因此a也有逆元。等式x*a=a*x两边同时左乘、并同时右乘a的逆元a-1则有，

1111)()(axaaaaxa，即11axxa，亦即Hx1。

综合①、②、③、④， 是 的子群。

2.设G={1，5，7，11}，,G为群，其中*为模12乘法，则,G有几个真子群。

解 群,G真子群有如下4个：<{1},>，<{1,5},>，<{1,7},>，<{1,11},>。

习题

1.设i为虚数单位，21i，令

0110,00,00,1001iiiiG

G上的二元运算为矩阵的乘法运算。

⑴给出G关于运算的运算表，并证明是一个群。

⑵找出G的所有子群。

⑶证明G的所有子群都是正规子群。

解 ⑴设0110,00,00,1001CiiBiiAE，则集合

G={E, A, B, C,-E,-A,-B,-C }，G关于运算的运算表如下。

表2 G关于运算的运算表 E A B C -E -A -B -C

E E A B C -E -A -B -C A A -E -C B -A E C -B

B B C -E -A -B -C E A

C C -B A -E -C B -A E

-E -E -A -B -C E A B C

-A -A E C -B A -E -C B

-B -B -C E A B C -E -A

-C -C B -A E C -B A -E

由表1可以看出G关于运算是封闭的。而运算是矩阵的乘法运算，因此满足结合律。由表1可以看出G关于运算的单位元是E。由表1可以进一步看出关于运算，G中的每一个元素都有逆元，E-1 =E, A-1 = -A, B-1 = -B, C-1 = -C, (-E)-1 = -E, (-A)-1

= A, (-B)-1 = B, (-C)-1 = C。因此，是一个群。

⑵G的所有子群是：<{E},>,<{E,-E},>,<{E, A, -A, -E},>,<{E, B,

-B,-E },>,<{E, C, -C,-E },>。

⑶证明 显然<{ E },>，<{ E,-E },>是正规子群，下面证明<{E, A, -A, -E },>是正规子群。

设H={E, A, -A, -E }，显然有EH=HE =(-E)H=H(-E) = AH=HA= (-A)H=H(-A)={E, A,

-A, -E }。

又BH={B, C, -C, -B}，HB={B, -C,C, -B}= BH，因此有H(-B)={B, -C,C, -B}=(-B)H。同理可得，CH=HC=H(-C) =(-C)H={ C,-B, B,-C }。

综上所述，对于任意的aG都有aH=Ha，即是正规子群。同理可证，<{E, B,

-B,-E },>,<{E, C, -C,-E },>也是正规子群。