近世代数作业
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练 习 题
第一次作业
1、设A={x| xR, |x|5},B={x|xR, -6x<0}.求AB，AB，AB，BA。
2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。证明：
(1) A+B=B+A
(2) A+=A
(3) A+A=。
3、求下列集合的所有子集：
(1) A={a, b, }
(2) B={}
(3) C={1}
4、设f：AB和g：BC是映射，证明：
(1) 如果f和g是单射，则gf是单射
(2) 如果f和g是满射，则gf是满射
(3) 如果gf是单射，则f是单射
(4) 如果gf是满射，则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:
f: x3x
g: x3x+1
h: x3x+2
(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh
(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射
(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。
6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：
（a, b）~ (c, d)a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A
在R下的分类恰为S。
8、设A={1，2，3，4}，在幂集 中规定二元关系“~”：
S~TS与T所含元素个数相同
证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。
第二次作业
1、设G={(a, b)| a, bR, a0}, 规定G中元素运算：
(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)证明：G是一个群，但不是交换群。
2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：
a b c
a a b c
b a b c
c a b c
证明：（G，）是一个半群。
3、设G是群，证明：
(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之
不对。
(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元，使得
ab=ba.
4、在对称群中计算：
(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)
5、设=（1 2 3 4 5 6），计算。
6、将对称群中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积
7、设,, 如果=( )，证明：
=(()()())
8、在中，求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。
9、设G是群，C(G)={x| xG, yG, xy = yx}, 证明：C(G)是G的子群。(称C(G)
是群G的中心)。
10、设H={(1),(234),(243)}，证明：H是4次对称群的子群。H是否为不变
子群？
11、设A，B是群G的子群，证明AB是G的子群的充分且必要条件
是AB=BA。
12、证明有理数加群Q关于Z的商群（，+）的任意有限子群都是循环
群。
13、设p, q是两个不同的素数，问：pq阶循环群的生成元有几个？求25阶
循环群的所有生成元。
14、设G=（R-{0}，）,证明：f：GG：x是群同态，但g：GG：x2x不是群
同态。15、设f：G是群满同态，H是G的不变子群，并且Ker(f)H, 证明： f (H)是
的不变子群，并且
16、设G和H都是有限群，|G|与|H|互素，证明G到H并且H到G的群同态都
是唯一的。
17、证明：。
18、设A，B是群G的两个不变子群，并且G=AB，证明：
19、证明群G在左商集上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。即如
果f：GE() 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的最大不变子群。
20、设G是群，A是G的一个非空子集，记={x | xG, xA=Ax},证明：
(1) 是G的子群。
(2) 如果=G，则A是G的不变子群吗？
第三次作业
1、 设R是交换环，证明：
(1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。
(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。
(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。
2、 设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘
法，R不能构成环。
3、 在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算：
f(x)=, g(x)=
4、 求出中次数不超过2的所有可逆多项式。
5、 在环中，求元素。
6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得=<24>+<36>, =<24>
<36>.
7、 设、、、都是环R的理想，如果
证明这些理想的并集是R的理想。
8、 设f：R 是环的满同态，证明：
(1) 如果R是交换环，则也是交换环。
(2) 举例说明：是交换环，但R未必是交换环。
9、 证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。
10、 设R是有单位元1的环，证明是多项式环的真子环（即不等于
的子环），并且有环同构：。
11、 设={a+bi | a, bZ},,证明：
(1) 按复数的通常运算，是一个整环。（通常称是高斯整环）
(2) 如果p是一个素数，证明。12 、R是无单位元的环，A是R的理想，如果是R的有单位元的典范
扩张环，则是的理想，并求商环。
(1) 讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环 。
(2) 在有理系数多项式环Q[x]中，证明：
理想。
13、设p是素数，在偶数环2Z中，证明主理想<2p>是极大理想，但<2p>是
素理想的充分且必要条件：p是不等于2的素数。
14、 设R={a+3bi | a, bZ},
(1) 按通常数的运算，证明：R是整环。
(2) 求R的所有可逆元。
15、 高斯整环中，证明3是素元，但2不是素元。
16、证明高斯整环是欧氏环。
17、证明域都是欧氏环。
18、在高斯整环中将元素15进行既约元因子分解。
19、将下列多项式分解为既约多项式的乘积：
(1) 中多项式
(2) 中多项式
20、证明：按数的通常运算，={a + bi | a, bQ} 是一个域。()
