近世代数及其应用

清朝李善兰在1859年正式用「代数」这个词作为他译的＜代数学＞一书的名称。从此，代数一次正式在我国流传并广为接受。并且到了1873年，华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国数学家华里司（Wallis）的＜代数术＞里说：代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之。为为国人解析代数一次的意义。不过早在几千年前，代数这门学科就已经生机勃勃的发展起来。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l

muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。

1、算数

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。

古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

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第一章 习题1.1 1. 用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不

同的项链？

解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔

在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，

全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得

总共8种。

2. 对正四面体的顶点用2种颜色着色，有多少种本质上不同的

着色方法？

解 类似第1题，用枚举法可得5种。

3. 有4个顶点的图共有多少个？互不同构的有多少个？

解 由本节内容，有4个顶点的图共有64个图。用分类计数

的方法可得共有11个互不同构的图。

4. 如何用圆规5等分一个圆？

解 用初等数学的方法求五边形的边长：作一个顶角为36°、

腰长为1的等腰三角形，设底边长为a，则a就是十边

形的边长，以a为半径以单位圆周上任意一点为圆心在圆周

上交出两点，则这两点之间的距离就是五边形的边长。

那么a怎么求呢？只要在那个等腰三角形上作一条补助线

�底角的角平分线，再利用相似三角形边长成比例的

关系，可得，因而a就可作出了。

5. 用根式表示3次和4次代数方程的根。查看数学手册。因公

式较复杂，不在这里列出了。

习题1.2

习题1.3

5. 举一个偏序集但不是全序集的例子，并画图。

解 考虑到画图的方便，可举有限集的例子，例如：有限集的幂集

对包含关系所构成的偏序集，有限整数集对整除关系所构成的偏

序集。 详解略。

习题1.4

1. a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

解 方法一、辗转相除法。列以下算式：

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究

摘要 我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.

第⼀章 等价关系与等价类 定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.

定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：

（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;

（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;

（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.

则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.

定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.

由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：

（1） Ii i

A ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.

定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，

则~是A 上的⼀个等价关系.

证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.

命题人：尚珑杰 甘肃民族师范学院 数学系期末考试卷 2012年12月21日 数学系数学与应用数学专业2009级2012—2013学年度秋学期期末《近世代数》试卷

答卷说明：1.本试卷共两页，4个大题，满分100分，120分钟完卷。

2.答案全部写在试卷上，写在其他地方一律无效。

班号 姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 总分

分数

一、填空题（每空2分，共20分）

（略）笔记本上的16道选5道左右。

二、判断题（对的论断打“√”，错误的打“×”）．

1.（ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系．

2.（ ）交换群的子群是不变子群．

3.（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群．

4.（ ）无零因子环的特征不可能是2007.

5.（ ）群G的指数是2的子群一定是不变子群．

6.（ ）模15的剩余类环Z15是域．

7.（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立．

8.（ ）除环的中心是域．

9.（ ）域只有零理想和单位理想． 10.（ ）无零因子环的同态象无零因子．

1.（ ）循环群的同态象的是循环群．

2.（ ）一个阶是11的群只有两个子群．

3.（ ）交换群的子群是不变子群．

4.（ ）模8的剩余类环Z8是域．

5.（ ）任意两个循环群同构．

6.（ ）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环．

7.（ ）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群．