数学(三)试题 第1页 (共4页) 2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)
1 1 x ,则a等于( )
(1) 若limx0 x x a e 1
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
(2) 设 y1, y2 是一阶非齐次微分方程 ypx y q x的两个特解,若常数，使
y1 y2 是该方程的解,y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
1
(A) ,. (B) .
(C) ,. (D) .
【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).
(3) 设函数 f x , g x具有二阶导数,且 gx 0 ,若 gx0
a 是 gx 的极值,则 f gx 在 x0 取极大值的一个充分条件是( )
(A) f a 0. (B) f a 0 . (C) fa 0 . (D)
fa 0 .
x
数学(三)试题 第2页 (共4页) (4) 设 f xln10 x g x, x h x, e10 ,则当 x充分大时有( )
(A) gx h xf x. (B) hx g xf x.
(C) f x g xh x.(D) gx f xh x.
(5) 设向量组 I :1,2 ,r 可由向量组 II :1,2 ,s 线性表示,下列命题正确的是
( )
(A) 若向量组I 线性无关,则r s .
(B) 若向量组I 线性相关,则r s.
(C) 若向量组II 线性无关,则r s .
(D) 若向量组II 线性相关,则r s .
(6) 设 A为4阶实对称矩阵,且 A2 A O ,若 A的秩为3,则 A相似于 ( )
1 1
(A) 1 . (B) 1 .
1 1
0 0
1 1
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考
2010年 • 第1页 2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
(1)极限2
lim()
()()x
xx
xaxb
®¥=
-+
(A)1
(B)e
(C)abe-
(D)bae-
【答】 应选
(C)
.
【解】 因22lnln()ln()
limln()lim
()()1/x
xxxxxaxb
xaxbx
®¥®¥---+
=
-+
()
()()32
2211
2
=limlim
1
xxabxabx
xxaxb
ab
xxaxb
x®¥®¥--
-+
-+
==-
-+
-，所以2
lim()
()()xa
xbx
xaxbe
®¥-
=
-+，故选
(C)
.
(2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yz
F
xx=
确定，其中F
为可微函数，且
20F¢
¹，则
zz
xy
xy¶¶
+=
¶¶
(A)x
(B)z
(C)x-
(D)z-
【答】 应选
(B)
.
【解】 在方程两边分别对x
和对y
求偏导，得
122211
()0yz
FzF
xxxx¶
¢¢
-+-=
¶，
1211
0z
FF
xxy¶
¢¢
+=
¶
于是有
22()zz
xyFzF
xy¶¶
¢¢
+=
¶¶， 即zz
xyz
xy¶¶
+=
¶¶，故选
(B)
.
(3)设,mn
均是正整数，则反常积分2
1
0ln(1)m
nx
dx
x-
ò
的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考
2010年 • 第2页 (A)仅与m
的取值有关(B)仅与n
的取值有关
(C)与,mn
的取值都有关(D)与,mn
的取值都无关
【答】 应选
(D)
.
【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx==
，于是需分成两个积分加以考察：
()
()
()
222
1
11
2
1
00
2ln1ln1ln1
mmm
nnnxxx
dxdxdx
xxx---
第 1 1 页页 共 13 13 页页 2010
考研数学（一）真题及参考答案
一、选择题
（1）、极限2
lim
()()x
xx
xaxb
®¥æö
=
ç÷
-+
èø（ C）
A、1 B、e
C、ab
e-
D、ba
e-
【详解】【详解】 ()()22
22
ln1
()()()()
()()
()()limlimlim
()()
limlimx
xxx
x
xaxbxaxb
xxx
abxab
abxabx
x
xaxb
xaxb
xx
abx
ee
xaxb
ee
eæöæö
-
ç÷ç÷
ç÷ç÷
-+-+
èøèø
®¥®¥®¥
-+æö
-+
ç÷
ç÷
-+
-+
èø
®¥®¥
-æö
==
ç÷
-+
èø
==
=
（2）、设函数(,)zzxy
=，由方程(,)0yz
F
xx=
确定，其中F为可微函数，且
20F¢
¹，则zz
xy
uy¶¶
+=
¶¶
（ B）
A、x
B、z
C、x
-
Dz
-
【详解】【详解】 等式两边求全微分得：
121212()()()0
xxyyzzFuFvdxFuFvdyFuFvdz¢¢¢¢¢¢
+++++=
，
所以有，12
12xx
zzFuFvz
xFuFv¢¢
+¶
=-
¢¢
¶
+，12
12yy
zzFuFv
z
yFuFv¢¢+
¶
=-
¢¢
¶+，
其中，
2xy
u
x=-
，1
yu
x=
，0
zu=
，
2xz
v
x=-
，0
yv=
，1
zv
x=
，代入即可。，代入即可。
（3）、设,m
n
是正整数，则反常积分2
1
0ln(1)
m
nx
dx
x-
ò
的收敛性( D )
(A)仅与m
的取值有关的取值有关 (B)仅与n
有关有关
(C)与,mn
都有关都有关 (D)都无关都无关
【详解】：显然0,1xx
==
是两个瑕点，有是两个瑕点，有
2221
11
2
1
00
2ln(1)ln(1)ln(1)
mmm
nnnxxx
dxdxdx
xxx---
=+òòò
对于21
2
0ln(1)
m
nx
dx
x-
ò
的瑕点0x
=
，当0x+
®
时212
ln(1)
ln(1)m
mn
nx
xx
x--
=
-
等价于221
(1)
mmnx-
-，
而211
2
0mnxdx-
ò
收敛（因,mn
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)
(1) 极限2lim()()xxxxaxb ( )
(A) 1. (B) e. (C) abe. (D) bae.
(2) 设函数(,)zzxy,由方程,0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20F,则zzxyxy( )
(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.
(3) 设,mn是正整数,则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性 ( )
(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.
(C) 与,mn取值都有关. (D) 与,mn取值都无关.
(4) 2211limnnnijnninj ( )
(A) 1200111xdxdyxy. (B) 100111xdxdyxy.
(C) 1100111dxdyxy. (D) 11200111dxdyxy.
(5) 设A为mn矩阵,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵,若ABE,则 ( )
(A) 秩rAm,秩rBm. (B) 秩rAm,秩rBn.
(C) 秩rAn,秩rBm. (D) 秩rAn,秩rBn.
