新青区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
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第 1 页，共 16 页 新青区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 在△ABC中，若A=2B，则a等于（ ）
A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB
2． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．32 D．33
3． 自圆C：22(3)(4)4xy外一点(,)Pxy引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）
A．86210xy B．86210xy C．68210xy D．68210xy
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
4． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A．3 B． C．2 D．6
5． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则++…+=（ ）
A． B． C． D．
6． 已知函数1(1)sin2,2,212()(1)sin22,21,222nnxnxnnfxxnxnn（nN），若数列ma满足*()()mafmmN，数列ma的前m项和为mS，则10596SS（ ）
A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 第 2 页，共 16 页 7． ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC为零向量，且||||OAAB，则CA在BC方向上的投影为（ ）
A．-3 B．3 C．3 D．3
8． 已知函数()xFxe满足()()()Fxgxhx，且()gx，()hx分别是R上的偶函数和奇函数，
若(0,2]x使得不等式(2)()0gxahx恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．(,22) B．(,22] C．(0,22] D．(22,)
9． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数()3sincos(0)fxxx，()yfx的图象与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则()fx的一条对称轴是（ ）
A．12x B．12x C．6x D．6x
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”
12．已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．若复数12,zz在复平面内对应的点关于y轴对称，且12iz，则复数1212||zzz在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
14．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点． 第 3 页，共 16 页 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
15．设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是 ．
16．设xR，记不超过x的最大整数为[]x，令[]xxx.现有下列四个命题:
①对任意的x，都有1[]xxx恒成立；
②若(1,3)x，则方程22sincos[]1xx的实数解为6；
③若3nna（nN），则数列na的前3n项之和为23122nn；
④当0100x时，函数22()sin[]sin1fxxx的零点个数为m，函数()[]13xgxxx的
零点个数为n，则100mn.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，(sin,5sin5sin)mBAC，(5sin6sin,sinsin)nBCCA垂直.
（1）求sinA的值；
（2）若22a，求ABC的面积S的最大值.
18．（本题12分）
正项数列{}na满足2(21)20nnanan．
（1）求数列{}na的通项公式na；
（2）令1(1)nnbna，求数列{}nb的前项和为nT. 第 4 页，共 16 页
19．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．
（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．
20．已知函数21ln,2fxxaxxaR．
（1）令1gxfxax，讨论gx的单调区间；
（2）若2a，正实数12,xx满足12120fxfxxx，证明12512xx．
21．在等比数列{an}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．
第 5 页，共 16 页
22．（本小题满分10分）求经过点1,2P的直线，且使2,3,0,5AB到它的距离相等的直线
方程.
第 6 页，共 16 页 新青区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】解：∵A=2B，
∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，
∴sinA=2sinBcosB，
根据正弦定理==2R得：
sinA=，sinB=，
代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．
故选D
2． 【答案】D
【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,ADABAG相互垂直，面AEFG面
,//,3,1ABCDEBCAEABADAGDE,根据几何体的性质得：2232,3(32)ACGC
222733,345GE，32,4,10,10BGADEFCE,所以最长为33GC．
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．
3． 【答案】D
【解析】由切线性质知PQCQ，所以222PQPCQC，则由PQPO，得，2222(3)(4)4xyxy，化简得68210xy，即点P的轨迹方程，故选D，
4． 【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2． 第 7 页，共 16 页 故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：∵Sn=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6． 【答案】A.
【解析】
7． 【答案】B 第 8 页，共 16 页 【解析】
考点：向量的投影．
8． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数xFxe满足Fxgxhx,且,gxhx分别是R上的偶函数和奇函数,,,,,0,222xxxxxxeeeeegxhxegxhxgxhxx 使得不等式20gxahx恒成立, 即22022xxxxeeeea恒成立, 2222xxxxxxxxeeeeaeeee
2xxxxeeee, 设xxtee，则函数xxtee在0,2上单调递增,220tee, 此时不等式222tt,当且仅当2tt,即2t时, 取等号,22a,故选B.
考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立（min()afx即可）或()afx恒成立（max()afx即可）；②数形结合；③讨论最值min()0fx或max()0fx恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
9． 【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，
因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
10．【答案】D
【解析】
试题分析：由已知()2sin()6fxx，T，所以22，则()2sin(2)6fxx，令
