第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及运算知识点： 一.集合定义1. 定义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的元素.2. 集合中元素的三个特征： ①确定性 ②无序性 ③互异性3. 集合中元素与集合的关系分别为属于和不属于两种，分别用∈和∉来表示.二.集合的表示方法集合的常用表示方法有列举法和描述法 1.列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法. 2.描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法常用数集用专用字母表示：自然数集为N,正整数集为N +或*N ,整数集为Z,有理数集为Q,实数集为R三.集合的分类依据集合中所含元素个数的多少，把集合分为： (1)有限集：含有限个元素的集合，如集合{}3,5,6A =； (2)无限集：含无限个元素的集合，如自然数集为N ； (3)空集：不含任何元素的集合，记作∅.四.集合的基本关系1.子集一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素，即若a A ∈,则a B ∈,我们就说集合A 包含于集合B,或集合B 包含集合A,记作A B ⊆（或B A ⊇）,这时我们说集合A 是集合B 的子集.注：(1)任何一个集合是其本身的子集； (2)空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；(3)当集合A 中存在着不属于集合B 的元素，则称A 不是B 的子集，记作：A B ⊄，读作“A 不包含于B ”. 2.集合相等对于两个 集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 与集合B 相等，记作A B =. 3.真子集对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且A B ≠,我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B ⊂≠注：(1)任何一个集合都是它本身的子集，但不是真子集，即A A ⊆ (2)规定：∅是任何集合的子集，且∅是任何非空集合的真子集4.Venn 图我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合的关系，这种图形通常叫作Venn 图.五.集合的基本运算1.交集一般地，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作A 与B 的交集，记作A B ,读作“A 交B ”即{}|,A B x x A x B =∈∈对于任意两个集合A,B ，根据交集的概念可得 (1)A B BA =(2),A B A A B B ⊆⊆(3),AA A A =∅=∅2.并集一般地，由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作A 与B 的并集，记作A B ，读作“A 并B ”对于任意两个集合A,B ，根据并集的概念可得 (1)A B BA =(2),A A B B A B ⊆⊆(3)AA ∅=3.补集与全集 (1)全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U 表示，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素. (2)补集设U 是全集，A 是U 的一个子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集，记作U C A例题一.集合的基本概念例1：给出下列关系：①{},a a b ⊂≠；②{},a a b ∈；③{}a ∅∈ ；④{}a ∅⊆；⑤{}{},a a b ⊆；⑥{}{}a a ⊆.其中正确的是___________________例2.已知集合{}1,2,3,4,5A =,(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含的元素个数为___________2.1设,P Q 是两个非空数集，定义集合{}|,,P Q x x a b a P b Q +==+∈∈,若{}0,2,5P =，{}1,2,6Q =,则P Q +中元素的个数是________例3.已知,4,b P a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,0,Q a b a =-，若P Q =,则22015a b +的值为___________3.1已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈,则b a -=___________3.2已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈,a 为实数.(1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.二.集合的基本关系例4.设{}{}|41,,|43,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈,则集合A 与B 的关系是___________4.1设集合11|,,|,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则集合M 与N 的关系是_________例5.已知集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+<<-，若B A ⊆,则实数m 的取值范围是_________________5.1已知集合1|21,32A y y x x ⎧⎫==--≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆,则实数m 的取值范围是_________________例6.设集合{}1,2,3,4A =,,2B A B ⊂≠∈,则满足条件的集合B 的个数为_________6.1满足条件{}{}1,21,2,3,4,5M ⊂≠⊆的集合M 的个数是_________三.集合的基本运算例7.已知全集U R =,{}{}|0,|1A x x B x x =≤=≥，则集合()U C A B =__________7.1已知集合(){}(){},|0,,|2A x y x y B x y x y =+==-=，则A B =_____________例8.已知集合{}{2|1,,|M y y x x R N x y ==-∈==，则M N =________________8.1设全集U R =,集合{}{}2|20,|1x A x x x B y y e =->==+，则A B =________________四.集合中新定义题目例9.对于任意两个正整数,m n 定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m n +，当,m n 中一个为正偶数，一个为正奇数时，m ※n=mn .则在此定义下，集合(){}12,,,|M a b a N b a b N **=∈∈=※中的元素个数是_________1.2-1.3 命题及其关系、充分条件与必要条件、 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点：1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．4. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：5.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．6．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．7．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.例1：给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ； ②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则ba ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③例2：下列命题中的假命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0C ．∀x ∈R,3x ≠0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0例3：下列命题正确的是A.B.＞x 2C.x ＞1是x 2＞1的充分不必要条件D.若a ＞b ，则a 2＞b 2例4：已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )． A ．否命题是“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题例5：给出下列四个命题： ①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ； ③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；④命题:p “R x ∈∃0，使23c os sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42000x R,x 2x 30∃∈++=3x N,x ∀∈例6：已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件例7：已知条件p ：函数()log (1)m g x x =-为减函数，条件q ：关于x 的二次方程220x x m -+=有解，则p 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例8：“22a b >”是22log log a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例9：“”是“对任意的实数,成立”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件例10：已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( )． A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4例11：已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论 ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“¬p ∨¬q ”是假命题； ③命题“¬p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨¬q ”是假命题． 其中正确的是( )． A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①②③4a <x a x x ≥++-3212例12：命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数例13：以下命题正确的个数为 ①命题“若”的否命题为“若”； ②命题“若则”的逆命题为真命题；③命题“”的否定是“”； ④“”是“”的充分不必要条件 A ．1B ．2C ．3D ．4例14：已知“命题p ：∈R ，使得0122<++x ax 成立”为真命题，则实数a 满足（ ） A ．[0，1） B ．)1,(-∞ C ．[1，＋∞） D ．]1,(-∞例15：有下面四个判断：其中正确的个数是( )①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--” A.0 B.1 C.2 D.3例16： 下列说法中，正确的是（A ）命题“若，则”的逆命题是真命题 （B ）命题“，”的否命题是“，”（C ）命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题 （D ）“”是“”的充分不必要条件21,1x x >>则21,1x x ≤≤则,αβ>tan tan αβ>2,10x R x x ∃∈++<使得2,10x R x x ∀∈++≥都有1x >220x x +->x ∃b a >ba 11<R x ∈∃00)020x x -R x ∈∀02≤-x x q p ∨p q 2>a 5>a例17：已知命题：“”，命题：“，”。
