全等三角形之截长补短法
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标准实用
文案大全
例题1
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．
解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．
∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，
∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°，
∴∠B=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中，
∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴AE=AB．
∵AE=AC+CE=AC+CD，
∴AB=AC+CD．
证法二：如答图所示，在AB上
截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△ACD和△AED中，
AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90，CD=ED，
又∵AC=BC， 标准实用
文案大全 ∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．
例题2
图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜ （AB+AC）．
考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
专题：计算题．
分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．
解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．
∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB
∴△ACD≌△EBD∴AC=BE
在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜ （AB+AC）
点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．
标准实用
文案大全 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：证明题．
分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；
（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．
解答：证明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=BE-AD．
仿照（1）可证△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD． 标准实用
文案大全 点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进
如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是
20
cm．
考点：轴对称的性质．
分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．
解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∴MN=20cm．
点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说标准实用
文案大全 明∠A=2∠D．
考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．
分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A．
解答：解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$×（180°-x°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A
故∠BOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）
由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线
∴∠1=∠2，∠5=$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3----①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠标准实用
文案大全 A-----②，
把①代入②得2∠D=∠A．
点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
4
处．
考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系．
专题：应用题．
分析：依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址．
解答：解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部．
故填4．
点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等．
如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写标准实用
文案大全 出你的猜想并加以证明．
考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．
专题：证明题．
分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD，S△PAC= AC•PE，S△CAB= AB•CF，S△PAC= AB•PE， AB•PD= AB•CF+ AB•PE，即可求证．
解答：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．
证明：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，
∵S△PAB= AB•PD，S△PAC= AC•PE，S△CAB= AB•CF，
又∵AB=AC，
∴S△PAC= AB•PE，
∴ AB•PD= AB•CF+ AB•PE，
即 AB（PE+CF）= AB•PD，
∴PD=PE+PF．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．
如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．
考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
分析：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状． 标准实用
文案大全 解答：证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵AD=CD
∴∠DBC= ∠ABC=30°
∵CE=CD
∴∠CDE=∠E
∵∠ACB=∠CDE+∠E
∴∠E=30°
∴∠DBE=∠E
∴BD=DE
∴△BDE是等腰三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．
（2007•吉林）某家电商场经销A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利48 000元．已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元．请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图．
考点：扇形统计图；条形统计图．
专题：图表型．
