三角形全等中的截长补短
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截长补短
知识目标
模块一 垂直与截长补短 例1、例2 难度：★★★★
模块二 角平分线与截长补短 例3 难度：★★★★
模块三 等边三角形与截长补短 例4、例5 难度：★★★★
模块四 线段和相等与截长补短 例6 难度：★★★★
模块五 截长补短综合应用 例7、例8 难度：★★★★
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如图：要证AB＝CD＋EF，有以下辅助线的说法
FEDCBA
一、【截长】
①在AB上截取AH＝CD，只需证明BH＝EF
②在AB上截取AH＝EF，只需证明BH＝CD
③在BA一截取BH＝CD，只需证明AH＝EF
④在BA上截取BH＝EF，只需证明AH＝CD
二、【补短】
①延长CD到H使得DH＝EF，只需证明CH＝AB
②延长CD到H使得CH＝AB，只需证明DH＝EF
③延长DC到H使得CH＝EF，只需证明DH＝AB
④延长DC到H使得DH＝AB，只需证明CH＝EF
⑤延长EF到H使得FH＝CD，只需证明EH＝AB
⑥延长EF到H使得EH＝AB，只需证明FH＝CD
⑦延长FE到H使得EH＝CD，只需证明FH＝AB
⑧延长FE到H使得FH＝AB，只需证明EH＝CD
模块一 截长补短基本题型
题型一“垂直关系”与截长补短
例1
如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD＝BD＋AB
DCBA 练习
如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数.
DCBA
例2
已知等腰△ABC，AB＝AC，E是AC上一点，D是AB延长线上一点，且CE＝BD，ED交BC于F，EG⊥BC于G，求证：FG＝BF＋CG.
GFEDCBA
练习
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，若E是BC上一点，AF平分∠EAD，求证：BE＋DF＝AE.
FEDCBA
题型二 角平分线与“截长补短”
例3
如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC
（1）若∠BAC＝90°，求证：BC＝AB＋AD
DCBA
（2）若∠BAC＝108°，求证：BC＝AB＋CD
DCBA
（3）若∠BAC＝100°，求证：BC＝BD＋AD
DCBA
练习
如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC
（1）若BC＝AB＋AD，求∠BAC的度数
ABCD
（2）若BC＝AB＋CD，求∠BAC的度数
ABCD
题型三 “等边三角形”与截长补短
例4
已知△ABC为等边三角形，D是形外一点，若∠ADB＝60°，求证：AD＋CD＝BD.
DCBA
练习
如图，△ABC是等边三角形，∠ADC＝120°，求证：BD＝AD＋CD.
DCBA
例5
如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DFE是等边三角形，ED的延长线交AB于H，求证：CF＋CE＝CD.
HFEDCBA
练习
已知如图，△ABC为等边三角形，AE＝AC，BE交AC于D，AF平分∠CAE交BE于F，求证：AF＋EF＝BF.
FEDCBA
题型四 “线段和相等”与截长补短
在△ABC和△A′B′C′中，若AB＋AC＝A′B′＋A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，求证：△ABC≌ △A′B′C′.
练习
已知△ABC，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∠A， ∠B的平分线交BC，CA于P，Q，求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.
QPCBA
模块二 截长补短综合应用
例7
如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连EN，求证：AE＝CN＋EN.
ENCBA
例8
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABC的内部有一条过B点的射线，过A点和C点分别作这条射线的垂线，垂足分别为M，N，写出BN--CN与AM之间的数量关系，并证明你的结论.
yxNMOCBA
第4讲 本讲课后作业
A 基础巩固
1.如图，已知∠PAB＋∠ABC＝180°，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连接CE并延长交AP于D，求证：AD＋BC＝AB.
PEDCBA
2.已知△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB＝∠B，
（1）如图，若∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD
EDCBA
（2）如图，若∠C＝100°，求证：AB＝AD＋CD
EDCBA
3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点p，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF，求证：PA＋PC.
PFEDCBA
4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AO平分∠BAC，交CD于O，E为AB上一点，OE∥BC，求证：OD＋OE＝CD.
OEDCBA
5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，若F是CD的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC＋CD.
FEDCBA
B 综合训练
6.已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A，E在BC的同侧
（1）如图1，点D在BC边上，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并证明
图1EDCBA
（2）如图2，点D在BC边上的延长线上，其它条件不变，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并证明
图2EDCBA
数学故事
抛硬币的概率
硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端，据说，遇到不可调解的分岐的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。足球场上开球方的决定，习惯上也是用硬币决定的。
然而，硬币正反不一样！
如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的。我们常说，正反面出现的概率都是0.5。那么，这里的“概率”是什么意思呢？
如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半，投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5。这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，
某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率。
我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然，由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差。以人民币一元硬币来说，正面是代表面额1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计。
尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差呢？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？
假设某枚硬币掷出正面的概率是P，我们用以下的方法产生抛硬币的结果；掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次。更具体地说，如果结果是”反正“的话，那就当作掷出了正面，如果是”正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是P（1-p），结果是完全公平的。
正反抵消不容易
掷100次硬币，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同，你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的，但事实如何？
虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大。打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的。尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气。稍稍用点数学知识可以知道，抛2n次硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是1/n。当n越来越大，这个概率越来越趋近0。也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着抛硬币的总次数变低，最后越来越接近0.
所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言。意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果。我们说投掷硬币时出现的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5。但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5.实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5。某几次投掷之后正面恰好占一半，这种情况发生的机会反而很小。
