高中数学-化归与转化思想

一、 考点回顾

化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有：

1、等与不等的相互转化

等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化

对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化

整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化

事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化

通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化

二、 经典例题剖析

例1、设0a≥，2()1ln2ln(0)fxxxaxx．

（Ⅰ）令()()Fxxfx，讨论()Fx在(0)，∞内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax．

解析：（Ⅰ）讨论()Fx在(0)，∞内的单调性并求极值只需求出()Fx的导数'()Fx即可解决；

（Ⅱ）要证当1x时，恒有2ln2ln1xxax，可转化为证1x时2ln2ln10xxax，亦即转化为

1x时()0fx恒成立；因(1)0f，于是可转化为证明()(1)fxf，即()fx在(1,)上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

答案：（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，

故()()2ln20Fxxfxxxax，，

于是22()10xFxxxx，，

列表如下：

x (02)， 2 (2)，∞

()Fx  0 

()Fx 极小值(2)F

故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，

所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．

（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．

于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．

从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．

所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．

故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．

点评：对于证明()()fxgx在区间(,)ab恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明()()0fxgx在区间(,)ab上恒成立，令()()()hxfxgx，即可转化为在(,)ab上min()0hx，这样只需求出()hx在区间(,)ab上的最小值即可解决之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到。

例、设数列{}na的首项113(01)2342nnaaan，，，，，，…．

（1）求{}na的通项公式；（2）设32nnnbaa，证明1nnbb，其中n为正整数．

解：

方法二：由（1）可知3012nnaa，，

因为132nnaa，所以 111(3)322nnnnnaabaa．

由1na可得23(32)2nnnaaa，

即 223(32)2nnnnaaaa

两边开平方得 3322nnnnaaaa．

即 1nnbbn，为正整数．

例、 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC△的顶点(40)A，和(40)C，，顶点B在椭圆221259xy上，则sinsinsinACB_____．

例、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos＝______

解：不妨认为这个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为对角线与该正方体所成角.故26cos33.

点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用

例、已知函数3()fxxx．

（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；

（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa

解析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点()ab，的曲线()yfx的切线方程()0gt，曲线()yfx有三条切线可转化为方程()0gt有三个相异的实数根，即函数()ygt有三个零点，故只需()gt的极大值大于零且()gt的极小值小于零。

答案：解：（1）()fx的导数2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．

（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．

若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．

当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：

t (0)， 0 (0)a， a ()a，

()gt ＋ 0 － 0 ＋

()gt 增函数 极大值ab 减函数 极小值()bfa 增函数

由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；

当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；

当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．

综上，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即 ()abfa．

点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型。

例、已知函数()exfxkxxR，

（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；

解析：（Ⅰ）求出()fx的导函数，易得()fx的单调区间；

（Ⅱ）易知()fx是偶函数，于是()0fx对任意xR成立可等价转化为()0fx对任意0x≥成立，进一步转化为()fx在[0)，上的最小值大于零，从而求出实数k的取值范围。

答案：解：（Ⅰ）由ek得()eexfxx，所以()eexfx．

由()0fx得1x，故()fx的单调递增区间是(1)，，

由()0fx得1x，故()fx的单调递减区间是(1)，．

（Ⅱ）由()()fxfx可知()fx是偶函数．

于是()0fx对任意xR成立等价于()0fx对任意0x≥成立．

由()e0xfxk得lnxk．

①当(01]k，时，()e10(0)xfxkkx≥．

此时()fx在[0)，上单调递增．

故()(0)10fxf≥，符合题意．

②当(1)k，时，ln0k．

当x变化时()()fxfx，的变化情况如下表：

x (0ln)k， lnk (ln)k，

()fx － 0 ＋

()fx 单调递减 极小值 单调递增

由此可得，在[0)，上，()(ln)lnfxfkkkk≥．

依题意，ln0kkk，又11ekk，．

综合①，②得，实数k的取值范围是0ek．

（一） 选择题：

1. 若函数34)(2axaxxf的定义域为R，则实数a的取值范围是

A．]43,0( B．)43,0( C．]43,0[ D．)43,0[

2. 函数)112lg(xy的图象关于（ ）

A、原点对称 B、x轴对称 C、y轴对称 D、直线y＝x对称

3. 若a、b满足122ba，则)1)(1(abab有

A．最小值21和最大值1 B．最小值43和最大值1

C．最小值43但无最大值 D．最大值1，但无最小值

4. 若关于x的不等式xk)1(2≤4k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有：（ ）

A、2∈M，0∈M； B、2M，0M； C、2∈M，0M； D、2M，0∈M．

5.若不等式x2＋ax＋10对于一切x（0，12）成立，则a的取值范围是 _________

6. 若03)1()3(22yxyx，则点),(yxM的轨迹是

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

（二） 填空题：

7. P（x，y）在直线x＋2y－3＝0上运动，则x2＋y2的最小值是________．

8. 在－6，4，－2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数abi的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________．

（三） 解答题：

9.已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．

（I）求()fx的最大值和最小值；

（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．