正定二次型的应用
专业：数学与应用数学 学好：201102014010
姓名：张文洪 指导教师：武慧虹
摘要
在高等代数中，正定二次型占很重要的地位。本文主要探讨了正定二次型的性质及正定二次型的延伸应用。如正定二次在重积分中的应用、在解决极值问题的应用、在分块矩阵中的应用、在线性方程组中的应用、在欧式空间中的应用、在物理力学中的应用等，而且它在理论研究中也有很大的实用价值，它不仅正数学学科中用到，在其他数学延伸学科中物理和工程学中也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式一一解答。
关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵
二次型
2007-029-8
设mnA是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵.BEAA 证明：当0时，矩阵B为正定矩阵。
2007-029-9
已知二次曲面方程为2221231213232554481.xxxxxxxxx（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵8111181111811118A
(1)求二次型432143214321),,,(),,,(xxxxAxxxxxxxxf;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321xxxxf为标准型;
(3)证明AT),(定义了4R上的内积,其中,是4R的列向量,T是的转置,并求在该内积下4R的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B使得ABk,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...nnnfxxxxxxxxx求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(xxxxxxxxxxxxf的规范形及符号差。
2007-001（A）-1
化二次型123122313,,222fxxxxxxxxx为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型313221232221321222),,(xaxxxxxxaxxxxxf的正负惯性指数都是1，则a= .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A是n级实对称矩阵，ABABT是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
2007-031-6
设A为n阶正定矩阵，n,,,21为实n维非零列向量，当ji时有0'jiA，证明： n,,,21线性无关.
二次型
2007-029-8
设mnA是实矩阵，E为n级单位矩阵。已知矩阵.BEAA 证明：当0时，矩阵B为正定矩阵。
2007-029-9
已知二次曲面方程为2221231213232554481.xxxxxxxxx（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？
2007-008-8
已知矩阵8111181111811118A
(1)求二次型432143214321),,,(),,,(xxxxAxxxxxxxxf;
(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321xxxxf为标准型;
(3)证明AT),(定义了4R上的内积,其中,是4R的列向量,T是的转置,并求在该内积下4R的一组标准正交基.
(4)求实对称矩阵B使得ABk,其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)
2007-021-7
121234212(,,...,)...nnnfxxxxxxxxx求二项式的秩和正负惯性指数之差.
2007-012-2
求实二次型 3241312143212422),,,(xxxxxxxxxxxxf的规范形及符号差。
2007-001（A）-1
化二次型123122313,,222fxxxxxxxxx为标准型,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3）（填空题）
已知实二次型313221232221321222),,(xaxxxxxxaxxxxxf的正负惯性指数都是1，则a= .
2007-030-3（6）（计算与证明题）
设A是n级实对称矩阵，ABABT是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
2007-031-6
设A为n阶正定矩阵，n,,,21为实n维非零列向量，当ji时有0'jiA，证明： n,,,21线性无关.
正定二次型的判别方法
正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。设二次型为
\[ q(x) = x^T A x \]
x为n维列向量，A为对称矩阵。A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：
1. 判断A的特征值是否全为正数。A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。则对于任意非零向量x，有
\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]
Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ...,
λn。
令y=Q^T x，则有
\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]
由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有
\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]
所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即
\[ A = Q \Lambda Q^T \]
Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。 以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。而当A不是实对称矩阵时，需要使用顺序主子式来判断正定性。
