川大版高数_物理类专用_第三册_

第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

答案振动(一)一、选择题BCBDA二、填空题1．解：φ2－φ1 = φ3－φ2=2π/3旋转矢量图见图 振动曲线见图2. )212/5cos(1022π-⨯=-t x (SI)3. 0，9.4 cm/s4. x 1曲线见图x 2曲线见图5. 0.1m ,rad/s,63ππ三、计算题1. 解：(1) m 2A ATπω==v ，∴周期m2 4.2s A T π==v(2) 2222m m 4.510m/s a A Aω-===⨯v(3) 当0x =时，从振幅矢量图可知，初相2πϕ=m 1.5r a d /sAω==v ∴振动函数为2210cos(1.5)m 2x t π-=⨯+TT1T 5ω x12T 1212. 解：弹簧劲度系数 260 2.010N /m 0.3F k x===⨯ 静止时弹簧伸长量为 0249.80.196m 2.010m g x k⨯===⨯(1) 设向下为正方向，则 0ϕ= （若设向上为正方向，则 ϕπ=）；0.1mA =7.07r a d /sω== 振动函数为 0.1cos(7.07)m x t =(2) 物体在平衡位置上方5cm （即0.05m ），此时弹簧的净伸长为 00.050.1960.050.146m l x =-=-=弹簧对物体的拉力 2000.14629.2N F kl ==⨯=(3) 5cm 是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是112T ，2T πω=∴10.074s 126t T πω===3．解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容器回到O 点滴入下一油滴前， 水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后的相同。

依此，设容器第一次过O 点油滴滴入前的速度为v ，刚滴入第个油滴后的速度为v ′,则有 v v '+=)(nm M M ① 3分系统机械能守恒 2202121v M kl = ② 2分22)(2121v '+=nm M kx③ 2分由①、②、③、解出0)/(l nm M M x +=2分(2) 时间间隔( t n +1-t n )应等于第n 滴油滴入容器后振动系统周期T n 的一半．k nm M T t t t n n n n /)(211+==-=∆+π 3分4．解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒， ∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+= 由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分 25c o s/==φx A cm 1分∴ 振动方程 )434c o s (10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2)速率 )434s i n (41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==tx v m/s 1分5*．解：令θ 为杆和竖直线之间的夹角．运动方程为：θθθθc o s s i n s i n 21/d d 222kL MgL t J --= 3分θ 很小时，sin θ ≈θ ，cos θ ≈1所以：0/d d )21(222=++tJ kL MgL θθ 2分上式中231ML J =是杆绕其一端的转动惯量，所以0/d d 31)21(22=++tML Lk Mg θθ可知杆作角谐振动，并得到 )2/()2(3ML kL Mg +=ω2分)2(322/2kL Mg ML T +π=π=ω 1分振动(二)一、选择题ADDBB二、填空题 1．T /8，3T /8 2．222/2T mA π3．动能曲线见图 势能曲线见图 机械能曲线见图4．0.02 5．0三、计算题1.解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =．选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得T220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得0//d d 022=+l gx t x∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分 π===1.958.28/0l g ω 2分设振动表达式为 )c o s (φω+=t A x由题意： t = 0时，x 0 = A=2102-⨯m ，v 0 = 0，解得 φ = 0 1分∴ )1.9c o s (1022t x π⨯=- 2分2．解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则0)(0=+-+∆x l k mg F解得F = kx 02分 由题意，t = 0时v0 = 0；x = x 0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 Tπ=2ω, 2ωm k =∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分 (2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分 221007.121-⨯==vm E K J 2分2222)/4(2121x T m kxE p π=== 4.44³10-4J 1分解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ），kA F = 2分2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分(2) 总能量 221011.12121-⨯===FA kAE J 2分当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ， 41044.425/-⨯==E E p J 1分3．解：(1) 选地心为x 坐标原点，向上为x 轴正方向．质量为m 的物体在地球内部距地心为x 处受到的地心引力为232/)3/4(/x m x G x G M m F ρπ-=-=3/4x Gm ρπ-= 3分由牛顿第二定律得 xm x Gm =π-3/4ρ， 03/4=π+x G xρ 1分 令 3/420ρωG π=， 则 020=+x x ω． 显然物体作简谐振动． 2分(2) 2/10)/3(4/32/2ρρωG G T π=ππ=π=已知 G = 6.67³10-11 N ²m 2²kg -2，ρ = 5.5³103 kg/m 3代入上式 T = 5.07³103 s 2分 物体从地面落到地心的时间 t = T /4 = 1.27³103 s 2分4．解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为 t A x π=4c o s (SI)t A xπ4c o s π162-= (SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg =- ① 1分 t A mg xm mg N ππ+=-=4cos 162 (SI) ②物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)t ππ--=4c o s 28.16.192 ③ 2分 (2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分 04c o s 162=ππ+t A mg (SI) Aq t 2164cos π-=π 1分若能脱离必须 14cos ≤πt (SI) 即221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分5．解：依合振动的振幅及初相公式可得 φ∆++=c o s 2212221A A A A A 22210)4143cos(65265-⨯π-π⨯⨯⨯++=m21081.7-⨯= m 2分)4/c o s (6)4/3c o s (5)4/s i n (6)4/3s i n (5a r c t g π+ππ+π=φ = 84.8°=1.48 rad 2分则所求的合成振动方程为 )48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI) 1分波动（一）一、选择题CBDCD 二、填空题1．φλ+π-/2Lλk L ± ( k = 1，2，3，…) λ)12(21+±k L ( k = 0, 1，2，…)2．1cos x y A t u ωϕ⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3. ]4/)/(cos[11π+-=u L t A y ω；uL L )(21+ω4. ]2)2(2cos[π-+-π=ux t uA y λ]2)2(2c o s [π+-π=t uA y P λ5．0.2cos m 22p y t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭三、计算题1. 解：反射波在x 点引起的振动相位为 π+π--+π-=+21)55(4x t t φωπ-π+π+=10214x t 3分反射波表达式为)10214cos(01.0π-π+π+=x t y (SI) 2分或 )214c o s (01.0π+π+=x t y (SI)2．解： λxu t A y -π=2c o s = -0.01 m 1分1.0,2d d ===t x ty v 0)2s i n (2=-ππ-=λλxut uA 2分22d d ty a =)2c o s ()2(2λλxut uA -ππ-= = 6.17³103m/s 22分3．解：用旋转矢量解此题，如图可得A为代表P 点振动的旋转矢量. 210)cos sin 3(21-⨯-=t t y P ωω210)]cos()21cos(3(21-⨯π++π-=t t ωω)3/4c o s (1012π+⨯=-t ω (SI)． 3分波的表达式为：]2/234c o s [1012λλω-π-π+⨯=-x t y )312c o s (1012π+π-⨯=-λωxt (SI) 2分4．解：从y －x 波形图中可知 40m,A λ==由振幅矢量图可知 ,2P Q πϕϕπ=-=)由20m/s u =可得 2s,rad/s T uλωπ==∴=0.2cos()m20.2cos()mP Q y t y t ππππ∴=-=+5．解：(1) 由y －x 曲线可知160m λ=。

川大版高数-物理类专用-第三册-答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。

我在大学本科学习的高数，遗憾的是物理考研不考高数，所以本人对所学的高数书很有感情，总渴望能有个习题集啊，作为物理系学生数学的一个总结，更自信的面对理工科的高数！我们学得比他们还要好，对么？？
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习题十一1.一门高射炮向敌机连发三炮，每炮击中敌机的概率为0.9.设X 表示击中敌机的炮弹数，求EX ，DX .解：依题得：33()0.90.1,0,1,2,3k k k p x k C k -=== 所以X 的分布律为：所以：()22222200.00110.02720.24330.729 2.7()00.00110.02720.24330.729 2.70.27EX DX E X EX EX EX =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=2．设随机变量X 具有分布律1{}(0,1,2,)!k P X k p k ek ==== ，求EX解：00001111111!(1)!!k k k k k k EX x p k e ek e k e k e +∞+∞+∞+∞======⋅===⋅=-∑∑∑∑ 注：从题看出，X 服从1λ=的泊松分布（P327）。

3.解：()()00.410.320.230.1100.310.520.2300.9E E =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=甲乙4.设随机变量X 服从下列分布，求EX ，DX .（2）Γ分布10,0,()(0,0),0()p p bx x p x b p b x e x p --≤⎧⎪=>>⎨>⎪Γ⎩均为常数解：+0++100100()()()11()()11(1)()()()()p pp bxp bx pp p p t tp EX xp x dxb b x x e dx x e dxp p b t b bx t e dt t e dt p b b b p p p p p b p b p b∞∞∞---+∞+∞--+===ΓΓ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ΓΓ⎝⎭=⋅Γ+=⋅Γ=ΓΓ⎰⎰⎰⎰⎰伽马函数的性质同理得：22(1)p p EX b+=所以：()222p DX EX EX b=-=5.设随机变量X 的概率密度为(),,xp x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）系数A ；（2）EX ；（3）DX 解：0(1)()21xx xxp x dx Ae dx Ae dx Ae Ae A +∞+∞--+∞-∞-∞-∞=+=-==⎰⎰⎰所以12A =000(2)()1111(11)02222x x x x EX xp x dxx e dx x e dx xe dx xe dx +∞-∞+∞+∞---∞-∞=⎡⎤=⋅+⋅=+=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰22202220(3)()1()22x x DX EX EX EXx p x dx x e dx x e dx +∞+∞--∞-∞=-=⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 7. 设随机变量X 服从几何分布，即分布律为：1{}(1,2,)(01,1),k k P X k p pq k p q p -====<<=-试求EX ，DX . 解：1121112222122222111(1)1111()k k k k k k k k k k p EX kp kpqp kq q pq q DX EX EX k p p k q p p p p p +∞+∞+∞--===+∞+∞-=======-+=-=-=-=-=∑∑∑∑∑8.设随机变量X 的概率密度为23,01,()0,.x x p x ⎧≤≤=⎨⎩其它 (1)4;(2)XY X Y e -==求的数学期望.解：1130(1)(4)44()433;EY E X EX xp x dx x dx =====⎰⎰1112210(2)(()33615Xxxx EY E e e p x dx x e dx x de e -----===-=-⎰⎰⎰)=10.设随机变量12X X ，的概率密度分别为1212,3,1212120,30,()()0,0,0,0.x x X X e x e x p x p x x x --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩ 求21212(),(3)E X X E X X +-.解：123121211220014()3133x x E X X EX EX x e dx x e dx +∞+∞--+=+=+⋅=+=⎰⎰123222121211220(3)333211x x E X X EX EX x e dx x e dx +∞+∞---=-=-⋅=-=⎰⎰11. 设随机变量12X X ，相互独立，概率密度分别为2123211212214,01,0,()()20,0,0.x X X x x e x p x p x x -⎧⎧≤≤>⎪==⎨⎨⎩⎪≤⎩，其它求12()E X X解：21321212111220148()==42.255x E X X EX EX x x dx x e dx +∞-⋅⋅⋅=⨯=⎰⎰12.设随机向量(,)X Y 的概率密度为3,01,0,(,)0,x x y x p x y <<<<⎧=⎨⎩其它.求()E XY 解：()11240033()33210xE XY xy xdxdy x ydy dx x dx +∞+∞-∞-∞=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰14.解：由题得，01EY DY EZ DZ σ====，，,222222242(538)5385520(538)259259EV E X Y Z EX EY EZ EX aDV D X Y Z DX DY DZ aσ∴=+-+=+-+=+=+=+-+=++=++15.设随机变量12,,n X X X 相互独立，且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ，求这些变量的算术平均值11ni i X X n ==∑的数学期望及方差。

川大版高数第三册答案(1)第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。

∴偶排列与奇排列各占一半。

4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。