中考几何中的最值问题讲义及答案

问题分析从前有个少年外出求学.某天不幸得知老父亲病危的消息.便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”.虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地.但他义无反顾踏上归途.当赶到家时.老人刚咽了气.小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说.老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问.少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家.那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 模型展示：如图.一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1.在直线MN 上运动的速度为V 2.且V 1<V 2.A 、B 为定点.点C 在直线MN 上.确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.记12V k V =. 即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin∠DAN =k .CH /AC =k .CH =kAC ．V 1V 2V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA几何最值之胡不归问题方法技巧将问题转化为求BC +CH 最小值.过B 点作BH ∠AD 交MN 于点C .交AD 于H 点.此时BC +CH 取到最小值.即BC +kAC 最小．最值解法：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中.关键是构造与kPB 相等的线段.将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．【例1】如图.平行四边形ABCD 中.∠DAB =60°.AB =6.BC =2.P 为边CD 上的一动点.则32PB PD的最小值等于________．【解析】已知∠A =60°.且sin60°=32.故延长AD .作PH ∠AD 延长线于H 点. ABCDPMHP DCBAABCDPH M 题型精讲即可得3PH =.∠3PB =PB +PH ． 当B 、P 、H 三点共线时.可得PB +PH 取到最小值.即BH 的长.解直角∠ABH 即可得BH 长．【例2】（2021·重庆中考真题）在等边ABC 中.6AB =.BD AC ⊥ .垂足为D .点E 为AB 边上一点.点F 为直线BD 上一点.连接EF ．图1 图2图3（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG .连接FG ．∠如图1.当点E 与点B 重合.且GF 的延长线过点C 时.连接DG .求线段DG 的长； ∠如图2.点E 不与点A .B 重合.GF 的延长线交BC 边于点H .连接EH .求证：3BE BH BF +=；（2）如图3.当点E 为AB 中点时.点M 为BE 中点.点N 在边AC 上.且2DN NC =.点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动.将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP .连接FP .当12NP MP +最小时.直接写出DPN △的面积． 【答案】（1）21；∠见解析；（243【分析】（1）∠连接AG .根据题意得出∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形.从而可证明∠GBC ∠∠GAC .进一步求出AD =3.AG =BG =23然后利用勾股定理求解即可；∠以点F 为圆心.FB 的长为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .先证明出∠BFK 是顶角为120°的等腰三角形.然后推出∠FEB ∠∠FHK .从而得出结论即可；（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形.构造出12NP MP NP PJ +=+.当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件.然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN 与DN 的长度.即可得出结论． 【详解】（1）解：∠如图所示.连接AG .由题意可知.∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠GFB =60°. ∠BD ∠AC . ∠∠FBC =30°.∠∠FCB =30°.∠ACG =30°. ∠AC =BC .GC =GC . ∠∠GBC ∠∠GAC （SAS ）. ∠∠GAC =∠GBC =90°.AG =BG . ∠AB =6.∠AD =3.AG =BG =3 ∠在Rt ∠ADG 中.()222223321DG AD AG =+=+=∠21DG =∠证明：以点F 为圆心.FB 的长为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .如图. ∠∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠ABC =60°.∠EFH =120°. ∠∠BEF +∠BHF =180°. ∠∠BHF +∠KHF =180°. ∠∠BEF =∠KHF .由辅助线作法可知.FB =FK .则∠K =∠FBE . ∠BD 是等边∠ABC 的高. ∠∠K =∠DBC =∠DBA =30°. ∠∠BFK =120°. 在∠FEB 与∠FHK 中.FEB FHK FBE KFB FK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠FEB ∠∠FHK （AAS ）. ∠BE =KH .∠BE +BH =KH +BH =BK . ∠FB =FK .∠BFK =120°. ∠BK 3BF .即：3BE BH BF +=；（2）如图1所示.以MP 为边构造∠PMJ =30°.∠PJM =90°.则PJ =12MP . ∠求12NP MP +的最小值.即为求NP PJ +的最小值.如图2所示.当运动至N、P、J三点共线时.满足NP PJ+最小.此时.连接EQ.则根据题意可得EQ∠AD.且EQ=12 AD.∠∠MEQ=∠A=60°.∠EQF=90°.∠∠PEF=60°.∠∠MEP=∠QEF.由题意.EF=EP.∠∠MEP∠∠QEF（SAS）.∠∠EMP=∠EQF=90°.又∠∠PMJ=30°.∠∠BMJ=60°.∠MJ∠AC.∠∠PMJ=∠DNP=90°.∠∠BDC=90°.∠四边形ODNJ为矩形.NJ=OD.由题.AD=3.BD=33∠MJ∠AC.∠∠BMO∠∠BAD.∠14 BM BO MOBA BD AD===.∠OD=34BD93OM=34AD=94.设PJ=x.则MJ3.OJ3-9 4 .由题意可知.DN =23CD =2. 9324x -=. 解得：113x =. 即：PJ =11312. ∠93113434123PN =-=. ∠11434322233DPNSDN PN ==⨯⨯=． 【例3】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A .(3,0)B 两点.与y 轴交于点C .=3OC ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥.垂足为M .求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点.当PBC ∆面积最大时.求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点.问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在.求岀这个最小值；若不存在.请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：243y x x =-+.顶点(2,1)D -；(2)证明见解析；(3)点33,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)存在.12AQ QC +的最小值为233+． 【详解】(1)函数的表达式为：()()()2y a x 1x 3a x 4x 3=--=-+.即：3a=3.解得：a=1.故抛物线的表达式为：2y x 4x 3=-+. 则顶点D(2,1)-； (2)OB OC 3==.OBC OCB 45∠∠︒∴==.∠A(1,0).B(3,0).∠ OB=3.OA=1. ∠AB=2.∠AM MB ABsin452︒=== 又∠D(2.-1). ()()2221102-+--=∠AM=MB=AD=BD. ∠四边形ADBM 为菱形. 又∠AMB 90∠︒=.∴菱形ADBM 为正方形；(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n.将点B 、C 的坐标代入得：303m n n +=⎧⎨=⎩. 解得：13m n =-⎧⎨=⎩.所以直线BC 的表达式为：y=-x+3. 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N.设点()2P x,x 4x 3-+.则点N (x,x+3)-.则()()22ΔPBC 133S PN OB x 3x 4x 3x 3x 222=⨯=-+-+-=--. 302-<.故ΔPBC S 有最大值.此时3x 2=. 故点33P ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4)存在.理由：如图.过点C 作与y 轴夹角为30︒的直线CF 交x 轴于点F.过点A 作AH CF ⊥.垂足为H.交y 轴于点Q. 此时1HQ CQ 2=.则1AQ QC2+最小值=AQ+HQ=AH.在Rt∠COF中.∠COF=90°.∠FOC=30°.OC=3.tan∠FCO=FO CO.3.∠F(3利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y3x3=+…∠.∠∠COF=90°.∠FOC=30°.∠∠CFO=90°-30°=60°.∠∠AHF=90°.∠∠FAH=90°-60°=30°.3∠Q(0,3 ).利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：33 y x=+联立∠∠并解得：133 x4-=.故点13333H-+⎝⎭.而点A(1,0).则233+=AH.即1AQ QC2+的最小值为233+．1．如图.△ABC中.AB＝AC＝10.tanA＝2.BE∠AC于点E.D是线段BE上的一个动点.则55CD BD的最小值是______.【答案】B【详解】如图.作DH∠AB于H.CM∠AB于M．提分作业∠BE∠AC. ∠∠AEB=90°. ∠tanA=BEAE=2.设AE=a.BE=2a. 则有：100=a 2+4a 2. ∠a 2=20.5-25. 5∠AB=AC.BE∠AC.CM∠AB.5 ∠∠DBH=∠ABE.∠BHD=∠BEA. ∠5sin DH AE DBH BD AB ∠===. 55BD=CD+DH. ∠CD+DH≥CM. 55 5BD 的最小值为5 故选B ．2．在平面直角坐标系中.将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平移2个单位.得到如图所示的抛物线.该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧).1OA =.经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C .且与抛物线的另一个交点为D .ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方.求ACE ∆面积的最大值.并求出此时点E 的坐标；（3）若点P 为x 轴上任意一点.在(2)的结论下.求35PE PA +的最小值． 【答案】(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516.此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3. 【详解】解：(1)将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平移2个单位.得到的抛物线解析式为()212y a x =--. ∠1OA =.∠点A 的坐标为()1,0-. 代入抛物线的解析式得.420a -=.∠12a =. ∠抛物线的解析式为()21122y x =--.即21322y x x =--． 令0y =.解得11x =-.23x =.∠()3,0B . ∠4AB OA OB =+=. ∠ABD ∆的面积为5.∠152ABD D S AB y ∆=⋅=.∠52D y =. 代入抛物线解析式得.2513222x x =--.解得12x =-.24x =.∠54,2D ⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线AD 的解析式为y kx b =+.∠5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩.解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∠直线AD 的解析式为1122y x =+． (2)过点E 作EM y 轴交AD 于M .如图.设213,22E a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.则11,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∠221113132222222EM a a a a a =+-++=-++. ∠112ACE AME CME S S S EM ∆∆∆=-=⨯⋅()22113121342224a a a a ⎛⎫=-++⨯=--- ⎪⎝⎭.213254216a ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∠当32a =时.ACE ∆的面积有最大值.最大值是2516.此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)作E 关于x 轴的对称点F .连接EF 交x 轴于点G .过点F 作FH AE ⊥于点H .交x 轴于点P . ∠315,28E ⎛⎫-⎪⎝⎭.1OA =. ∠35122AG =+=.158EG =.∠5421538AG EG ==. ∠90AGE AHP ∠=∠=. ∠3sin 5PH EG EAG AP AE ∠===.∠35PH AP =. ∠E 、F 关于x 轴对称.∠PE PF =.∠35PE AP FP HP FH +=+=.此时FH 最小. ∠1515284EF =⨯=.AEG HEF ∠=∠. ∠4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF ∠=∠===. ∠415354FH =⨯=． ∠35PE PA +的最小值是3．3．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数.0b >）经过点(1,0)A -.点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时.求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上.当AM AD =.5m =时.求b 的值； （∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上.22AM QM +332.求b 的值． 【答案】（∠）(1,4)-；（∠）321b =-；（∠）4b =. 【详解】解：（∠）∠抛物线2y x bx c =-+经过点(1,0)A -.∠10b c ++=．即1c b =--．当2b =时.2223(1)4y x x x =--=--.∠抛物线的顶点坐标为(1,4)-．（∠）由（∠）知.抛物线的解析式为21y x bx b =---． ∠点(,)D D b y 在抛物线21y x bx b =---上.∠211D y b b b b b =-⋅--=--．由0b >.得02bb >>.10b --<. ∠点(,1)D b b --在第四象限.且在抛物线对称轴2bx =的右侧． 如图.过点D 作DE x ⊥轴.垂足为E .则点(,0)E b ． ∠1AE b =+.1DE b =+．得AE DE =． ∠在Rt ADE ∆中.45ADE DAE ︒∠=∠=． ∠2AD AE =． 由已知AM AD =.5m =. ∠5(1)2(1)b --=+． ∠321b =．（∠）∠点1(,)2Q Q b y +在抛物线21y x bx b =---上. ∠2113()()12224Q b y b b b b =+-+--=--． 可知点13(,)224b Q b +--在第四象限.且在直线x b =的右侧． 2222()QM AM QM +=+.可取点(0,1)N . 如图.过点Q 作直线AN 的垂线.垂足为G .QG 与x 轴相交于点M . 有45GAM ︒∠=.2AM GM =. 则此时点M 满足题意． 过点Q 作QHx ⊥轴于点H .则点1(,0)2H b +．在Rt MQH ∆中.可知45QMH MQH ︒∠=∠=．∠QH MH =.2QM MH =． ∠点(,0)M m . ∠310()()242b b m ---=+-．解得124b m =-． 332224AM QM +=. 1113322[()(1)]22[()()]242244b b b ---++--=． ∠4b =．4．如图.已知抛物线y x ＋2）（x ﹣4）（k 为常数.且k ＞0）与x 轴从左至右依次交于A.B 两点.与y 轴交于点C.经过点B 的直线y x ＋b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为﹣5.求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P.使得以A.B.P 为顶点的三角形与∠ABC 相似.求k 的值；（3）在（1）的条件下.设F 为线段BD 上一点（不含端点）.连接AF.一动点M 从点A 出发.沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F.再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时.点M 在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点F 坐标为（﹣）时.点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）.令y＝0.解得x＝﹣2或x＝4.∠A（﹣2.0）.B （4.0）．∠直线经过点B（4.0）.∠×4＋b＝0.解得b＝.∠直线BD解析式为：当x＝﹣5时.y＝.∠D（﹣）．∠点D（﹣）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上.∠5＋2）（﹣5﹣4）＝.∠．∠抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式.令x＝0.得y＝﹣k.∠C（0.﹣k）.OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上.所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似.只可能是∠ABC∠∠APB或∠ABC∠∠PAB．∠若∠ABC∠∠APB.则有∠BAC＝∠PAB.如答图2﹣1所示．设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB.即：.∠．∠P（＋k）.代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4）.得x＋2）（x﹣4x＋k.整理得：x2﹣6x﹣16＝0.解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.∠P（8.5k）．∠∠ABC∠∠APB.∠..．∠若∠ABC∠∠PAB.则有∠ABC＝∠PAB.如答图2﹣2所示．设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB.即：.∠．∠P（x.x＋）.代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4）.得x＋2）（x﹣4x.整理得：x2﹣4x﹣12＝0.解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.∠P（6.2k）．∠∠ABC∠∠PAB..∠.解得.∠k＞0.∠.综上所述.或．（3）作DK∠AB.AH∠DK.AH交直线BD于点F.∠∠DBA＝30°.∠∠BDH＝30°.∠FH＝DF×sin30°.∠当且仅当AH∠DK时.AF＋FH 最小.点M在整个运动中用时为：.∠l BD：.∠F X＝A X＝﹣2.∠F（﹣）.。

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）P的坐标为（4，2）或（55，455）或P（﹣55，﹣455）或（165，85）；（Ⅲ）325．【解析】分析：（Ⅰ）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．详解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=12 x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，12 a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（12a）2=54a2，PC2=a2+（4-12a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则54a2=a2+（4-12a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则54a2=16，解得a=±855，即P（855，455）或P（-855，-455）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-12a）2=16，解得a=0（舍），或a=165，即P（165，85）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（855，455）或P（-855，-455）或（165，85）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=12DE×BD=12BE×DG，∴DG=12=5 DE BDBE⨯，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=125+4=325．即：AM+MN的最小值为325．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）t=32时，△P AD的面积的最大值为278；（4）t 15 +.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-32）2+94，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由S△P AD=12×PM×（x D-x A）=32PM，推出PM的值最大时，△P AD的面积最大；（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△P AD是直角三角形，推出PK=12AD，可得（t-32）2+（-t2+2t+3-32）2=14×18，解方程即可解决问题；试题解析：（1）把点B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，则有30 4233 a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得12ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直线AD解析式为y=﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+94，∴当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）∵S△P AD=12×PM×（x D﹣x A）=32PM，∴PM的值最大时，△P AD的面积中点，最大值=32×94=278．∴t=32时，△P AD的面积的最大值为278．（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．∵△P AD 是直角三角形，∴PK =12AD ， ∴（t ﹣32）2+（﹣t 2+2t +3﹣32）2=14×18， 整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）=0， 解得t =0或3或15±， ∵点P 在第一象限， ∴t =1+5. 类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线ky x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩，4k =；（2）存在，1 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，2 1.5,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3 1.5,22P ⎛--- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，()5 1.5,0.5P --；（3）12【解析】 【分析】（1）由点A 在双曲线上，可得k 的值，进而得出双曲线的解析式．设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)，过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ．根据AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形=3解方程即可得出k 的值，从而得出点B 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论； （2）抛物线对称轴为 1.5x =-，设()1.5,P y -，则可得出2PO ；2OB ；2PB ．然后分三种情况讨论即可； （3）设M (x ，y )．由MO =MA =MB ，可求出M 的坐标．作B 关于y 轴的对称点B '．连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．用两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）由()1,4A 知：k =xy =1×4=4， ∴4y x=． 设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)． 过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ，则S △AOP =S △BOQ =2．AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形()()14414102AOP QOB m S S m m ∆∆⎛⎫⎛⎫=---+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242224m m m ⎛⎫⎛⎫=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22m m=- 令：223m m-=， 整理得：22320m m +-=， 解得：112m =，22m =-． ∵m ＜0， ∴m =-2， 故()2,2B --．把A 、B 带入2y ax bx =+2424a ba b -=-⎧⎨=+⎩解出：13a b =⎧⎨=⎩，∴23y x x =+．（2）223( 1.5) 2.25y x x x =+=+- ∴抛物线23y x x =+的对称轴为 1.5x =-．设()1.5,P y -，则2294PO y =+，28OB =，()22124PB y =++．∵△POB 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①22PO OB =，即2984y +=，解得：2y =±，∴1 1.5,P ⎛- ⎝⎭，2P ⎛- ⎝⎭；②22PB OB =，即()21284y ++=，解得：22y =-±，∴3 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭；③22PB OP =，即()2219244y y ++=+，解得：0.5y =- ∴()5 1.5,0.5P --； （3）设(),M x y ．∵()1,4A ，()2,2B --，()0,0O ，∴222MO x y =+，()()22214MA x y =-+-，()()22222MB x y =+++．∵MO MA MB ==，∴()()()()222222221422x y x y x y x y ⎧+=-+-⎪⎨+=+++⎪⎩ 解得：11272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴117,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭． 作B 关于y 轴的对称点B '坐标为：(2，-2)． 连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．BQM C MQ BQ MB ∆=++MQ QB MB '=++=MB '+MB222211711722222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13461702=+．【名师点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M 的坐标． 【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【解析】 【分析】（1）由已知可求A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3），即可求BC 的解析式；（2）由已知可得∠QMH ＝∠CBO ，则有QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，所以△MHQ 周长＝3QM ，则求△MHQ周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233384m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+，交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，可求出()23=410MQ m m -+，当m ＝2时，MQ 有最大值65；函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '，|AR ﹣MR |的最大值为AM '；求出AM '的直线解析式为332y x =+，则可求912R ⎛⎫⎪⎝⎭，； （3）有两种情况：当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '；当OT ⊥BC 时，分别求解即可． 【详解】解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧 ∴A （﹣2，0），B （4，0）， 令x =0解得y =3， ∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3， 将B 点坐标代入解得k =34- ∴BC 的解析式为y ＝-34x +3；（2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴， ∴∠QMH ＝∠CBO ， ∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ，则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值； 设M （m ，233384m m -++）， 过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+， 直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，∴()23=410MQ m m -+， ∴当m ＝2时，MQ 有最大值65， ∴△MHQ 周长的最大值为185，此时M （2，3）， 函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '， ∴|AR ﹣MR |的最大值为AM '； ∵AM '的直线解析式为y ＝32x +3， ∴R （1，92）； （3）①当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '， ∵△OCT ≌△OTC '， ∴3412=55OG ⨯＝， ∴12655T ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴BT ＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．【点睛】本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为94，E（32，﹣34）．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E），即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y =ax 2+bx +2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD =BD ，即可求y 的值；（3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，- 103）或M （-2，-103）； 【详解】解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++，可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++；∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B Q ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+， ∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠QCD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+ 14y ∴=，11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭； （3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=， ∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--Q 矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F Q ，111•222CEF S EQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅-V()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯---224233y x x =-++Q ，21736CEF S x x ∆∴=-+∴当74x =时，面积有最大值是4948，此时755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形， 设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x+=2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=2x ∴=， ()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x+=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫--⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【新题训练】1．如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M (4，m )是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F 、E 的坐标．【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．【详解】解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①，第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，∴当n＝时，线段ND长度的最大值是；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴，解得，∴y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，即点E坐标为(0，)，当y＝0时，x＝，即点F坐标为(，0)，故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.【答案】（1）4；（2）（3）面积不变，S△ACB’=（4）【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.【详解】(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=P A=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B、B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°，∴BB，故答案为(3)如图3，结论：面积不变.过点B作BE⊥AC于E，则有BE=AB·sin60°=3843⨯=，∴S△ABC=1184322AC BE=⨯⨯g=163，∵B、B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=163；(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，P A=2，∠P AE=60°，∴PE=P A·sin60°=3，∴B′E=B′P+PE=6+3，∴S△ACB最大值=12×(6+3)×8=24+43.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【答案】(1)点C的坐标为(2，3；(2)OA＝2；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD 5．【解析】【分析】(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝12CD＝2，DE2223CD CE-=OAD＝30°知OD＝12AD＝3，从而得出点C坐标；(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝212知S△ODM＝92，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，12xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得CD DM CM ON MN OM==，据此求得MN＝95，ON＝125，AN＝AM﹣MN＝65，再由OA22ON AN+cos∠OAD＝ANOA可得答案．【详解】(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝12CD＝2，DE22CD CE＝3，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝12AD＝3，∴点C的坐标为(2，3)；(2)∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝212，∴S△ODM＝92，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，12xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝2(负值舍去)，∴OA＝2；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM22CD DM+5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴CD DM CMON MN OM==，即4353ON MN==，解得MN＝95，ON＝125，∴AN＝AM﹣MN＝65，在Rt△OAN中，OA2265 5ON AN+=，∴cos∠OAD＝5 ANOA=．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O 停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =334t2；②当1＜t≤43时，S =﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为32【解析】【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．【详解】（1）令y=0，∴﹣23x+4=0，∴x=6，∴A（6，0），当t=13秒时，AP=3×13=1，∴OP=OA﹣AP=5，∴P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，∴AP=12OQ=3，∴t=3÷3=1，①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，在Rt△AOB中，tan∠OAB=2=3 OBOA，由运动知，AP=3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ=AP=3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN=PQ=3t，在Rt△APD中，tan∠OAB=233 PD PDAP t==，∴PD=2t，∴DN=t，∵MN∥OA∴∠DCN=∠OAB，∴tan∠DCN=23 DN tCN CN==，∴CN=32t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣12t×32t=334t2；②当1＜t≤43时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=32t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣12t×32t=﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=12（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），∴M（6-6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6-93,22t t），∴点T是直线y=-13x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG=6，∵A（6，0），∴AG2，在Rt△ABG中，OA=6=OG，∴∠OAG=45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN=90°，∴∠ANP=45°，∴∠TNA=90°，即：TN⊥AG，∵T 正方形PQMN 的对角线的交点， ∴TN =TP ， ∴OT +TP =OT +TN ，∴点O ，T ，N 在同一条直线上（点Q 与点O 重合时），且ON ⊥AG 时，OT +TN 最小， 即：OT +TN 最小，∵S △OAG =12OA ×OG =12AG ×ON ， ∴ON =OA OGAGn =32． 即：OT +PT 的最小值为32【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T 的位置是解本题（3）的难点．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值. 【答案】(1)3y x =+；(2)3；(3)APC ∆面积的最大值为278. 【解析】 【分析】（1）由题意分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标，再根据点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点P ，进而利用割补法求APC ∆面积；（3）根据题意过点P 作PE y P 轴交AC 于点E 并设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E的坐标为(),3+m m 进而进行分析. 【详解】解：(1) 分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标为()0,3C ；()30A -,； 将()0,3C ；()30A -,代入223y x x =--+，得到直线AC 的解析式为3y x =+. (2)由223y x x =--+，将其化为顶点式为2(1)4y x =-++，可知顶点P 为(1,4)-， 如图P 为顶点时连接PC 并延长交x 轴于点G ，则有S APC S APG S ACG =-V V V ，将P 点和C 点代入求出PC 的解析式为3y x =-+，解得G 为(3,0)， 所有S APC S APG S ACG =-V V V 11646312922=⨯⨯-⨯⨯=-=3；(3)过点P 作PE y P 轴交AC 于点E .设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E 的坐标为(),3+m m ∴()2233PE m m m =--+-+2239324m m m ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 当32m =-时，PE 取最大值，最大值为94.∵()1322APC C A S PE x x PE ∆=⋅-=，∴APC ∆面积的最大值为278. 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫-⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式； （2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可； （3）作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB , 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D ,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C =3∠ACB ,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标. 【详解】（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得253050a +-= 1a =-.∴265y x x =-+-；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则∵()5,0B∴OB =5， ∵Q 在BC 上，∴Q 的坐标为（x ，x -5），∴PQ =2(65)(5)x x x -+---=25x x -+， ∴12PBC S PQ OB ∆=⋅ =21(5)52x x -+⨯ =252522x x -+∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258S =，∴点P 坐标为515,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）如图1，作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB ,∵∠CAN =∠NAM 1, ∴AN =CN ,∵265y x x =-+-=-(x -1)(x -5),∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5）， 设N 的坐标为（a ,a -5），则∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+，∴a =136, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918，AC 2=26，∴22169113182636 ANAC=⨯=，∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，∴∆NAM1∽∆A C M1,∴11AMANAC CM=,∴21211336AMCM=,设M1的坐标为（b,b-5），则∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b-+-=+-+,∴b1=7823，b2=6(不合题意，舍去)，∴M1的坐标为7837(,)2323-，如图2，作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,易知∆ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），∴M2横坐标=7860232323⨯-=，M2纵坐标=37552(2)()2323⨯---=-，∴M2的坐标是6055(,)2323-，综上所述，点M的坐标是7837(,)2323-或6055(,)2323-.【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1【解析】【分析】（1）由点B与点C关于直线x＝1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质可求出b值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA＝OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，∴﹣＝1，解得：b＝2．（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，∴点A的坐标为（0，﹣）．又∵OB＝OA，∴点B的坐标为（﹣，0）．将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，解得：b＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴点P的坐标为（，﹣）．当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1，∴点C的坐标为（1，0）．∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．当≥1，即b≥2时，如图1所示，y最大＝b+，y最小＝﹣b+，∴h＝2b；当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，∴h＝1+b+＝（1+）2；当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，y最大＝﹣b+，y最小＝b+，h＝﹣2b．综上所述：h＝，h存在最小值，最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数图象以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出b的值；（2）利用二次函数图象上的坐标特征及配方法，求出点B，C，P的坐标；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况，找出h关于b的关系式．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．。

几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解； 求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（两个定点） 垂线段最短（一个定点、一条定直线）三角形三边关系（两边长固定或其和、差固定）lB'BAPlB'ABP线段和差、 周长最值 几何变换、 等线段转移 构建三角形线段最值 ① 折转直；②集中线段长； ③目标线段转化为相关线段. 转化 P A +PB 最小， 需要点在异侧|P A -PB |最大， 需要点在同侧1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁ACQP ED CBA第1题图 第2题图2. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .3. 如图，在锐角△ABC 中，42AB ，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为___________．NMABDCQPKDCBA第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 .5. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxP ABDCD'C'B'第5题图 第6题图6. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合），分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．ABCDPMNxOABy第7题图 第8题图8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．ABCE FPM ABCDP第9题图 第10题图10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.A BO PxyA DCB PQ A'第11题图 第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ． （1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？AB C D P FE D CBAA BCD EFP14. 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； （2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由.15. 如图，已知平面直角坐标系中A ，B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）. （1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝________时，△P AB 的周长最短；（2）若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝________时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.BA Ox y（3）BA Ox y（2）（1）yx OA BABCDEM N1. 15 2．22 3．4 4．3 5．74 6．2，27．58．39．12510．5 11. 3+112．213．(1)8434-≤≤PD ；(2) 458-14．(1)点M 在BD 的中点时，AM+CM 的值最小；（2）点M 在EC 与BD 的交点处时，AM+BM +CM 的值最小15．（1）72；（2）54；（3）55,23==-m n初中数学试卷灿若寒星制作。

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 1V 2V 1驿道砂石地AB C V 2V 1M N CBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。

1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。

中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。

中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。

【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变(湖北赛区选拔赛试题)； 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．⌒注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．(永州市竞赛题)思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．⌒注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ． (江苏省竞赛题)2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．(湖北省黄冈市竞赛题)3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．22C ．2D ．13- (湖北省荆州市中考题)5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+(贵阳市中考题)6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定(桂林市中考题)7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． (1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．(加拿大数学奥林匹克试题)9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( ) A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．(全国初中数学联赛试题)13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU 相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．( “弘晟杯”上海市竞赛题)14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题)15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．(北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。

xyBOMAxy CEO'BOMAD系列一：最值问题（1）—两线段之和的最值一、 【背景分析】 几何问题中的线段之和最值问题是中考复习问题常见情形，除了要运用最基本的“将军饮马”的原理之外，它最明显的特征：紧紧围绕“将军饮马”原理可以包含多种初中阶段的常用知识点，在不同的背景中，如直角坐标系中，各种特殊平行四边形，或圆中，可以全方位的考察必考知识点和常用方法，能有效考察学生对知识方法的分析能力，作图能力，计算能力等，故需要进行相应程度的训练与巩固。

二、 基本原理呈现:问题：已知在直线l 外有两定点A ，B ，试在l 上寻找点O ，使得AO ＋OB 的长度最短。

作法： ①从点A 作关于直线l 的对称点A'，连接A'B 与直线l 相交于点O ；②此时AO ＝A'O ，即AO ＋OB ＝A'O ＋OB ＝A'B ，根据“两点之间线段最短”可知此时AO ＋OB 的长度最短。

③点O 即为所求。

步骤简述：作对称点，连接产生交点。

三、课堂例题精讲例1则BO+BA 的最小值是 。

（图1） （图2）结合知识点：全等构造，勾股定理，一次函数直线思路与解析：如图2，过点B 作BC 垂直y 轴与点C ，构造“K 型”△BC M ≌△表示出点B （m,m+8），得出B 点运动路径为一次函数直线y=x +8，根据上ACAG述原理，作点O 关于直线y=x +8的对称点，再构建Rt △O ，EA 求出BO+BA 的最小值= O ，A=5816822=+。

【点评】：本题的难点之处是需分析出点B 的运动轨迹例2、已知如图3，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AD=3，点E 、F 分别是AB ，AC 上的动点，且满足AE=CF ，则DE+DF 的最小值为（图3） （图考察点：全等构造，最值，对称，勾股定理思路与解析：如图4，因AE=CF 和30° ，在AC 上取点G ，使AG=AD=DC ，连GE ，易证：△DFC ≌△GEA ，通过构造全等形成转换，DF=EG ，因G 为定点，作点G 关于的对称点，连接DG ，，故DE+DF 的最小值转为熟悉的“将军饮马”ED+EG 的最小值=DG ，=233322=+。

几何中的最值问题一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）llBPA +PB 最小，需转化，使点在线异侧|PA -PB |最大， 需转化，使点在线同侧二、精讲精练1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．蜂蜜蚂蚁CNO第1题图 第2题图2.3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .QP ED CBAQPKDCBA第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为.5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．第5题图 第6题图6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．ABCDPMN第7题图 第8题图 8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M为EF 中点，则AM 的最小值为_________．ABCE FPM ABCDP第9题图 第10题图10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．A DCB PQ A'第11题图 第12题图12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．（1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ； （2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 .14. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．A'NMCBAA B CDP FE D CBA A BCD EFP【参考答案】1. 152．63．45．74 6．（73，0） 7．5 8．39．12510．5 11. 12．213．(1)84-≤PD ；(2) 814. 4。