中考数学最值问题总结(含强化训练)

2021年重庆中考复习最值问题专题训练二类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值．2、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和CG，则 CG 的最小值为．3、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝12，AB ＝10，点E 在AD 上，且AE ＝4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .A例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．例5、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE的最大值为 ．练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C的最小值为．练习:如图，在矩形ABCD中，AB =1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为.类型七：利用基本不等式求最值2021年重庆中考复习最值问题专题训练二类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，（即将△EAF绕点E逆时针旋转60°得△ENG）作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM ＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC ＝＝22、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .A解：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC ＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．解析：如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连接EP ，CD ，∴△ABP ≌△DBE ∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ，∴△BPE 是等边三角形 ∴EP ＝BP ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ,∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA +PB +PC 有最小值CD∵∠ABC ＝30°＝∠ABP ∠+PBC ,∴∠DBE ∠+PBC ＝30°,∴∠DBC ＝90°,∴CD＝＝. 练习如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC的最小值是 ．解：由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形，∴PC ＝PF ，∵PB ＝EF ， ∴PA +PB +PC ＝PA +PF +EF ，∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA +PB +PC 的值最小， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴tan ∠ACB＝＝，∴∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝4，∵∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∴AE＝＝2．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE+EC ＝1+＝，CG 的最小值为． 练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE ＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE +EC ＝＝，故答案为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．F解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG上，作CM ⊥HG ，则CM即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE EC ＝12+3、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝12，AB ＝10，点E 在AD 上，且AE＝4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ∠+B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ＝4，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ） ∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线， ∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝4，HM ⊥AD ， ∴EM ＝2，MH ＝EM ＝2，∴线段GD 长度的最小值为2，类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为.A解：过E 作EF ⊥AC 于点F . 则∠EFD ＝90°，∵090ACB ∠=，∴∠EFD=∠C ，∵ED=DB ，∠FED =∠CDB ，∴△EFH ≌△EDC ， ∴DF ＝CB =2，EF CD =，设AD x =，则2AF x =+，5EF CD x ==-， ∴AE ===，∴当32x =时，AE 有最小值2. 例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为 ．解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE＝AM，∵∠ACB＝45°，∴△AMC为等腰直角三角形，∴AM＝MC，∴MC＝NE，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC＝90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF＝90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴＝，设DC＝x，∵∠ACB＝45°，，∴AM＝CM＝3，MD＝3﹣x ，∴＝，∴CF＝﹣x2+x，∴当x＝1.5时有最大值，最大值为0.75．例5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM 中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM ＝AC ＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE ＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE 有最大值为.练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF ＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3 .2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM 中，∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM ＝AC ＝2＝1，∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，∴S△BDE ＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，∴当BD＝1.5时，S△BDE 有最大值为，类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CAE解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F 上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．解法一：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH ＝AD＝，∴DE＝1，∴DE ＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．解法二：练习:如图，在矩形ABCD中，AB=，1BC=，将ABD∆沿射线DB平移到A B D'''∆，连接B C D C''、，则+B C D C''的最小值为.解法一：解法一：解法三：解法四：类型七：利用基本不等式求最值解：原式=1111+12a a++⨯=11+12a a a ++=2222+32a a a a +++=2232+32a a a a a ++-+=21+32a a a -+=112+3a a -+ 12a a +≥ ，1+35a a ∴+≥，11253a a ∴≤++，11253a a∴-≥-++， 14125+3a a∴-≥+.当2a a =，即a =45，此时2b =.。

专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ． △△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形． △BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小． 此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。

问题分析从前有个少年外出求学.某天不幸得知老父亲病危的消息.便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”.虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地.但他义无反顾踏上归途.当赶到家时.老人刚咽了气.小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说.老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问.少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家.那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 模型展示：如图.一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1.在直线MN 上运动的速度为V 2.且V 1<V 2.A 、B 为定点.点C 在直线MN 上.确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.记12V k V =. 即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin∠DAN =k .CH /AC =k .CH =kAC ．V 1V 2V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA几何最值之胡不归问题方法技巧将问题转化为求BC +CH 最小值.过B 点作BH ∠AD 交MN 于点C .交AD 于H 点.此时BC +CH 取到最小值.即BC +kAC 最小．最值解法：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中.关键是构造与kPB 相等的线段.将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．【例1】如图.平行四边形ABCD 中.∠DAB =60°.AB =6.BC =2.P 为边CD 上的一动点.则32PB PD的最小值等于________．【解析】已知∠A =60°.且sin60°=32.故延长AD .作PH ∠AD 延长线于H 点. ABCDPMHP DCBAABCDPH M 题型精讲即可得3PH =.∠3PB =PB +PH ． 当B 、P 、H 三点共线时.可得PB +PH 取到最小值.即BH 的长.解直角∠ABH 即可得BH 长．【例2】（2021·重庆中考真题）在等边ABC 中.6AB =.BD AC ⊥ .垂足为D .点E 为AB 边上一点.点F 为直线BD 上一点.连接EF ．图1 图2图3（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG .连接FG ．∠如图1.当点E 与点B 重合.且GF 的延长线过点C 时.连接DG .求线段DG 的长； ∠如图2.点E 不与点A .B 重合.GF 的延长线交BC 边于点H .连接EH .求证：3BE BH BF +=；（2）如图3.当点E 为AB 中点时.点M 为BE 中点.点N 在边AC 上.且2DN NC =.点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动.将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP .连接FP .当12NP MP +最小时.直接写出DPN △的面积． 【答案】（1）21；∠见解析；（243【分析】（1）∠连接AG .根据题意得出∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形.从而可证明∠GBC ∠∠GAC .进一步求出AD =3.AG =BG =23然后利用勾股定理求解即可；∠以点F 为圆心.FB 的长为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .先证明出∠BFK 是顶角为120°的等腰三角形.然后推出∠FEB ∠∠FHK .从而得出结论即可；（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形.构造出12NP MP NP PJ +=+.当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件.然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN 与DN 的长度.即可得出结论． 【详解】（1）解：∠如图所示.连接AG .由题意可知.∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠GFB =60°. ∠BD ∠AC . ∠∠FBC =30°.∠∠FCB =30°.∠ACG =30°. ∠AC =BC .GC =GC . ∠∠GBC ∠∠GAC （SAS ）. ∠∠GAC =∠GBC =90°.AG =BG . ∠AB =6.∠AD =3.AG =BG =3 ∠在Rt ∠ADG 中.()222223321DG AD AG =+=+=∠21DG =∠证明：以点F 为圆心.FB 的长为半径画弧.与BH 的延长线交于点K .连接KF .如图. ∠∠ABC 和∠GEF 均为等边三角形. ∠∠ABC =60°.∠EFH =120°. ∠∠BEF +∠BHF =180°. ∠∠BHF +∠KHF =180°. ∠∠BEF =∠KHF .由辅助线作法可知.FB =FK .则∠K =∠FBE . ∠BD 是等边∠ABC 的高. ∠∠K =∠DBC =∠DBA =30°. ∠∠BFK =120°. 在∠FEB 与∠FHK 中.FEB FHK FBE KFB FK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠FEB ∠∠FHK （AAS ）. ∠BE =KH .∠BE +BH =KH +BH =BK . ∠FB =FK .∠BFK =120°. ∠BK 3BF .即：3BE BH BF +=；（2）如图1所示.以MP 为边构造∠PMJ =30°.∠PJM =90°.则PJ =12MP . ∠求12NP MP +的最小值.即为求NP PJ +的最小值.如图2所示.当运动至N、P、J三点共线时.满足NP PJ+最小.此时.连接EQ.则根据题意可得EQ∠AD.且EQ=12 AD.∠∠MEQ=∠A=60°.∠EQF=90°.∠∠PEF=60°.∠∠MEP=∠QEF.由题意.EF=EP.∠∠MEP∠∠QEF（SAS）.∠∠EMP=∠EQF=90°.又∠∠PMJ=30°.∠∠BMJ=60°.∠MJ∠AC.∠∠PMJ=∠DNP=90°.∠∠BDC=90°.∠四边形ODNJ为矩形.NJ=OD.由题.AD=3.BD=33∠MJ∠AC.∠∠BMO∠∠BAD.∠14 BM BO MOBA BD AD===.∠OD=34BD93OM=34AD=94.设PJ=x.则MJ3.OJ3-9 4 .由题意可知.DN =23CD =2. 9324x -=. 解得：113x =. 即：PJ =11312. ∠93113434123PN =-=. ∠11434322233DPNSDN PN ==⨯⨯=． 【例3】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A .(3,0)B 两点.与y 轴交于点C .=3OC ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥.垂足为M .求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点.当PBC ∆面积最大时.求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点.问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在.求岀这个最小值；若不存在.请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：243y x x =-+.顶点(2,1)D -；(2)证明见解析；(3)点33,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)存在.12AQ QC +的最小值为233+． 【详解】(1)函数的表达式为：()()()2y a x 1x 3a x 4x 3=--=-+.即：3a=3.解得：a=1.故抛物线的表达式为：2y x 4x 3=-+. 则顶点D(2,1)-； (2)OB OC 3==.OBC OCB 45∠∠︒∴==.∠A(1,0).B(3,0).∠ OB=3.OA=1. ∠AB=2.∠AM MB ABsin452︒=== 又∠D(2.-1). ()()2221102-+--=∠AM=MB=AD=BD. ∠四边形ADBM 为菱形. 又∠AMB 90∠︒=.∴菱形ADBM 为正方形；(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n.将点B 、C 的坐标代入得：303m n n +=⎧⎨=⎩. 解得：13m n =-⎧⎨=⎩.所以直线BC 的表达式为：y=-x+3. 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N.设点()2P x,x 4x 3-+.则点N (x,x+3)-.则()()22ΔPBC 133S PN OB x 3x 4x 3x 3x 222=⨯=-+-+-=--. 302-<.故ΔPBC S 有最大值.此时3x 2=. 故点33P ,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4)存在.理由：如图.过点C 作与y 轴夹角为30︒的直线CF 交x 轴于点F.过点A 作AH CF ⊥.垂足为H.交y 轴于点Q. 此时1HQ CQ 2=.则1AQ QC2+最小值=AQ+HQ=AH.在Rt∠COF中.∠COF=90°.∠FOC=30°.OC=3.tan∠FCO=FO CO.3.∠F(3利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y3x3=+…∠.∠∠COF=90°.∠FOC=30°.∠∠CFO=90°-30°=60°.∠∠AHF=90°.∠∠FAH=90°-60°=30°.3∠Q(0,3 ).利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：33 y x=+联立∠∠并解得：133 x4-=.故点13333H-+⎝⎭.而点A(1,0).则233+=AH.即1AQ QC2+的最小值为233+．1．如图.△ABC中.AB＝AC＝10.tanA＝2.BE∠AC于点E.D是线段BE上的一个动点.则55CD BD的最小值是______.【答案】B【详解】如图.作DH∠AB于H.CM∠AB于M．提分作业∠BE∠AC. ∠∠AEB=90°. ∠tanA=BEAE=2.设AE=a.BE=2a. 则有：100=a 2+4a 2. ∠a 2=20.5-25. 5∠AB=AC.BE∠AC.CM∠AB.5 ∠∠DBH=∠ABE.∠BHD=∠BEA. ∠5sin DH AE DBH BD AB ∠===. 55BD=CD+DH. ∠CD+DH≥CM. 55 5BD 的最小值为5 故选B ．2．在平面直角坐标系中.将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平移2个单位.得到如图所示的抛物线.该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧).1OA =.经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C .且与抛物线的另一个交点为D .ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方.求ACE ∆面积的最大值.并求出此时点E 的坐标；（3）若点P 为x 轴上任意一点.在(2)的结论下.求35PE PA +的最小值． 【答案】(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516.此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3. 【详解】解：(1)将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位.再向下平移2个单位.得到的抛物线解析式为()212y a x =--. ∠1OA =.∠点A 的坐标为()1,0-. 代入抛物线的解析式得.420a -=.∠12a =. ∠抛物线的解析式为()21122y x =--.即21322y x x =--． 令0y =.解得11x =-.23x =.∠()3,0B . ∠4AB OA OB =+=. ∠ABD ∆的面积为5.∠152ABD D S AB y ∆=⋅=.∠52D y =. 代入抛物线解析式得.2513222x x =--.解得12x =-.24x =.∠54,2D ⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线AD 的解析式为y kx b =+.∠5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩.解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∠直线AD 的解析式为1122y x =+． (2)过点E 作EM y 轴交AD 于M .如图.设213,22E a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.则11,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∠221113132222222EM a a a a a =+-++=-++. ∠112ACE AME CME S S S EM ∆∆∆=-=⨯⋅()22113121342224a a a a ⎛⎫=-++⨯=--- ⎪⎝⎭.213254216a ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∠当32a =时.ACE ∆的面积有最大值.最大值是2516.此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)作E 关于x 轴的对称点F .连接EF 交x 轴于点G .过点F 作FH AE ⊥于点H .交x 轴于点P . ∠315,28E ⎛⎫-⎪⎝⎭.1OA =. ∠35122AG =+=.158EG =.∠5421538AG EG ==. ∠90AGE AHP ∠=∠=. ∠3sin 5PH EG EAG AP AE ∠===.∠35PH AP =. ∠E 、F 关于x 轴对称.∠PE PF =.∠35PE AP FP HP FH +=+=.此时FH 最小. ∠1515284EF =⨯=.AEG HEF ∠=∠. ∠4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF ∠=∠===. ∠415354FH =⨯=． ∠35PE PA +的最小值是3．3．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数.0b >）经过点(1,0)A -.点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时.求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上.当AM AD =.5m =时.求b 的值； （∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上.22AM QM +332.求b 的值． 【答案】（∠）(1,4)-；（∠）321b =-；（∠）4b =. 【详解】解：（∠）∠抛物线2y x bx c =-+经过点(1,0)A -.∠10b c ++=．即1c b =--．当2b =时.2223(1)4y x x x =--=--.∠抛物线的顶点坐标为(1,4)-．（∠）由（∠）知.抛物线的解析式为21y x bx b =---． ∠点(,)D D b y 在抛物线21y x bx b =---上.∠211D y b b b b b =-⋅--=--．由0b >.得02bb >>.10b --<. ∠点(,1)D b b --在第四象限.且在抛物线对称轴2bx =的右侧． 如图.过点D 作DE x ⊥轴.垂足为E .则点(,0)E b ． ∠1AE b =+.1DE b =+．得AE DE =． ∠在Rt ADE ∆中.45ADE DAE ︒∠=∠=． ∠2AD AE =． 由已知AM AD =.5m =. ∠5(1)2(1)b --=+． ∠321b =．（∠）∠点1(,)2Q Q b y +在抛物线21y x bx b =---上. ∠2113()()12224Q b y b b b b =+-+--=--． 可知点13(,)224b Q b +--在第四象限.且在直线x b =的右侧． 2222()QM AM QM +=+.可取点(0,1)N . 如图.过点Q 作直线AN 的垂线.垂足为G .QG 与x 轴相交于点M . 有45GAM ︒∠=.2AM GM =. 则此时点M 满足题意． 过点Q 作QHx ⊥轴于点H .则点1(,0)2H b +．在Rt MQH ∆中.可知45QMH MQH ︒∠=∠=．∠QH MH =.2QM MH =． ∠点(,0)M m . ∠310()()242b b m ---=+-．解得124b m =-． 332224AM QM +=. 1113322[()(1)]22[()()]242244b b b ---++--=． ∠4b =．4．如图.已知抛物线y x ＋2）（x ﹣4）（k 为常数.且k ＞0）与x 轴从左至右依次交于A.B 两点.与y 轴交于点C.经过点B 的直线y x ＋b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为﹣5.求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P.使得以A.B.P 为顶点的三角形与∠ABC 相似.求k 的值；（3）在（1）的条件下.设F 为线段BD 上一点（不含端点）.连接AF.一动点M 从点A 出发.沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F.再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止.当点F 的坐标是多少时.点M 在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）当点F 坐标为（﹣）时.点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）.令y＝0.解得x＝﹣2或x＝4.∠A（﹣2.0）.B （4.0）．∠直线经过点B（4.0）.∠×4＋b＝0.解得b＝.∠直线BD解析式为：当x＝﹣5时.y＝.∠D（﹣）．∠点D（﹣）在抛物线y＝x＋2）（x﹣4）上.∠5＋2）（﹣5﹣4）＝.∠．∠抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式.令x＝0.得y＝﹣k.∠C（0.﹣k）.OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上.所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似.只可能是∠ABC∠∠APB或∠ABC∠∠PAB．∠若∠ABC∠∠APB.则有∠BAC＝∠PAB.如答图2﹣1所示．设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB.即：.∠．∠P（＋k）.代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4）.得x＋2）（x﹣4x＋k.整理得：x2﹣6x﹣16＝0.解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.∠P（8.5k）．∠∠ABC∠∠APB.∠..．∠若∠ABC∠∠PAB.则有∠ABC＝∠PAB.如答图2﹣2所示．设P（x.y）.过点P作PN∠x轴于点N.则ON＝x.PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB.即：.∠．∠P（x.x＋）.代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4）.得x＋2）（x﹣4x.整理得：x2﹣4x﹣12＝0.解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合.舍去）.∠P（6.2k）．∠∠ABC∠∠PAB..∠.解得.∠k＞0.∠.综上所述.或．（3）作DK∠AB.AH∠DK.AH交直线BD于点F.∠∠DBA＝30°.∠∠BDH＝30°.∠FH＝DF×sin30°.∠当且仅当AH∠DK时.AF＋FH 最小.点M在整个运动中用时为：.∠l BD：.∠F X＝A X＝﹣2.∠F（﹣）.。

中考综合题（六季-最值问题）（共七季）1．如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-32,4，且与y 轴交于点)2,0(C ，于x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）.（1）求抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ， 使CP AP +的值最小？若存在，求CP AP +的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在以AB 为直径的⊙M 中，CE 与⊙M 相切于点E ,CE 交x 轴于D ,求直线CE 的解析式.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为32)4(2--=x a y )0(≠a ∵抛物线经过点)2,0(C∴232)4(2=--x a ,解得61=a∴32)4(612--=x y ，即234612+-=x x y当0=y 时，0234612=+-x x ，解得21=x ，62=x∴)0,2(A ,)0,6(B (2)存在由（1）知，抛物线的对称轴l 为4=x ，因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P ,则BP AP =,所以，BC CP AP =+的值最小.∵)0,6(B ，)2,0(C ，∴6=OB ,2=OC ∴1022622=+=OB∴102==+BC CP AP ∴CP AP +的最小值为102.（3）连接ME ∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠090=CEM ∴∠=COD ∠090=DEM由题意，得2==ME OC ,∠=COD ∠DEM ∴△COD ≌△MED ∴DE OD =,DM DC =设x OD =，则x OD OM DM CD -=-==4 在Rt △COD 中, 222CD OC OD =+. ∴()22242x x -=+∴23=x ， ∴)0,23(D设直线CE 的解析式为b kx y +=)0(≠k ， ∵直线CE 过)2,0(C ，)0,23(D 两点.则⎪⎩⎪⎨⎧=+=0232b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=234b k ∴直线CE 的解析式为234+-=x y .2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．）代入得：．y=x△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″==的周长存在最小值，最小值为3.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点． （1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积．(1)、因为y=ax²+bx+c经过A(-4,3),B(2,0)两点，所以将A、B两点坐标带入到抛物线解析式可得16a-4b+c=34a+2b+c=0有当x=3和x=-3时，抛物线对应点纵坐标相等，有9a+3b+c=9a-3b+c联立以上三式解得 a=1/4 b=0 c=-1所以抛物线的解析式为y=1/4x²-1过AB的直线可知斜率k=（3-0）/（-4-2）=-1/2 截距等于1所以 AB的解析式为 y=-1/2x+1(2)、圆o的直径为根号下[(-4)²+(3)²]=5而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离半径，∴直线l与⊙A相切.(3)、由题意，把x=-1代入y=-1/2x+1，得y=3/2，即D（-1，3/2）.由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D 点到l最短距离，点P坐标（-1，-3/4）此时四边形PDOC为梯形，面积为17/84.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P ，作PN 垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：由题意可知9300421a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩.解得13231a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩.∴抛物线的表达式为y=212133x x -+. （2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1.∴点M 的坐标为（0,1）. 设直线MA 的表达式为y=kx+b ，则131.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩130b k b =⎧⎨-+=⎩.解得k=13，b=1.∴直线MA 的表达式为y=13x+1.设点D 的坐标为（200012,133x x x --+），则点F 的坐标为（001,13x x +）. DF=20001211(1)333x x x --+-+=220001133()3324x x x --=-++.当032x =-时，DF 的最大值为34.此时2001251334x x --+=，即点D 的坐标为（35,24-）.（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似.在Rt △MAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限. ① 设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM, ∴21213(3)33m m m --+=+，即211240m m ++=. 解得m=－3（舍去）或m=－8.又－3<M<0,故此时满足条件的点不存在. ② 当点P 在第三象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM, ∴21213(3)33m m m --+=--，即211240m m ++=. 解得m=－3或m=8.此时点P 的坐标为（－8，,15）. ③ 当点P 在第四象限时，若AN=3PN 时,则－3212(1)333m m m --+=+，即260m m +-=. 解得m=－3（舍去）或m=2.当m=2时，2001251333x x --+=-.此时点P 的坐标为（2，－53）.若PN=3NA,则－212(1)3(3)33m m m --+=+，即27300m m --=.解得m=－3（舍去）或m=10，此时点P 的坐标为（10，,39）. 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（－8，,15）、（2，－53）、（10，,39）.5．如图，在直角体系中，直线AB 交x 轴于点A （5，0），交y 轴于点B ，AO 是⊙M 的直径，其半圆交AB 于点C ，且AC=3。

中考数学压轴大题冲刺专项训练面积的最值问题1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC 上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．2．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，10AC BD，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？3．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG ＝6时，求△FCG 的面积；（3）求△FCG 的面积的最小值．4．如图，已知点P 是∠AOB 内一点，过点P 的直线MN 分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，将直线MN 绕点P 旋转，△MON 的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON ，使得△MON 是以OM 为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP 的延长线上截取PC ＝OP ，过点C 作CM ∥OB 交射线OA 于点M ，连接MP 并延长交OB 于点N ．求证：OP 平分△MON 的面积；（3）小亮发现：在直线MN 旋转过程中，（2）中所作的△MON 的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．5．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，2AB =，6BC =，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．（1）求证：PM PN =；（2）当P ，A 重合时，求MN 的值；（3）若PQM ∆的面积为S ，求S 的取值范围．6．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短边长n ，且n ＝2m ﹣4，大正方形的面积为S ．（1）求S 关于m 的函数关系式．（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值．7．如图：已知矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =3cm ，点O 在边AD 上，且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<)，得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证：AC ⊥OB ；(2)如图1, 当B ′落在AC 上时，求AA ′；(3)如图2，求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.8．[问题提出]（1）如图①，在ABC 中，6,BC D =为BC 上一点，4,AD =则ABC 面积的最大值是（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积9．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x的取值范围；（2）求ABC面积的最大值．10．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．11．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．12．问题提出（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC 上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．【解析】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，即212y＝1010y，解得y＝154，∴PQ＝154，PN＝152．（2）设AE＝x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PN BC ＝AE AD， ∴PN ＝65x ，PQ ＝DE ＝10﹣x ， ∴S 矩形PQMN ＝65x （10﹣x ）＝﹣65（x ﹣5）2+30， ∴当x ＝5时，S 的最大值为30，∴当AE ＝5时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积是30，此时PQ ＝5，PN ＝6．2．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10ACBD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？【解析】解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ，则：211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252， 所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．3．已知，如图，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【解析】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG=12×FM×GC=12×2×（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤37，∴S△FCG的最小值为7-37，此时DG=37，∴当DG=37时，△FCG的面积最小为（7-37）．4．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【解析】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C 、D为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于E 点， ④作直线PE ，分别与OA 、OB 交于点M 、N ，故△OMN 就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PON PC POCPH OPN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．5．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，2AB =，6BC =，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．=；（1）求证：PM PN（2）当P，A重合时，求MN的值；∆的面积为S，求S的取值范围．（3）若PQM【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN=x ，则AN=NC=6-x ，在Rt △ABN 中，AB 2+BN 2=AN 2，即22+x 2=（6-x ）2，解得x=83， ∴CN=6-83=103，222226210AC AB BC =+=+=， ∴1102CQ AC ==， ∴222210()(10)310QN CN CQ =-=-=， ∴10223MN QN ==． （3）解：当MN 过点D 时，如图3所示，此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为14S S =菱形CMPN =12214⨯⨯=，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为11210152102223S=⨯⨯⨯⨯=，∴513S≤≤．6．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，且n＝2m﹣4，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式．（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．【解析】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，∴直角三角形较长边长为m+n，∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，∵n＝2m﹣4，∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，＝13m2﹣40m+32，∵n＝2m﹣4＞0，∴m＞2，∴S关于m的函数关系式为S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），∴S ＝13(m-2013)2+1613∵m≥2013时，S 随x 的增大而增大， ∴m ＝3时，S 取最大．∴m ＝3．7．如图：已知矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =3cm ，点O 在边AD 上，且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<)，得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证：AC ⊥OB ；(2)如图1, 当B ′落在AC 上时，求AA ′；(3)如图2，求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.【解析】解：(1)Rt △OAB 中，tan 3AB AOB OA∠== ∴∠AOB ＝60° R t △ACD 中，3tan CD CAD AD ∠== ∴∠CAD ＝30°∴∠OMA ＝180°－60°－30°＝90°即AC ⊥OB(2)Rt △OAM 中，1•sin 1sin 302OM OA CAD =∠=⨯︒= Rt △OAB 中，OB ′＝OB ＝60OA COS ︒＝2， Rt △O B ′M 中，B ′M ＝2215OB OM -='， BM ＝OB －OM ＝32， Rt △B B ′M 中，2222153()()622BB B M BM =++''== ,,OA OB AOB A OB AOA BOB OA OB'''=∠=∴∆'∆''∽ ∴1,26AA OA BB OB ==''， ∴62AA '=(3)如图，过C 点作CH ⊥于C ′D ′点H ，连结OC ，则CH ≤OC ＋OD ′只有当D ′在CO 的延长线上时，CH 才最大.又C ′D ′长一定，故此时△CC ′D ′的面积的最大.而2222OC CD OD =+=∴△CC ′D ′的最大面积为1(222)3632+⨯=+ 8．[问题提出]（1）如图①，在ABC 中，6,BC D =为BC 上一点，4,AD =则ABC 面积的最大值是（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积【解析】解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，如图所示：∴12ABCS BC AE=⋅，∵D为BC上一点，∴AD AE≥，∴要使△ABC的面积最大，则需满足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面积最大为：16412 2⨯⨯=；故答案为12；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周长是12，∴设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：()()226639S x x x x x=-=-+=--+，此函数为二次函数，由10a=-<，二次函数的开口向下，∴当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：S9=；（3）如图所示：∵四边形PQMN 是矩形，∴QM=PN ，PQ=MN ，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ ≌△CNP ，∴BM=NC ，设BM=NC=x ，则有MN=PQ=80-2x ， ∴603QM BM tan x =⋅︒=，∴()()2380223208003PQMN S PQ QM x x x =⋅=⋅-=--+矩形， 此函数关系为二次函数，由230a =-<可得开口向下， ∴当x=20时，矩形PQMN 的面积有最大，即8003PQMN S =矩形． 9．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．【解析】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得2221AD AC CD h -=-=2222(3)BD BC CD x h =-=--∵BD AB AD =-， 222(3)1x h x h --=-2134-=-h x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当32x 时，ABC面积最大值的平方为12，∴ABC面积的最大值为22．10．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ∥OB，PQ=OB．又∵OB=OA，∴PQ=AO．又∵PQ∥OA，∴四边形PQOA为平行四边形，∴P A∥QO，P A=QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM=12OQ，PN=12AP，∴OM=PN，∴四边形OMPN为平行四边形．∵OP=OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①∵四边形OMPN为矩形，∴S矩形OMPN =ON·NP=ON·12AP，即S矩形OMPN=S△AOP．∵△AOP的底AO为定值，∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，∴t=90÷15=6秒，∴当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：∵此时∠POB=90°，PQ//OB，∴∠OPQ=90°，∴PQ与半圆O相切；②当点Q在半圆O上时，∵四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，∴四边形POBQ为菱形，∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，∴此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．11．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．【解析】解：（1）设线段PQ 所在直线的函数表达式为y ＝kx +b ，将P （3，4）和Q （6，0）代入得，0306k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴线段PQ 所在直线的函数表达式为483y x =-+； （2）①如图1，连接CM 并延长CM 交AB 于点F ，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC 22AB BC -＝6，由（1）得BE ＝()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴CE ＝43x ，∴34DC AC CE BC ==， ∵∠DCE ＝∠ACB ，∴△DCE ∽△ACB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴DE//AB，∵点C和点M关于直线DE对称，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，∵1122ABCS AC BC AB CF==△，∴6×8＝10×CF，∴CF＝24 5,∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝43x，∴DE53x =，∴CM＝85x，MF＝24855x-，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形GCHM为矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴MG CG CM AC BC AB==，即85 6810x MG CG==，∴MG ＝2425x ，CG ＝3225x ， ∴MH ＝3225x ， （Ⅰ）若点M 落在∠ACB 的平分线上，则有MG ＝MH ，即24322525x x =，解得x ＝0（不合题意舍去）， （Ⅱ）若点M 落在∠BAC 的平分线上，则有MG ＝MF ，即242482555x x =-，解得x ＝158， （Ⅲ）若点M 落在∠ABC 的平分线上，则有MH ＝MF ，即322482555x x =-，解得x ＝53． 综合以上可得，当x ＝158或x ＝53时，点M 落在△ABC 的某条角平分线上． ②当0＜x ≤3时，点M 不在三角形外，△DME 与△ABC 重叠部分面积为△DME 的面积，∴2142233S x x x ==， 当x ＝3时，S 的最大值为22363⨯=． 当3＜x ≤6时，点M 在三角形外，如图2，由①知CM ＝2CQ ＝85x ， ∴MT ＝CM ﹣CF ＝82455x -， ∵PK//DE ，∴△MPK ∽△MDE ，∴()2222824265545MPKMDE x x S MF S MQ x x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭△△ ， ∴()2226MPK MDE x S S x -=△△，∵DEKP MDE MPK S S S =-△△四边形，∴()()2222226262113DEKP MDE x x S S x x x ⎡⎤⎡⎤--=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦△四边形， 即：()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．13．问题提出（1）如图①，已知线段AB ，请以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A 是直线l 外一点，点B 、C 均在直线l 上，AD ⊥l 且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m ，点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE ⊥CF ，那么四边形AECF 的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=12 BC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，设OA=OB=OC=r，则OE=12r，3，∵AO+OE≥A D，AD=3，∴r+12r≥3，解得r≥2，∴323∴S△ABC=12BC·AD≥12×33=33∴△ABC 面积的最小值为33．（3）存在；如图，分别延长AB 、DC 交于点M ， 则△ADM 、△CBM 均为等腰直角三角形， ∵CB=CD=6m ，∴BM=6m ，CM=62，AD=DM=（6+2m ， ∴S 四边形ABCD=S △ADM -S △CBM=12DM 2-12BC 2 =12×（6+622-12×62 =（36+362）m 2．将△CBE 绕点C 顺时针旋转135°得到△CDE′， 则A 、D 、E′三点共线．∴S 四边形AECF =S 四边形ABCD –（S △CBE +S △CDF ）=S 四边形ABCD –S △CE ′F ∵S 四边形ABCD 为定值，∴当S △CE ′F 取得最小值时，S 四边形AECF 取得最大值．∵∠E′CF=135°-90°=45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设△CE′F的外接圆半径为rm，∴E′F=2rm，又∵OC+OD≥CD，∴22r+r≥6，∴r≥12-62，当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=2r=（122-12）m，∴S△CE′F最小=12×（122-12）×6=（362-36）m2，∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+362-（362-36）=72m2．。

2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题1．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？2．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？．3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？4．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？5．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线()2=-+表示.y a x30100（1）a=；（2）求图1表示的售价P与时间x的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？7．我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额．．．．．为y 元，试写出y与x之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润．．?最大利润是多少?8．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元已知拔标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同。

平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用垂线段最短解决最值问题模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短模型分析如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值．通常过点A 作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．模型应用1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AB＝6，若点P 为AD上的动点，连接OP，则OP的最小值为________．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，以DP、CP为邻边作▱DPCQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为________．第2题图模型二“胡不归”问题模型分析问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP ＋BP(0＜k＜1)的值最小．方法：1．找：找带有系数k的线段AP；2．构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE；3．转化：化折为直，将kAP 转化为PE ；4．求解：使得kAP ＋BP ＝PE ＋BP ，利用“垂线段最短”转化为求BF 的长．模型应用3.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，若D 是BC 边上的动点，则2AD ＋DC 的最小值为________．第3题图4.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10,对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP ＋12PB 的最小值是________．第4题图模型迁移5.如图，抛物线y ＝ax 2＋ax ＋c 经过点A (1，0)，B (0，－3)，C ，其对称轴与x 轴交于点D.若P 为y 轴上一点，连接PD ，求22PB ＋2PD 的最小值．第5题图参考答案1.332【解析】根据垂线段最短可知，当OP 与AD 垂直时，OP 取得最小值．∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝6，∴AD ＝AB ＝6，AC ⊥OD .∵∠ADC ＝60°，∴∠ADO ＝30°，∴AO ＝3，DO ＝33，当OP ⊥AD 时，∵S △ADO ＝12AO ·DO ＝12AD ·OP ，∴OP ＝AO ·DO AD ＝332，∴OP 的最小值为332.2.23【解析】∵四边形DPCQ 为平行四边形，∴DQ ∥AC ，∴当PQ ⊥DQ 时，线段PQ 的值最小，最小值即为DQ 与AC 之间的距离，即点D 到AC 的距离，如解图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∵AC ＝8，∠BAC ＝30°，∴∠ACD ＝30°，∴CD ＝AC ·cos30°＝43，∴DE ＝CD ·sin30°＝23，即点D 到AC 的距离为23，∴线段PQ 的最小值为2 3.第2题解图3.6【解析】如解图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接AA ′，A ′D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，∴BH ＝1，AH ＝3，AA ′＝23，∠C ＝30°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝12CD ，即2DE ＝CD ，∵点A 与点A ′关于BC 对称，∴AD ＝A ′D ，∴AD ＋DE ＝A ′D ＋DE ，∴当A ′，D ，E 三点共线时，AD ＋DE 有最小值，最小值为A ′E 的长，此时，在Rt △AA ′E 中，A ′E ＝AA ′·sin60°＝23×32＝3，∴AD ＋DE 的最小值为3，即2AD ＋DC ＝2(AD ＋DE )的最小值为6.第3题解图4.732【解析】如解图，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点M 作MN ⊥BC 于点N .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC .∵AB ＝AC ＝10，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵菱形对角线互相垂直，∴∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝30°，∴PQ ＝12PB ，∴MP ＋12PB ＝MP ＋PQ .由两点之间线段最短可知，当M 、P 、Q 三点共线，即点Q 与点N 重合时，MP ＋PQ取得最小值，最小值为MN 的长．∵AM ＝3，∴CM ＝AC －AM ＝7.∵∠ACB ＝60°，∴MN ＝32CM ＝732，∴MP ＋12PB 的最小值为732.第4题解图5.解：如解图，连接AB ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，交y 轴于点P ′.∵22PB ＋2PD ＝2(12PB ＋PD )，∴当12PB ＋PD 取得最小值时，2(12PB ＋PD )有最小值．∵A (1，0)，B (0，－3)，∴OA ＝1，OB ＝3，∴AB ＝2，∠ABO ＝30°，∴∠BAO ＝60°，P ′H ＝12P ′B ，∴12P ′B ＋P ′D ＝P ′H ＋P ′D ，∴当点P 运动到点P ′时，即H 、P 、D 三点共线，且DH ⊥AB 时，12PB ＋PD 有最小值，最小值为DH 的长．∵抛物线的对称轴为直线x ＝－a 2a ＝－12，∴OD ＝12.∵在Rt △ADH 中，∠ADH ＝90°－∠OAB ＝30°，AD ＝OA ＋OD ＝32，∴DH ＝AD ·cos30°＝334，∴12PB ＋PD 的最小值为334，∴22PB ＋2PD 的最小值为2×334＝364.第5题解图。

2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马【例题分析】例 1.如图，在平面直角坐标系中， Rt △OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 (3， 3 )， 点 C 的坐标为 (1 ，0)，点P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA ＋PC 的最小值为．2中，∠ BAE ＝120°，∠ B ＝∠ E ＝90°， AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝ 2， N ． AMN ＋∠ ANM ＝tan ∠ MBC 的值为动在 BC 、 DE 上分别找一点 M 、 (1) 当△ AMN 的周长最小时，∠ (2) 求△ AMN 的(1) 求四边形 BMNE 周长最小值；[ 南瓜讲数学] 系列之中考专题且 CE＝1，长为 2 的线段 MN 在 AC 上运例 4.在平面直角坐标系中，已知点 A（一 2，0），点 B（0 ，4），点 E 在 OB 上，且∠ OAE＝∠ OBA ．如图，将△ AEO 沿 x 轴向右平移得到△ AE′O′，连接 A' B、BE' ．当 AB＋BE' 取得最小值时，求点 E' 的坐标．例 5.如图，已知正比例函数 y＝kx（k>0）的图像与 x轴相交所成的锐角为 70°，定点 A的坐标为（0， 4），P 为 y 轴上的一个动点， M、N 为函数 y＝ kx（ k> 0）的图像上的两个动点，则 AM ＋ MP＋ PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图 1 所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．2.如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝ 8，点 E、F、 P 分别是边 AB、 BC、AC上的动点， PE＋ PF 的最小值是．3.如图 3，在边长为 2 的等边△ ABC 中，D 为BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE＋DE 的最小值为．4.如图 4 ，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB＝6，BD 平分∠ ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM＋ MN 的最小值为．5.如图 5，在△ ABC 中，AM 平分∠ BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点，（1）若AC＝4，S△ABC＝6，则 BD＋DE 的最小值为图1 图2 图4（2）若∠ BAC＝30°， AB＝8，则BD ＋DE 的最小值为．（3）若 AB＝17，BC＝10，CA＝21，则 BD＋DE 的最小值为．6.如图 6，在△ ABC 中， AB ＝BC ＝ 4， S △ ABC ＝ 4 3 ，点 一点，则 PK ＋ QK 的最小值为 ．7.如图 7，AB 是⊙O 的直径， AB ＝8，点M 在⊙O 上， 径 AB 上的一动点，则 PM ＋PN 的最小值为 ． 8. 如图 8，在锐角△ ABC 中，AB ＝4，∠ BAC ＝45°，∠AD 和 AB 上的动点，则 BM ＋MN 的最小值是 ．9. 如图 9 ，圆柱形玻璃杯高为 12 cm 、底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10. 如图 10，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为 （1， 3），动点 D 、E 分别在射线 OC 、OB 上，则 CE ＋DE ＋DB 的最小值是 ．311. 如图 11，点 A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线 y ＝－ 3（ x< 0）上，点 P 、Q 分别是 x 轴、y 轴上x 的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是 ．12. 如图 12，点 P 是∠AOB 内任意一点， OP ＝5cm ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的 动点，△ PMN 周长的最小值是 5cm ，则∠ AOB 的度数是 ．13. 如图 13，∠ AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝ 1， ON ＝ 3，点 P 、Q 分别在 边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋ QN 的最小值是 ．14. 如图 14，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作DE ⊥BC 于点 E ． （1） 点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P ，使得 AP ＋ PD 最小，在下图中画出点 P ； （2） 在（1）的条件下，连接 CD 交AP 于点Q ，求 AQ 与PQ 的数量关系；BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 MAB ＝20°， N 是弧 MB 的中点， P是直15.在矩形 ABCD 中， AB＝6， BC＝ 8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△ CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF＝ 4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF 的长．1216.如图，抛物线 y x2 2x 4交 y轴于点 B，点A为 x轴上的一点，OA=2，过点A作直线 MNAB 2交抛物线与 M、N 两点.( 1) 求直线 AB 的解析式；(2) 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A1B1 ，求 MA1 MB1 取最小值时实数 t 的值 .图2020 中考专题 8 ——最值问题之将军饮马 参考答案例 1. 解：作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA于 N ， 则此时 PA ＋PC 的值最小，∵DP ＝PA ，∴PA ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B （3， 3 ） ，∴ AB ＝ 3，OA ＝3， ∵ tan ∠AOB ＝ AB ＝ 3，∴ ∠ AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝2 3 ，OA 31 1 3 3 由三角形面积公× OA ×AB ＝ ×OB ×AM ，∴AM ＝ ，∴ A D ＝2× ＝ 3，2222∵∠AMB ＝90° ，∠ B ＝60° ，∴∠ BAM ＝30°，∵ ∠ BAO ＝90°， ∴∠ OAM ＝60°， ∵DN ⊥OA ，∴∠ NDA ＝30° 1 3 ，∴ AN ＝1AD ＝ 由勾股定理得：3 DN ＝ 3 ，222∵C（ 1 ，0） ，∴CN＝3﹣ 1 ﹣ 3＝ 1，在 Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC ＝ 31 ，22 22即 PA ＋ PC 的最小值是31例 2. 解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A ′， A ″，连接 A ′A ″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N ，则 A ′A ″即为△ AMN 的周长最小值．⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∠ BAE ＝120°，∴∠ AA ′A ″＋∠ AA ″A ′＝ 60 °，∠AA ′A ″＝∠ A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°， 也 就是说∠ AMN ＋∠ ANM ＝180°－60°＝120°. ⑵过点 A ′作 EA 延长线的垂线，垂足为 H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝ DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4， 则 Rt △ A ′HA 中，∵∠ EAB ＝ 120°，∴∠ HAA ′＝ 60°，1∵ A ′H ⊥ HA ，∴∠ AA ″H ＝30°，∴ AH ＝1AA ′＝ 1，∴ A ′H ＝ 3 ，A ″H ＝1＋4＝5，2∴A ′A ″＝2 7 ，例3.解：作 EF∥AC 且 EF＝2，连结 DF 交AC 于M，在 AC 上截取 MN＝2，延长 DF 交BC 于 P ，作 FQ⊥BC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E′，则 CE′＝CE＝ 1，将 MN 平移至E′F′处，则四边形 MNE ′ F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝ BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠ FEQ ＝∠ ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1， tan ∠MBC ＝ tan ∠PDC ＝例 4. 【提示】将△ AEO 向右平移转化为△ AEO 不动，点 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 点 E 1 ，连接 AE 1 ，与该直线交点 F 即为最小时点 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5. 解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y轴对称，点 A ′是点 A 关于直线 y ＝ kx 的对称点．作 A ′E ⊥ OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝ kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝ kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小（垂线段最短 ），在 RT △A ′EO 中，∵∠ A ′EO ＝90°， OA ′＝ 4，∠ A ′OE ＝3∠ AOM ＝60°，1∴OE ＝ 1 OA ′＝ 2， A ′E ＝ 42 22 ＝2 3 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 23 ．PQ ，PQ ＝ 1 ，解PQ ＝ 2 ，PC ＝CD PQ 2 433∵∠ DPC ＝∠ FPQ ，∠ DCP ＝∠ FQP ，∴△ PFQ ∽△PDC ， PQ PQ QE EC2 3由对称性可求巩固训练】答案1.解：连接 BD，∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形 ABCD 的面积为 12，∴AB＝2 3 ，又∵△ ABE 是等边三角形，∴ BE＝ AB＝ 2 3 ，故所求最小值为 2 3 ．2.解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于 AC 的对称点 E′，作 E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接 PE，则E′F 即为 PE ＋PF 的最3.解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE＋ED 的最小值，∵ B、 B′关于 AC 的对称，∴ AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，∴ AD⊥BC，AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，BB′＝2AD ＝2 3 ，作 B′G⊥BC 的延长线于 G，∴ B′G＝ AD＝ 3 ，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝74.解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于 N，∵BD平分∠ ABC， ME⊥AB 于点 E，MN⊥BC 于 N，∴ MN ＝ ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．1∵三角形 ABC 的面积为 9 ，AB ＝6，∴×6CE ＝ 9，∴ CE＝3．2即 CM＋MN 的最小值为 3．小值，AC BD＝AD E′F，∴E′F＝24，∴ PE＋PF 的最小值为24125.提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E′，BH⊥AC 于 H，易知 BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案： (1)3 ； (2)4 ；(3)8 ．6.解：如图，过 A 作AH⊥BC 交 CB 的延长线于 H，∵ AB＝ CB ＝ 4， S△ABC ＝ 43 ，∴ AH＝2 3 ，∴ cos∠ HAB＝AH＝ 2 3＝3，∴∠ HAB ＝30°，∴∠ ABH ＝60°，∴∠ ABC＝120°，AB 4 2 ∵∠ BAC＝∠ C＝30°，作点 P 关于直线 AC 的对称点 P′，过P′作 P′Q⊥ BC 于 Q 交AC 于K，则 P′Q 的长度＝ PK ＋ QK 的最小值，∴∠ P′AK ＝∠ BAC＝30°，∴∠ HAP′＝90°，∴∠ H ＝∠ HAP ′＝∠ P′QH ＝90°，∴四边形 AP′QH 是矩形，∴ P′Q＝AH＝2 3 ，即 PK ＋QK 的最小值为 23 ．7.解：作点 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 OM、ON、ON′、MN′，则 MN′与 AB的交点即为 PM＋ PN 的最小时的点， PM＋ PN 的最小值＝ MN′，∵∠ MAB＝20°，∴∠ MOB ＝2∠ MAB＝2×20°＝40°，11∵N 是弧 MB 的中点，∴∠ BON＝1∠MOB＝1×40°＝20°，22由对称性，∠ N′OB＝∠ BON ＝20°，∴∠ MON ′＝∠ MOB＋∠ N′OB＝40°＋20°＝60°， 1 1∴△ MON ′是等边三角形，∴ MN′＝OM＝OB＝1 AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，8.解：如图，作 BH ⊥AC ，垂足为 H，交 AD 于 M′点，过 M′点作 M′N′⊥AB，垂足为N′，则 BM ′＋ M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴ M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离，2∵AB＝4，∠ BAC＝45°，∴ BH＝AB sin45°＝ 4× 2＝2 2．2∵BM＋MN 的最小值是 BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 2 ．9.解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH ，过 C 作 CQ⊥ EF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A′，连接 A′C 交 EH 于 P，连接AP，则 AP＋ PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴ AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，1∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝ 12cm，2在 Rt△A′QC 中，由勾股定理得： A′C＝ 15cm，故答案为： 15．10.解：连接 AC，作 B 关于直线 OC 的对称点 E′，连接 AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时 CE＋ DE ＋BD 的值最小，∵四边形 OCBA 是菱形，∴ AC⊥ OB，AO＝ OC，即 A 和 C 关于 OB 对称，∴CE＝ AE，∴ DE ＋CE＝ DE＋AE＝AD，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴ DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作 CN⊥OA 于 N，∵ C（1 ，3），∴ON＝1，CN＝3，由勾股定理得： OC＝2，即 AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠ CON＝60°，∴∠ CBA＝∠ COA ＝60°，∵四边形 COAB 是菱形，∴ BC∥ OA，∴∠ DCB＝∠ COA＝60°，∵B 和 E′关于 OC 对称，∴∠ BFC＝90°，∴∠ E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°， CF＝1 BC＝1，由勾股定理得： BF＝3＝E′F，2在 Rt△EBA 中，由勾股定理得： AE′＝4，即 CE＋DE＋DB 的最小值是 4 ．12.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠ DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴ PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠ COB ＝∠ POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝ 1 ∠COD，2 ∵△ PMN 周长的最小值是 5 cm ，∴ PM ＋PN ＋ MN ＝ 5，∴ DM ＋ CN ＋ MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△ OCD 是等边三角形，∴∠ COD ＝60°，∴∠ AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋ PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠ N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ ONN ′＝60°， ∴△ ONN ′为等边三角形，△ OMM ′为等边三角形，∴∠ N ′OM ′＝90 ∴在 Rt △ M ′ON ′中， M ′N ′＝ 10 ．故答案为 10．3b ）代入 y ＝﹣ 3 （x <0） 得 a ＝ x3），作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ， 3），连结 CD 分别交 x 轴、 y 轴于 设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，﹣ 3，b ＝3，则 A （ ﹣3，1）、B （ ﹣1，P 点、Q 点，此时四边形 则 3k b 1 ，解得 k b所以 C 点为（﹣3，﹣1），D 点为（1， P 1 ABQ 的周长最小， 214. 解： (1)作点 A 关于 BC 的对称点 A′，连 DA′交 BC 于点 P.(2) 由 (1) 可证得 PA 垂直平分 CD，∴ AQ＝ 3 CQ＝ 3PQ15.解：(1) ∵ E 为 AB 上的一个动点，∴作 G 关于 AB 的对称点 M，连接 CM 交 AB 于 E，那么 E 满足使△ CGE 的周长最小；∵在矩形 ABCD 中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点，∴ AG＝AM＝4，MD＝12，CD MA而 AE∥ CD ，∴△ AEM ∽△ DCM ，∴ AE： CD＝ MA ： MD ，∴ AE＝CD MA＝2；MD(2) ∵E 为 AB 上的一个动点，∴如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH ＝4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着EF＝4，那么 E、F 两点即可满足使四边形中， AB＝ 6， BC＝ 8， G 为边 AD 的中点， MD＝ 12，而 CH＝4，∴ DH＝2，∴△ AEM∽△ DHM ，∴ AE：HD ＝ MA： MD ，∴ AE＝HD MAMD 在 EB 上截取∵在矩形ABCD ∴AG＝AM＝4，CGEF 的周长最小．而AE∥CD，16.解：（ 1）依题B4），A2，0），则 AB 解析式： y 2x（2）∵ AB⊥MN∴直线 MN： y 1 x 12 1 2y2x 4x与抛物线联立可 2y1 x 12解得： M（ -2， -2）将 AB 向负方向平移 t 个单位后， A1（ 2， -t），B1（0，4-t）则 A1 关于直线 x=-2 的对称点 A2 为（ -6，-t）当 A2、M、B1 三点共线时， MA1 MB1 取最小值∴ t 143。

⎭ ⎝⎝ ⎝ 4 4 6 4 ⎭ 初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案： 32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？ 答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。

252b=6×6×7 b ， × 即 b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛ -1 ⎫第一个数： - 1+ ⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛ －1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫第二个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪3 ⎝ 2 ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭1 ⎛ -1 ⎫⎛ (-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫⎛ (-1)4 ⎫⎛ (-1)5 ⎫第三个数： - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪1+ ⎪4 ⎝ 2 ⎭⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭……第 n 个数：1⎛ -1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛ (-1)3 ⎫ ⎛ (-1)2n -1 ⎫ - 1+ ⎪ 1+ ⎪1+ ⎪…… 1+ ⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎪ ⎭⎝ ⎭ ⎝2n ⎪ ；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。

解析：第n 个数是 1- n2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。

4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。

二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。

中考数学《几何中的最值问题》专项练习(附答案解析)一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．482．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm23．如图，已知直线5-512y x与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．274．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G 绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A．16 B．15 C．12 D．11二、填空题6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线1(2)(4)2y x x=--上，则△ABP面积的最小值为__________．三、解答题11．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知，如图，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，AD 上，AH ＝2，连接CF ．（1）当四边形EFGH 为正方形时，求DG 的长；（2）当DG ＝6时，求△FCG 的面积；（3）求△FCG 的面积的最小值．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．14．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标：（3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．15．如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．16．如图，已知点P 是∠AOB 内一点，过点P 的直线MN 分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，将直线MN 绕点P 旋转，△MON 的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON ，使得△MON 是以OM 为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP 的延长线上截取PC ＝OP ，过点C 作CM ∥OB 交射线OA 于点M ，连接MP 并延长交OB 于点N ．求证：OP 平分△MON 的面积；（3）小亮发现：在直线MN 旋转过程中，（2）中所作的△MON 的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．17．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．18．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．19．问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别为AB ，AD 边上的动点，满足BE AF =，连接EF 交AC 于点G ，CE 、CF 分别交BD 于点M ，N ，给出下列结论：①△CEF 是等边三角形；②∠DFC ＝∠EGC ； ③若BE ＝3，则BM ＝MN ＝DN ；④222EF BE DF =+； ⑤△ECF ．其中所有正确结论的序号是______21．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．23．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知边长为10的正方形ABCD E ，是BC 边上一动点（与B C 、不重合），连结AE G ，是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE EGF ∽△△； （2）若2EC =，求CEF △的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF △的面积最大．参考答案与解析一、单选题1．【答案】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．【答案】B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC =12×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线5-512y x的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令0y =，则12x =，令0x =，则5y =-，∴B （12，0），C （0，-5），∴OB=12，OC=5，=， 则由三角形面积公式得，12BC ×DM=12OB ×CD ， ∴DM=8413， ∴圆D 上点到直线5-512y x =的最小距离是845821313-=， ∴△ABC 面积的最小值是1581329213⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC 的最大距离以及最小距离．4．【答案】B【分析】连接OP ，过点O 作OH ⊥NM 交NM 的延长线于H ．首先利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【解答】解：连接OP ，过点O 作OH ⊥NM 交NM 的延长线于H ．∵S △OMN ＝12•MN •OH ＝12，MN ＝6，∴OH ＝4，∵点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，∴∠AOP ＝∠AOP 1，∠POB ＝∠P 2OB ，OP ＝OP 1＝OP 2∵∠AOB ＝45°，∴∠P 1OP 2＝2（∠POA+∠POB ）＝90°，∴△OP 1P 2是等腰直角三角形，∴OP ＝OP 1最小时，△OP 1P 2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP 的最小值为4，∴△OP 1P 2的面积的最小值＝12×4×4＝8， 故选：B ．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．【答案】B【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE == G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴==∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点评】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．【答案】818【分析】作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，根据AAS证得EDN ≌DCM ，得出EN ＝DM ，然后解直角三角形求得AM ＝3，得到BM ＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，根据三角形面积公式得到S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，∴∠EDN +∠DEN ＝90°，∵∠EDC ＝90°，∴∠EDN +∠CDM ＝90°，∴∠DEN ＝∠CDM ， 在EDN 和DCM 中DEN CDM END DMC 90ED DC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴EDN ≌DCM （AAS ），∴EN ＝DM ，∵∠BAC ＝120°，∴∠MAC ＝60°，∴∠ACM ＝30°，∴AM ＝12AC ＝12⨯6＝3， ∴BM ＝AB +AM ＝6+3＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，∴S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818， ∴当BD ＝4.5时，S △BDE 有最大值为818， 故答案为：818． 【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．【答案】503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时，12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯． 【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．【答案】【分析】五边形ABCDP 的面积＝四边形ABCD 的面积﹣△CPD 的面积只要求出△CDP 面积的最小值，作EF//CD ，且与⊙O 相切于点P ，连接OP 延长OP 交AD 于H ，易知此时点P 到CD 的距离最小，此时△CDP 的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP 的面积＝四边形ABCD 的面积﹣△CPD 的面积，∴只要求出△CDP 面积的最小值，作EF//CD ，且与⊙O 相切于点P ，连接OP 延长OP 交AD 于H ，易知此时点P 到CD 的距离最小，此时△CDP 的面积最小，易知AD ＝，∵四边形ABCD 的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD •OH+12•1•3，∴OH ，∴PH ﹣11，∴△CAD 的面积最小值为2，∴五边形ABCDP 面积的最大值是4﹣（2）＝．故答案为．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．【答案】42a - 【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．【解答】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，，∴AB=2，AC=4，∵AG=a ，∴CG=4a -，如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG11222a AD MG=⋅=⨯=当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a =，∴△ADG 的面积的最小值为4233=，故答案为：42a -． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．10．【答案】152【分析】根据直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB 解析式；平移直线AB 到直线CD ，直线CD 当抛物线相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P 坐标；再利用勾股定理逆定理，证明ABP △为直角三角形，从而计算得到△ABP 面积的最小值．【解答】设直线AB 为y kx b =+∵直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴024k b b=-+⎧⎨-=⎩ ∴24k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AB 为24y x =--如图，平移直线AB 到直线CD ，直线CD 为2y x p =-+当2y x p =-+与抛物线1(2)(4)2y x x =--相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值∴()()21242y x p y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩∴22820x x p -+-= ∴()44820p ∆=--=∴72p =∴2210x x -+= ∴1x =将1x =代入1(2)(4)2y x x =--，得32y =∴31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()2223451224AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2231251424BP ⎛⎫=++=⎪⎝⎭2222420AB∴222AB AP BP +=∴ABP △为直角三角形，90BAP ∠=∴1115=2222ABP AB A S P ⨯=⨯=△ 即△ABP 面积的最小值为152故答案为：152． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．【答案】（1）抛物线y ＝x 2-4x +3;（2）D(2，1)；（3）点P 的坐标为5(2，3)4- 【分析】（1）（1） 将A 、C 坐标代入即可；（2）由于BC 长度不变， 要周长最小， 就是让DB DC 最小， 而A 、B 关于对称轴对称， 所以AC 就是DB DC 的最小值， 此时D 点就是AC 与抛物线对称轴的交点； 【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A ，点(4,3)C ，∴3016433a bab，解得14a b ==-⎧⎨⎩，所以，抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）243(1)(3)yx xx x ，(3,0)∴B ，抛物线的对称轴为2x =；BC 长度不变，BDDC 最小时，BCD ∆的周长最小，A 、B 是关于抛物线对称轴对称的，∴当D 点为对称轴与AC 的交点时，BD DC +最小， 即BCD ∆的周长最小， 如图，∴21x yx ，解得：21x y =⎧⎨=⎩，(2,1)D ∴，∴抛物线对称轴上存在点(2,1)D ，使BCD ∆的周长最小；（3）存在，如图，设过点P 与直线AC 平行线的直线为y x m =+，联立243y x m yx x，消掉y 得，2530x x m ，2(5)41(3)0m ，解得：134m =-， 即134m =-时，点P 到AC 的距离最大，ACP ∆的面积最大， 此时52x =，5133244y ， ∴点P 的坐标为5(2，3)4-，设过点P 的直线与x 轴交点为F ，则13(4F ，0)， 139144AF， 直线AC 的解析式为1y x =-，45CAB ∴∠=︒，∴点F 到AC 的距离为9292sin 45428AF ， 又223(41)32AC ，∴∆的最大面积127ACE=⨯=．28【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．【答案】（1）2‘（2）1；（3）（．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x，从而可得当时，△GCF的面积最小．【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE ， ∴∠AEH=∠MGF ，在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG ， ∴△AHE ≌△MFG （AAS ）， ∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此S △FCG =12×FM ×GC=12×2×（7-6）=1； （3）设DG=x ，则由（2）得，S △FCG =7-x ， 在△AHE 中，AE ≤AB=7， ∴HE 2≤53， ∴x 2+16≤53，∴x∴S △FCG 的最小值为，此时，∴当时，△FCG 的面积最小为（．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) Q -或(或1122⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =， 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =， ∴CH则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =故点Q -或(； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：12x -±=，故点1322Q ⎛-- ⎝⎭或⎝⎭；综上，点Q -或(或⎝⎭或⎝⎭． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．【答案】（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1 【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a 的值即可；（2）设点C 的坐标为（x 0，y 0），其中y 0＝（x 0﹣1）2，作CF ⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得BO DFDO CF=，即1＝00x 1y -＝()01x 1-，据此求得x 0的值即可得；（3）过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则DG ＝4，根据S △PDQ ＝12DG •MN 列出关于k 的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a ＝4，解得：a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2； （2）由（1）知点D 坐标为（1，0）， 设点C 的坐标为（x 0，y 0），（x 0＞1、y 0＞0）， 则y 0＝（x 0﹣1）2，如图1，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠BOD ＝∠DFC ＝90°，∠DCF+∠CDF ＝90°， ∵∠BDC ＝90°， ∴∠BDO+∠CDF ＝90°， ∴∠BDO ＝∠DCF ， ∴△BDO ∽△DCF ， ∴BO DFDO CF=， ∴1＝00x 1y -＝()01x 1-，解得：x 0＝2，此时y 0＝1， ∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0）， 如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， 由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0． ∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ． ∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝|2﹣k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为（1，1）， 所以DG ＝1，∴S △PDQ ＝12DG •MN ＝12×1×|x 1﹣x 2|12|2﹣k|， ∴当k ＝0时，S △PDQ 取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．【答案】45【分析】先证明△PEF ∽△BOC,得出PE EF PF BO OC BC ==，再根据122y x =-+，得出关于x 的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF 面积最大值．【解答】解：设213,222P x x x ⎛⎫-++⎪⎝⎭(0<x<4)， 抛物线213222y x x =-++与y 轴交于C 点，故C(0,2)，∵PF ∥y 轴，PE ⊥BC ， ∴∠PFE=∠BCO, 又∵∠PEF=∠BOC=90°, ∴△PEF ∽△BOC, ∴PE EF PF BO OC BC== ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC 的解析式为122y x =-+， 点1,22F x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴221312(2)22222P F x PF y y x x x x =-=-++--+=-+，∴PE=BO ·PF BC =42212x x -+== ， EF=OC ·PFBC=222211122(2)x x x x x x -+-+-== ， ∴221(2)1225PEFx x SPE EF -=⋅= =2221(2)(2)42520x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦=， 当2x =时，PEF S △取值最大，∴PEF S △的最大值为244205=， 故答案为45． 【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x 的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．理由见解析． 【分析】（1）根据尺规作图，过P 点作PN ⊥OB 于N ，交OA 于点M ； （2）证明三角形全等得P 为MN 的中点，便可得到结论；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，证明△PGM ≌△PFN ，得△PGM 与△PFN 的面积相等，进而得S 四边形MOFG ＝S △MON ． 便可得S △MON ＜S △EOF ，问题得以解决．【解答】（1）①在OB 下方取一点K ，②以P 为圆心，PK 长为半径画弧，与OB 交于C 、D 两点，③分别以C 、D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于E 点， ④作直线PE ，分别与OA 、OB 交于点M 、N ，故△OMN 就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PON PC POCPH OPN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．【答案】（1）12x <<；（2）2． 【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x ，BC=BN=3-x ，利用三角形三边关系可求得x 的取值范围；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h ，利用勾股定理表示出AD 、BD ，再根据BD=AB-AD 列方程求出h 2，然后求出△ABC 的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得AD =，BD ==， ∵BD AB AD =-，x =-34=-x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当32x =时，ABC 面积最大值的平方为12，∴ABC ． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【解答】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴=最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．19．【答案】（1）20；（2）5；（3）S △BCD ＝16；∠BCD ＝45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A ＝∠DBA ，由余角的性质可得∠DBC ＝∠C ，可得DB ＝DC ＝AD ＝12AC ＝5； （3）由中点的性质和折叠的性质可得DE ＝EC ＝4，则当DE ⊥BC 时，S △BCD 有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝16，∴20AC ==，故答案为：20；（2）∵DA ＝DB ，∴∠A ＝∠DBA ，∵∠ABC ＝90°∴∠A +∠C ＝90°，∠ABD +∠DBC ＝90°，∴∠DBC ＝∠C ，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．20．【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积2，则当EC⊥AB时，△ECF【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∵AC＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF ＝∠BCA ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，故①正确；∵∠ECF ＝∠ACD ＝60°，∴∠ECG ＝∠FCD ，∵∠FEC ＝∠ADC ＝60°，∴∠DFC ＝∠EGC ，故②正确；若BE ＝3，菱形ABCD 的边长为6，∴点E 为AB 中点，点F 为AD 中点，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝3，BO ＝∴BD ＝，∵△ABC 是等边三角形，BE ＝AE ＝3，∴CE ⊥AB ，且∠ABO ＝30°，∴BE EM ＝3，BM ＝2EM ，∴BM ＝同理可得DN ＝∴MN ＝BD −BM −DN ＝∴BM ＝MN ＝DN ，故③正确；∵△BEC ≌△AFC ，∴AF ＝BE ，同理△ACE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∵∠BAD ≠90°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2不成立，∴EF 2＝BE 2＋DF 2不成立，故④错误，∵△ECF 是等边三角形，∴△ECF 2， ∴当EC ⊥AB 时，△ECF 面积有最小值，此时，EC ＝ECF 面积的最小值为4，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．【答案】（1）223;y x x =--（2）当32t =时，S 有最大值278；（3）()()2,5,1,4-- 【分析】（1）根据抛物线上的对称点B 和E ，求出对称轴从而可求出C 点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A 代入求出a 值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H ，分别根据抛物线和直线AE 的解析式表示出点P 和点H 的坐标，从而求出线段PH 的长，最后用含t 的式子表示∆APE 的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点()()1,03,0,B E -、∴抛物线的对称轴为1,x =点()0,3A -，点()2,3C -抛物线表达式为()()()23123,.y a x x a x x =-+=--33a ∴-=-,解得1,a =∴抛物线的表达式为223;y x x =--()2如图,过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H由点,A E 的坐标得直线AE 的表达式为3,y x =-设点()2,23P t t t --，则(),3H t t -()()22213333273233222228PAES PH OE t t t t t t ∆⎛⎫∴=•=--++=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当32t =时，S 有最大值278()3直线AE 表达式中的k 值为1,则与之垂直的直线表达式中的k 值为1-① 当90PEA ︒∠=时，直线PE 的表达式为1,y x b =-+将点E 的坐标代人并解得13b =,直线PE 的表达式为3,y x =-+联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩解得2x =-或3（不合题意，舍去）故点P 的坐标为()2,5-② 当90PAE ︒∠=时，直线PA 的表达式为2,y x b =-+将点A 的坐标代人并解得23b =,直线PE 的表达式为3,y x =--联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 解得1x =或0（不合题意，舍去）故点()1,4P -综上，点P 的坐标为()2,5-或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．。