第一讲 定义新运算

第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义, 从而解答某些算式的一种运算.解答定义新运算, 关键是要正确地理解新定义的算式含义, 然后严格按照新定义的计算程序, 将数值代入, 转化为常规的四则运算算式进行计算.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式, 它使用的是一些特殊的运算符号, 如：*、△、⊙等, 这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的.新定义的算式中有括号的, 要先算括号里面的. 但它在没有转化前, 是不适合于各种运算定律的.二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b), 求13*5和13*（5*4）.练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).. 求27*9.2、设a*b=a2+2b, 那么求10*6和5*（2*8）.【例题2】设p、q是两个数, 规定：p△q=4×q-(p+q)÷2. 求3△(4△6).练习2：1、设p、q是两个数, 规定p△q＝4×q－（p+q）÷2, 求5△（6△4）.2、设p、q是两个数, 规定p△q＝p2+（p－q）×2. 求30△（5△3）.【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, 4*2=4+44, 那么7*4=________；210*2=________.练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, ……那么4*4=________.2、规定, 那么8*5=________.【例题4】规定②=1×2×3, ③=2×3×4 , ④=3×4×5, ⑤=4×5×6, ……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A, 那么, A是几？练习4：1、规定：②=1×2×3, ③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A, 那么A=________.2、规定：③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ⑥＝5×6×7, ……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□, 那么□＝________.【例题5】设a⊙b=4a－2b+ ab /2,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x.练习5：1、设a⊙b=3a－2b, 已知x⊙（4⊙1）＝7求x.2、对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b= , 求6△4+9△8.3、设M、N是两个数, 规定M*N＝M/N+N/M, 求10*20－1/4.三、课后作业1、设a*b=3a－b×1/2, 求（25*12）*（10*5）.2、如果2*1=1/2, 3*2=1/33, 4*3=1/444, 那么（6*3）÷（2*6）=________.3、如果1※2＝1+2, 2※3＝2+3+4, ……5※6＝5+6+7+8+9+10, 那么x※3＝54中, x＝________.4、对任意两个整数x和y定于新运算, “*”：x*y＝（其中m是一个确定的整数）. 如果1*2＝1, 那么3*12＝________.面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。

第1讲定义新运算教学目标学会理解新定义的内容；理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目；学会自己总结解题技巧。

知识梳理一、知识概念1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

典例分析例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。

求8 ★ 5 。

【解析】该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。

这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a代表数字8，b代表数字5。

8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。

求6◎（9◎2）。

【解析】根据定义，要先算括号里面的。

这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。

6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。

求6Δ5。

【解析】仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。

第一讲定义新运算一、a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。

二、对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b，求75*5=？，12*4=？三、定义运算符“◎”：a◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a、b规定：a○＋b=a+b-1，a○×b=a×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？五、定义运算“○＋”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？六、a、b是自然数，规定a⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？八、规定运算a@b=（a+b）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？九、规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。

第二讲定义新运算作业十、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。

十一、定义新运算“△”：a△b= a÷b×3，求（1）24△6；（2）36△9。

十二、规定a○＋b，表示自然数a到b的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。

十三、定义新运算“○×”，a○×b=10a+20b，求（3○×7）+（4○×8）。

十四、定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？十五、规定a*b=（a+b）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。

十六、规定a☆b=3a-2b，如果x☆（4☆1）=7，求x的值。

十七、规定X○＋Y=（X+Y）÷4求：（1）2○＋（3○＋5），（2）如果X○＋16=10，求X的值。

第一讲定义新运算【知识精讲】1、基本概念：定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表达一种新的运算，这个新的运算符号包含很多种基本运算。

1、基本类型：①直接运算型；②反解未知型；③观察规律型；④其他类型综合2、解题须知：①解决此类问题：关键是正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，讲数值带入算式，再把它化为一般的四则运算，最后进行计算。

②定义新运算是一种特别设计的算式形式，它使特殊的运算符号，与四则运算中的加、减、乘、除符号是不一样的。

如：☉、¤、※、△、▽、◇、☆等来表示的一种运算。

③定义新运算中，同一运算符号，应从左至右一次计算；若有括号，要先计算括号里面的。

【经典例题】例1(直接计算型）设 a、b 都表示两个不同的数，规定 a△b＝3×a＋2×b，表示 a 的 3 倍加上 b 的 2 倍的和.（1）求 4△3 的值。

（2）求 3△4 的值。

例2（直接计算型）设 m、n 都表示两个不同的数，规定 m▽n＝(m＋2n)÷2. （1）求 4▽8▽3 的值；（2）求 12▽(4▽6)的值。

例3（复合型）设a、b都表示两个不同的数，定义：a△b=ab-3b；a◇b=4a-b÷a。

（1）求4△5◇1的值（2）求（4△3）△（2◇6）例4（反解未知数）规定运算“*”及“&”如下：a*b=2ab，a&b=2a+b。

当2*（4&2）+5*x+3&x=57，求x的值例5（观察规律型）已知：2*3=7,5*3=13,4*5=13,7*9=23，……（1）求4*9的值（2）求7*11的值【课堂练习】1、对于任意的两个数p、q规定：q△p=(p+q)÷4。

例如：2△8=(2+8)÷4 。

已知x△(8△4) =6 ，求x的值？2、已知:3□2＝3×4，4□5＝4×5×6×7×8，4□3=4×5×6，按照此规律计算 6□4和3□5分别各是多少?3、设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b-(a+b)。

第一讲定义新运算一、课前热身我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：5+2= 5-2= 5×2= 5÷2=同样都是5和2，为什么运算结果不同呢？在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧：1、对于任意数a、b，定义运算“★”，使a★b=2a×b 求:(1)1★2 (2)2★12、定义一种运算“□”：a□b=3×a-2×b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2)3、规定：3☆2=3+335☆3=5+55+5552☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？4、根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13求：（1）5☆10= （2）10☆5=二、归纳总结解题关键：正确理解新运算的意义，并按照新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。

注意点：（1）新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律；（2）新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。

三、拓展演练例1、对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1 a★b=a×b-1计算（6☆8）★（3☆5）的值。

分析：例2、定义一种运算◆，m◆n表示把算m和n加起来除以4.求a◆16=10中a的值。

分析：例3、规定38=3+8=11，928=9+2+8=19，6281=6+2+8+1=17，照此计算：（1）98989；（2）475+121÷11分析：四、举一反三1、定义a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a-2b,计算（1）5*3，（2）已知X*(4*1)=1,求X的值。

2、规定3#5=3+4+5+6+7，5#4=5+6+7+8，……按此规定计算：（1）1999#6 （2）1#100 （3）已知1#x=45,求x..3、定义一种运算“{}”为：{}a,,=a×b-c×d.求：bcd（1）{}9,8,5,21+{}8,7,9,9；（2）{}8,5,4,m=2，求m的值。

第一讲定义新运算一、教学目标：1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。

2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。

3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功．二、教学重难点：1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。

2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

三、教学方法：引导发现法四、教学过程：（一）导入：1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。

2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。

3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。

5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=394、趣味引导：生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼=在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼=5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤）加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。

一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算（二）例题引导：第一类：（直接运算型）例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。

第一讲：定义新运算加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。

除了这四种运算，我们还可以定义一些其他的运算，这里所说的定义，是指按照某种约定，给这种新运算一个明确的含义，只要弄明白这种含义，就可以正确的计算出有关算式的结果。

注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▢、★、◎、Δ、▤、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

例题精选例1．P★Q=2PQ,求3★5的值。

【思路点拨】看起来和以前的加、减、乘、除不一样。

那么这里的新运算和加、减、乘、除有什么联系呢？按照题目中的定义，这里的“★”表示左右两个数乘积的2倍。

解：3★5=2×3×5=30.我能行！1．a※b=a+b,求13※8的值。

(5分) 2．a□b =3a－b,求（2□5）×7的值。

(5分)例2．如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。

求：9※5的值是多少？【思路点拨】这里的“※”表示求连续自然数的和，“※”前的数字表示第一个数（首项），“※”后面的数表示连续自然数的个数（项数）。

解：9※5=9+10+11+12+13=55。

我能行！1．如果5◎3=5+7+9=21，9◎4=9+11+13+15=48.求7◎3的值是多少？ (10分)2．1※4=1+11+111+1111, 2※3=2+22+222，求6※4的值是多少？ (10分)例3．规定“○”的运算法则如下，对于任何整数a，b，有：2a+b－1 (a+b≥10)a○b=2×a×b (a+b<10)求：（1） 3○5的值（2）5○6的值【思路点拨】这道题实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小，确定进行哪种运算。

解：（1）3○5=2×3×5=30 （2）5○6=2×5＋6－1=15我能行！1．规定“※”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有： p ＋q －10 (p+q ≥10)p ※q= ， 求 （2※4）+（6※8）的值？ (10分)p+2q (p+q<10 )2．规定“☆”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有：p ＋q (p>q)p ☆q= p-q+1 (p=q) ，那么（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=？ (10分) p ×q (p<q )我很棒！1．若a*b=a ×b －a ，求2*5的值。

第一讲 定义新运算专题简析：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例题1。

假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26练习11..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。

2.设a*b=a ×a+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a －12×b ，求（25*12）*（10*5）。

设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6).3△(4△6).＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习21.设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。

2.设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p ×p+（p －q ）×2。

求30△（5△3）。

3.设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M N +N M ，求10*20－14。

第1讲 定义新运算一、知识精要“加、减、乘、除”使我们很熟悉的四种运算，如果有两个数8和4，那么应用“+”的规则就得到12，应用“-”的规则就得到4，应用“X ”的规则就得到32，应用“÷”的规则就得到2。

以上四种对应规则只是一种人为的约定，我们还可以做其他不同的约定，定义一些新的运算。

这一讲就让我们一起去看一看，想一想。

二、课内提升例1 a ，b 表示两个数，“○”表示一种新运算，规定a ○b=3a+4b ，求2○3。

，试一试1 “○”表示一种新运算，定义同例1，求3○2。

例2“○”表示一种新运算，对于任意两个自然数a 和b ，定义为：a ○b=a 2－b 2。

求7 ○（3 ○ 2）。

试一试2 “ ”表示一中心运算，对于任意两个自然数a和b ，定义为：a b=a 2+b 2。

求（1 2） 3和1 （2 3）。

例3 A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=（A+B）÷2。

如果5 x =18，求x。

试一试3 A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=（A+B）÷5。

如果4 x=5，求x。

例4 如果1＃2=1+2，4＃3=4+5+6，6＃4=6+7+8+9，那么9＃5是多少？试一试4 如果1◎3=1×2×3，2◎4=2×3×4×5，3◎2=3×4，那么3◎5是多少？例5 ，，，。

按照这样的规律，求。

试一试5 ，，。

按照这样的规律，求。

三、当堂训练1.A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=2A+3B，求3 1。

2.◎表示一种新运算，对于任意两个自然数a和b，定义为：a◎b=a2+b2。

求6◎（3◎2）。

3.A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A 规定A B=（A-B）÷3。

如果15 x=4，求x。

4.如果1*2=1×2，3*3=3×4×5，5*4=5×6×7×8，那么2*5是多少？5.“表示一种新运算，使下列等式成立：8，=8，，。

第一讲定义新运算一、知识梳理定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。

在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。

解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

二、方法归纳基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

三、课堂精讲【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1．规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5 ？2.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。

例如：4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。

根据上面定义的运算，18△12等于几？例2．如果3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则4*5的值为多少？【规律方法】观察规律，得出运算的规则。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 B3.如果1＃5=5，2＃4=4+44，3＃3=3+33+333，……计算4＃3的值.4.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。

例3．x、y是自然数，规定x▽y=4x—3y，如果5▽a=8，那么a是几？【规律方法】根据新运算列出方程，解方程。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 B5．如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？6.规定a⊕3=a+(a+1)+(a+2)，若x⊕5=45，求x的值。

第一讲定义新运算知识点讲解定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

5☆3=3X5 - 3X3解题技巧要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。

注意事项定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以不能盲目地运用定律和运算性质解题。

例题讲解例1：设a、b都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b，试计算5△6和6△5。

解析：5△6=5×4-6×3=20-18=26△5=6×4-5×3=24-15=9注意：例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2：对于两个数a、b，规定如果a▲b=a×b-(a+b)，求6▲（9▲2）。

解析：括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果又与括号外的部分构成新运算。

本题要运用新运算的关系，计算两次。

6▲（9▲2）= 6▲[ 9×2 - (9+2) ] = 6▲7 = 6×7-（6+7）= 42-13 = 29注意：有小括号，先算小括号里面的。

例3：已知a☆b=a+(a+1)+(a+2)+•••+(a+b-1)，例如：4☆5=4+5+6+7+8，按此规定，2001☆5=？解析：通过观察可以发现，"☆"这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。

2001☆5=2001+2002+2003+2004+2005=2003×5=10015注意：定义新运算有省略号的注意尾项。

自我挑战1、现定义一种新运算：★，对于任意整数a和b，规定有：a★b =a+b-1，则4★[(6★8)★(3★5)]的值为( )？2、如果规定：1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222，3※4＝3＋33＋333＋333＋3333。

第一讲定义新运算学法指导数的运算是指给出几个数，再给出一个对应规则，从而产生出一个新的结果。

比如，给你两个数8和4，用“+”的规则就产生一个数12，用“-”的规则就产生一个数4，用“×”的规则就产生一个数32，用“÷”的规则就产生一个数2.以上的四种对应的规则只是一种人为的约定，定义了我们熟悉的四种运算“加，减，乘，除”。

我们还可以作其他不同的约定，定义一些新的运算。

按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。

1.解题关键。

关键是要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。

2.注意点。

一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配率，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。

例题 1“▽”表示一种新的运算，规定A▽B=3A+4B,求2▽3.[分析与解答]根据规定，这种新运算的意义就是：A的3倍加上B的4倍，所以 2▽3=3×2+4×3=6+12=18试一试1“▽”表示一种新的运算，定义同例1，求3▽2.比较一下，与2▽3的得数相等吗？例题2“⊕”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊕b=a×b-a÷b求6⊕3和（6⊕3）⊕2。

[分析与解答]根据规定，这种新运算的意义就是：求两个数的积，减去这两个数的商。

对于（6⊕3）⊕2，只要先算出括号里面的结果x，然后算出x⊕2的结果。

6⊕3=6×3-6÷3=18-2=16利用这个结果，（6⊕3）⊕2=16⊕2=16×2-16÷2=32-8=24试一试2“*”表示一种新的运算，a*b=a×b-（a+b），求4*5和（4*5）*6.例题3将新运算“⊙”定义为：a⊙b=a²-b²,求7⊙（3⊙2）。

[分析与解答] 按照新运算的意义，就是求两个数的平方差。

第1讲新定义运算【知识概述】定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。

在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。

解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

【典型例题】例1 如果规定a△b=a+b,其中a、b是自然数，那么5△6＝？【思路点拨】根据a△b=a+b，知道用a+b的方法可以算出a△b的结果。

解：依题意有5△6=5+6=11所以5△6＝5+6=11。

例2 如果3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则4*5的值为多少？【思路点拨】认真观察这题的前三个例子，寻找规律，根据这个规律，找出新运算“*”的定义，“*”前面的数表示相加时所用的数字，“*”后面的数是几就表示相加的数从一位数到几位数。

解：依题意有4*5=4+44+444+4444+44444=49380。

例3 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊，羊△狼＝狼，狼△羊＝狼，狼△狼＝狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊＝羊，羊☆狼＝羊，狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走了而只剩下羊了，对羊或狼，可以用上面规定的运算混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。

第一讲定义新运算加、减、乘、除这4种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。

除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其他运算，也就是按照某种规定，给这种新的运算以明确的定义。

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，严格按照规定的计算法则代入运算，其余的计算按我们熟悉的四则运算进行。

例题与方法例1.如果2*3=2+3+4=9 ，5*4=5+6+7+8=26。

那么（1）9*5的值是多少？（2）解方程X*3=15。

思路点拨丁丁：四年级我们学过了一种与常规运算不同的运算，运算起来要按要求进行特殊的运算。

机灵猴：对！这种运算称作定义新运算。

这里的“*”表示什么呢？小麦斯：“*”表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数（首项），“*”后的数表示连续自然数的个数。

解：按照定义，有9*5=9+10+11+12+13=55x*3=x+（x+1）+（x+2）=3x+3原方程可改写成为3x+3=15解方程，得x=4例2定义两种运算“⊕”、“⊙”，对于任意两个整数a、b，都有：a⊕b=a+b-1，a⊙b=a×b-1，若x⊕（x⊙4）=33。

求x的值。

思路点拔丁丁：在有括号时，要先算括号内再算括号外的同时，还要注意有两种运算状态下的运算。

小麦斯：是的，题中有两个“x”，定义了两种运算，这两种运算在运算时不分前后，但运算顺序还是按照四则运算的顺序进行。

有括号时，先算小括号里的，后算括号外的。

机灵猴：我知道了，此题的运算方法是：先根据符号“⊙”所表示的意义，将小括号里的式子改写成x×4-1，再根据符号“⊕”所表示的意义将x⊕（x×4-1）改写成x+（x×4-1）－1，即原式可变为：x×5-2=33，然后再求出未知数x。

解：因为x⊙4=4x-1而x⊕（4⊙x-1）=x+（4×x-1）-1=5x-2所以5x-2=335x=35x=7答：x的值是7。

例3：定义运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+…+（a，b都是自然数）。

第一讲定义新运算一、教学目标：1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。

2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。

3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功．二、教学重难点：1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。

2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

三、教学方法：引导发现法四、教学过程：（一）导入：1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。

2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。

3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。

5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=394、趣味引导：生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼=在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼=5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤）加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。

一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算（二）例题引导：第一类：（直接运算型）例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。