三角比的各个知识点和公式
- 格式：doc
- 大小：51.00 KB
- 文档页数：13
三角比的各个知识点和公式与解斜三角形锐角三角比的定义sinA=角A的对边/斜边cosA＝角A的邻边/斜边tanA=角A的对边/邻边cotA=角A的邻边/对边同角的三角比关系tanA×cotA=1互为余角的三角比关系sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tanA=cot(90-A)cotA=tan(90-A)直角三角形边、角关系边与边a^2+b^2=c^2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。
任意角的三角比象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角其三角比的定义：正弦sinθ=y/r余弦cosθ=x/r正切tanθ=y/x余切cotθ=x/y正割secθ=r/x余割cscθ=r/y公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝c osαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（单变双不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα上述的记忆口诀是：单变双不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．．还有一个与英语有关的记忆口诀，来判断符号。
All Station To Center.每个站都能到中央车站。
All 代表第一象限内所有都为正。
Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。
To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。
Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。
做题时若需要考虑正负，一下子想不起来，可画简略坐标，在四个象限非别表上A S T C，就一目了然了。
同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：tanα=sinα/cosα或者tanα=secα/cscα，可以简记为s/ccotα=cosα/sinα或者cotα=cscα/secα，可以简记为c/s平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα＋tanβ) / (1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ) / (1＋tanα ·tanβ) 倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)tan2α＝2tanα / [1－tan^2(α)]半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2tan^2(α/2)＝(1－cosα) / (1＋cosα)*tan(α/2)=sinα / (1+cosα)=(1-cosα) / sinα万能公式⒌万能公式sinα＝2tan(α/2) / [1＋tan^2(α/2)]cosα＝[1－tan^2(α/2)] / [1＋tan^2(α/2)]tanα＝2tan(α/2) / [1－tan^2(α/2)]三倍角公式⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosαtan3α＝[3tanα－tan^3(α)] / [1－3tan^2(α)]和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[( α－β)/2] sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2] 积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sinα ·cosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]2．余弦定理：2222222222cos2cos2cosa b c bc Ab ac ac Bc b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos2cos2cos2b c aAbca c bBacb a cCab⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC∆中A B Cπ++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===. 6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
补充：1、2、sinα·cosβ=1/(tan α+cot α)2、角的集合：（1）与角a 终边重合的角：{B|B=2k π+a ，K ∈Z}（2）关于X 轴对称：{B|B=2k π-a ，K ∈Z}（3）关于Y 轴对称：{B|B=2k π+π-a ，K∈Z}（4）关于原点对称：{B|B=2k π+π+a ，K∈Z}（5）与角a终边垂直：{B|B=2kπ±π/2+a，K∈Z}（6）与角a关于直线y=x对称：{B|B=2k π±π/2-a，K∈Z}3、辅助角公式：Asinα+Bcosα= （A^2+B^2)^(1/2)sin(α+β)其中sinβ=B/(A^2+B^2)^(1/2)cosβ=A/(A^2+B^2)^(1/2)。
