2.5.1 平面几何中的向量方法

2.5.1 平面几何中的向量方法教学目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．2．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．教学重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题．教学过程导入新课向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．推进新课新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法． 证明：方法一：如图2.图2作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，则Rt △ADF ≌Rt △BCE .∴AD ＝BC ，AF ＝BE .由于AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝AB 2＋2AB ·BE ＋BE 2＋CE 2＝AB 2＋2AB ·BE ＋BC 2.BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2.∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)． 方法二：如图3.图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系． 设B (a,0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )． ∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2， |BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2. ∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB →＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD →＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC →|2与|DB →|2.因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2. ∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2. ①同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2. ② 观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得 |AC →|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 应用示例例1.如图4，ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4解：如图4，设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b . 由于AR →与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R . 又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线，所以我们设ER →＝mEB →＝m (a －12b )．因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )．因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )，即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0.由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13.所以AR →＝13AC →.同理TC →＝13AC →.于是RT →＝13AC →.所以AR ＝RT ＝TC .例2.如图6，已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．图6解：建立如图6所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)， OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c,0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)，同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)．因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2.所以cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.课堂小结1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点． 课堂检测1．有一边长为1的正方形ABCD ，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |＝________. 【答案】22．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，则使λb －a 与a 垂直的λ＝________. 【答案】23．在等边△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且|a |＝1，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________. 【答案】－324．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 【答案】－2或115．如图15所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN .图15解：建立如图16所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a,0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．图16又设M (x 2，b )，N (x 1,0)，则 AM →＝(x 2,0)，CN →＝(x 1－a,0)．∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)，∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b2)＝0. ∴x 2＝a －x 1.∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |. 而|CN →|＝（x 1－a ）2＝|x 1－a |， ∴|AM →|＝|CN →|，即AM ＝CN .。

2.5.1平面几何中的向量方法由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

问题探究：例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？分析：不妨设=，=，则=+，=-，。

与解= ·=（+）·（-）=a·a+a·b+b·a+b·b+2a·b。

同理-2a·b。

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得+=2）=2+）。

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

思考如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。

解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。

这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

例2 如图2.5-2，连接□ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边的中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上的两点要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可。

O Aaaab b b2.5.1平面几何中的向量方法教材分析本节内容是数学4 第二章平面向量第5节平面向量应用举例第1小节，是在学习了平面向量定义运算数量积的基础上，展示平面向量在平面几何和物理中的应用.向量作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的很多章节，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，特别是在解决几何问题中的工具作用更为突出．这种数学方法，把几何从思辨数学化成算法数学，降低了思考问题的难度，推进了几何研究的发展．本节内容是中学数学知识网络的一个交汇点，因此在中学数学教材中的地位也越来越重要．本节也为学生以后学习向量在三角函数、立体几何、复数等章节内容中的应用奠定了基础．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要探究用向量方法解决平面几何问题.教学目标重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤． 难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题． 知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲． 能力点：发展创新意识,提高转化与化归能力.教育点：通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点． 自主探究点：三角形四心的向量表示．考试点：利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算． 易错易混点：向量基底的选择． 拓展点：利用向量证明有关不等式．教具准备 三角板、圆规、多媒体 课堂模式 探究导学 一、 复习引入【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运算，１．你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？ （１）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则（２）向量减法的法则：三角形法则与平行四边形法则B’（３）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,λλ使a=1λ1e 2λ+2e . （４）向量的数量积及其几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影cos b θ 的乘积．数量积的作用求模求夹角证垂直．(5) 向量的模：=22y x +=，221221)()(y y x x -+-=． 2、向量的代数身份是通过什么来实现的？答：坐标表示．当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算． 【设计说明】教师设问，学生思考画图，教师在多媒体实物展示学生的复习成果．【设计意图】设置问题，点明主题，让学生回顾学过的知识，明确探究方向，有利于本节课的探究．二、探究新知【情境引入】长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？答：222222AB BC CD DA AC BD +++=+【师生活动】教师设问，学生画图， 集体回答，教师教师在多媒体书写公式结论．【设计意图】长方形是特殊的平行四边形，公式结论是学生已知的，为研究平行四边形这个一般问题奠定了基础，体现了由特殊到一般的数学思想．探究１.例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,AC AB AD DB AB AD =+=-，类比长方形对角线的长度与两条邻边长度之间的上述关系，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？【师生活动】分析：不妨设设,AB a AD b ==，（选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示．） 则,AC a b DB a b =+=- ， 2222,AB a AD b == ．涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算22,AC DB ．解：222()()2AC AC AC a b a b a a a b b a b b a a b b==++=+++=++ （１） 同理2DB = 222.a a b b -+（２） 观察(1),(2)两式的特点，我们发现，(1)(2)+得2222222()2()AC DB a b AB AD +=+=+即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．【设计说明】教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，并运用向量方法进行证明．【设计意图】借助平行四边形这个向量加法与减法的几何模型，引导学生用向量的数量级证明与长度有关的几何问题，加强向量方法的“三步曲”的应用．思考2：向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？解:如图建立平面直角坐标系,设(,0),(,)B a D b c ,则(,)C a b c +222AB BD +=|222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++【师生活动】教师可引导学生思考探究，利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题，可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标，如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利(,0),(,),AB a AD b c ==(,),(,)AC a b c DB a b c =+=--||,||AB a AD ==|||AC DB == 2222AB BC CD DA +++=222222(||||)2(),AB AD a b c +=++22AC BD +=22222||||2()AC DB a b c +=++用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．【设计意图】进一步调动学生的思维，引导学生应用不同的向量方法解决典型问题，有利于培养学生的发散思维能力．思考３：如果不用向量方法，你能用其他方法证明上述结论吗？ 证明:作CF AB ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，则RT ADE RT BCF ∆≅∆，,AD BC AE BF ∴==， 由于22222()AC AF CF AB BF CF =+=++2222222AB BF AB BF CF AB BC AB BF=+++=++22222222()2BD BE DE AB AE DE AB AB AE AE DE =+=-+=-++222AB AB AE AD =-+ 222AB AB AE BC =-+22222()AC BD AB AD ∴+=+.【师生活动】教师可引导学生思考探究，学生作辅助线，利用平面几何勾股定理解决问题．【设计意图】教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，在培养学生发散思维的同时，让学生体会向量法解决几何问题的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．三、理解新知【师生活动】师：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？生：运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．师生共同简述：形到向量 ⇒ 向量的运算⇒向量和数到形．【设计意图】总结解题方法，加深对用向量方法处理平面几何问题的一般步骤的理解，突破重难点．四、运用新知探究２．例２如图，平行四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AD DC 边的中点，,BE BF 分别与AC 交于,R T 两点，你能发现,,AR RT TC 之间的关系吗？猜想：AR RT TC ==【师生活动】分析：由于,R T 是对角线AC 上的两点，要判断,,AR RT TC之间的关系，只需分别判断,,AR RT TC 与AC 的关系即可解：第一步, 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设,,,AB a AD b AR r AC a b ====+ 则.第二步, 通过向量运算,研究几何元素之间的关系:由于AR 与AC共线,所以我们设又因为12EB AB AE a b =-=-ER 与EB共线,所以我们设1()2ER mEB m a b ==-因为AR AE ER =+所以11()22r b m a b =+-因此11()()22n a b b m a b +=+-,即1()()02m n m a n b --++=.由于向量,a b不共线,要使上式为0 ,必须0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得13n m ==. 所以13AR AC = .同理13TC AC = .于是(),AR r nAC n a b n R ===+∈13RT AC = .第三步,把运算结果“翻译”成几何关系AR RT TC ==.【设计说明】此题对学生而言有一定难度，先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜想出结论，师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点，引导学生用待定系数法表示两平行向量，进而解答出此题． 通过“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想和方法．【设计意图】通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用，同样重要的是此题应用到了平行向量基本定理和平面向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量的重要数学思想，和待定系数法这个重要的数学方法．通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题．变式练习1. 已知AC 为圆O 的一条直径，ABC ∠为圆周角.求证：90ABC ∠=．证明：设,,AO a OC OB b a b ====,AB AO OB a b =+=+ BC a b =-，22()()0AB BC a b a b a b =+-=-= AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠= ．【设计意图】让学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量问题.变式练习２. 已知在等腰ABC ∆中，,BB CC ''是两腰上的中线,且BB CC ''⊥,求顶角A 的余弦值．解:建立如图所示的平面直角坐标系,取(0,),(,0)A a C c 则(,0)B c -，(0,),(,),(,0),(2,0)OA a BA c a OC c BC c ====．因为,BB CC ''′都是中线，所以'BB = 21()BC BA + = 3(,)22c a ， ,同理=3(,)22c a-．因为BB CC ''⊥，所以229044a c -+=,229a c =．所以cos A =54299||||2222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB ． 【设计说明】教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成. 【设计意图】本例利用的方法与探究2有所不同，但其本质是一致的，比较两种解法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通,灵活运用．课堂练习：1．向量,,b OB a OA ==且不共线, 则AOB ∠的平分线OM 可表示为（ D ）.,.,a b a b A B a b a b+++..()b a a b a b C D a ba bλ+++２．如图，已知,,AD BE CF 是ABC ∆三条高．求证：,,AD BE CF 交于一点． 分析：设AD 与BE 交于H ，只须证⊥由此可设=，=，=如何证⊥？如何证0=⋅？利用AH ⊥CB ，BH ⊥CA ．（解答过程由学生完成）五、课堂小结1.用向量法解平面几何问题的基本思路 用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.简述：形到向量 ⇒向量的运算⇒向量和数到形． 2.本节课用到了哪些思想方法? 平面向量的基本定理ABC D EFH如果12,e e是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+．说明：(1)作为基底的两个向量必须不共线(2)用基底可以表示平面内任意一个向量 （3）基底给定时,分解形式唯一.当要表示同一平面内的多个向量时，要想到“向量基底化”思想．【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于以后的学习中．六、布置作业1．必做题：课本P113 A 组1、2 ２．选做题： 设过AOB ∆的重心G 的直线与边,OA OB 分别交于点,P Q ，设,OP xOA OQ yOB ==，AOB ∆ 与OPQ ∆的面积分别是,S T ，证明：（1）311=+yx ； （2）S T S 2191≤≤．【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.３. 课后练习 自主学习丛书２.５七、教后反思本节知识容量较大，思维量较高，相比较向量的代数运算，向量的几何运算学生往往感到比较困难，难以把几何问题化归为向量问题.教师可让学有余力的学生课下继续探讨，达到灵活运用．由于本节知识在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点.应引导学生关注这些知识的交汇.提高学生综合解决问题的能力.本节课遵循新课标的指导思想，把课堂交给学生，尽量让学生自己通过探究得到知识，对于学生有难度的知识老师给予有梯度的提示引导学生思考，自己获得知识，效果良好．八、板书设计ABO PQG。

2.5.1平面几何中的向量方法教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a b a =⋅2. 平面两向量数量积的坐标表示: .2121y y x x b a +=⋅3. 向量平行与垂直的判定:.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 平面内两点间的距离公式： 221221)()(||y y x x AB -+-=5. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=练习 教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.二、讲解新课：例1. 已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 为圆周角.求证：∠ABC ＝90o . 证明：设,==,== ,b a OB AO AB +=+=,b a BC -=,0)()(=-=-⋅+=⋅ ,BC AB ⊥∴ o ABC 90=∠∴例2. 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高.求证： AD ，BE ，CF 相交于一点.例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，, , -=+= 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例4．如图，□ ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？课堂小结用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.课后作业1. 阅读教材P.109到P.111;2. 《习案》作业二十五.BB。