9-3-1-带电粒子在复合场中运动的实例分析

带电粒子在复合场中的运动1、如图所示，在y > 0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y < 0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外．一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y = h 处的点P1时速率为v0，方向沿x 轴正方向，然后经过x 轴上x = 2h 处的P2点进入磁场，并经过y 轴上y = – 2h 处的P3点．不计粒子的重力，求 （1）电场强度的大小；（2）粒子到达P2时速度的大小和方向； （3）磁感应强度的大小． 2、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，第一、第四象限是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向如图。

一个质量为m ，电荷量为+q 的带电粒子从P 孔以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ=30°，粒子恰好从y 轴上的C孔垂直于匀强电场射入匀强电场，经过x 轴的Q 点，已知OQ=OP ，不计粒子的重力，求：（1）粒子从P 运动到C 所用的时间t ； （2）电场强度E 的大小；（3）粒子到达Q 点的动能Ek 。

3、如图所示，半径分别为a 、b 的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O 处固定一个半径很小（可忽略）的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U ，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿＋x 轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m ，电量为q ，（不计粒子重力，忽略粒子初速度）求：（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B 。

（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且b ＝（2＋1）a ，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。

带电粒子在复合场中的运动一、带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏例1、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。

在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。

一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。

如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）例2、如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，在x 轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不记）例3、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为R1=√33m，外半径为R2=1.0m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，已知磁感应强度B=1.0 T，被束缚粒子的比荷qm=4×107C/kg。

(1)若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度V0.(2)若中空区域中的带电粒子以（1)中的最大速度V0沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到该点所需要的时间t。

例4、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截面内半径为R1=a，外半径为R2=(2√2−1)a，环形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。

专题强化十一 带电粒子在复合场中运动的实例分析专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心．3．用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．1．作用测量带电粒子质量和分离同位素的仪器． 2．原理(如图1所示)图1(1)加速电场：qU ＝12m v 2；(2)偏转磁场：q v B ＝m v 2r ，l ＝2r ；由以上两式可得r ＝1B2mUq， m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2U B 2r 2.例1 (2019·山东济南市上学期期末)质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图2所示，虚线上方有两条半径分别为R 和r (R >r )的半圆形边界，分别与虚线相交于A 、B 、C 、D 点，圆心均为虚线上的O 点，C 、D 间有一荧光屏．虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B .虚线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从AB 的中点垂直进入磁场，离子打在边界上时会被吸收．当加速电压为U 时，离子恰能打在荧光屏的中点．不计离子的重力及电、磁场的边缘效应．求：(1)离子的比荷；(2)离子在磁场中运动的时间；(3)离子能打在荧光屏上的加速电压范围．图2答案 (1)8UB 2(R ＋r )2 (2)πB (R ＋r )28U (3)U (R ＋3r )24(R ＋r )2≤U ′≤U (3R ＋r )24(R ＋r )2解析 (1)由题意知，加速电压为U 时，离子在磁场区域做匀速圆周运动的半径r 0＝R ＋r2洛伦兹力提供向心力，q v B ＝m v 2r 0在电场中加速，有qU ＝12m v 2解得：q m ＝8UB 2(R ＋r )2(2)离子在磁场中运动的周期为T ＝2πmqB在磁场中运动的时间t ＝T2解得：t ＝πB (R ＋r )28U(3)由(1)中关系，知加速电压和离子轨迹半径之间的关系为U ′＝4U(R ＋r )2r ′2 若离子恰好打在荧光屏上的C 点，轨道半径r C ＝R ＋3r4U C ＝U (R ＋3r )24(R ＋r )2若离子恰好打在荧光屏上的D 点，轨道半径r D ＝3R ＋r4U D ＝U (3R ＋r )24(R ＋r )2即离子能打在荧光屏上的加速电压范围：U (R ＋3r )24(R ＋r )2≤U ′≤U (3R ＋r )24(R ＋r )2.变式1 (2019·福建龙岩市5月模拟)质谱仪的原理如图3所示，虚线AD 上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C 、D 间有一荧光屏．同位素离子源产生a 、b 两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a 离子恰好打在荧光屏C 点，b 离子恰好打在D 点．离子重力不计．则( )图3A ．a 离子质量比b 的大B ．a 离子质量比b 的小C ．a 离子在磁场中的运动时间比b 的长D ．a 、b 离子在磁场中的运动时间相等 答案 B解析 设离子进入磁场的速度为v ，在电场中qU ＝12m v 2，在磁场中Bq v ＝m v 2r ，联立解得：r＝m v Bq ＝1B2mUq，由题图知，b 离子在磁场中运动的轨道半径较大，a 、b 为同位素，电荷量相同，所以b 离子的质量大于a 离子的质量，所以A 错误，B 正确；在磁场中运动的时间均为半个周期，即t ＝T 2＝πmBq ，由于b 离子的质量大于a 离子的质量，故b 离子在磁场中运动的时间较长，C 、D 错误．1．构造：如图4所示，D 1、D 2是半圆形金属盒，D 形盒处于匀强磁场中，D 形盒的缝隙处接交流电源．图42．原理：交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子被加速一次． 3．最大动能：由q v m B ＝m v m 2R 、E km ＝12m v m 2得E km ＝q 2B 2R 22m ，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定，与加速电压无关． 4．总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU ，加速次数n ＝E kmqU ，粒子在磁场中运动的总时间t ＝n 2T ＝E km 2qU ·2πm qB ＝πBR 22U.例2 (多选)(2019·山东烟台市第一学期期末)如图5所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D 形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D 形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( )图5A ．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大B ．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D 形金属盒的半径和磁感应强度有关C ．若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小D ．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为5∶ 6 答案 BC解析 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：q v m B ＝m v m 2R ，解得：v m ＝qBRm ，则粒子获得的最大动能为：E km ＝12m v m 2＝q 2B 2R 22m ，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R 和磁感应强度B 有关，故A 错误，B 正确；对粒子，由动能定理得：nqU ＝q 2B 2R 22m ，加速次数：n ＝qB 2R 22mU ，增大加速电压U ，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间：t ＝n 2T ＝n πm qB将减小，故C 正确；对粒子，由动能定理得：nqU＝12m v n 2，解得v n＝2nqUm，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：q v n B＝m v n2r n，解得：r n＝1B 2nmUq，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为：r4r5＝45，故D错误．变式2 (多选)(2019·福建龙岩市3月质量检查)回旋加速器是加速带电粒子的装置，如图6所示．其核心部件是分别与高频交流电源两极相连接的两个D 形金属盒(D 1、D 2)，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，D 形盒的半径为R .质量为m 、电荷量为q 的质子从D 1半盒的质子源(A 点)由静止释放，加速到最大动能E km 后经粒子出口处射出．若忽略质子在电场中的加速时间，且不考虑相对论效应，则下列说法正确的是( )图6A ．质子加速后的最大动能E km 与交变电压U 大小无关B ．质子在加速器中的运行时间与交变电压U 大小无关C ．回旋加速器所加交变电压的周期为πR2mE kmD ．D 2盒内质子的轨道半径由小到大之比为1∶3∶5∶… 答案 ACD解析 质子在回旋加速器中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有q v B ＝m v 2r ，则v ＝qBrm ，当r ＝R 时，质子有最大动能：E km ＝12m v m 2＝q 2B 2R 22m ，知质子加速后的最大动能E km 与交变电压U 大小无关，故A 正确；质子离开回旋加速器时的动能是一定的，与加速电压无关，由T ＝2πmqB可知相邻两次经过电场加速的时间间隔不变，获得的动能为qU ，故电压越大，加速的次数n 越少，在加速器中的运行时间越短，故B 错误；回旋加速器所加交变电压的周期与质子在D 形盒中运动的周期相同，由T ＝2πm qB ，R ＝m v m qB ，E km ＝12m v m 2知，T ＝πR2mE km，故C 正确；质子每经过1次加速电场动能增大qU ，知D 2盒内质子的动能由小到大依次为qU 、3qU 、5qU …，又r ＝m v qB ＝2mE k qB，则半径由小到大之比为1∶3∶5∶…，故D 正确.共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，q v B ＝qE . 1．速度选择器(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．(如图7)图7(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是q v B ＝qE ，即v ＝EB .(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量． (4)速度选择器具有单向性．例3 如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v 0＝EB 时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v 射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是( )图8A ．粒子射入的速度一定是v >EBB ．粒子射入的速度可能是v <EBC ．粒子射出时的速度一定大于射入速度D ．粒子射出时的速度一定小于射入速度 答案 B 2．磁流体发电机(1)原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B 、A 板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．图9(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极．(3)电源电动势U ：设A 、B 平行金属板的面积为S ，两极板间的距离为l ，磁场磁感应强度为B ，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v ，板外电阻为R .当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U (即电源电动势)，则q Ul ＝q v B ，即U ＝Bl v .(4)电源内阻：r ＝ρlS .(5)回路电流：I ＝Ur ＋R.例4 (2019·福建三明市期末质量检测)磁流体发电机的原理如图10所示．将一束等离子体连续以速度v 垂直于磁场方向喷入磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，可在相距为d 、面积为S 的两平行金属板间产生电压．现把上、下板和电阻R 连接，上、下板等效为直流电源的两极．等离子体稳定时在两极板间均匀分布，电阻率为ρ.忽略边缘效应及离子的重力，下列说法正确的是( )图10A ．上板为正极，a 、b 两端电压U ＝Bd vB ．上板为负极，a 、b 两端电压U ＝Bd 2v ρS RS ＋ρdC ．上板为正极，a 、b 两端电压U ＝Bd v RSRS ＋ρdD ．上板为负极，a 、b 两端电压U ＝Bd v RSRd ＋ρS答案 C解析 根据左手定则可知，等离子体射入两极板之间时，正离子偏向a 板，负离子偏向b 板，即上板为正极；稳定时满足U ′d q ＝Bq v ，解得U ′＝Bd v ；根据电阻定律可知两极板间的电阻为r ＝ρdS ，根据闭合电路欧姆定律：I ＝U ′R ＋r ，a 、b 两端电压U ＝IR ，联立解得U ＝Bd v RS RS ＋ρd ，故选C. 3．电磁流量计(1)流量(Q )的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积． (2)公式：Q ＝S v ；S 为导管的横截面积，v 是导电液体的流速．(3)导电液体的流速(v )的计算如图11所示，一圆柱形导管直径为d ，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a 、b 间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差(U )达到最大，由q Ud ＝q v B ，可得v＝U Bd.图11(4)流量的表达式：Q ＝S v ＝πd 24·U Bd ＝πdU4B .(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa >φb .例5 为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a 、b 、c ，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M 、N 两端间的电压表将显示两个电极间的电压U .若用Q 表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是( )图12A ．M 端的电势比N 端的高B ．电压表的示数U 与a 和b 均成正比，与c 无关C ．电压表的示数U 与污水的流量Q 成正比D ．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0 答案 C解析 根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N 端带正电，M 端带负电，则M 端的电势比N 端电势低，故A 错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：q v B ＝q Ub ，解得U ＝v Bb ，电压表的示数U 与b 成正比，与污水中正、负离子数无关，故B 、D 错误；因v ＝U Bb ，则流量Q ＝v bc ＝Uc B ，因此U ＝BQc ，所以电压表的示数U 与污水流量Q 成正比，故C 正确．4．霍尔效应的原理和分析(1)定义：高为h 、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体的上表面A 和下表面A ′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．(2)电势高低的判断：如图13，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A ′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A ′的电势低．图13(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q )在洛伦兹力作用下偏转，A 、A ′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A 、A ′间的电势差(U )就保持稳定，由q v B ＝q U h ，I ＝nq v S ，S ＝hd ；联立得U ＝BI nqd ＝k BI d ，k ＝1nq称为霍尔系数． 例6 (2019·北京市东城区二模)霍尔元件是能够把磁感应强度这个磁学量转换为电压这个电学量的电学元件．其结构和原理如图14所示，在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E 、F 、M 、N ，它就成了一个霍尔元件．在E 、F 间通入恒定的电流 I ，同时外加与薄片垂直的磁场B ，则薄片中的载流子就在洛伦兹力的作用下，向着与电流和磁场都垂直的方向漂移，使M 、N 间出现了电压，称为霍尔电压U H .当磁场方向和电流方向如图所示时，关于M 、N 极板电势的高低，下列说法正确的是( )图14A ．不管载流子带电性质如何，电极N 的电势一定高于电极MB ．不管载流子带电性质如何，电极N 的电势一定低于电极MC ．只有当载流子为负电荷时，电极M 的电势才高于电极ND ．只有当载流子为正电荷时，电极M 的电势才高于电极N答案 C解析 当载流子为负电荷时，由左手定则可知，负电荷偏向电极N ，则电极M 的电势高于电极N ；当载流子为正电荷时，由左手定则可知，正电荷偏向电极N ，电极M 的电势低于电极N ，故选C.1．在如图1所示的平行板器件中，电场强度E 和磁感应强度B 相互垂直．一带电粒子(重力不计)从左端以速度v 沿虚线射入后做直线运动，则该粒子( )图1A ．一定带正电B ．速度v ＝E BC ．若速度v ＞E B，粒子一定不能从板间射出 D ．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动答案 B解析 粒子带正电和负电均可，选项A 错误；由洛伦兹力等于电场力，可得q v B ＝qE ，解得速度v ＝E B ，选项B 正确；若速度v ＞E B，粒子可能会从板间射出，选项C 错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不能做直线运动，选项D 错误．2．(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))医用回旋加速器的核心部分是两个D 形金属盒，如图2所示，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(21H)和氦核(42He)并通过线束引出加速器．下列说法中正确的是( )图2A ．加速两种粒子的高频电源的频率相同B ．两种粒子获得的最大动能相同C ．两种粒子在D 形盒中运动的周期相同D ．增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能答案 AC解析 回旋加速器加速粒子时，粒子在磁场中运动的周期应和交流电的周期相同．带电粒子在磁场中运动的周期T ＝2πm qB ，两粒子的比荷q m相等，所以周期相同，故加速两种粒子的高频电源的频率也相同，A 、C 正确； 根据q v B ＝m v 2R ，得v ＝qBR m ，最大动能E k ＝12m v 2＝q 2B 2R 22m，与加速电压无关，两粒子的比荷q m相等，电荷量q 不相等，所以最大动能不等，故B 、D 错误．3.(多选)如图3所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板P 、Q 之间有一个很强的磁场．一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电离子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场．把P 、Q 与电阻R 相连接．下列说法正确的是( )图3A ．Q 板的电势高于P 板的电势B ．R 中有由a 向b 方向的电流C ．若只改变磁场强弱，R 中电流保持不变D ．若只增大离子入射速度，R 中电流增大答案 BD解析 等离子体进入磁场，根据左手定则，正离子向上偏，打在上极板上，负离子向下偏，打在下极板上，所以上极板带正电，下极板带负电，则P 板的电势高于Q 板的电势，流过电阻R 的电流方向由a 到b ，故A 错误，B 正确；依据电场力等于洛伦兹力，即q U d＝q v B ，则有U ＝Bd v ，再由闭合电路欧姆定律I ＝U R ＋r ＝Bd v R ＋r，电流与磁感应强度成正比，故C 错误；由以上分析可知，若只增大离子的入射速度，R 中电流会增大，故D 正确．4.(多选)利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域．如图4所示是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下，当元件中通入图示方向的电流I 时，C 、D 两侧面会形成一定的电势差U .下列说法中正确的是( )图4A ．若C 侧面电势高于D 侧面，则元件中形成电流的载流子带负电B ．若C 侧面电势高于D 侧面，则元件中形成电流的载流子带正电C ．在地球南、北极上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置时U 最大D ．在地球赤道上方测地磁场强弱时，元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时，U 最大 答案 AD解析 若元件的载流子带负电，由左手定则可知，载流子受到洛伦兹力向D 侧面偏，则C 侧面的电势高于D 侧面的电势，故A 正确；若元件的载流子带正电，由左手定则可知，载流子受到洛伦兹力向D 侧面偏，则D 侧面的电势高于C 侧面的电势，故B 错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时，因磁场方向竖直，则元件的工作面保持水平时U 最大，故C 错误；地球赤道上方的地磁场方向水平，在测地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持竖直，当与地球经线垂直时U 最大，故D 正确．5．(2019·山西临汾市二轮复习模拟)容器A 中装有大量的质量、电荷量不同但均带正电的粒子，粒子从容器下方的小孔S 1不断飘入加速电场(初速度可视为零)做直线运动，通过小孔S 2后从两平行板中央沿垂直电场方向射入偏转电场．粒子通过平行板后沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域，最后打在感光片上，如图5所示．已知加速电场中S 1、S 2间的加速电压为U ，偏转电场极板长为L ，两板间距也为L ，板间匀强电场强度E ＝2U L，方向水平向左(忽略板间外的电场)，平行板f 的下端与磁场边界ab 相交于点P ，在边界ab 上实线处固定放置感光片．测得从容器A 中逸出的所有粒子均打在感光片PQ 之间，且Q 距P 的长度为3L ，不考虑粒子所受重力与粒子间的相互作用，求：图5(1)粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab 间的夹角；(2)射到感光片Q 处的粒子的比荷(电荷量q 与质量m 之比)；(3)粒子在磁场中运动的最短时间．答案 (1)45° (2)U 2L 2B 2 (3)3πBL 216U解析 (1)设质量为m 、电荷量为q 的粒子通过孔S 2的速度为v 0，则：qU ＝12m v 02粒子在平行板e 、f 间做类平抛运动：L ＝v 0t，v x ＝qE m t ，tan θ＝v 0v x联立可得：tan θ＝1，则θ＝45°，故其速度方向与边界ab 间的夹角为θ＝45°.(2)粒子在偏转电场中沿场强方向的位移x ＝12v x t ＝L 2，故粒子从e 板下端与水平方向成45°角斜向下射入匀强磁场，如图所示，设质量为m 、电荷量为q 的粒子射入磁场时的速度为v ，做圆周运动的轨道半径为r ，则v ＝v 02＋v x 2＝2v 0＝2qU m由几何关系：r 2＋r 2＝(4L )2则r ＝22Lq v B ＝m v 2r ，则r ＝m vqB联立解得：qm ＝U2L 2B 2.(3)设粒子在磁场中运动的时间为t ，偏转角为α，则t ＝αm qB ，r ＝m v qB ＝2B mUq联立可得：t ＝αBr 24U因为粒子在磁场中运动的偏转角α＝32π，所以粒子打在P 处时间最短，此时半径为r ′， 由几何关系知：r ′2＋r ′2＝L 2，则r ′＝22L联立可得：t min ＝32πB L 224U ＝3πBL 216U .。

2021年（新高考）物理一轮复习考点强化全突破专题（26）带电粒子在复合场中运动的实例分析（解析版）一、带电粒子在复合场中的运动1．复合场的分类(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现．2．带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．(4)分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化．二、电场与磁场的组合应用实例命题热点一质谱仪的原理和分析1．作用测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．2．原理(如图所示）(1)加速电场：qU ＝12mv 2； (2)偏转磁场：qvB ＝mv 2r，l ＝2r ； 由以上两式可得r ＝1B2mU q， m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2U B 2r 2. 例1 如图所示，在x 轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 0的匀强磁场，位于x 轴下方的离子源C 发射质量为m 、电荷量为q 的一束负离子，其初速度大小范围为0～3v 0.这束离子经电势差为U ＝mv 022q 的电场加速后，从小孔O (坐标原点)垂直x 轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x 轴上．在x 轴上2a ～3a区间水平固定放置一探测板(a ＝mv 0qB 0)．假设每秒射入磁场的离子总数为N 0，打到x 轴上的离子数均匀分布(离子重力不计)．(1)求离子束从小孔O 射入磁场后打到x 轴的区间；(2)调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板的右端，求此时的磁感应强度大小B 1；(3)保持磁感应强度B 1不变，求每秒打在探测板上的离子数N ；若打在板上的离子80%被板吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，求探测板受到的作用力大小．【答案】见解析【解析】(1)对于初速度为0的粒子：qU ＝12mv 12 由B 0qv 1＝m v 12r 1得r 1＝mv 1qB 0＝a 恰好打在x ＝2a 的位置对于初速度为3v 0的粒子qU ＝12mv 22－12m (3v 0)2 由B 0qv 2＝m v 22r 2得 r 2＝mv 2qB 0＝2a ， 恰好打在x ＝4a 的位置离子束打在x 轴上的区间为[2a,4a ](2)由动能定理qU ＝12mv 22－12m (3v 0)2 由B 1qv 2＝m v 22r 3得 r 3＝mv 2qB 1r 3＝32a 解得B 1＝43B 0 (3)离子束能打到探测板的实际位置范围为2a ≤x ≤3a即a ≤r ≤32a ，对应的速度范围为43v 0≤v ′≤2v 0 每秒打在探测板上的离子数为N ＝N 02v 0－43v 02v 0－v 0＝23N 0 根据动量定理被吸收的离子受到板的作用力大小F 吸＝Δp 吸Δt ＝0.8N 2(2mv 0＋43mv 0)＝8N 0mv 09被反弹的离子受到板的作用力大小F 反＝Δp 反Δt ＝0.2N 2[2m (v 0＋0.6v 0)＋43m (v 0＋0.6v 0)]＝1645N 0mv 0 根据牛顿第三定律，探测板受到的作用力大小F ＝F 吸′＋F 反′＝5645N 0mv 0. 命题热点二 回旋加速器的原理和分析1．构造：如图所示，D 1、D 2是半圆形金属盒，D 形盒处于匀强磁场中，D 形盒的缝隙处接交流电源．2．原理：交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子被加速一次．3．粒子获得的最大动能：由qv m B ＝mv 2m R 、E km ＝12mv m 2得E km ＝q 2B 2R 22m，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定，与加速电压无关．例2 小明受回旋加速器的启发，设计了如图5甲所示的“回旋变速装置”．两相距为d 的平行金属栅极板M 、N ，板M 位于x 轴上，板N 在它的正下方．两板间加上如图乙所示的幅值为U 0的交变电压，周期T 0＝2πm qB.板M 上方和板N 下方有磁感应强度大小均为B 、方向相反的匀强磁场．粒子探测器位于y 轴处，仅能探测到垂直射入的带电粒子．有一沿x 轴可移动、粒子出射初动能可调节的粒子发射源，沿y 轴正方向射出质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子．t ＝0时刻，发射源在(x,0)位置发射一带电粒子．忽略粒子的重力和其它阻力，粒子在电场中运动的时间不计．(1)若粒子只经磁场偏转并在y ＝y 0处被探测到，求发射源的位置和粒子的初动能；(2)若粒子两次进出电场区域后被探测到，求粒子发射源的位置x 与被探测到的位置y 之间的关系．【答案】(1)x ＝y 0 q 2B 2y 022m(2)见解析 【解析】(1)根据题意，粒子沿着y 轴正方向射入，只经过磁场偏转，探测器仅能探测到垂直射入的粒子，粒子轨迹为14圆周，因此射入的位置为x ＝y 0 根据R ＝y 0，qvB ＝m v 2R， 可得E k ＝12mv 2＝q 2B 2y 022m(2)根据题意，粒子两次进出电场，然后垂直射到y 轴，由于粒子射入电场后，会做减速直线运动，且无法确定能否减速到0，因此需要按情况分类讨论①第一次射入电场即减速到零，即当E k0<qU 0时，轨迹如图所示根据图中几何关系则x ＝5y ；①第一次射入电场减速(速度不为0)射出电场，第二次射入电场后减速到0，则当qU 0<E k0<2qU 0时，轨迹如图所示r 0＝mv 0qB ，r 1＝mv 1qB－qU 0＝12mv 12－12mv 02 x ＝2r 0＋3r 1，y ＝r 1联立解得x ＝2y 2＋2mU 0qB 2＋3y ①两次射入电场后均减速射出电场，即当E k0>2qU 0时，轨迹如图所示r 0＝mv 0qB ，r 1＝mv 1qB ，r 2＝mv 2qB－qU 0＝12mv 12－12mv 02 －qU 0＝12mv 22－12mv 12 且x ＝r 2＋2r 1＋2r 0，y ＝r 2联立解得x ＝2⎝⎛⎭⎫ y 2＋2mU 0qB 2＋y 2＋ 4mU 0qB 2＋y命题热点三 电场与磁场叠加的应用实例分析共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB ＝qE .1．速度选择器(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．如图(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB ＝qE ，即v ＝E B. (3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．(4)速度选择器具有单向性．例3 在如图所示的平行板器件中，匀强电场E 和匀强磁场B 互相垂直．一束初速度为v 的带电粒子从左侧垂直电场射入后沿图中直线①从右侧射出．粒子重力不计，下列说法正确的是( )A ．若粒子沿轨迹①射出，则粒子的初速度一定大于vB ．若粒子沿轨迹①射出，则粒子的动能一定增大C ．若粒子沿轨迹①射出，则粒子可能做匀速圆周运动D ．若粒子沿轨迹①射出，则粒子的电势能可能增大【答案】D【解析】若粒子沿题图中直线①从右侧射出，则qvB ＝qE ，若粒子沿轨迹①射出，粒子所受向上的力大于向下的力，但由于粒子电性未知，所以粒子所受的电场力与洛伦兹力方向不能确定，不能确定初速度与v 的关系，故A 、B 错误；若粒子沿轨迹①射出，粒子受电场力、洛伦兹力，不可能做匀速圆周运动，故C 错误；若粒子沿轨迹①射出，如果粒子带负电，所受电场力向上，洛伦兹力向下，电场力做负功，粒子的电势能增大，故D 正确．2．磁流体发电机(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B 、A 板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极．(3)设A 、B 平行金属板的面积为S ，两极板间的距离为l ，磁场磁感应强度为B ，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v ，板外电阻为R .电源电动势U ：当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U (即电源电动势)，则q U l＝qvB ，即U ＝Blv . 电源内阻：r ＝ρl S. 回路电流：I ＝U r ＋R. 例4 磁流体发电的原理如图10所示，将一束速度为v 的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B 的匀强磁场中，在相距为d 、宽为a 、长为b 的两平行金属板间便产生电压．如果把上、下板和电阻R 连接，上、下板就是一个直流电源的两极，若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是( )A ．上板为正极，电流I ＝Bdvab Rab ＋ρdB ．上板为负极，电流I ＝Bvad 2Rad ＋ρbC ．下极为正极，电流I ＝Bdvab Rab ＋ρdD ．下板为负极，电流I ＝Bvad 2Rab ＋ρb【答案】C【解析】根据左手定则可知，正离子在磁场中受到的洛伦兹力向下，故下板为正极，设两板间的电压为U ，则q U d ＝Bqv ，得U ＝Bdv ，电流I ＝U R ＋ρd ab＝Bdvab Rab ＋ρd ，故C 正确．3．电磁流量计(1)流量(Q )的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．(2)公式：Q ＝Sv ；S 为导管的横截面积，v 是导电液体的流速．(3)导电液体的流速(v )的计算如图所示，一圆形导管直径为d ，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a 、b 间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差(U )达到最大，由q U d ＝qvB ，可得v ＝U Bd.(4)流量的表达式：Q ＝Sv ＝πd 24·U Bd ＝πdU 4B. (5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa >φb .例5 为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为b 和c ，左、右两端开口与排污管相连，如图所示．在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为a 的相互平行且正对的电极M 和N ，M 、N 与内阻为R 的电流表相连．污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况．下列说法中错误的是( )A ．N 板带正电，M 板带负电B ．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小C ．污水流量越大，则电流表的示数越大D ．若只增大所加磁场的磁感应强度，则电流表的示数也增大【答案】B【解析】污水从左向右流动时，正、负离子在洛伦兹力作用下分别向N 板和M 板偏转，故N 板带正电，M板带负电，A 正确．稳定时带电离子在两板间受力平衡，qvB ＝q U b ，此时U ＝Bbv ＝BbQ bc ＝BQ c，式中Q 是流量，可见当污水流量越大、磁感应强度越强时，M 、N 间的电压越大，电流表的示数越大，而与污水中离子浓度无关，B 错误，C 、D 正确．4．霍尔效应的原理和分析(1)定义：高为h 、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体的上表面A 和下表面A ′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A ′的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A ′的电势低．(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(带电荷量为q )在洛伦兹力作用下偏转，A 、A ′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A 、A ′间的电势差(U )就保持稳定，由qvB ＝q U h，I ＝nqvS ，S ＝hd ；联立得U ＝BI nqd ＝k BI d ，k ＝1nq称为霍尔系数． 例6 如图所示，厚度为h 、宽度为d 的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上、下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．下列说法正确的是( )A ．上表面的电势高于下表面的电势B ．仅增大h 时，上、下表面的电势差增大C ．仅增大d 时，上、下表面的电势差减小D ．仅增大电流I 时，上、下表面的电势差减小【答案】C 【解析】因电流方向向右，则金属导体中的自由电子是向左运动的，根据左手定则可知上表面带负电，则上表面的电势低于下表面的电势，A 错误；当电场力等于洛伦兹力时，q U h＝qvB ，又I ＝nqvhd (n 为导体单位体积内的自由电子数)，得U ＝IB nqd，则仅增大h 时，上、下表面的电势差不变；仅增大d 时，上、下表面的电势差减小；仅增大I 时，上、下表面的电势差增大，故C 正确，B 、D 错误．。