直线与圆立体几何线性规划测试题

完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。

45,1B。

不存在C。

不存在D。

-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。

a+b=1B。

a-b=1C。

a+b=√2D。

a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。

2x+y-1=0B。

2x+y-5=0C。

x+2y-5=0D。

x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。

4x+2y=5B。

4x-2y=5C。

x+2y=5D。

x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。

平行B。

垂直C。

斜交D。

与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。

4B。

13√10C。

26√5D。

207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。

-1/3B。

-3C。

1D。

38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。

2/3B。

-3/2C。

-2D。

-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。

3x+y-6=0B。

x-3y+2=0C。

x+3y-2=0D。

3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1+2√2D。

1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

直线和圆的方程、线性规划测试题(60分)一、选择题1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 2 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y xB ．1)1()2(22=-+-y xC ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3 直线0=++c by ax 同时要经过第一 第二 第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4 已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为 45，则直线2l 的方程是（ ）A ．1-=x yB ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方6 直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29 点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．2510 下列命题中，正确的是( )A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ( )A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16 由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是( )A ．4πB ．πC ．43π D ．23π 17 动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( )A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( )A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆19.若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]20.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ ）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)221.在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8] 二、填空题22 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是23 过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是24 直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为25 三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于 26.不等式组260302x y x y y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为27.设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________.三、解答题28 求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程29 已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程。

..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。

直线和圆测试题1．直线1l 的倾斜角130α= ，直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( A ) ABCD2．直线2y x x =关于对称的直线方程为(C )（A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =3．在x 轴和y 轴上的截距分别为2-、3的直线方程是( C )A.2360x y --=B.3260x y --=C.3260x y -+=D.2360x y -+= 4． 过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是( C )（A ）4)1()3(22=++-y x（B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x5．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( B )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝06．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得弦长为32时，则a =( C )（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+7．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为（ D ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 8．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是(B )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤129．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为（ B ）A ．012=+-y xB ．012=++y xC ．012=--y xD ．012=-+y x10．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．5＋2 11． 若过两点)0,1(-A 、)2,0(B 的直线l 与圆1)()1(22=-+-a y x 相切，则a =.4±5 12．已知：圆229x y += 关于直线l ：02=--y x 对称的圆的方程为． 答案：.圆224410x y x y +-+-=13．直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于,A B 两点，如果||8AB =，那么直线l 的方程为512200x y ++=或40x +=14．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 15．若点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝3上．(1)(2)求x-y 的最大值为．2+ 6 (3)求1yx +的最大值为．2。

直线和圆（基础测试题）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为 A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°2．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．123．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4．已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-且2a b ⋅=,则x 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（ ） A ．[2,3]-B ．[2,0)(0,3]-⋃C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110 B ．25C D 7．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．不论m 为何实数，直线()():1230l m x m y m -+-+=恒过定点（ ） A ．()3,1--B ．()2,1--C ．()–31，D ．()–21，9．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线2y =m 所的取值范围是（ ）A ．[3B ．(-∞，)∪(4，+∞)C ．]D ．(-∞，)∪，+∞)10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π11．已知圆 ()()22129x y -++= 的一条直径通过直线 240x y +-= 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 （ ） A ．250x y +-=B ．250? x y --=C ．250x y -+=D ．250x y ++=12．直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +(a -1)y +a 2-1=0平行，则a 等于（ ） A ．-1B ．-1或2C ．2D ．113．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=014．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条15．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．36B ．18C ．D ．16．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限17．已知圆C ：x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．32B ．43C ．53D ．5418．已知直线l 在x 轴上的截距是5-，在y 轴上的截距是6，则直线l 的方程是（ ） A ．65300x y -+= B ．65300x y +-= C ．65300x y --=D ．65300x y ++=19．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．220．过点()0,1P 作圆22210x y x ++-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+21．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ）A B C D ．322．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ） A ．0B ．3-C ．25-D ．5223．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ） A ．23k ≤-或0k ≥B ．38k ≤-C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-24．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．25．若两条直线l 1：x +2y ﹣6＝0与l 2：2x +ay +8＝0平行，则l 1与l 2间的距离是_____． 26．已知圆C 过(1,0)A ，(0,1)B -两点，且圆心C 在直线20x y -+=上，则圆C 的标准方程为_____．27．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________.28．已知直线l 经过两条直线2x +3y +8＝0和x ﹣y ﹣1＝0的交点，且在两坐标轴的截距相等，则直线l 的方程为_____．29．已知a ，b 为正数，且直线x ﹣（2b ﹣3）y +6＝0与直线2bx +ay ﹣5＝0互相垂直，则2a +3b 的最小值为_____．30．如果x 2+y 2-2x +y +k =0是圆的方程，则实数k 的取值范围是_____.31．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .32．过直线:0l x y +-上一点P 作圆：221x y +=的两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为__________．33．直线13kx y k -+=,当k 变动时,所有直线都通过定点______.34．在正四面体P ABC -中，M 是PA 上的点，且2PM MA =，N 是BC 的中点，若MN xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为__________．35．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．36．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.37．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.38．已知圆C 的方程为224x y +=．（1）求过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点()2,1P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的方程；39．已知(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上. （1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 取值范围.40．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．若P A ＝AD ＝3，CD ． （1）求证：AF //平面PCE ；（2）求点F 到平面PCE 的距离；（3）求直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．42．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD 平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO 平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．肖老师参考答案1．C 【分析】本题先根据直线所过点求AB k ，再通过tan AB k θ=求倾斜角即可. 【详解】解：∵直线过点 A (1，0)和 B (−2，3)， ∴ 30121AB k -==---， ∵ tan AB k θ=， ∴tan 1θ=-， ∴ 135θ= 故选：C. 【分析】本题考查直线过两点求斜率，借斜率求倾斜角，是基础题. 2．C 【分析】解方程m （m +1）﹣2＝0，再检验即得解. 【详解】由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知两直线重合，所以舍去. 当m ＝﹣2时，满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（ ） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（ ）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（ ）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（ ）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（ ）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（ ）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

补充训练题一、单选题1．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D2．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,23．在空间直角坐标系中，若平面α经过点()2,3,2A -，且()4,1,6u =是平面α的一个法向量.若点(),,5P a b -为平面α内的一点，且23a b +=，则点P 的坐标为（）A ．()9,14,5-B ．()8,15,5-C ．()7,16,5-D ．()6,17,5-4．如图①，在Rt ABC △中，26,90,,AB BC ABC E F ==∠=︒分别为,AB AC 上的点，,2EF BC AE EB =∥.如图②，将AEF △沿EF 折起，当四棱锥A BCFE -的体积最大时，点E 到平面ACF 的距离为（）A ．3B ．3C D ．25．已知直线l 过点(1,1,2)A -和l 垂直的一个向量为()3,0,4n =-，则()3,5,0P 到l 的距离为（）A ．14B ．5C ．145D ．456．已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则31y x -+的取值范围（）A ．[)1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][3,4,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．][(),13,-∞⋃+∞7．已知P 是直线:10l x y +-=上一点，M ，N 分别是圆()()221:181C x y -+-=和()()222:559C x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．108．过定点A 的直线()120a x y +-+=与过定点B 的直线()1420x a y a ++--=交于点(P P 与A B ､不重合），则PAB 面积的最大值为（）A B ．C ．2D ．49．已知曲线1x -=）A 2－2B 2C －2D 10．已知动点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为2，那么直线OM 的斜率的取值范围是A．⎡⎣B．⎡⎢⎣⎦C．[33D ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知直线:220l x y -+=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆22(3)(1)5x y -++=上的一个动点，当ABP 面积最大时，AP =（）AB．C．D．二、多选题12．已知直线1l ：0ax y b --=，2l ：0bx y a -+=，当a ，b 满足一定的条件时，它们的图形可能是（）A B C D13．已知直线:0-+=l kx y k ，圆()2200:650,,C x y x P x y +-+=为圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A ．2200x y +的最大值为B ．00y xC ．直线l 与圆C相切时，k =D ．圆心C 到直线l 的距离最大为4三、填空题14．设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是.15．曲线()122y x =-≤≤与直线25y kx k =-+仅有一个交点时，实数k 的取值范围是．四、解答题16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC == ．设1,,AB a AC b AA c === ．(1)试用,,a b c 表示向量MN；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠==== ，求异面直线MN 与AC的夹角的余弦值．17．如图，在四棱锥S ABCD -中，SAD 为正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面SAD ⊥平面,,ABCD M N 分别为棱,SC AB 的中点．(1)证明：//MN 平面SAD ；(2)若AB AD >，且二面角C MN D --的大小为120°，求ABAD的值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11ACC A ，侧面11ACC A 为菱形，2AC =，160A AC ∠=︒，底面ABC 为等腰三角形，AB BC =，O 是AC 的中点．(1)证明：平面11OA B ⊥平面ABC ；(2)若平面1AOB 与平面11OB C 的夹角余弦值为104，求三棱柱111ABC A B C -的体积．19．已知平面四边形ABCD 中，//AD BC ，BC CD ⊥，且22AD CD AB ===.以AD 为腰作等腰直角三角形PAD ，且PA AD =，将PAD △沿直线AD 折起，使得平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AB PC ⊥；(2)若M 是线段PD 上一点，且//PB 平面MAC ，①求三棱锥M ABC -的体积；②求二面角B AC M --的平面角的余弦值.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.(1)证明：BD PD ⊥；(2)若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.22．在直角坐标系xOy 中，过点()4,2P 作直线l 交x 轴于A 点、交y 轴于B 点，且P 位于AB 两点之间.（1）若3AP PB =，求直线l 的方程；（2）求当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程；（3）当OAB S ∆面积最小值时的直线方程.23．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围;(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ，求AOB ∆的面积的最小值并求此时直线l 的方程；(3)已知点(1,5)P ,若点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值并求此时直线l 的方程.24．已知圆22:4410(38)C x y x y m m ++++-=<<关于直线2y x =--对称的圆M 恰好经过点()1,1.(1)求圆M 的标准方程；(2)在y 轴上存在一点()0,P t ，使得过P 点的直线l 与圆C 和圆M 都相交，且被两圆所截的弦长相等，求实数t 的取值范围.25．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)若直线l 被圆截得弦长为l 的方程；(2)设l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.26．已知直线:(21)(1)85l m x m y m +++=+，圆22:(1)(2)25C x y -+-=．(1)证明：直线与圆总有两个交点，与m 的取值无关．(2)是否存在m ，使得直线l 被圆C 截得的弦长为m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1--5CABBC 6--11CCCCCC 12)ACD13)BC4．当四棱锥A BCFE -的体积最大时，AE ⊥平面BCFE ，由题意得，2EF =.以E 为原点，,,EB EF EA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,3,0,0,0,4E F C A ，则()()()0,0,4,0,2,4,2,3,4AE AF AC =-=-=-，设平面ACF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AF n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即240,2340,y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =，则()1,2,1n =-，则点E 到平面ACF的距离为3n d AE n =⋅= ．故选：B.5．根据题意可知()2,6,2AP =-，显然()2,6,2AP =- 在向量()3,0,4n =-上的投影长度即为()3,5,0P 到l 的距离，所以点P 到l 的距离为6081455AP n n⋅-+-==.故选：C 6．31y x -+可以看成是线段13:55BC y x =-()23x -≤≤上的点(),x y 与点()1,3A -连线的斜率，如图，易求得4AB k =，34AC k =-，所以31y x -+得取值范围为[)3,4,4∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.故选：C.7．圆()()221:181C x y -+-=，则圆心()11,8C ，1r =，圆()()222:559C x y -+-=，则圆心()25,5C ，3R =，因为()()1815510+-⨯+->，则两圆心在直线l 的同侧．又圆心()11,8C 到直线l的距离11d ==>，圆心()25,5C 到直线l 的距离23d =>，则两圆在直线l 的同侧且与直线相离，如图所示，圆心()11,8C 关于直线:10l x y +-=的对称点为(),E a b ，则181022811a bb a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7a =-，0b =，所以()7,0E -，所以122213PC PC PE PC EC +=+≥=，当且仅当2C 、P 、E 三点共线时等号成立；即PMPN +的最小值为213319EC R r --=--=.故选：C ．8．】动直线()120a x y +-+=化为()12y a x =++，可知定点()0,2A ，动直线()1420x a y a ++--=化为(1)(4)20a y x +-++=，可知定点()2,4B -，又(1)11(1)0a a +⨯-⨯+=所以直线()120a x y +-+=与直线()1420x a y a ++--=垂直，P 为交点，22222),8(02(24)PA PB PA PB AB ∴⊥∴+-==+=+.则22112222PABPA PB S PA PB +=⋅≤⋅= ，当且仅当2PA PB ==时，等号成立.即PAB 面积的最大值为2.故选：C.9．由1x -，可知1x ≤，22y -≤≤，且有22(1)4x y -+=，表示的图形为以(1,0)A 为圆心，2为半径的半圆，如图所示：()()1,2,1,2B C -(0,4)P 的距离，又因为||PA =||22PA --，当动点与图中(1,2)C -取最大值||PC ==，故选：C ．10．设动点s 2=，化简得()2244x y -+=，所以点M 的轨迹为圆:E ()2244x y -+=，如图，过点O 作圆E 的切线，连接EM ，则2EM =，4OE =，所以π6MOE ∠=，同理1π6M OE ∠=，则直线OM 的斜率范围为⎡⎢⎣⎦.故选：C.11．由题意得(2,0)A -，(0,1)B ，当ABP 面积最大时，点P 在过圆心且与l 垂直的直线上，且3p x >，可设直线为20x y C ++=，代入圆心()3,1-，解得5C =-，则该直线的方程为250x y +-=，与圆的方程联立得，22250(3)(1)5x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得2x =，1y =或4x =，=3y -，故点P 的坐标为(4,3)-，则||AP = C.12．直线1:0l ax y b --=可化为y ax b =-的斜率为a ，在y 轴上的截距为b -．直线2:0l bx y a -+=可化为y bx a =+的斜率为b ，在y 轴上的截距为a ．当0a b =<时，直线1l 与2l 平行且图象满足A 所示，故A 正确．选项B 中，由直线2l 在y 轴上的截距可得0a >,0b <，而由直线1l 的斜率为a ，可得0a <，故B 不正确．选项C 中，由直线2l 的斜率为0b <，而直线1l 在y 轴上的截距0b ->．直线2l 在y 轴上的截距为0a >，直线1l 的斜率为0a >，故C 正确．选项D 中，由直线2l 的斜率为0b >，而直线1l 在y 轴上的截距0b -<．直线2l 在y 轴上的截距为0a <，直线1l 的斜率为0a <，故D 正确．故选：ACD ．13．圆C 的方程可化为()22232x y -+=，所以圆C 的圆心为()3,0C ，半径2r =.3OC =，0,0是圆上的点，所以2200x y +的最大值为()23225+=，A 选项错误.如图所示，当直线OP 的斜率大于零且与圆相切时，0y x 最大，此时3,2,OC PC OP ===tan 5OP k POC =∠==，B 选项正确.直线:0-+=l kx y k ，即()1y k x =+，过定点()1,0-，若直线l 与圆C 相切，则圆心()3,0C 到直线l 的距离为2，2=，解得k =C 选项正确.圆心()3,0C 到直线l的距离d ，当0k =时，0d =，当0k ≠时，4d ==<，所以D 选项错误.故选：BC14．由题意可知，动直线()270x m y ++-=，经过定点()2,7A -，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过定点()1,3B ，0m ≠ 时，动直线()270x m y ++-=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，0m =时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P 是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||25PA PB AB ∴+==．设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，由0PA ≥且0PB ≥，可得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()π5sin cos 4PA PB θθθ⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ3π,444θ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π4θ⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭，故答案为：⎡⎣.15．曲线()122y x =-≤≤，即()()22141x y y +-=≥直线25y kx k =-+过定点()2,5A ，如图：−2,1，()2,1C ，当直线25y kx k=-+与曲线()122y x =-≤≤有一个交点时，则直线夹在了直线AB 与直线AC 之间，而51122AB k -==+，所以此时k 的取值范围是1,+∞，当直线与曲线()()22141x y y +-=≥相切时也只有一个交点，则圆心0,1到直线250kx k y --+=的距离为：2d ==，解得34k =，所以实数k 的取值范围是：()31,4∞⎧⎫⋃+⎨⎬⎩⎭.16．1）由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.（2）由（1）可知122333MN a b c =-++，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭，所以3MN =，AC b =，1AC = ，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.17．】（1）如图，取棱SD 的中点P ，连接,PM PA ．因为M 是棱SC 的中点，所以MP CD ∥且12MP CD =．又因为四边形ABCD 是矩形，N 是棱AB 的中点，故MP AN ∥且MP AN =，所以四边形APMN 是平行四边形，所以MN AP ∥．又AP ⊂平面,SAD MN ⊄平面SAD ，故//MN 平面SAD ．（2）取棱AD 的中点Q ，则在正三角形SAD 中，SQ AD ⊥，所以SQ ⊥平面ABCD ．以Q 为坐标原点，,QA QS 的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.Qxyz 设2,2,0AD a AB b b a ==>>，则()()()(),2,0,,,,,,0,,0,02aC a b S M b N a bD a ⎛--- ⎝⎭．所以3,,,,0,,,222222a a a CM b MN DM b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,230,22a x by a x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取(),2n b a = ．设平面DMN 的法向量为(),,m p q r =，则0,0,m DM m MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,230,2a p bq r a p r ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可取(),2m b a =- ．由题设知2222441cos ,442n m b a n m n m b a ⋅-〈〉===+，故b =，即ABAD=．18．（1）菱形11ACC A 中160A AC ∠=︒，则1AA C △为等边三角形，又O 是AC 的中点，则1OA AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，1OA Ì平面11ACC A ，1OA ∴⊥平面ABC ，又1OA ⊂面11OA B ，则面11OA B ⊥面ABC.（2）由（1）知1OA ⊥平面ABC ，又AB BC =，O 是AC 的中点，则BO AC ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由2AC =，设0OB t =>，则1,0,0，1()B t -，1(C -，所以(1,0,0)OA =，1()OB t =-，1(OC =- ，设平面1AOB 法向量111(,,)m x y z = ，则1111100m OA x m OB x tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =110,x y t ==-，得(0,m t =-，设平面11C OB 法向量222(,,)n x y z =，则1221222200n OC x n OB x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2z =22,2x y t ==-，可得(,2n t =-，所以2cos ,m n m n m n ⋅===⋅，由0t >，解得1t =，1121122ABC S AC OB ===，1OA =111ABC A B C -的体积为1ABC V S OA ⋅== 19．（1）因//AD BC ，BC CD ⊥，故AD CD ⊥,又22AD CD AB ===，且PA AD =，故AC AB ==在直角梯形ABCD中，24BC =+=，由222AB AC BC +=可得AB AC ⊥；因平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,则PA ⊥平面ABCD ,又AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥,又PA AC A = ,因,PA AC ⊂平面PAC ，故AB ⊥平面PAC ,因PC ⊂平面PAC ，故AB PC ⊥；（2）①如图，连接BD ,设BD AC O ⋂=，连接OM ,因//PB 平面MAC ，且PB ⊂平面PBD ,平面PBD 平面MAC OM =,则//OM PB ，故DM DO MP BO =，在四边形ABCD 中，由//AD BC ,可得12DO AD BO BC ==,故12DM DO MP BO ==，即13DM DP =，即点M 是线段PD 上靠近点D 的三等分点，故1111182.3332189M ABC P ABC V V AB AC PA --==⨯⨯⨯⨯=⨯=②如图，以点A 为坐标原点，分别以,,AB AC AP 所在直线为,,xyz 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,2),(A C P D,因112)333DM DP===，故22(,()333333AM AD DM=+=+=-,(0,AC=,设平面ACM的法向量为(,,)n x y z=，则由20333AC nAM n z⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，可取n=，易得平面ABC的法向量可取为(0,0,1)m=，故cos,3||||m nm nm n⋅〈〉==⋅，又由图知，二面角B AC M--的平面角为钝角，故二面角B AC M--的平面角的余弦值为20．（1）由2290DAB ABC ADB DCB∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD=//BC，则45DBC DCB∠∠== ，所以,90BD CD BDC∠== ，即BD CD⊥，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD 平面,ABCD CD BD=⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD，所以BD PD⊥.（2）如图，过点P作CD的垂线，交CD的延长线于点H，连接AH，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD 平面,ABCD CD PH=⊂平面,PCD PH CD⊥，所以PH⊥平面ABCD，则DH为PD在底面ABCD内的射影，所以PDH∠为直线PD与底面ABCD所成的角，即60PDH∠= .设1AD=，得2BD DC DP BC===，在PHD△中，22DH PH==，在ADH中，45ADH∠= ，由余弦定理得2AH==，所以222AH DH AD+=，所以AH CD⊥，如图，过点D作DF//PH，则DF⊥底面ABCD，以,,DBDC DF所在直线分别为,,xy z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,,,0,2222424B C P A E⎛⎫⎫⎛---⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以)(),,,424DB DE DC ⎛==-= ⎝⎭，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111100n DB n DE ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，222200m DC m DE ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ===，所以()0,,1,2n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,7n m n m n m ⋅===，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则cos 7θθ==，故平面BDE 与平面CDE夹角的正弦值为7.21．（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -，所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-.（2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上，即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --，所以22131AB k --==--，直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BCAB BCAB k k k k k kk k --=++，即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-，所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=.22．由题意知，直线l 的斜率k 存在且0k ≠，设:(4)2l y k x =-+，得令0y =，得24x k =-，所以24,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再令0x =，得24y k =-，所以(0,24)B k -，∵点(4,2)P 位于,A B 两点之间，∴24k -且242k ->，解得0k <．∴2,2AP k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(4,4)PB k =-- ，（1）∵3AP PB = ，∴23(4)k=⨯-，解得16k =-．∴直线l 的方程为1(4)26y x =--+，整理得6160x y +-=．（2）∵0k <，∴18()16AP PB k k ⎡⎤⎛⎫⋅=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，当1-=-k k ，即1k =-时，等号成立．∴当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为(4)2y x =--+，化为一般式：60x y +-=．（3）∵24,0A k⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,24)B k -，0k <，∴1224(24)88888162OAB S k k k k ∆⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当28k k -=-时，即12k =-时，取等号，∴当OAB S ∆面积最小值时的直线方程为1(4)22y x =--+，即280x y +-=．23．(1)由kx −y +1+2k =0,得k (x +2)+(−y +1)=0，联立2010x y +=⎧⎨-=⎩,解得21x y =-⎧⎨=⎩，则直线l :kx −y +1+2k =0过定点M (−2,1)；由kx −y +1+2k =0，得y =kx +1+2k ，要使直线不经过第四象限,则0120k k ≥⎧⎨+≥⎩，解得k ⩾0．∴k 的取值范围是[0,+∞)．(2)如图，由题意可知，k >0，在kx −y +1+2k =0中,取y =0,得12kx k+=-，取x =0，得y =1+2k ，∴()11121222AOBk S OA OB k k ∆+=⨯⨯=⨯⨯+24411222422k k k k k ++==++≥=．当且仅当122k k =，即12k =时等号成立．∴S 的最小值为4，此时的直线方程为12x −y +2=0，即x −2y +4=0．(3)点P (1,5)，若点P 到直线l当PM ⊥l 时,d 取得最大值,5=，由直线PM 的斜率为514123-=+，可得直线直线l 的斜率为34-，则直线l 的方程为()3124y x -=-+，即为3x +4y +2=0．24．（1）解：由题意得圆C 的标准方程为22(2)(2)9x y m +++=-，圆心()2,2C --，设圆M 的圆心坐标为(),,2a b a ≠-，根据题意可得222222(1)12b a b a --⎧=--⎪⎪⎨+⎪⨯-=-⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，从而可得圆M 的方程为229x y m +=-，又圆M 恰好经过点()1,1，则29m =-，解得7m =，则圆M 的方程为222x y +=；（2）解：根据题意，圆C 和圆M 关于直线2y x =--对称，若直线l 与直线CM 平行且与两圆相交，直线l 被两圆所截的弦长一定相等，此时1CM k =，设:l y x t =+，由直线l <22t -<<；若直线l 经过两圆连心线和对称轴所在直线的交点N 时，此时直线CM 的方程y x =，联立2y xy x =⎧⎨=--⎩，解得()1,1N --，故1PN k t =+，设直线l ：()1y t x t =++，当l <，化简得2440t t ++>，解得2t ≠-，综上所述，满足题意的t 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃-+.25．（1）圆22:240C x y y +--=化为标准方程为()2215x y +-=，圆心0,1，半径r =，设圆心到直线l 的距离为d ，因为弦长为=2d =，2=，解得1m =±，故直线方程为0x y -=或20x y +-=.（2）直线():11l y m x =-+，直线过定点()1,1P ，且斜率存在，设弦AB 的中点s ，则0PM CM ⋅= ，所以()()2110x x y -+-=，即()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，点()1,1P 也满足方程，此时点P 与点M 重合，直线l 的斜率不存在，不合题意，所以弦AB 的中点M 的轨迹方程为()()22111124x y x ⎛⎫-+-=≠ ⎪⎝⎭.26．（1）:(21)(1)85l m x m y m +++=+变形为(28)50x y m x y +-++-=，28050x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，3x ∴=，2y =，故直线恒过(3,2)．又22(31)(22)25-+-<，(3,2)∴在圆内，直线与圆总有两个交点，与m 的取值无关．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则22252d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，d ∴=．=1m ∴=1m =。

Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的直线与圆1.两点距离[例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设x k ,y k (k=1,2,3)均为非负实数,则232321)2007(x y y y +---+2223x y ++2122x y ++232121)(x x x y +++的最小值为 .[解析]:[类题]:1.⑴(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 .⑵(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y 满足(x+2)2+(y-5)2=9,则(x-1)2+(y-1)2的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为________.3.⑴(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 .4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10,则a= .5.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 . ⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值6.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .2.直线问题[例2]:(1988年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过一个整点的直线的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:①M ∪N ∪P=I;②N ≠∅;③M ≠∅;④P ≠∅.中正确的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4[解析]:[类题]:1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)若直线(a-1)y=(3a+2)x-1不通过第二象限(x<0,y>0),则a 的取值范围是___.2.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为_____.3.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P 作直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点,则使 △AOB(O 为坐标原点)的周长最小的直线l 的方程是 .2 Y.P .M 数学竞赛讲座4.(2000年全国高中数学联赛试题)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=35x+54的距离中的最小值是 . 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.6.(2011年安徽高考试题)(理)在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是______(写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k 与b 都是无理数,则直线y=kx+b 不经过任何整点;③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点;④直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与b 都是有理数;⑤存在恰经过一个整点的直线.3.直线方程[例3]:(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若点(1,1)到直线xcos α+ysin α=2的距离为d,则d 的最大值是 . [解析]: [类题]:1.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)m 是任意实数,θ是给定的实数,由关于x 和y 的方程⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=θθsin )21(1cos )1(322m y m x 确定的动点(x,y)在平面直角坐标系内对应的图形是 .2.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)己知0<k<4,直线l 1:kx-2y-2k+8=0和直线l 2:2x+k 2y-4k 2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k 的值为 .3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)当θ取遍全体实数时,直线xcos θ+ysin θ=4+2sin(θ+4π)所围成的图形的面积是 .4.(2009年江西高考试题)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π).对于下列四个命题:①存在一个圆与所有直线相交;②存在一个圆与所有直线不相交;③存在一个圆与所有直线相切;④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).4.位置关系[例4]:(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)己知直线l 1:x+2y-4=0,直线l 2:2ax-y+1=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a 的值等于 .[解析]:[类题]:1.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m+1)x+y-2=0和4 m2x+(m+1)y-4= 0.则m的值为 .2.(1987年上海高考试题)若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合,则a等于( )2(A)-1和2 (B)-1 (C)2 (D)33.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线l1:(2m+1)x-4y+3m=0与直线l2:x+(m+5)y-3m=0平行,则m的值为 .4.(1988年全国高中数学联赛试题)已知直线l:2x+y=0,过点(-10,0)作直线m⊥l,则m与l的交点坐标为______.5.(2006年上海春招试题)在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c 的位置关系是( )(A)平行(B)垂直(C)重合(D)相交不垂直Y.P.M数学竞赛讲座36.(2009年全国I高考试题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是:①150;②300;③450;④600;⑤750.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号).5.轴对称性[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若2x1x2=-1,则2m的值是 .[解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(-1,1)发出并经x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是 .2.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x 轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于 .3.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0<n<m.若点A关于直线y=x的对称点为B,点B关于y轴的对称点为C,点C关于x轴的对称点为D,点D关于y轴的对称点为E,且五边形ABCDE的面积为451,则点A的坐标为 .4.⑴(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若点A(1,3)与点B(-2,m)(m>0)关于直线l:6x+ny-5=0对称,则m+n= .⑵(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(0,4)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠,则m+n= .5.(2008年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们一之间的夹角为( )(A)300(B)450(C)600(D)9006.(2007年四川高考试题)己知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于( )(A)3 (B)4 (C)32 (D)42[解析]:6.平面区域[例6]:(1994年全国高中数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是_______.[解析]:[类题]:1.⑴(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知两直线x −y=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数c 的取值范围是_.⑵(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-21x+2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是 .⑶(2004年天津高考试题)若过定点M(-1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2+4x+y 2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k 的取值范围是( )(A)0<k<5 (B)-5<k<0 (C)0<k<13 (D)0<k<52.⑴(2005年全国I 高考试题)在平面直角坐标系内,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 所表示的平面区域的面积为( )4 Y .P .M 数学竞赛讲座(A)2 (B)23 (C)223 (D)2 ⑵(1981年全国高中数学联赛试题)(2009年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上有两个区域M 和N.M 是由y ≥0,y ≤x,和y ≤2-x 这三个不等式确定的,N 是随t 变化的区域,它由不等式t ≤x ≤t+1所确定的,t 的取值范围是0≤t ≤1.设M 和N 的公共面积是函数f(t).则f(t)为: .3.(2006年辽宁高考试题)双曲线x 2-y 2=4的两条渐进线与直线x=3围成的三角形区域满足的不等式组为( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x (B)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x (C)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3000x y x y x4.⑴(2010年北京高考试题)设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+0935033011y x y x y x ,表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是(A((1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)[3,+∞)⑵(2009年山东高考试题)设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则b a 32+的最小值为( ) (A)625 (B)38 (C)311(D)4 5.⑴(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y ≥1,u=y 2–2y+x 2+6x,则u 的最小值等于 . ⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)如果实数x,y 满足3x+2y －1≥0,那么u=x 2+y 2+6x －2y 的最小值是 .6.⑴(2007年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,己知区域A={(x,y)|⎩⎨⎧≥≥≤+0,01y x y x },则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( )(A)2 (B)1 (C)21(D)41⑵(2008年浙江高考试题)若a ≥0,b ≥0,且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时,恒有ax+by ≤1,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是( ) (A)21 (B)4π (C)1 (D)2π⑶(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by ≤2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为 .7.线性规性[例7]:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x 2+ax+2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则14--a b 的取值范围是 . [解析]:[类题]:Y.P .M 数学竞赛讲座 51.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设z=x-y,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+0203y x y x ,则z 的最小值为 .⑵(2009年宁夏、海南高考试题)设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则z=x+y( )(A)有最小值2,最大值3 (B)有最小值2,无最大值 (C)有最大值3,无最小值 (D)既无最小值也无最大值 2.⑴(2009年湖南高考试题)己知D 是由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0302y x y x 所确定的平面区域,则圆x 2+y 2=4在区域D 内的弧长为 .⑵(2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点(x,y)形成的区域为D,区域D 关于直线y=2x 对称的区域为E,则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为 .3.⑴(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≥033030y x y x y ,则x 2+y 2的最大值是 .⑵(2008年福建高考试题)(理)若实数x,y 满足⎩⎨⎧>≤+-01x y x ,则x y 的取值范围是 .4.⑴(2009年陕西高考试题)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是 .⑵(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x .若z=ax+y 的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是 .5.⑴(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a,b 是实数,二次方程x 2−ax+b=0的一根属于区间[−1,1],另一根属于区间[1,2],则a −2b 的取值范围为__________.⑵(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2,则ab的取值范围是 . 6.⑴(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 .⑵(2007年全国II 高考试题)己知函数f(x)=31ax 3-bx 2+(2-b)x+1在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值且0<x 1<x 2 <2.则z=a+2b 的取值范围是 .8.特殊区域[例8]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对一切满足|x|+|y|≤1的实数x,y,不等式|2x-3y+23|+|y-1|+|2y-x-3|≤a 恒成立,则实数a 的最小值为 .[解析]:[类题]:1.⑴(1982年全国高中数学联赛试题)由方程|x －1|+|y －1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 .6 Y.P .M 数学竞赛讲座⑵(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设常数a ≥0,则“|x|+|y|≥a ”是“x 2+y 2≥a 2”的( ) (A)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (B)充要条件 (D)不充分也不必要条件 2.⑴(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)当x,y 满足条件|x|+|y|≤1时,变量z=x-y+2的取值范围是 . ⑵(2011年安徽高考试题)(理)设变量x,y 满足|x|+|y|≤1,则x+2y 的最大值和最小值分别为( ) (A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1⑶(2011年湖北高考试题)(理)已知向量a =(x+z,3),b =(2,y-z),且a ⊥b ,若x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则z 的取值范围为( )(A)[-2,2] (B)[-2,3] (C)[-3,2] (D)[-3,3]3.⑴(1987年全国高中数学联赛试题)已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}.若A ∩B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a 的值为_______________.⑵(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≤+--+3|3||2|046422y x y x y x 的点(x,y)所构成的区域的面积是_____．4.⑴(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a 为正数,而A={(x,y)|x 2+y 2≤1}、B={(x,y)||x|+2|y|≤a}是XOY 平面内的点集,则A 是B 的子集的一个充分必要条件是( )(A)a=2 (B)a ≥3 (C)a ≥3 (D)a ≥5 ⑵(1994年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,方程by x a y x 2||2||-++=1(a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是( )(A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 5.⑴(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)集合M={(x,y)||x –6|+|y+12|=|x –12|+2|y+3|=15,x,y ∈R}中的元素的个数是 .⑵(1988年全国高中数学联赛试题)平面上有三个点集M,N,P.M={(x,y)||x|+|y|<1},N={(x,y)|22)21()21(++-y x +22)21()21(-++y x <22},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则( ) (A)M ⊂P ⊂N (B)M ⊂N ⊂P (C)P ⊂N ⊂M (D)(A)、(B)、(C)都不成立 6.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-1|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是__________.⑵(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)由曲线|x|-|y|=|2x-3|所围成的几何图形的面积为 .9.圆的问题[例9]:(1984年全国高中数学联赛试题)如图,AB 是单位圆的直径,在AB 上任取一点D,作DC ⊥AB,交圆周于C,若D 点的坐标为(x,0),则当x ∈ 时,线段AD,BD,CD 可构成三角形.[解析]:[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛试题)已知如图的曲线是以原点为圆心, 1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )(A)(x+21y -)(y+21x -)=0 (B)(x-21y -)(y-21x -)=0 (C)(x+21y -)(y-21x -)=0 (D)(x-21y -)(y+21x -)=0Y.P .M 数学竞赛讲座 72.⑴(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点P(x,y)满足(x-4cos θ)2+(y-4sin θ)2=4(θ∈R),则点P(x,y)所在区域的面积为 .⑵(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系xOy 中,由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+--100222222y x y y x x 所确定的图形的面积等于 .3.⑴(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知函数f(x)=x 2+2bx+1和g(x)=2a(x+b),其中x 、a 、b 均为实数.使y=f(x)和y=g(x)在xOy 平面上的图像不相交的实数对(a,b)组成点集A.那么,A 在aOb 平面上表示的图形S 的面积为 . ⑵(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)设k 为正实数,若满足条件x(x-k)≤y(k-y)的点(x,y)都被单位圆覆盖,则k 的最大值为 .4.⑴(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在直角坐标系xOy 中,已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公 共点,其中A(4,0),B(6,8),C(2,4),则R 的取值范围为 .⑵(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)自点M(3,2)引圆x 2+y 2=3的两条切线,切点分别为A 与B,则以A 、B为端点的劣弧的长度等于 .⑶(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在平面直角坐标系中,己知点A(1,2)和B(4,1),圆上x 2+y 2=25的动点P 与A,B 形成三角形,则三角形ABP 的面积的最大值为 .5.⑴(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若A 、B 两点分别在圆x 2+y 2-6x+16y-48=0和x 2+y 2+4x-8y-44=0上运动,则|AB|的最大值为 .⑵(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)设符合条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+12)4(42222y x y x 的点(x,y)所成的集合为M,则区域M 的面积为.6.⑴(2001年全国高中数学联赛上海初赛试题)当且仅当k 满足a ≤k ≤b 时,两曲线x 2+y 2=4+12x+6y 与x 2+y 2=k+4x+12y 有公共点,则b −a 的值是___ __.⑵(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设圆C k ={(x,y)|(x-m k )2+(y-m k )2≤2k 2}(k ∈N +),其中,m k 定义如下:m 1=0,m k+1=m k +2k+1(k ≥1).则k nk C ≤≤⋃1的面积为 .10.直线与圆[例10]:(2009年全国高中数学联赛试题)己知直线l:x+y-9=0和圆M:2x 2+2y 2-8x-8y-1=0.点A 在直线l 上,B,C 为圆M上两点,在△ABC 中,∠BAC=450,AB 过圆心M,则点A 的横坐标的范围为 .[解析]: [类题]:1.⑴(1991年全国高考试题)圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个⑵(2006年湖南高考试题)若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l的倾斜角θ的取值范围是( ) (A)[12π,4π] (B)[12π,125π] (C)[6π,3π] (D)[0,2π] 2.⑴(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若圆C:(x-3)2=(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线l:4x-3y=2的距离为1,则r 的取值范围是 .3 ⑴(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)与圆(x-2)2+y 2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )条.⑵(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设圆x 2+y 2=1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,则|AB|的最小值为 .8 Y.P .M 数学竞赛讲座4.⑴(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从动点P(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长度的最小值是 .⑵(2007年湖北高考试题)由直线y=x+1上一点向圆(x-3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为 .⑶(2002年北京高考试题)己知P 是直线3x+4y+8=0上的动点,PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的两条切线,A 、B 是切点,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值为 .5.(2009年四川高考试题)若⊙O:x 2+y 2=5与⊙O 1:(x-m)2+y 2=20(m ∈R)相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 .6.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知圆M:(x-1)2+(y-3)2=4,过x 轴上的点P(a,0)存在圆M 的割线PAB,使得PA=BA,则点P 的横坐标a 的取值范围是______________.11.圆形函数[例11]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=-24x -(x ≤1)的曲线长度是 .2.⑴(2009年江西高考试题)若不等式24x -≤k(x+1)的解集区间为[a,b],且b-a=1,则k= . ⑵(2009年江西高考试题)若不等式29x -≤k(x+2)-2的解集区间为[a,b],且b-a=2,则k= .⑶(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线kx-y+3k-2=0与曲线y=24x -有公共点,则k 的取值范围是 . 3.⑴(1988年广东高考试题)曲线y=1+24x -(-2≤x ≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k 的取值范围是( ) (A)(125,43] (B)(125,+∞) (C)(31,43] (D)(0,125)⑵(2010年湖北高考试题)若直线y=x+b 与曲线y=3-24x x -有公共点,则b 的取值范围是( ) (A)[-1,1+22] (B)[1-22,1+22] (C)[1-22,3] (D)[1-2,3] ⑶(2003年全国高考试题)不等式24x x -<x 的解集是( )(A)(0,2) (B)(2,+∞) (C)(2,4] (D)(-∞,0)∪(2,+∞) 4.⑴(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知曲线C:y=x x 22--与直线l:x+y-m=0有两个交点,则m 的取值范围 是 .⑵(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知直线Ax+By+C=0(A 、B 为实常数,且|A|≠|B|)和曲线y=22x x -,它 们相交于P 、Q 两点.若P 、Q 与点D(1,0)的连线的倾角为α、β,则tan(α+β)=_____.5.⑴(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程21x -=log 2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为. ⑵(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线l:y=-2x +m 与曲线C:y=1+21|4|2x -仅有三个Y.P .M 数学竞赛讲座 9交点,则m 的取值范围是 .6.⑴(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)称横坐标为整数的点为“次整点”,过曲线y=29x -上任意两个次整点作 直线,则倾斜角大于300的直线条数为 .⑵(2009年上海高考试题)将函数y=2642--+x x (x ∈[0,6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)得到曲 线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值是 .12.构圆解题[例12]:(2008年重庆高考试题)函数f(x)=xx x sin 2cos 231sin ---(0≤x ≤2π)的值域为( )(A)[22-,0] (B)[-1,0] (C)[-2,0] (D)[-3,0][解析]:[类题]:1.⑴(1990年全国高考试题)如果实数x,y 满足等式:(x-2)2+y 2=3,则xy的最大值为( ) (A)21(B)33 (C)23 (D)3⑵(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知关于x,y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实数解,则符合条件的实数k 的个数是 .2.⑴(2008年全国I 高考试题)若直线bya x +=1通过点M(cos α,sin α),则( ) (A)a 2+b 2≤1 (B)a 2+b 2≥1 (C)2211b a +≤1 (D)2211ba +≥1⑵(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知点P(cos α,sin α)在直线l:bya x +=1上,且OP ⊥l(0为坐标原点),则( )(A)a+b=1 (B)a 2+b 2=1 (C)ba 11+=1 (D)2211b a +=13.⑴(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知定点A(1,3),B(3,3),点P 在x 轴上运动,当∠APB 最大时,点P 的横坐标是 .⑵(2004年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系XOY 中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P 在X 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点P 的横坐标为___ __.4.⑴(2004年全国II 高考试题)在直角坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条⑵(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知两点M(1,0),N(-3,0),到直线l 的距离分别为1和3,则满足条件的直线l 的条数是 .⑶(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L 距离分别是2,5-2,则满足条件的直线l 共有( )(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条10 Y.P .M 数学竞赛讲座5.⑴(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)平面直角坐标系中,点集M={(x,y)|⎩⎨⎧+=+=βαβαsin cos cos sin y x ,α,β∈R},则点集M所覆盖的平面图形的面积为 . ⑵(2008年重庆高考试题)函数f(x)=xx cos 45sin +(0≤x ≤2π)的值域是( )(A)[41,41-] (B)[31,31-] (C)[21,21- (B)] (D)[32,32-] 6.⑴(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)以实数x,y 为自变量的函数u(x,y)=x 2+281x–2xy+x1822y -的最小值是 .⑵(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)二元函数f(x,y)=(x –y)2+(x+1y+1)2的最小值是 . ⑶(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)记F(x,y)=(x –y)2+(2x +y2)2(y ≠0),则F(x,y)的最小值是 .13.参数方程[例13]:(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 22b -+b 22a -的最大值是 .[解析]: [类题]:1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知A(–1,-3),O 是坐标原点,线段OA 在坐标平面内绕原点顺时针旋转,扫过的面积是314π,这时A 点到达的位置A'的坐标是 . 2.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)当t 取实数值变化时,用x=22157tt ++,y=212t t +表示的点(x,y)表示的曲线是( )(A)圆 (B)不完整的圆 (C)椭圆 (D)不完整的椭圆 3.⑴(1987年广东高考试题)如果实数x,y 满足等式:x 2+y 2-2x+4y=0,则x-2y 的最大值为( )(A)5 (B)10 (C)9 (D)5+25⑵(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y 满足方程x 2+y 2=6x –4y –9,则2x –3y 的最大值与最小值的和等于 .4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a 为实数,S a ={(x,y)|x=a+cos θ,y=2a +sin θ,θ∈R},若S a ⊆{(x,y)|x 2+y 2<4},则a 的取值范围是_______.5.(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设x 21y -+y 21x -≥1,则x 2+y 2= .6.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)M={(x,y)|x 3+8y 3+6xy ≥1,x,y ∈R},P={(x,y)|x 2+y 2≤t 2,t ∈R,t ≠0},若P ∩M=∅,则t 的取值范围是 .14.轨迹问题[例14]:(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知O 为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C 作x 轴的垂线,M 是这垂线上的动点,以O 为圆心,OB 为半径作圆,MT 1,MT 2是圆的切线,则△MT 1T 2垂心的轨迹方程是 .[解析]:Y.P .M 数学竞赛讲座 11 [类题]:1.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设P 是圆x 2+y 2=36上一动点,A 点坐标为(20,0),当P 在圆上运动时,线段PA的中点M 的轨迹方程为 .2.(2004年全国I 高考试题)由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,∠APB=600,则动点P 的轨迹方程为 .3.(2008年天津高考试题)己知圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A 、B 两点, 且|AB|=6,则圆C 的方程为 .4.(2010年课标高考试题)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1).则圆C 的方程为 .5.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)动点M(x,y)满足22)cos ()sin (αα-+-y x =|xsin α+ycos α-1|(其中α是常数),哪么点M 的轨迹是 .6.(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)一条长为4的线段AB 在x 轴正半轴上移动,另一条长为2的线段CD 在y 轴正半轴上移动,如果两条线段的4个端点A 、B 、C 、D 四点共圆,那么这个圆的圆心的轨迹是_______.15.曲线系[例15]:(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)与圆x 2+y 2–4x –8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程是 .[解析]:[类题]:1.(2001年上海高考试题)己知两个圆:x 2+y 2=1…①与x 2+(y-3)2=1…②. 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下,加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而己知命题应为所推广命题的一个特例,推广的命题为 .2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过圆x 2+y 2+2x –6y+1=0与圆x 2+y 2–6x –6y+17=0的交点的直线方程可表示为 .3.(2009年天津高考试题)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为23,则a= .4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从点A(–1,21)向圆4x 2+4y 2–8x+4y –11=0作切线,则过切点的弦的方程是 .5.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从直线l:8x +4y =1上的任意一点P 作圆O:x 2+y 2=8的两条切线,切点为A 和B,则弦AB 长度的最小值为__________.6.(2007年山东高考试题)与直线x+y-2=0和曲线x 2+y 2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .16.整点问题[例16]:(1990年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连结原点O 与点A n (n,n+3),用f(n)表示线段OA n 上除端点外的整点个数,则f(1)+f(2)+…+f(1990)= .[解析]:[类题]:12 Y.P .M 数学竞赛讲座1.(1995年全国高中数学联赛试题)直角坐标平面上,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤10033y x x y x y 的整点个数是______.2.(1996年全国高中数学联赛试题)在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________.3.(1999年全国高中数学联赛试题)平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)254.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的圆形的面积是 .5.(2010年全国高中数学联赛试题)双曲线x 2-y 2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 .6.(1994年全国高中数学联赛试题)已知点集A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2≤(25)2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>(25)2},则点集A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_______.Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的直线与圆高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构1.三角形的四心表示:⑴静态形式:①重心:二、典型问题1.基本公式[例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设x k ,y k (k=1,2,3)均为非负实数,则232321)2007(x y y y +---+2223x y ++2122x y ++232121)(x x x y +++的最小值为 .[解析]:在直角坐标系中,作点A(0,2007),P 1(x 1+x 2+x 3,y 1),P 2(x 2+x 3,y 1+y 2),P 3(x 3,y 1+y 2+y 3).则232321)2007(x y y y +---+2223x y ++2122x y ++232121)(x x x y +++=|AP 3|+|P 3P 2|+|P 2P 1|+|OP 1|≥|OA|=2007.[类题]:1.(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x 2+y 2的最小值为 .2.(1989年全国高考试题)函数y=11+-x x e e 的反函数的定义域是 . 3.(2010年重庆高考试题)直线y=33x+2与圆心为D 的圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x (θ∈[0,2π)]交与A 、B 两点,则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( ) (A)67π (B)45π (C)34π (D)35π 4.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为________.[解析]:设AC 与BD 交于F 点,则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|,|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|,因此,当动点P 与F 点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值|AC|+|BD|=32+25.3.⑴(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=222++x x +222+-x x 的最小值是 . ⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=522+-x x +1342+-x x ,则f(x)的最小值为 .4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a 是正数,若f(x)=22106a ax x +-+2252a ax x ++(x ∈R)的最小值为10,则a= .5.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=222++x x -332+-x x 达到最大值时,x 的值是 . ⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x ∈R 时,函数y=1022++x x -102+-x x ( ) (A)没有最大值和最小值 (B)有最大值,没有最小值 (C)没有最大值,有最小值 (D)有最大值和最小值6.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=136324+--x x x -124+-x x 的最大值是 .⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=106324+-+x x x -52324++-x x x 的最大值是 .。

直线和圆的方程测试卷第一题已知直线L上有两个确定的点A(-2, 3)和B(4, 1)，求直线L的斜率和截距，并写出直线L的方程。

第二题求过点P(2, -5)的垂直于直线L: 2x + 3y - 5 = 0 的直线的方程。

第三题已知直线L1过点A(1, 2)且与直线L2: 3x + 4y + 7 = 0 平行，求直线L1的方程。

第四题求过点Q(-3, 4)且与直线L1: 5x - 2y + 1 = 0 相切的圆的方程。

第五题已知圆C1的圆心为点O(2, 1)，半径为r1 = 4，求圆C1的方程。

第六题求圆C2过圆C1的圆心O且切于点T(-2, 6)的圆的方程。

第七题已知圆C2的圆心为点P(3, -2)，与直线L1: 2x - 3y + 4 = 0 相切于点Q(-1, 2)，求圆C2的方程。

解答第一题根据两点求直线的斜率公式：\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]直线的截距可以通过代入点A或B的坐标求得，取点A代入：\[b = y - kx = 3 - (-\frac{1}{3}) \cdot (-2) = 2\]所以直线L的方程为：\[y = -\frac{1}{3}x + 2\]第二题垂直于直线L的直线的斜率为直线L的斜率的负倒数，即：\(-\frac{1}{k}\)。

所以垂直于直线L的直线的斜率为：\(-\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3\)。

过点P(2, -5)且斜率为3的直线的方程为：\[y - y_1 = k(x - x_1) = 3(x - 2) + (-5) = 3x - 6 - 5 = 3x - 11\]所以方程为：\[y = 3x - 11\]第三题由于直线L1与直线L2平行，所以它们的斜率相同。

直线L2的斜率可以通过将L2的方程转化为斜截式的形式得到，即：\[y = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{4}\]。

圆与直线方程测试题一、选择题：（每小题7分，共35分）1．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 （ ） A ．141<<m B ．141><m m 或 C ．41<m D ．1>m2．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51D ．－51<a <1 3．两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213 13 ，则c ＋2a 的值是( )A .±1 B. 1 C. -1 D . 24．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ）A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0 5.以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 二、填空题：（每小题7分，共14分）．6．圆222()()x a y b r -+-=过原点的充要条件是 ． 7．求圆221x y +=上的点到直线8x y -=的距离的最小值 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共51分)． 8．（10分）已知点P （2，－1）.（1）求过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？9、（12分）已知直线（a －2）y ＝（3a －1）x －1. （1）求证：无论a 为何值，直线总过第一象限； （2）为使这条直线不过第二象限，求a 的取值范围. 10、（14分）已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．11、（15分）已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3)Q ． （1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； （2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值；（3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．参考答案一、1-5 BDADC5.解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 二、6、222r b a =+（a ，b 不同时为零）；7、124-；三、8、解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1），可见， 过P （2，－1）垂直于x 轴的直线满足条件. 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即k x －y －2k －1＝0.由已知，得｜－2k －1｜k 2＋1 ＝2，解得k ＝34 . 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综所，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的佳绩是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k 1k OP ＝－1，所以k 1＝1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为｜－5｜5 ＝5 9、解：（1）将方程整理得a （3x －y ）＋（－x ＋2y －1）＝0，对任意实数a ，直线恒过3x －y ＝0与x －2y ＋1＝0的交点（15 ，35 ），∴直线系恒过第一象限内的定点（15 ，35 ），即无论a 为何值，直线总过第一象限.（2）当a ＝2时，直线为x ＝15 ，不过第二象限；当a ≠2时，直线方程化为y ＝3a －1a －2 x －1a －2，不过第二象限的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧3a －1a －2＞0 1a －2≤0 ⇒a ＞2，综上a ≥2时直线不过第二象限..10、解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P 1{|||||}2M MA MB ==．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为=平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点， 所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=② 将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．11、解：（1）∵ 点P （a ，a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4,5），∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7），∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。