2014年秋九年级数学上册 2.2 用配方法求解一元二次方程课时训练(2)(新版)北师大版

2.2 用配方法解一元二次方程
一、选择题
1.用配方法解一元二次方程，变形正确的是
A. B. C.
D.
2.用配方法解方程时，原方程应变形为
A. B. C. D.
3.用配方法解方程，配方后可得
A. B. C. D.
4.将一元二次方程左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是
A. 2
B. 1
C.
D.
5.用配方法解方程时，配方结果正确的是
A. B. C. D.
6.一元二次方程配方后可变形为
A. B. C. D.
7.用配方法解方程，方程应变形为
A. B. C. D.
8.用配方法解方程，则方程可变形为
A. B.
C. D.
9.用配方法解方程，配方后得
A. B. C. D.
10.若，则a的值为
A. 3
B.
C.
D.
11.不论为何实数，的值是
A. 总是正数
B. 总是负数
C. 可以是零
D. 可以是正数也可以是负数
12.用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是
A. B. C. D.
二、计算题
13.用配方法解方程：．
14.用配方法解方程：．
15.解下列方程：．
16.用配方法解方程：．
17.对于解一元二次方程：．
A同学说，可以先将方程化为利用配方法去求解；
B同学说，可以直接套用求根公式．
请你用以上两种方法中的一种或者是你认为更简便的其他方法解这个方程．
18.对于二次三项式，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论x取何值，
它的值都大于你是否同意他的说法？请你用配方法加以说明．。

九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试2.2用配方法解一元二次方程一、选择题1.用配方法解方程x2-4x-7=0时，原方程应变形为（）A．（x-2）2=11 B．（x+2）2=11 C．（x-4）2=23 D．（x+4）2=232.将代数式x2+6x-3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（）A．（x+3）2+6 B．（x-3）2+6 C．（x+3）2-12 D．（x-3）2-123.用配方法解方程x2-4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x-2）2=3 B．（x+2）2=3 C．（x-2）2=1 D．（x-2）2=-14.用配方法解方程2x2-4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A．（x-2）2=3 B．2（x-2）2=3 C．2（x-1）2=1 D．5.已知M=29a-1，N=a2-79a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定6.将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．-30 B．-20 C．-5 D．07.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x-2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x-2）2=18.一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为（）A．（x-3）2=14 B．（x-3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=49.用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=1910.对于代数式-x2+4x-5，通过配方能说明它的值一定是（）A．非正数B．非负数C．正数 D．负数二、填空题1.将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为．2.若x2-4x+5=（x-2）2+m，则m= ．3.若a的最小值为．4.用配方法解方程3x2-6x+1=0，则方程可变形为（x- ）2= ．5.已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m-n）2016= ．6.设x，y为实数，代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为．7.若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是．8.将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为．9.将一元二次方程x2-6x+5=0化成（x-a）2=b的形式，则ab= ．10.若代数式x2-6x+b可化为（x-a）2-3，则b-a= ．三、解答题1.解方程：（1）x2+4x-1=0．（2）x2-2x=4．2. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2-4x+6=（x ）2+ ；所以当x= 时，代数式x2-4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2-1与2x-3的大小．3.阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0∴（m-n）2+（n-4）2=0，∴（m-n）2=0，（n-4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a-b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy-z2-4z=5，求xyz的值．4.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4-x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一、选择题1.A2.C3.A4.C5.A6.B7.A8.A9.B 10.D二、填空题1.（x+2）2+1．2.1；3.3；4. 1；23；5.1；6.3；7.34．；8.-5；9.12；10.-3三、解答题1. 解：∵x2+4x-1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=-2∴x1x2（2）配方x2-2x+1=4+1∴（x-1）2=5∴x=1∴x1x22.解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．3.解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xyz=2．4.解：（1）m2+m+4=（m+12）2+154，∵（m+12）2≥0，∴（m+12）2+154≥154，则m2+m+4的最小值是154；（2）4-x2+2x=-（x-1）2+5，∵-（x-1）2≤0，∴-（x-1）2+5≤5，则4-x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20-2x）=-2x2+20x，∵-2x2+20x=-2（x-5）2+50=-2（x-5）2≤0，∴-2（x-5）2+50≤50，∴-2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。

《用配方法求解一元二次方程》练习一、基础过关1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为( ）A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．(x+2）2=13 D．(x+2）2=192．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为( ）A．(x﹣2)2=3 B．2(x﹣2）2=3 C．2（x﹣1)2=1 D．3．用配方法解方程3x2+8x﹣3=0，下列变形正确的是（）A．（x+）2=1+（）2 B．（x+)2=1+（）2C．（x﹣）2=1+（）2 D．（x﹣）2=1﹣（）24．若方程25x2﹣(k﹣1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．﹣9或11 B．﹣7或8 C．﹣8或9 D．﹣6或75．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围．解:2x2﹣12x+14=2（x2﹣6x）+14=2（x2﹣6x+32﹣32）+14=2[（x﹣3)2﹣9]+14=2（x﹣3）2﹣18+14=2(x﹣3）2﹣4．∵无论x取何实数，总有(x﹣3)2≥0,∴2(x﹣3）2﹣4≥﹣4．即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（）A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值16．若一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b,且a＜b，则a+3b的值为( ）A．136 B．268 C． D．二、综合训练7．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．8．将x2+6x+4进行配方变形后,可得该多项式的最小值为．9．将一元二次方程x2+4x+1=0化成（x+a）2=b的形式，其中a，b是常数，则a+b= ．10．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b）进入其中,会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中,得到﹣1,则x= ．11．配方：ax2+bx+c=(2ax+b)2+m,则m= ．12．若代数式x2+9的值与﹣6x的值相等，则x的值为．三、拓展应用13．王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解:方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第步开始出现错误．请你选择适当方法,正确解此方程．14．关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m）2+n(1）则m= ,n= ；(2)求x为何值时,此二次三项式的值为7?15．解下列各题：（1)当a=1+，b=时,求代数式a2+b2﹣2a+1的值；(2）用配方法解方程：x2+12x=﹣9．16．已知a、b是实数,且+|b﹣｜=0,解关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x．17．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③(x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根)参考答案一、基础过关1．B解：x2+4x=3， x2+4x+4=7， (x+2）2=7．故选．B2．C解：x2﹣2x=﹣， x2﹣2x+1=﹣+1，所以（x﹣1）2=．故选C．3．B解：∵3x2+8x﹣3=0，∴3x2+8x=3，∴x2+x=1，∴x2+x+=1+，∴（x+）2=，故选：B．4．A解：根据题意知，﹣（k﹣1）=±2×5×1，∴k﹣1=±10，即k﹣1=10或k﹣1=﹣10，得k=11或k=﹣9．故选A．5．C解:﹣3x2+12x﹣11=﹣3(x2﹣4x）﹣11=﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣11=﹣3（x﹣2）2+12﹣11=﹣3（x﹣2）2+1，∵无论x取何实数,总有（x﹣2）2≥0，∴﹣3（x﹣2）2≤0，∴﹣3(x﹣2）2+1≤1，即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1，故选：C．6．A解：∵9x2﹣12x﹣39996=0，∴9（x﹣)2=40000，∴x1=,x2=﹣66，∵一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b，且a＜b，∴a=﹣66，b=，a+3b=﹣66+202=136．故选A．二、综合训练7．答案为：12解：x2﹣6x+5=0， x2﹣6x=﹣5,x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2=4，所以a=3，b=4， ab=12，故答案为：12．8．答案为﹣5．解:∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5;故答案为﹣5．9．答案为：5解：方程x2+4x+1=0，移项得:x2+4x=﹣1,配方得：x2+4x+4=3，即（x+2)2=3,∴a=2，b=3，则a+b=5,故答案为：510．答案为﹣2．解:根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，整理得x2+4x+4=0, （x+2）2=0, 所以x1=x2=﹣2．故答案为﹣2．11．答案为：．解：ax2+bx+c=（4a2x2+4abx+4ac)=［（2ax)2+2•(2a）•b•x+b2﹣b2+4ac] =［（2ax+b)2+4ac﹣b2］ =（2ax+b)2+，∴m=，故答案为：．12．答案为﹣3．解:根据题意得x2+9=﹣6x，整理得x2+6x+9=0，（x+3）2=0，所以x1=x2=﹣3．故答案为﹣3．三、拓展应用13．答案为二．解：王洪的解法从第二步开始出现错误，正确解此方程：x2﹣2x+1=1+1， (x﹣1）2=2，x﹣1=±, x1=1+,x2=1﹣；故答案为二．14．(1)答案为：2,5；（2）二次三项式的值为7．解:（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）2+5，∵x2+4x+9=(x+m)2+n,∴m=2，n=5，故答案为：2，5；(2）根据题意得：x2+4x+9=7，（x+2）2=7﹣5， x+2=， x=﹣2±即当x=﹣2,此二次三项式的值为7．15．（1)5；（2)x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．解：（1）∵a=1+,b=，∴原式=（1+）2+(）2﹣2（1+）+1=1+2+2+3﹣2﹣2+1=5;（2）方程可化为x2+12x+62=﹣9+36，即(x+6）2=27，两边开方得,x+6=±3，故x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．16。

2.2 用配方法求解一元二次方程1．通过配方，把方程的一边化为__完全平方式__，另一边化为__非负数__，然后利用__开平方__的方法求出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的步骤是： ①__二次项系数化为1__；②__将常数项移至方程右边__；③__方程两边都加上一次项系数一半的平方__；④__把原方程变形为(x ＋m )2＝n 的形式__；⑤__如果右边是非负数，就可以用开平方法解这个一元二次方程__．知识点一：解二次项系数为1的一元二次方程1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝22．多项式x 2－mx ＋9是一个完全平方式，则m 的值为( C )A ．6B ．－6C ．±6D ．±923．将多项式x 2＋6x ＋2化为(x ＋p )2＋q 的形式为( B )A ．(x －3)2＋11B ．(x ＋3)2－7C ．(x ＋3)2－11D ．(x ＋2)2＋44．(2014·珠海)x 2－4x ＋3＝(x －__2__)2－1.5．若方程(x －2)2＋n ＝0有实数解，则实数n 的取值范围是__n ≤0__．6．(2014·无锡)解方程：x 2－5x －6＝0.解：移项，得x 2－5x ＝6，配方，得x 2－5x ＋(－52)2＝6＋(－52)2，整理，得(x －52)2＝494，开平方，得x －52＝±72，解得，x 1＝6，x 2＝－1知识点二：解二次项系数不为1的一元二次方程7．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，此方程可变形为( A )A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b 24a 2C ．(x －b 2a )＝b 2－4ac 4a 2D ．(x －b 2a )2＝b 2－4ac4a28．小明同学解方程6x 2－x －1＝0的简要步骤如下：解：6x 2－x －1＝0，――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，――→移项第二步x 2－16x ＝16，――→配方第三步(x －19)2＝16＋19，――→两边开方第四步x －19＝±518，――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤，发生第一次错误是在( C ) A ．第一步 B ．第二步 C ．第三步 D ．第四步 9．解下列方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0解：x 1＝2，x 2＝32(2)3x 2＝5x －2解：x 1＝1，x 2＝23知识点三：配方法的应用10．不论x ，y 为何实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( A ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．为任何实数 D ．可能为负数11．如果|x －2|＋y 2－10y ＋25＝0，那么x ＋y ＝__7__.12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( C )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．2x 2－7x －4＝0化为(x －74)2＝8116C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝10913．三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x ＋8＝0的解，则三角形的周长是( B )A ．11B ．13C ．11或13D ．以上都不对14．(2014·咸宁)用一条长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，则a 的值不可能为( D )A ．20B ．40C ．100D ．12015．如果关于x 的二次三项式x 2＋mx ＋m 是一个完全平方式，则m ＝__4__． 16．用配方法解方程：(1)x 2－2x －5＝0解：x 1＝1＋6，x 2＝1－6(2)x 2－2x ＝2x ＋1解：x 1＝2＋5，x 2＝2－5(3)(2014·泰州)2x 2－4x －1＝0解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(4)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7 解：x 1＝2，x 2＝417．一条长64 cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160 cm 2，求两个正方形的边长．解：设一个正方形的边长为x cm ，根据题意，得x 2＋(64－4x 4)2＝160，解得x 1＝12，x 2＝4.答：两个正方形的边长分别为12 cm 和4 cm18．已知三角形的一边长是10，另两边长是x 2－14x ＋48＝0的两根，试判断这个三角形的形状并求出这个三角形的面积．解：x 2－14x ＋48＝0得x 1＝6，x 2＝8，故该三角形为直角三角形，面积为S ＝12×6×8＝2419．用配方法证明：(1)a 2－a ＋1的值为正；(2)－9x 2＋8x －2的值小于0.解：证明：(1)∵a 2－a ＋1＝a 2－a ＋14＋34＝(a －12)2＋34≥34>0，∴a 2－a ＋1的值为正(2)∵－9x 2＋8x －2＝－9[x 2－89x ＋(49)2]＋169－2＝－9(x －49)2－29≤－29<0，∴－9x 2＋8x －2的值不小于0专题 配方法的应用一、用配方法解方程 1．解方程：(1)x 2－2x －288＝0 (2)3x 2－x －1＝0解：(1)x 1＝18，x 2＝－16 (2)x 1＝1＋136，x 2＝1－136二、配方法求二次三项式中的待定系数2．若代数式16x 2＋kxy ＋4y 2是完全平方式，则k 的值为( D ) A ．8 B ．16 C ．－16 D ．±163．已知4x 2＋12x ＋m 2是完全平方式，则m ＝__±3__．4．已知关于x 的二次三项式，x 2＋(k ＋1)x ＋k 2－2k ＋1是完全平方式，求k 的值．解：原式＝x 2＋(k ＋1)x 2＋(k －1)2，∵它是完全平方式，∴±2×1·(k －1)＝k ＋1，解得k ＝3或k ＝13三、配方法求二次三项式的最大(小)值5．求多项式2x 2－4x ＋7的最小值．解：2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋12－12)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5，∵(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即当x ＝1时，2x 2－4x ＋7有最小值为56．求二次三项式－2x 2＋x －1的最大值．解：－2x 2＋x －1＝－2(x 2－12x )－1＝－2[x 2－12x ＋(14)2－(14)2]－1＝－2[(x －14)2－(14)2]－1＝－2(x －14)2＋18－1＝－2(x －14)2－78，∵－2(x －14)2≤0，∴－2(x －14)2－78≤－78，即当x ＝14时，－2x 2＋x －1的最大值是－78四、配方法求多元未知数的值7．已知实数m ，n 满足m 2＋n 2＋4m －2n ＋5＝0，求m ·n ＋m ＋n 的值．解：原方程可化为(m 2＋4m ＋4)＋(n 2－2n ＋1)＝0，即(m ＋2)2＋(n －1)2＝0，∵(m ＋2)2≥0，(n －1)2≥0，∴m ＝－2，n ＝1，∴m ·n ＋m ＋n ＝(－2)×1＋(－2)＋1＝－38．已知|2z －y |＋y －4＋4x 2＋4xy ＋y 2＝0，求x ，y ，z .解：原方程可化为|2z －y|＋y －4＋(2x ＋y )2＝0，∵|2z －y|≥0，y －4≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2z －y ＝0，y ＝4，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4，z ＝2五、配方法比较两个二次三项式的大小9．设A＝2x2－4x－1，B＝x2－6x－6，试比较A与B的大小．解：A－B＝(2x2－4x－1)－(x2－6x－6)＝x2＋2x＋5＝x2＋2x＋1＋4＝(x＋1)2＋4>0，即A－B>0，∴A>B。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第2单元用配方法求解一元二次方程一．选择题（共7小题，满分28分）1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（）A．1+2x＝81B．1+x2＝81C．1+x+x2＝81D．1+x+x（1+x）＝812．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝540B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540C．32×20﹣20x﹣30x＝540D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝5403．取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（）A．5（5x+10）（2x﹣10）＝200B．5（5x+10）（2x+10）＝200C．5（5x﹣10）（2x﹣10）＝200D．5（5x﹣10）（2x+10）＝2004．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（）A．x2+（x﹣6.8）2＝100B．x（x+6.8）＝100C．x2+（x+6.8）2＝100D．x（x﹣6.8）2＝1005．随着天气逐渐转热，空调的销售愈发火爆，一家空调直营店4月份销售200台空调，两个月后，6月份销售了288台空调，设5，6月平均每月的增长率为x，则x满足的方程是（）A．200（1+x）＝288B．200（1+x）2＝288C．200+200（1+x）2＝288D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝2886．某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价（）A．5元B．10元C．20元D．10元或20元7．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm二．填空题（共4小题，满分20分）8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB 边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C 匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为秒．9．如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB＝CD＝EF＝GH＝xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x＝m．10．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2450张相片，则全班共有名学生．11．如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y＝2，则x的值等于．三．解答题（共10小题，满分72分）12．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．13．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：．（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．14．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？解：设修建的路宽应为米，余下的面积表示为米2，则根据题意得：．15．百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件，每件盈利元．16．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？17．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？18．某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？19．超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到件，每天共盈利元；（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．20．科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：（1）求前三天生产量的日平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．21．如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．（1）求五边形ABCDE的面积；（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．D2．A3．C4．C5．B6．D7．B二．填空题（共4小题，满分20分）8．19．210．5011．+1三．解答题（共10小题，满分72分）12．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．13．解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；（2）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，解得x1＝4，x2＝6．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，60﹣6＝54元，答：每千克特产应定价54元．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240解得x1＝54，x2＝56．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，答：每千克特产应定价54元．14．解：设修建的路宽为x米．余下的面积表示为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）米2，则列方程为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551，故答案为：x，20×30﹣（30x+20x﹣x2），20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551．15．解：设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，∵平均每天销售这种童装盈利1200元，∴（40﹣x）（20+2x）＝1200即：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1＝10∴每件童装应降价20元．故答案为：x，2x，20+2x，40﹣x．16．解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．答：单价应降低15元或13元．17．解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1﹣x）2＝48.6，解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，解得a≥5，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．18．解：∵2000×25＝50000＜54000，∴去的人一定超过25人，设该单位这次共有x个员工去旅游，根据题意，得[2000﹣40（x﹣25）]x＝54000，解之得：x1＝45，x2＝30，当x＝45时，人均费用为1200元．因为低于1700元，这种情况舍去．当x＝30时，人均费用为1800元．符合题意．答：该单位这次共有30员工去旅游．19．解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，当天盈利：（50﹣5）×（30+2×5）＝1800（元）；故答案为：40，1800；（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，解得：x＝15或x＝20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x＝20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200，整理得到：x2﹣35x+350＝0．由于Δ＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0，所以该方程无解．故商场日盈利不可以达到2200元．20．解：（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：前三天日平均增长率为20%．（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，整理得：m2﹣29m+100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线．②不能，理由如下：设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，整理得：a2﹣29a+220＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，∴该方程无实数根．∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．21．解：（1）过点E 、A 分别作EM ⊥BC 于M ，作AN ⊥EM 于点N ，如图，则∠EAN ＝∠AEN ＝45°，∴AN ＝EN ，∵MN ＝AB ，EM ＝CD ，∴EN ＝EM ﹣MN ＝DC ﹣AB ＝10﹣4＝6（m ），∴AN ＝6（m ），∴S 五边形ABCDE ＝S 梯形ABME +S 矩形EMCD ＝×（4+10）×6+2×10＝62（m 2）；（2）设BG ＝xm ，则FG ＝（4+x ）m ，CG ＝（8﹣x ）m ，根据题意得，（4+x ）（8﹣x ）＝35，解得：x 1＝1，x 2＝3，答：BG 的长为1m 或3m ；（3）设BG ＝ym ，且0＜BG ＜6，由题意得，200（4+y ）（8﹣y ）+100[62﹣（4+y ）（8﹣y ）]＝7300，化简，得，y 2﹣4y ﹣21＝0，解得：y 1＝7，y 2＝﹣3均不符合题意，∴投资7300元不能完成地面铺设.。

2.2用配方法求解一元二次方程一．填空题（共12小题）1．方程（x﹣5）2=5的解为．2．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}=1，若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= ．3．方程3x2=12的解是．4．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b=0的解是．5．把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．6．若将方程x2+2x﹣1=0配方成（x+a）2=h的形式，则a+h的值是．7．将一元二次方程x2﹣8x+4=0化成（x+a）2=2b的形式，则a= b= ．8．方程（x﹣3）（x+5）﹣1=0的根x1= ，x2= ．9．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．10．当代数式++﹣+1取最小值时，x+y的值是．11．已知：实数a、b满足a2+b2+2a+4b+5=0，则b= ．12．已知y=﹣x2﹣3x+4，则x+y的最大值为．二．选择题（共12小题）13．关于x的方程（x+1）2﹣m=0（其中m≥0）的解为（）A．x=﹣1+m B．x=﹣1+C．x=﹣1±m D．x=﹣114．方程：x2﹣25=0的解是（）A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=﹣5，x2=5 D．x=±2515．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3=0，此方程可化为（）A．（x﹣4）2=13 B．（x+4）2=13 C．（x﹣4）2=19 D．（x+4）2=1916．用配方法解方程x2+3x+1=0，经过配方，得到（）A．（x+）2=B．（x+）2= C．（x+3）2=10 D．（x+3）2=817．用配方法解方程2x2﹣x﹣1=0，变形结果正确的是（）A．（x﹣）2= B．（x﹣）2= C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=18．不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（）A．大于等于﹣ B．小于等于﹣ C．有最小值﹣ D．恒大于零19．若x为任意实数，且M=（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）A．10 B．84 C．100 D．12120．已知a，b是实数，x=a2+b2+24，y=2（3a+4b），则x，y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．不能确定21．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29=0，则此等腰三角形的周长为（）A．9 B．10 C．12 D．9或1222．代数式2x2﹣4x+3的值一定（）A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于123．已知△ABC的三边长a、b、c均为整数，且a和b满足，则△ABC的c边的长是（）A．2或3 B．2或4 C．2或3或4 D．3或424．△ABC三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|=10a+2﹣22，△ABC为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形三．解答题（共5小题）25．用配方法解下列方程：（1）x2+8x﹣9=0（2）4x2=1+12x．26．解方程：（1）25x2﹣36=0（2）4（2x﹣1）2=36．27．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．（1）求m的值；（2）求的值．28．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）=6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]=5．（x+a）2﹣b2=5，（x+a）2=5+b2．直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）=6．29．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．参考答案一．填空题1．．2．2或﹣1．3．x1=﹣2，x2=2．4．x1=，x2=0．5．﹣1、4．6．3．7．﹣4；6．8．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．9．12．10．﹣1．11．﹣2．12．5．二．选择题13．D．14．C．15．A．16．B．17．D．18．B．19．C．20．D．21．C．22．D．23．C．24．A．三．解答题25．解：（1）x2+8x﹣9=0，x2+8x=9，x2+8x+16=9+16，（x+4）2=25，x+4=±5，x+4=5或x+4=﹣5，解得：x1=1，x2=﹣9；（2）4x2=1+12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+=+，（x﹣）2=，x﹣=，则x﹣=或x﹣=﹣，解得：x1=，x2=．26．解：（1）由原方程，得x2=，则x=±．（2）由原方程，得（2x﹣1）2=9，所以2x﹣1=±3，所以x1=2，x2=﹣1．27．解：（1）ax2=b，x2=，x=，即方程的两根互为相反数，∵一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．∴m+1+2m﹣4=0，解得：m=1；（2）当m=1时，m+1=2，2m﹣4=﹣2，∵x=±，一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4，∴=（±2）2=4．28．解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]=5．（x+5）2﹣22=5，（x+5）2=5+22．直接开平方并整理，得．x1=﹣2，x2=﹣8．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、2、﹣2、﹣8，故答案为：5、2、﹣2、﹣8；（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]=6．（x﹣1）2﹣42=6，（x﹣1）2=6+42．x﹣1=±，∴x=1±，直接开平方并整理，得．x1=1+，x2=1﹣．29．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，a=3，则a﹣b=4；（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9=0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a﹣1=0，b﹣3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=﹣2．。

2．2 .2 用配方法求解一元二次方程一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。

3、解方程：（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0二、新授：1、例题讲析：例3：解方程：3x2+8x―3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

2、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15 t―5t2 ,小球何时能达到10m高？四、小结：1、用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。

2.2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习一、填空题：1.-2x2 + 23x-2 = -2 (x)2 + ( ）；2.用配方法解方程2x2 -4x +1 = 0的根是；3.用配方法解方程2x2 -x -15 = 0的根是；4.用配方法解关于x的方程mx2 -x -1 = 0 (m > 0)的根为.二、选择题：1.若9x2 -ax +4是一个完全平方式，则a等于（）；A. 12B. -12C. 12或-12D.6或-62.用配方法解方程2x (x -1) = 5 (x -1), 的方程的根为（）.A. x= 52 B. x = 1 C. x1 =52, x2 = 1 D. x1 =25, x2 = 1三、解答题：1.用配方法解下列方程：（1）4x2 -4x -1= 0；（2）7x2 -23x +6 =0.2.当x为何值时，代数式5x2 +7x +1和代数式x2 -9x +15的值相等？【综合练习】试证：不论k取何实数，关于x的方程(k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.【探究练习】已知方程(15-)x2 + (55-)x- 4 = 0的一个根是-1，设另一个根为a, 求a3 - 2a2 - 4a的值.2.2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习参考答案一、1. - 16 , - 3518 ； 2. 1±22； 3. - 52 , 3； 4. m m 2411+±. 二、1.C ； 2. C. 三、1. （1）221±，（2）3，27 ； 2. 2304±-. 【综合练习】提示：证明二次项系数k 2 -6k +12≠0.【探究练习】a 3 - 2a 2 - 4a = 0.。

第二章一元二次方程2.2 用配方法解较复杂的一元二次方程 同步练习题1.解一元二次方程3x 2 + 4x + 1 = 0时，可以将方程化为(A. (x + 2)2= 3 B . (x +1)2 =9 C . (x +1)2=1 D 2.若9x 2 — ax + 4是一个完全平方式，则a 等于(A. 12 B . — 12 C . 12 或一12 D(3x +1) 3.将多项式x 2 + 6x + 2化为(x + p)2 + q 的形式为((x — 3)2 + 11 (x + 3)2—11 A .C. .(x + 3)2— 7 .(x + 2)2 + 44. A . 用配方法解下列方程时，配方有错误的是(4x 2 — 4x — 19= 0 化为(2x — 1)2= 20B. 2t 2 — 7t — 4= 0 化为(t — 7)2=81C.2x 2 + 8x + 7= 0 化为(x + 2广=15 D. 3x 2 — 4x — 2= 0 化为(x —1)2=詈5. 2x 2一 x 一 10 若分式飞—^的值为零，则x 的值为(A.6. a、b取任意实数,多项式a2+ b2—2a—4b + 16的值总是(A. 负数B .零C .正数D .无法确定正负7.A. 3,—16 B8. 小明同学解方程.士3,—16 C . 3,16 D6x2—x—1= 0的简要步骤如下：士3,16解：6x2—x—1 = 0, 两边同时除以1 1移项------------------- > x2—X —;= 0, --------6 6 第步第一步2 1 1>x— 6x=6,配方--- > (x 第三步若x2+ 6x—7可化为(x + m)2—n,贝卩m n分别是(1 2 1 1两边开方 1 5 移项1 70 1 70 -厂6+ 9，—第四―T X_9^±任’—第五―T"9+可，心旷盲.上述步骤，发生第一次错误是在()A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步9. 式子—x —4x —5可配方成—(x + _ ) _____ ，该式有最____ 值是 _____ .10. 方程2x2- 5x—2= 0,配方后得________________ .11. 将方程7x2—5x —2 = 0配方后得 ___________ ，解为_______________ .12. 一元二次方程2x2—4x+ 1 = 0的解为_________________________ .13. 用配方法求得代数式2x2—7x + 2的最小值是________ .关于x的一元二次方程(k —1)x2+ 5x+ k2—3k+ 2 = 0的一个根为0,贝S k的值为___ .14. 用配方法解下列方程：(1) 2x 2—7x + 6= 0;1 2(2) 2宀x —1 = 015. 解下列方程：(1) 2x 2+ 3x —2= 0;(2) 4x 2—8x + 1 = 0.16. 用配方法证明：无论x为何实数，代数式—x2+4x —8的值恒小于零.17. 一个矩形周长为56厘米.(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？⑵能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由.参考答案；1---8 BCBCD CAC9. 2 —1 大—1+ 4x — 8的值恒小于零.17.解：(1)设矩形的长为x 厘米，则另一边长为(28 — x)厘米，依题意有x(28 —X) =180,解得 X 1 = 10(舍去)，X 2= 18,28 — x = 28— 18= 10.故长为 18 厘米， 宽为10厘米；⑵ 设矩形的长为x 厘米，则宽为(28 — X)厘米，依题意有x(28 — X) = 200,即 2 2 x — 28x + 200= 0,贝y △= 28 — 4X 200= 784 — 800V 0,原方程无实数根，故不 能围成一个面积为200平方厘米的矩形.10. (X 5 2 41 ―4)= 16 11. (X § 14 2= _8£ =196 X 1 = 1, X 2 = 12. ,X2 = 2-2 2 13. 33~814. (1) 解: 7 2 1 (X ― 4) = 16, 7 X —4= 1 3 士4，…X1 = 2， X2=2 15. 16. 解: (1) X 1= 1+ 3, X 2= 1— 3解：X 1 =X 1虽X 2= 1 —2v解: X 1= 1+ 23,。

第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程1．解：6x 2－x －1＝0 ――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0 ――→移项第二步x 2－16x ＝16 ――→配方第三步(x －19)2＝16＋19 ――→两边开方第四步x －19＝±518――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤中，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步2．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝13．方程2x 2＋3＝7x ，经配方后得(x －74)2＝________．4．将2x 2－12x －12＝0变形为(x －m)2＝n 的形式，则m ＋n ＝________． 5．当x ＝________时，代数式3x 2＋2x ＋5的值是6. 6．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋4x －4＝0；(2)2x 2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－328．2016·贵阳期末已知等腰三角形两边a ，b 满足a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．9B ．10C ．12D ．9或129．把方程3x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 10．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且满足a 2＋2b 2－2ab －2bc ＋c 2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较代数式A与B的大小．13．已知x＝4满足方程x2－32mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．教材习题2.4第3题变式题如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C [解析] 开始错误的步骤是第三步：(x －19)2＝16＋19，等号左边括号内19应为112，等号右边的19应为1144.故选C.2．C 3.25164.185．－1或13 [解析] 解方程3x 2＋2x ＋5＝6即可．6．解：(1)方程的各项都除以3， 得x 2＋43x －43＝0.移项，得x 2＋43x ＝43.配方，得x 2＋43x ＋(23)2＝43＋(23)2，即(x ＋23)2＝169.直接开平方，得x ＋23＝±43，∴x 1＝23，x 2＝－2.(2)移项，得2x 2－4x ＝－1，方程的各项都除以2，得x 2－2x ＝－12，配方，得x 2－2x ＋1＝1－12，即(x －1)2＝12，直接开平方，得x －1＝±22，∴x 1＝2＋22，x 2＝2－22.7．C [解析] 将(x ＋12)2＝1展开，得x 2＋x ＋14＝1.化为一般形式，得x 2＋x －34＝0.方程x 2＋x －34＝0两边同乘2，得2x 2＋2x －32＝0.故选C.8．C [解析] ∵a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0， ∴(a 2－4a ＋4)＋(b 2－10b ＋25)＝0， ∴(a －2)2＋(b －5)2＝0， ∴a ＝2，b ＝5，∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12； 当腰为2时，2＋2＜5，构不成三角形． 故选C. 9.23 79 10．等边11．证明：因为a 2－8a ＋20＝a 2－8a ＋16＋4＝(a －4)2＋4≥4，所以不论a 为何值，a 2－8a ＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定义可知，关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0必为一元二次方程．12．解：∵A －B ＝2m 2＋3m ＋7－(m 2＋5m ＋5)＝m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，∴A >B .13．解：把x ＝4代入已知方程，得16－6m ＝m 2， 整理，得m 2＋6m ＝16，配方，得()m ＋32＝25， 解得m 1＝－8，m 2＝2.当m ＝－8时，方程为x 2＋12x ＝64，解得x ＝4或x ＝－16； 当m ＝2时，方程为x 2－3x ＝4，解得x ＝4或x ＝－1.14．解：(1)设经过x s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )×2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4.所以经过2 s 或4 s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. (2)设经过y s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 由题意得AP ＝y cm ，BQ ＝2y cm ，BP ＝(6－y )cm. 由勾股定理得(6－y )2＋(2y )2＝(53)2， 解得y 1＝3.4，y 2＝－1(不合题意，舍去)． 所以经过3.4 s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 15．解：(1)∵x 2＋2x ＋3＝x 2＋2x ＋1＋2＝(x ＋1)2＋2， ∴当x ＝－1时，代数式x 2＋2x ＋3有最小值，且最小值是2. 故答案为：－1，2. (2)x 4－2x 2＋5 ＝x 4－2x 2＋1＋4 ＝(x 2－1)2＋4， ∵(x 2－1)2≥0， ∴(x 2－1)2＋4＞0，∴代数式x 4－2x 2＋5的值一定是正数．当x ＝±1时，这个代数式的值最小，最小值是4.(3)S 1＞S 2.理由如下：由题意，得S 1＝a 2，S 2＝4(a －3)＝4a －12， 则S 1－S 2＝a 2－(4a －12)＝a 2－4a ＋12＝(a －2)2＋8. ∵(a －2)2＞0，∴(a －2)2＋8＞0， ∴S 1－S 2＞0，∴S 1＞S 2.第2课时 相似三角形周长和面积的性质知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．2017·永州如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．4－7－134－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC ∽△DEF ，其相似比为3∶1，∴△ABC 的周长△DEF 的周长＝31，∴△DEF 的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAE ＝∠F ，∠EAD ＝∠AEB . ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠EAD ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴BE ＝AB ＝6， ∴CE ＝BC －BE ＝3.∵∠AEB ＝∠FEC ，∠BAE ＝∠F ， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴△ABE 的周长△FCE 的周长＝BECE＝2.∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝2 AB 2－BG 2＝4， ∴△ABE 的周长＝AB ＋BE ＋AE ＝16， ∴△FCE 的周长＝12×△ABE 的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14.∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′BD .∵S △ABC ∶S △A ′BD ＝4，∴AB ∶A ′B ＝2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1＝1. 8．3 [解析] ∵∠AED ＝∠B ，∠A 是公共角， ∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADE S △ACB ＝(AE AB)2. ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，∴△ABC 的面积为9. ∵AE ＝2，∴49＝(2AB )2，解得AB ＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CDF ，∠FAE ＝∠FCD ， ∴△AEF ∽△CDF . ∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3，∴△AEF 与△CDF 的周长的比为1∶3. (2)由(1)知，△AEF ∽△CDF ，相似比为1∶3， ∴它们的面积比为1∶9. ∵S △AEF ＝6 cm 2， ∴S △CDF ＝54 cm 2. 10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E ”形图近似于正方形，∴P 2D 2∥P 1D 1，∴∠PP 2D 2＝∠PP 1D 1，∠P 2D 2P ＝∠P 1D 1P ， ∴△PP 2D 2∽△PP 1D 1. ∵l 1＝14 cm ，l 2＝7 cm ， ∴P 2D 2∶P 1D 1＝1∶2.∵第②个小“E ”形图是面积为4 cm 2的正方形卡纸， ∴第①个大“E ”形图的面积＝4×4＝16(cm 2)． 故选B.13．解：(1)证明：∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴CF 是△ACD 的中线， ∴F 是AD 的中点． 又∵E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ， ∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴S △ABD ＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC .因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC 的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC 的面积是144.15．解：不够用．理由如下： 在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ， ∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2. ∵AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， ∴S △AMD S △CMB ＝(1020)2＝14. ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)． ∴S △CMB ＝50×4＝200(m 2)． 还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元， ∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC . ∵S △PQC ＝S 四边形PABQ ， ∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶2， ∴CP CA ＝12＝22， ∴CP ＝22·CA ＝2 2. (2)∵△PQC ∽△ABC ， ∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，即CP 4＝CQ3，∴CQ ＝34CP .同理：PQ ＝54CP ，∴C △PQC ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝4－CP ＋AB ＋3－CQ ＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP .由C △PQC ＝C 四边形PABQ ，得3CP ＝12－12CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.(3)存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴△ABC 中AB 边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ ＝90°且PM ＝PQ 时，∵△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高， ∴PQ 5＝125－PQ 125，∴PQ ＝6037； ②当∠PQM ＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝12PQ ，∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－12PQ .∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高，∴PQ 5＝125－12PQ 125，∴PQ ＝12049. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或12049.。