第四小组函数单调性案例

函数单调性的教学案例【学生】中专一某班.【教学环境】电脑教室，每生一台机，教师机可以控制学生机，例如观察某一台学生机学生的操作，让某一学生机学生观看教师机的操作，让所有学生观看教师机的操作，等等。

【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用，也就是认为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。

数学课堂生态化研究，强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围，而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。

数学课堂生态化研究，注重在教学过程中，教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。

多媒体信息具有直观性强的特点，对学生形成多感官刺激，能引起学生的强烈兴趣和注意。

利用多媒体的交互性，学生获得了对信息的完全控制，能激发学生的求知欲、创造欲。

所以，以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。

【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下，我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境，指导学生自主学习，让学生更注重知识的发生过程，为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。

为了深入学习函数单调性，我利用电脑辅助，创设问题情境，激发学习兴趣，让学生在充实背景下分析问题，思考问题，从而发现规律，抓住问题的本质。

本节课的教学目的是：(1)要求学生掌握函数单调性的定义，并激发学生思考函数单调性的判断方法。

(2)渗透数形结合思想，了解数形结合方法。

【教学过程】创设情境引入新课师：上节课，我们学习了函数的三种表示法，分别为：（师语音拉长，师生一块儿回答）生：列表法、公式法、图像法。

师：它们的区别是什么？生：列表法就是用表格来表示函数的方法；公式法是用函数解析式来表示函数的方法；图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。

师：这三者之间又有密切的联系，它们之间可以相互转化。

教学设计函数的单调性一．内容和内容解析函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是，引导学生对函数在区间（a，b）上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a，b）上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）），则称函数f（x）在区间（a，b）上单调增（或单调减）．二．目标和目标解析本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）．1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1＜x2，作差f（x2）－f（x1），然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数．三．教学问题诊断分析学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．“图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1＜x2有f （x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．四．教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．五．教学过程设计1．认识研究函数单调性的必要性前面已经学习过函数的概念、函数表示法，紧接着对函数要研究些什么？那就是函数的性质（特征）．研究函数的性质，是为了更好地把握变化规律．对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……相应的，函数的特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，等．使学生感受到，紧接研究函数的性质是必然的学习任务．也可以由教师引导，借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类，引入函数的某个性质的研究．比如，观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征？有图象上升的特征，图象有时上升有时下降的特征，图象关于y轴对称的特征，等．我们将逐一研究这些特征．图12．函数单调性的认识问题串的设计大体从两个层次上展开，目的是经历从直观到抽象，从特殊到一般的过程．首先利用图象描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度认识函数单调性；然后从数值变化角度描述变化规律，图象上升（下降），也就是随着x的增大y也增大（或减小）；最后用数学符号语言描述．问题1 如图2，观察一次函数f（x）＝x和二次函数f（x）＝x2的图象，说说随着x的增大，图象的升降情况．图2函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．意图：通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图象上的表现．初步提出函数单调性的意义：函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调性．我们把二次函数f （x ）＝x 2在y 轴左侧下降称为f （x ）＝x 2在区间]0,(-∞上“单调减”；在y 轴右侧上升称为函数f （x ）＝x 2在区间),0(+∞上“单调增”．下面以二次函数f （x ）＝x 2为例，通过列出x ，y 的对应值来研究它的上升与下降情况． 问题2 观察下列表格，描述二次函数f （x ）＝x 2随x 增大函数值的变化特征：意图：从一个特殊例子，结合前面的图象特征，从数值变化角度认识函数的单调性． 图象在y 轴左侧“下降”，也就是说，在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的f （x ）值反而随着减小；图象在y 轴右侧“上升”，也就是说，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的f （x ）值也随着增大．问题3 对于一般函数f （x ），如果在区间),0(+∞上有“图象上升”、“随着x 的增大，相应的f （x ）值也增大”的特点，那么应该怎样刻画呢？意图：从形象到抽象，从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数f （x ）在),0(+∞上“图象上升”、“随着x 的增大，相应的f （x ）值也增大”的特征．这个问题具有较高的思维要求，需要“跳一跳才能摘到果子”．教学上，可以让学生开展讨论、交流．通过学生的活动，逐渐认识函数单调性的刻画方法．在这个过程中，二次函数的特征是一个具体的载体，可以起到验证、支持作用．如果学生主动提出函数单调增的一般定义，则可以议论“为什么？”，让学生以二次函数f （x ）＝x 2为例解释定义的合理性．给出函数单调性的一般定义．一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．练习下列说法是否正确？请画图说明理由：（1）如果对于区间),0(+∞上的任意x 有f （x ）＞f （0），则函数f （x ）在区间),0(+∞上单调增；（2）对于区间上（a ，b ）的某3个自变量的值x 1，x 2，x 3，当a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b 时，有f （a ）＜f （x 1）＜f （x 2）＜f （x 3）＜f （b ），则函数f （x ）在区间（a ，b ）单调增．意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性．3．单调性概念的应用通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识．例1 物理学中的波利尔定律p ＝Vk （k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．分析 怎样来证明“体积V 减小，压强p 将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p ＝V k （（k 是正常数）是减函数．怎样证明函数p ＝Vk （（k 是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V ＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即设V 1＜V 2，去证明p 1＞p 2．也就是只要证明p 1－p 2＞0．证明 设V 1＜V 2，V 1，V 2∈（0，+∞）．p 1－p 2＝1V k －2V k ＝2112)(V V V V k -． 因为k 是正常数，V 1＜V 2，所以2112)(V V V V k -＞0，p 1＞p 2． 所以，体积V 减小，压强p 将增大．教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上，而让学生进行具体证明步骤的书写．练习画出反比例函数y ＝x1的图象． （1）指出这个函数的定义域I 是什么；（2）它在定义域I 上具有怎样的单调性？证明你的结论．答：（图象略）．（1）这个函数的定义域I ＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．（2）在区间（－∞，0）上函数单调减，在区间（0，＋∞）上函数也单调减．（证明略）六．目标检测设计1．举一个与实际生活联系的例子，并说明这个函数在定义域上是减函数．2．画图说明：函数f （x ）在它的定义域I 内的两个区间D 1，D 2上都单调增，而在定义域I 上并不单调增．3．证明函数f （x ）＝x 2－2x 在区间（1，+∞）上是增函数．4．研究函数f （x ）＝⎩⎨⎧<+->)0(1),0(22x x x x 的单调性．。

函数的单调性优秀教案(教学设计)(公开课比赛优秀教案)教学目标：知识目标：让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

能力目标：通过探究函数单调性定义，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过证明函数单调性，提高学生的推理论证能力。

德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维惯，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。

教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。

教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

教材分析：函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起。

本节课在教材中的作用如下：1）函数的单调性在初中数学中有广泛的应用。

它与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。

本节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。

教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。

同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

3）函数的单调性有着广泛的实际应用。

在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

函数的单调性在中学数学中扮演着十分重要的角色，因为它反映了函数的变化趋势和特点。

在解决问题时，利用函数单调性的观点是十分重要的，这为培养创新意识和实践能力提供了重要的途径和方式。

函数的单调性判断教学案例分析一、教学内容分析本节课所要讲述的内容为函数的单调性判断，这一章节的内容主要选自人教版数学教材必修一第一章节第三节中的第一课时，在这一节课程的讲解内容中，主要的可以分为两部分，分别为定义法证明函数单调性与根据图像判断函数单调性。

在这三部分教学内容中，都是对于函数单调性的研究，其中包含着重要的数形结合、由简到难的数学思想，有效地培养了学生的思想与能力。

这部分内容的学习，对于学生在之后函数的相关学习中，起到了重要的作用。

二、学生学情分析在学生进行这部分内容的学习时，学生在初中就已经完成了对于一次函数与二次函数的学习，并且在必修一之前课程的学习中，学生已经成功建立了函数与集合之间的相互联系，并学会运用集合的思想去思考函数问题。

并且在之前的学习中，教师帮助学生已经初步了解了增减函数之间的概念与特点，同时通过对于函数图像的分析已经大致了解如何简单判断函数的增减性，但是对于计算的过程并不熟练，对于其中所蕴含的数学思想与数学行为并不熟练，因此还需要教师多加引导，运用适当的习题帮助其稳固。

三、设计思想在进行课程分析时，教师首先明确这一课程在高中教学的影响地位，并思考学生在课堂学习中，可能会遇到的各种思维困难，以及在进行课程讲解过程中，如何有效的培养学生能力与思想。

在进行教学设计时，也需要思考更新颖的教学方式，帮助学生进行案例分析，使学生建立知识与问题之间的联系。

四、教学目标第一，掌握定义法进行函数单调性求解，并运用数学语言表达出来。

第二，掌握图像法对函数单调性的求解，并建立起图像与函数之间的联系。

第三，引导学生进行自主学习，主动进行体会数学知识的形成过程，体会数学知识由一般到特殊再到一般的整个过程，让学生有学习的兴趣。

五、教学重难点教学重点：可以简单运用定义法与图像法判断函数的单调性。

教学难点：如何让学生可以自主的进行知识的探讨，并可以深刻的理解定义法与图像法。

六、过程设计（一）课堂引入教师：展示生活中所存在的一些具有增减特点的图像，如股票的增长图、公司日营业额图等等，让学生根据之前所了解并学习的增减函数定义，重新进行知识点的复习与学习。

《函数单调性》的教学案例一、教学目标:(1)知识与技能：理解增函数、减函数的概念，初步掌握判断函数单调性的方法;(2方法与过程：通过观察、归纳、抽象、概括等，培养学生从图象中发现函数的单调性，并用数学语言加以刻画的能力，领会数形结合的数学思想方法。

(3)情感态度与价值观：在学习中，体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点教学重点：在图象中发现函数的单调性并形成概念;教学难点：将函数单调性的图形语言或直观语言转化为数学语言，用定义证明函数的单调性。

三、《函数单调性》教学过程：在下一页用图表说明。

《函数单调性》教学过程课堂导入教师引导，学生探究：教师引导学生某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图。

教师提问：(1)气温在哪些时间段内是升高的,在哪些时间段内是下降的?(2)气温升高时图象有什么特征?(图象是上升的还是下降的?),气温下降呢?教师小结：气温升高时图象是上升, 气温下降时图象是下降的教师：在我们熟悉的函数中，有哪些函数的图象有相似的特征?(让学生回顾，举例)问题2 观察y=2x+1，y=x2的函数图象回答下面问题：分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？同学们能用数学语言把上面俩个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来？创设这样的问题情境，既能激发学生的兴趣又符合“数学教学应从学生生活经验出发”和“关注概念的实际背景”这一新课程标准的要求。

xyO1x 2x )(2x f )(1x f xy O 1x 2x )(2x f )(1x f 教师和学生共同探究图象上升（下降）时，函数值的变化情况 教师引导，学生探究：教师通过多媒体图象演示，引导学生观看图像的变换过程，学生从函数值与自变量的依赖关系入手，描述增、减函数的直观定义；结论：当自变量增大时，函数值增大的函数称为增函数;当自变量增大时 ，函数值减小的函数称为减函数。

函数的单调性教学案例【案例背景】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。

然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。

整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

【案例描述】（一）问题情境1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。

“八月十八潮，壮观天下无”。

海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。

潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落？2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。

如何用学过的函数图象来描绘这些成语？设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x 值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？例如：初中研究2y x =时，我们知道，当x <0时，函数值y 随x 的增大而减小，当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大。