函数的单调性教学案例

函数的单调性教案一、引入函数的单调性是高中数学中的重要概念，它描述的是函数在定义域上的变化趋势。

在解题中，了解函数的单调性能够帮助我们简化问题，提高解题效率。

本教案将通过详细的讲解和例题分析，帮助学生掌握函数的单调性的概念、判断和应用。

二、概念剖析1. 单调递增函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) ≤ f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是单调递增的。

2. 单调递减函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) ≥ f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是单调递减的。

3. 严格单调递增函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是严格单调递增的。

4. 严格单调递减函数：设函数 f(x) 在定义域上有定义，若对任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，则称 f(x) 在定义域上是严格单调递减的。

三、判断方法1. 导数判断法：对于函数 f(x)，通过求导数 f'(x)，可以判断函数的单调性。

当 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 单调递增；当 f'(x) < 0 时，函数f(x) 单调递减。

2. 一阶差分判断法：对于函数 f(x)，通过计算相邻两点之间的函数值差来判断函数的单调性。

当 f(x2) - f(x1) > 0 时，函数 f(x) 单调递增；当 f(x2) - f(x1) < 0 时，函数 f(x) 单调递减。

四、应用示例1. 实例1：判断函数 f(x) = 3x + 2 的单调性。

解析：根据导数判断法，求出函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3。

课题：函数的单调性授课教师：王青【教学目标】1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。

2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【使用教具】多媒体教学【教学过程】一、创设情境，引入课题1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容.1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1）函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上)(x f 的值随x 的增大而_______（2）函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上)(x f 的值随x 的增大而_______（3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4）函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212221<-+=-x x x x x x ,即2221x x <，所以()()21x f x f >任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1<x 2,则()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1<x 2,则()()21x f x f < 师生共同探究，得出增函数和减函数的定义： 增函数定义：如果函数y=f(x)在数集I 上满足：随着自变量x 的增大，因变量y 也增大，那么称y=f(x)在数集I 上单调增，也称y=f(x)在数集I 上是增函数数学语言描述：如果函数y=f(x)在数集I 上满足：对于任意的x 1，x 2∈I,当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，则称y=f(x)在数集I 上单调增，也称y=f(x)在数集I 上是增函数。

函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。

教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。

函数的单调性教案(获奖)章节一：函数单调性的引入1. 引入概念：单调增加和单调减少2. 讲解实例：设f(x) = x，则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x，则g(x)在实数集上单调减少3. 总结：函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质，分为单调增加和单调减少两种情况。

章节二：函数单调性的定义1. 定义单调增加：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加。

2. 定义单调减少：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减少。

3. 举例说明：设h(x) = 2x + 3，则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1，则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加，在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三：函数单调性的判断方法1. 导数法：若函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x) ≥0（单调增加）或f'(x) ≤0（单调减少），则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。

2. 图像法：绘制函数图像，观察函数值的变化趋势，判断单调性。

3. 表格法：列出函数在不同x值下的函数值，观察函数值的变化规律，判断单调性。

章节四：函数单调性的应用1. 最大值和最小值：对于单调增加的函数，最大值出现在定义域的右端点；对于单调减少的函数，最小值出现在定义域的左端点。

2. 函数的切线：单调增加的函数在切点处的切线斜率为正；单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。

3. 函数的图像：单调增加的函数图像上升，单调减少的函数图像下降。

章节五：单调性在实际问题中的应用1. 线性规划：利用函数的单调性确定最优解的位置。

2. 优化问题：求函数的最值，利用函数的单调性判断最值的位置。

3. 经济学：分析市场需求和供给的单调性，预测市场变化趋势。

4. 物理学：研究物体运动的速度和加速度，利用单调性分析物体的运动状态。

函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。

举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。

1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。

通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。

引导学生学会识别函数图像中的单调区间。

2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。

教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。

第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。

通过例题让学生掌握求解极值的方法。

3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。

通过例题让学生理解最值的求解过程。

第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。

通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。

4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。

第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。

引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。

5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。

提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。

第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。

通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。

6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。

通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。

函数的单调性教案教案标题：函数的单调性教案目标：1. 理解函数的单调性的概念和意义；2. 掌握判断函数单调性的方法和技巧；3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

教案步骤：引入与导入（5分钟）：1. 引入函数的概念，复习函数的定义和表示方法；2. 引入函数的单调性的概念，解释函数的单调性与图像的关系。

讲解与示范（15分钟）：1. 解释函数的单调性的定义：若对于函数f(x)的定义域内的任意两个实数a和b，若a < b，则有f(a) < f(b)（单调递增）或f(a) > f(b)（单调递减）；2. 示范判断函数的单调性的方法：通过函数的导数、函数的图像、函数的表格等方式。

练习与讨论（20分钟）：1. 练习判断函数的单调性：给出一些函数的表达式或图像，学生根据定义判断其单调性；2. 学生讨论判断函数单调性的方法和技巧，分享自己的解题思路。

应用与拓展（15分钟）：1. 应用函数的单调性解决实际问题：例如利用函数的单调性解决最优化问题、优化生产过程等；2. 拓展函数的单调性概念：介绍函数的严格单调性和非严格单调性，以及函数的局部单调性和整体单调性。

总结与延伸（5分钟）：1. 总结函数的单调性的概念和判断方法；2. 引导学生思考函数的单调性在数学和实际问题中的应用。

教案评估：1. 出示几个函数的图像，要求学生判断其单调性；2. 布置作业，要求学生解决一个实际问题，应用函数的单调性进行分析和求解。

教案拓展：1. 引入函数的凹凸性的概念，与函数的单调性进行比较；2. 引入函数的最值概念，与函数的单调性进行联系和探讨。

函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。

提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。

举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。

1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。

第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。

举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。

2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。

2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。

第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。

举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。

3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。

3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。

第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。

4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。

4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。

第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。

5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。

5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。

第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。

函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如商品价格的变化、物体运动的速度等。

1.2 讲解：单调性的定义，函数单调递增和单调递减的概念。

1.3 练习：判断几个简单函数的单调性，如f(x)=x, f(x)=-x, f(x)=x^2等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 引入：通过实际例子，让学生理解单调性判断的重要性。

2.2 讲解：利用导数、图像、定义等方法判断函数的单调性。

2.3 练习：判断一些复杂函数的单调性，并进行验证。

第三章：函数单调性的应用3.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如最优化问题、不等式的证明等。

3.2 讲解：函数单调性在解决最优化问题、不等式证明等方面的应用。

3.3 练习：解决一些实际问题，如求函数的最值、证明不等式等。

第四章：函数单调性的性质与定理4.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的周期性、奇偶性等。

4.2 讲解：函数单调性的性质与定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

4.3 练习：运用性质与定理解决一些实际问题。

第五章：函数单调性与导数的关系5.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用，如函数的极值点。

5.2 讲解：函数单调性与导数的关系，如单调递增的充分必要条件是导数大于0，单调递减的充分必要条件是导数小于0。

5.3 练习：判断函数的单调性，并找出其极值点。

第六章：复合函数的单调性6.1 引入：通过实际例子，让学生感受复合函数单调性在实际生活中的应用，如温度随高度和纬度的变化。

6.2 讲解：复合函数单调性的定义和判断方法。

6.3 练习：判断复合函数的单调性，并进行验证。

第七章：反函数的单调性7.1 引入：通过实际例子，让学生感受反函数单调性在实际生活中的应用，如坐标系的转换。

7.2 讲解：反函数单调性的性质和判断方法。

《函数的单调性》组内公开课教案巩固知识尝试应用例 1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示．根据图像说出这个函数的单调区间，以及在函数在各单调区间上的单调性．教师引导学生独立完成并对学生的回答，及时鼓励并适时点评.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.通过观察图像变化特征确定函数的单调区间，培养学生知识的正确运用知识解决问题的能力.应用知识强化练习1.已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域．先让学生回答，然后老师再给予指导和说明.通过巩固训练及时巩固对所学知识.归纳总结理论升华函数单调性的判定方法第一种方法图像法：借助于函数的图像来判定．让学生总结判断方法及实施办法.通过归纳解题方法，提高认识，加深对知识应用理解.收获盘点要求从我掌握的知识和我学到的方法和思想两个方面谈自己的收获1.新知识2.数学思想和方法在教师引导提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.从知识梳理、方法归纳、思想提炼三个方面进行点拨，使得知识结构板块化，网络化.让学生具有完整的认知结构.布置作业1.书面作业：甲组：课本52页习题3.2A组第1题乙组：课本48页练习3.2.1第1题另加一问写出该函数最大值和最小值。

丙组：课堂学习的例题12.课后思考作业：丙组：根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性教师分层布置作业，要求学生独立完成，反馈学生对知识方法掌握的情况基于本节课内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.。

《函数的单调性》教学案例《函数的单调性》教学案例课题：§1.3.1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程：一、引入课题通过最近比较热门话题的股票作为引题，用上证指数随时间的“跌”、“涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的.要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。

师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变化等。

那我们今天就先来学习函数的单调性。

1．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1）f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降 ______?2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2）f(x) = -2x+11 从左至右图象上升还是下降 ______?2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．3）f(x) = x21在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．问题设计的目的大体从三个层次上展开。

首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。

问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。

问题1：列表描点，画函数f（x）＝x2的图像。

意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。