2020高考数学(文)(新课标)大一轮复习层级快练：第九章 解析几何 作业53 含解析

1．已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0 B.3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D .由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A .由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B .直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )A ．1 B.2 C . 2D ．0解析：选A .直线方程可化为x a ＋y1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C .令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．解析：直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x .答案：y ＝23x7．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝08．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0， 解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选C .将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1，得1a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b)＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C . 2．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B.2 2 C . 2D ．16解析：选A .因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A .13 B.－13C ．－32D ．23解析：选B .依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞5．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0， 解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点：(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.。

题组层级快练(五十九)1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m<3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12.2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个核心是(0，3)，那么k 的值是( ) A ．1 B ．－1 C.653D ．－63答案 B 解析kx 2－ky 28＝1，核心在y 轴上，c ＝3，解得k ＝－1. 3．(2019·山东滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右核心别离为F 1，F 2，假设双曲线的左支上有一点M 到右核心F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，那么|NO|等于( ) A.23 B ．1 C ．2 D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线概念|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，∴|NO|＝12|MF 1|＝4.4．(2019·湖南永州模拟)核心是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－x 23＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2答案 D解析 由已知，双曲线核心在y 轴上，且为等轴双曲线，应选D.5．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两核心间的距离为4，那么n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3)D ．(0，3)答案 A解析 由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两核心间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，因此－1<n<3.6．(2021·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个核心在直线l 上，那么双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 依照双曲线的渐近线与直线l 平行取得渐近线的斜率，由双曲线的一个核心在直线l 上求出c ，然后解方程组即可求出a ，b 的值．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，因此ba ＝2.又因为双曲线的一个核心在直线y ＝2x ＋10上， 因此－2c ＋10＝0，因此c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.7．(2019·广东七校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右核心为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，那么双曲线C 的离心率为( ) A.52B. 5C. 2 D ．2 答案 C解析 易知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，那么点F(c ，0)到渐近线的距离为|bc|a 2＋b2＝bcc ＝b ，即圆F 的半径为b.令x ＝c ，那么y ＝±b c 2a 2－1＝±b 2a ，由题意，得b ＝b 2a，即a ＝b ，因此双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a2＝2，应选C.8．(2019·贵州综合测试二)假设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，那么C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33xC ．y ＝±3xD ．y ＝±3x答案 B解析 由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆心为(2，0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝2b a 2＋b 2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x.选B.9．(2017·课标全国Ⅲ，理)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共核心，那么C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 依照双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的核心坐标为(3，0)和(－3，0)，因此a 2＋b 2＝9 ②，依照①②可知a 2＝4，b 2＝5，因此选B.10．(2019·黑龙江海林模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，假设存在过右核心F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，那么双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 因为过右核心的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，右核心F(c ，0)．因为AF →＝3BF →，因此c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，由于x 1≤－a ，x 2≥a ，因此－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，ca ≥2，即e ≥2，应选C.11．(2019·贵阳市高三监测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，假设点(2，1)在“右”区域内，那么双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，52) B ．(52，＋∞) C ．(1，54)D ．(54，＋∞)答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是不等式组⎩⎨⎧y<b a x ，y>－bax所确信，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋（b a ）2∈(52，＋∞)，选B.12．(2019·安徽黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的核心，A 为双曲线上一点．假设|F 1A|＝2|F 2A|，那么cos ∠AF 2F 1等于( ) A.32 B.54C.55D.14答案 C解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，因此b ＝2a.又|F 1A|＝2|F 2A|，且|F 1A|－|F 2A|＝2a ，因此|F 2A|＝2a ，|F 1A|＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，因此cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A|2－|F 1A|22|F 1F 2||F 2A|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，应选C.13．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，假设方程表示双曲线，那么λ的取值范围是________．答案 λ<－2或λ>－1解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2019·山东聊城期中)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A(－3，0)，那么过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 设动圆M 的半径为R ，那么|MC|＝2＋R ，|MA|＝R ，∴|MC|－|MA|＝2.由双曲线的概念知，M 点的轨迹是以A ，C 为核心的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.那么动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 15．(2019·湖南长沙模拟)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左核心，那么|PF 1|＋|PQ|的最小值为________． 答案 22＋1解析 设右核心为F 2，∵|PF 1|－|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝|PF 2|＋22，∴|PF 1|＋|PQ|＝|PF 2|＋22＋|PQ|.当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ|最小，且最小值为F 2到l 的距离．由题意得l 的方程为y ＝±12x ，F 2(3，0)，F 2到l 的距离d ＝1，∴|PQ|＋|PF 1|的最小值为22＋1.16．(2019·江南十校3月综合素养测试)已知双曲线C 1，C 2的核心别离在x 轴，y 轴上，渐近线方程为y ＝±1a x ，离心率别离为e 1，e 2.那么e 1＋e 2的最小值为________． 答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝1(a>0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a 2＝1(a>0)，因此e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2 a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)． 17.如下图，双曲线的中心在座标原点，核心在x 轴上，F 1，F 2别离为左、右核心，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．答案 3x 22－y 22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|.即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23， ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y 22＝1.18．(2019·上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1的左、右核心，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足别离为P 1，P 2，求PP 1→·PP 2→的值． 答案 (1)x 2－y 22＝1 (2)29解析 (1)设F 2，M 的坐标别离为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)， 因为点M 在双曲线C 上，因此1＋b 2－y 02b2＝1，那么y 0＝b 2，因此|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的概念可知：|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)由条件可知：两条渐近线别离为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知cosθ＝13.那么点P 到两条渐近线的距离别离为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，因此2x 02－y 02＝2. 因此PP 1→·PP 2→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 02－y 02|3·13＝29.。

题组层级快练(五十八)1．已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆错误!＋错误!＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A．(0，1）B．（0,5)C．［1，5）∪(5，＋∞）D．[1，5)思路该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法,由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元,进一步转化为方程恒有解的问题,利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点,由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m的不等式，解之即可．答案C解析方法一：由椭圆的方程，可知m>0，且m≠5.将直线与椭圆的方程联立方程组，得错误!由①，得y＝kx＋1。

代入②，得错误!＋错误!＝1。

整理,得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m）＝0。

因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝(10k）2－4×(5k2＋m）×5（1－m）＝20（5k2m－m＋m2）≥0。

因为m>0，所以不等式等价于5k2－1＋m≥0,即k2≥错误!，由题意，可知不等式恒成立,则错误!≤0,解得m≥1。

综上m的取值范围为m≥1且m≠5.方法二：因为直线y－kx－1＝0过定点P(0,1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内，即错误!＋错误!≤1，整理，得错误!≤1，解得m≥1.又方程x25＋y2m＝1表示椭圆，所以m〉0且m≠5.综上m的取值范围为m≥1且m≠5。

2．已知椭圆E:错误!＋错误!＝1（a>b>0)的右焦点为F（3，0)，过点F的直线交E于A，B两点,若AB的中点为M（1,－1)，则E的方程为（）A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1答案D解析k AB＝错误!＝错误!，k OM＝－1，由k AB·k OM＝－错误!，得错误!＝错误!，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为x218＋y29＝1.3．（2019·南昌二模）已知椭圆C：错误!＋x2＝1，过点P(错误!，错误!)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为( )A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0答案B解析设A(x1,y1)，B（x2，y2)，因为A，B在椭圆错误!＋x2＝1上，所以错误!两式相减得错误!＋x12－x22＝0，得错误!＋（x1－x2)（x1＋x2）＝0，又弦AB被点P(错误!，错误!）平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1,将其代入上式得错误!＋x1－x2＝0，得错误!＝－9,即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－错误!＝－9(x－错误!)，即9x＋y－5＝0.4．椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（)A．3 B。

题组层级快练(五十四)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则a(a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件． 2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10答案 A解析 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0. ∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．若l 1：x ＋(1＋m)y ＋(m －2)＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0平行，则实数m 的值是( ) A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，平行． 当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，平行．4．(2019·临川一中)直线kx －y ＋2＝4k ，当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0，0) B ．(2，1) C ．(4，2) D ．(2，4)答案 C解析 直线方程可化为k(x －4)－(y －2)＝0，所以直线恒过定点(4，2)．5．(2019·保定模拟)分别过点A(1，3)和点B(2，4)的直线l 1和l 2互相平行且有最大距离，则l 1的方程是( ) A ．x －y －4＝0 B ．x ＋y －4＝0 C ．x ＝1 D ．y ＝3答案 B解析 连接AB ，当l 1与l 2分别与AB 垂直时，l 1与l 2之间有最大距离且d ＝|AB|，此时k AB ＝1，∴kl 1＝－1，则y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0.6．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋1答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0，1)关于直线y ＝x 对称的点(1，0)在所求直线上， ∴所求直线方程为y －0－1－0＝x －1－1－1，即y ＝x 2－12.7．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．2＋ 2 D ．4答案 C解析 由点到直线的距离公式，得d ＝|cosθ＋sinθ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin (θ＋π4)，又θ∈R ，∴d max ＝2＋ 2.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 令y′＝4x 3＝4，得x ＝1，∴切点为(1，1)，l 的斜率为4.故l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 9．(2019·江西赣州模拟)若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 2答案 A解析 由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.10．(2019·江西师大附中月考)复数z 满足zi ＝3＋4i ，若复数z －在复平面内对应的点为M ，则点M 到直线3x －y ＋1＝0的距离为( )A.4105B.7105C.8105D.10答案 D解析 由zi ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝3i －4－1＝4－3i ，∴z －＝4＋3i ，∴z －在复平面内对应的点M(4，3)，∴所求距离d ＝|3×4－3＋1|10＝10. 11．(2019·青岛调考)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( ) A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案 C解析 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.12．(2019·云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为α的直线l 与直线m ：x －2y ＋3＝0垂直，则cos2α＝________． 答案 －35解析 直线m ：x －2y ＋3＝0的斜率是12，∵l ⊥m ，∴直线l 的斜率是－2，故tanα＝－2，∴π2<α<2π3，sin α＝255，cos α＝－55，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－55)2－1＝－35. 13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图像关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．答案 2解析 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.14．已知点M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 3解析 ∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，所以(a 2＋b 2)min ＝1532＋42＝3. 15．已知直线l 过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析 设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2.∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.16.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析 由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.17．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A ，C 的坐标． 答案 A(－1，0)，C(5，－6)解析 如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1. ∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2. ∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B′在直线AC 上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C(5，－6)． 18．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程． 答案 2x ＋7y －5＝0解析 方法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0，∴C(1，0)． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D(53，23)．则C ，D 的中点M 为(43，13)．又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43， 即2x ＋7y －5＝0为所求方程．方法二：∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M(43，13)．(以下同方法一)方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0， 设所求方程为(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0. 方法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0. 解得⎩⎨⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)。

题组层级快练(五十二)1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 ∵直线方程可化为y －1＝k(x －1)， 恒过(1，1)定点，而(1，1)在椭圆内部，故选A.2．(2016·安徽安庆六校联考)已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)于A ，B两点，若点P(2，1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( ) A.12 B.22 C.34 D.32答案 D解析 k AB ＝－12，k OP ＝12，由k AB ·k OP ＝－b 2a 2，得12×(－12)＝－b 2a 2.∴b 2a 2＝14.∴e ＝ca ＝1－b 2a2＝32. 3．椭圆x 216＋y24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10答案 D解析 设椭圆x 216＋y24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝|42sin （θ＋π4）－2|5，∴d max ＝|－42－2|5＝10.4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y23＝1(a>0)的左焦点为F(－c ，0)．若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A ．3B ．5C ．2D ．4答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.5．已知椭圆y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． 答案 y 24＋x 2＝1解析 ∵椭圆y 2a 2＋x2b2＝1的右顶点为A(1，0)，∴b ＝1，焦点坐标为(0，c)，∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x|＝2b 1－c 2a2＝2b 2a ＝2a，a ＝2. 则椭圆方程为y 24＋x 2＝1.6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，若原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则mn 的值是________． 答案22解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1消去y ， 得(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.则MN 的中点P 的坐标为(n m ＋n ，mm ＋n )．∴k OP ＝m n ＝22.7．(2013·福建)椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线y ＝3(x ＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a. 即e ＝23＋1＝3－1. 8．已知椭圆x 29＋y2m ＝1(0<m<9)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为10，则m 的值为________． 答案 3解析 已知在椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m<9)中，a 2＝9，b 2＝m.|AF 2|＋|BF 2|＝4×3－|AB|≤10，∴|AB|≥2，|AB|min ＝2b 23＝2m3＝2，解得m ＝3.9．已知椭圆C ：x 22＋y24＝1，过椭圆C 上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，求直线AB 的斜率． 答案2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k(x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2－2k(k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k ＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k ＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k ＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 10．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上．若F 1A →＝5F 2B →，求点A的坐标． 答案 (0，±1)解析 由题意知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 123＋y 12＝1，x223＋y22＝1.①又∵F 1A →＝5F 2B →，F 1A →＝(x 1＋2，y 1)，F 2B →＝(x 2－2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 1＋2＝5（x 2－2），y 1＝5y 2，即⎩⎨⎧x 1＋62＝5x 2，y 1＝5y 2.②，联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝±1，即A(0，±1)． 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为22，直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值． 答案 (1)x 24＋y22＝1 (2)k ＝±1解析 (1)∵a＝2，e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝ 2.椭圆C ：x 24＋y22＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.∵直线y ＝k(x －1)恒过椭圆内一点(1，0)， ∴Δ>0恒成立．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.S △AMN ＝12×1×|y 1－y 2|＝12×|kx 1－kx 2|＝|k|2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|k|216＋24k 21＋2k 2＝103. 即7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.12．(2016·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 答案 (1)x 28＋y24＝1(2)2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0 解析 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C(2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，1－（b a ）2＝（22）2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)， |F 2C|＝（2－2）2＋（0＋2）2＝2<r ＝ 6. F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线． 设l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C(2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k|1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k|1＋k 2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2. 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求实数b 的值． 答案 (1)43 (2)22解析 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1. 化简，得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB|＝2|x 2－x 1|. 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4（1－b 2）（1＋b 2）2－4（1－2b 2）1＋b 2＝8b 4（1＋b 2）2，解得b ＝22.1．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y26＝1 B.x 216＋y26＝1 C.x 28＋y24＝1 D.x 216＋y24＝1 答案 A解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6，故选A.2．已知A 1、A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1、A 2的任意一点，若直线PA 1、PA 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.53答案 D解析 设P(x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a ＝－49，化简得x 02a 2＋y 024a 29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝1－（b a）2＝1－49＝53. 3．已知中心在原点，焦点坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2＝0截得的弦的中点的横坐标为12，则该椭圆的方程为________．答案 y 275＋x225＝1解析 根据题意可设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b 2＋a 2)x2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0，则可得弦的中点的横坐标为6b 29b 2＋a 2，即6b 29b 2＋a 2＝12，又a 2－b 2＝50，解得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x225＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使得a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．答案 (2－1，1)解析 依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1F 2共线)，即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ，∴2a|PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1.又a －c<|PF 2|<a ＋c ，则21－e >e ＋1>21＋e ，又0<e<1，因此2－1<e<1.。