山东省济宁市高考数学专题复习第22讲简单的三角恒等变换练习新人教A版

课时规范练22 三角恒等变换一、基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.πC. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B.C. D.3.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=()A. B.-C.或0D.-或04.(2017河南郑州三模,理4)已知cos=-,则sin的值等于()A. B.±C.-D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度7.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a= .8.(2017江苏无锡一模,12)已知sin α=3sin,则tan=.9.(2017山东,理16)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.〚导学号21500723〛10.(2017山西临汾三模,理17)已知函数f(x)=sin4x+cos4x+sin 2x cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最值.二、综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.-C. D.-12.已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为()A. B.C. D.13.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值为.14.(2017山东潍坊一模,理16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且b sinA cos C+c sin A cos B= a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tan A sin ωx cos ωx-cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的值域.〚导学号21500724〛三、创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C. D.2 〚导学号21500725〛16.已知函数f(x)=2cos2x+2sin x cos x+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.课时规范练22三角恒等变换1.B f(x)=2sin2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2故选A. 3.C因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=若cos α=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan 2α=0.若tan α=,则tan 2α=综上所述,故选C.4.B∵cos=-,∴cos=-cos=-cos 2=-=-,解得sin2,∴sin=±故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=sin 2x=sin,则T==π.又2kπ-2x-2kπ+(k∈Z),∴kπ-x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.6.A∵y=sin 2x+cos 2x=cos 2,y=cos 2x-sin2x==cos 2=cos 2,∴只需将函数y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y=sin 2x+cos 2x 的图象.7.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin依题意有+a2=+3,则a=±8.2-4sin α=3sin=sin α+cos α,∴tan α=又tan=tan=2-,∴tan===-=2-4.9.解 (1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx==sin由题设知f=0,所以=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin sin因为x,所以x-,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-10.解 (1)函数f(x)=sin4x+cos4x+sin 2x cos 2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x cos2x+sin 4x=1-sin22x+sin 4x=1-sin 4x=sin 4x+cos 4x+sin, ∴f(x)的最小正周期T=(2)当x时,4x+,∴sin,当4x+时,f(x)取得最小值为,此时x=当4x+时,f(x)取得最大值为,此时x=∴当x时,f(x)的最大值为,最小值为11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin<α<,可得<α+<π,∴cos=-∴sin=2sin cos=2=-故选D. 12.D由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数f(x)的最大值.显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2 016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.又f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)=sin 2ωx+(1+cos2ωx)=sin,则2 016,求得,故ω的最小值为13,∴2α∈(0,π).∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,∴sin 2α=,又α,,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=,∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=14.解 (1)∵b sin A cos C+c sin A cos B=a,∴由正弦定理,得sin B sin A cos C+sin C sin A cos B=sin A.∵A为锐角,sin A≠0,∴sin B cos C+sin C cos B=,可得sin(B+C)=sin A=,∴A=(2)∵A=,可得tan A=,∴f(x)=sin ωx cos ωx-cos 2ωx=sin 2ωx-cos2ωx=sin∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得T=2,解得ω=1,∴f(x)=sin,∴将y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,图象对应的函数为y=g(x)=sin=sin∵x,可得2x+,∴g(x)=sin15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)f(x)=2cos2x+2sin x cos x+a=cos 2x+1+sin 2x+a=2sin+a+1,∵x,∴2x+,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin+3,由2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,可得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin+3,由g(x)=4可得sin,∴4x-=2kπ+(k∈Z)或4x-=2kπ+(k ∈Z),解得x=(k∈Z)或x=(k∈Z).∵x,∴x=或x=, ∴所有根之和为。

高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ，∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。

课时作业(二十二) [第22讲 简单的三角恒等变换][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )A ．0 B.12 C.32 D ．－122．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132C ．－78 D.783．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α24．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B.139 C.1315 D.59能力提升5．cos π12＋3sin π12的值为( )A ．－ 2 B. 2 C.12 D. 36．[2011·淄博二模] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin α＝235，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值是() A ．－235 B.235C ．－45 D.457．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 8.2cos80°＋cos160°cos70°的值是( )A ．－12B ．－32C ．－ 3D ．－ 29．若函数f (x )＝(3－tan x )cos x ，－π2≤x ≤0，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋210．设α、β均为锐角，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则cos β＝________.11．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________. 12．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为________．13．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是________三角形．14．(10分)[2011·北京海淀区模拟] 已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f (x )的最大值及相应的x 值．15．(13分)已知函数f (x )＝ (1＋sin x ＋cos x )sin x 2－cos x 22＋2cos x. (1)当180°＜x ＜360°时，化简函数f (x )的表达式；(2)写出函数f (x )的一条对称轴．难点突破16．(12分)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．课时作业(二十二)【基础热身】1．B [解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.2．C [解析] 方法1：sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝－78，故选C. 方法2：cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22cos α＋22sin α＝14， 两边平方得，12＋12sin2α＝116， ∴sin2α＝－78，故选C. 3．C [解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0， ∴原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 4．B [解析] ∵α是锐角，cos α＝45，故sin α＝35，tan α＝34，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139. 【能力提升】5．B [解析] ∵cos π12＋3sin π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π12＋32sin π12＝2⎝⎛⎭⎫cos π3cos π12＋sin π3sin π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝ 2. 6．B [解析] cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋sin α＝32cos α－12sin α＋sin α＝32cos α＋12sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝235. 7．D [解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，故选D. 8．C [解析] 原式＝2sin10°－cos20°sin20°＝2sin (30°－20°)－cos20°sin20°＝－3sin20°sin20°＝－ 3. 9．B [解析] f (x )＝(3－tan x )cos x ＝3cos x －sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ，因为－π2≤x ≤0，所以π3≤π3－x ≤5π6，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ≤1，所以函数的最大值为2.故选B. 10.12 [解析] ∵α、β均为锐角，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.11．tan42° [解析] 原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°. 12．－sin α2 [解析] 原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12(－cos α)＝12(1－cos α)＝－sin α2.13．等腰 [解析] ∵sin B sin C ＝cos 2A 2，∴sin B sin C ＝1＋cos A 2，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，∴B ＝C .14．[解答] (1)由f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2 ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为1＋22.15．[解答] (1)f (x ) ＝2cos 2x 2＋2sin x 2cos x 2sin x 2－cos x 24cos 2x 2 ＝cos x 2⎝⎛⎭⎫sin 2x 2－cos 2x 2⎪⎪⎪⎪cos x 2. 因为180°<x <360°，所以90°<x 2<180°， 所以cos x 2<0，所以f (x )＝－cos x 2cos x ⎪⎪⎪⎪cos x 2＝－cos x 2cos x－cos x 2＝cos x . (2)函数f (x )的一条对称轴是直线x ＝0(答案不唯一)．【难点突破】16．[解答] f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x＝a 2sin2x －cos2x . 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.。

专题22简单的三角恒等变换一、【知识精讲】1．三角函数式的化简要依据“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．3.三角恒等变换综合应用的解题思路(1) 将f (x)化为sinx＋cosx的形式；a b(2) 构造f(x)＝a2＋b2a b2 2 ·sinx＋2 2·cos x；a ＋b a ＋b(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(此中φ为辅助角)；(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；(5)反思回顾，查察要点点、易错点和答题规范．二、【典例精练】π例1.（2019全国卷Ⅱ）已知a∈（0，2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）1 5A．5 B．53 2 5C．3D． 5【答案】B【分析】由2sin2cos2 1，得4sincos 2cos2 .0,π由于2，所以cos 2sin.cos2sinsin5由sin221，得5cos.应选B.例2.（2019江苏卷）已知tanπ2，则sin2π的值是.tan344【答案】210【分析】由tan2，得tan2，tan()3tantan3441 tan tan4所以tan(1 tan )2，解得tan2 或tan1 ．1 tan33当tan2时，sin21 2tan 4，cos21 tan2 3，tan 251 tan 25 sin(2) sin2 coscos2 sin 4 2 32 24 52 5210 .44当tan1 时，sin22tan 3，cos21 tan2 4，31 tan 251 tan2 5所以sin(2) sin2 cos cos2sin32 42 245 252.4410综上，sin(2)的值是 2．4 10例3.（2013浙江）已知R,sin2cos10 ，则tan22A ．4B．3C．3 D．43 443【答案】C【分析】由(sin2cos)2( 10)2，可得sin 24cos 24sin cos10，进一步整理可得2sin 2 cos 243tan 28tan30，解得tan 3 或tan1 ，3于是tan21 2tan 3．tan2 4例4.（2012山东）若,2 ，sin2 37，则sin4 8A．3B ．4C ．7D ．3 5 54 4【答案】D【分析】由，可得2 [ ,]，4 2 2cos2 1 sin2 2 1 ，sin 1 cos2 3 ，答案应选D。

高考数学一轮复习课后限时集训22三角恒等变换理含解析新人教A 版课后限时集训(二十二) 三角恒等变换(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·南宁二模)已知cos 2α＝13，则tan 2α＝( )A.23 B ．2 C.34D.12D [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝13，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝13， 即1－tan 2α1＋tan 2α＝13，∴tan 2α＝12.] 2．(2019·湖北模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则sin α的值等于( )A.22－36 B.22＋36C.26－16D ．－26－16C [由题可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝223，则sin α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π3＝223×32－13×12＝26－16，故选C.] 3．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A [法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β，所以tan α＋βtan α－β＝sin α＋βcos α－βcos α＋βsin α－β＝12sin 2α＋sin 2β12sin 2α－sin 2β＝3sin 2βsin 2β＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.] 4．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A ．－23B.23C ．－13D.13A [因为sin α＝13＋cos α，即sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsinπ4＝cos α－sin αcos α＋sin α22sin α＋cos α＝－1322＝－23，故选A.]5．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞bD [∵a ＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(127°－50°)＝cos 77°＝sin13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝cos 239°－sin 239°sin 239°＋cos 239°＝cos 78°＝sin 12°， 又sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 13° 即b ＜c ＜a ，故选D.]二、填空题6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．13 [因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.]7．已知sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，若α，β是锐角，则β＝________.π3 [sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，α，β是锐角， 则cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，所以β＝π3.]8．(2019·长春质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x 的最大值为________．3 [函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤ 3. 故最大值为 3.] 三、解答题9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解] (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6，∴f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223， ∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226. B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在x ＝θ时取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32C [法一：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即θ＝π6＋2k π(k ∈Z)，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C.法二：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －3sin x .又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴f ′(θ)＝cos θ－3sin θ＝0，即tan θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(cos 2θ－sin 2θ)＝22×1－tan 2θ－2tan θ1＋tan 2θ＝2－64，故选C.] 2．4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3D ．22－1C [借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解． 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝s in 80°＋sin 60°＋20°－sin 60°－20°cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin 50°＋30°＋sin 50°－30°cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． －332[因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ， 所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z)时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.] 4．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． [解] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。

2021年高考数学专题复习 第22讲 简单的三角恒等变换练习 新人教A版[考情展望] 1.利用和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题.2.与三角函数的图象、性质相结合综合考查学生分析问题和解决问题的能力．一、二倍角公式的变形1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用sin α，cos α表示tanα2tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.应用二倍角公式的变形求值的注意问题 (1)已知sin α，cos α的值求tanα2时，应优先采用tanα2＝sin α1＋cos α或tan α2＝1－cos αsin α，这样可以避免由“tan α2＝±1－cos α1＋cos α”带来增解．(2)应用“sinα2＝±1－cos α2”或“cos α2＝±1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．二、辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．辅助角公式的特殊情况(1)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； (2)sin α±3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π3； (3)cos α±3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α. 2．辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，进而研究函数的性质．(2)若函数y ＝a sin x ＋b cos x 的定义域为R ，则值域为[－a 2＋b 2，a 2＋b 2]．1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155【解析】 ∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2.∴sinθ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 【答案】 D2．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63B ．－63 C.33D ．－33【解析】 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π. ∴cosα2＝－1＋cos α2＝－1＋132＝－63.【答案】 B3．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1【解析】2＋cos 2－sin 21＝3cos 21＝3cos 1.【答案】 C4．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2【解析】 ∵f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称． 【答案】 B5．(xx·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.13C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π 22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 【答案】 A6．(xx·江西高考)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 【解析】 由于y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 【答案】 π考向一 [063] 辅助角公式及其应用(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 的最大值为( ) A ．2 B. 3 C ．1D.12(2)(xx·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2(3)(xx·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6【思路点拨】 (1)先将cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 展开，再与“3sin x ”合成一个角．(2)先把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期和振幅．(3)先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后，根据函数为偶函数得到m 的表达式，求得m 的最小值．【尝试解答】 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3sin x ＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ∴当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.(2)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期为T ＝2π2＝π，振幅A ＝1.(3)由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6. 【答案】 (1)C (2)A (3)B规律方法1 利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sinx ＋φ把形如y ＝a sin x ＋b cos x＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等.对点训练 (xx·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 【解析】 f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥12， ∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋56π(k ∈Z)，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.【答案】 A考向二 [064] 三角恒等变换的综合应用(xx·大连模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．【思路点拨】 借助“降幂公式”及“辅助角公式”化f (x )成“A sin(ωx ＋φ)＋k ”的形式，进而解答本题．【尝试解答】 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，所以所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 规律方法2 1.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；2.降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式.对点训练 (xx·四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 【解】 (1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.思想方法之十 转化思想在求三角函数最值中的妙用解决三角函数最值的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题．常见的三角函数最值的求解策略如下所示：1．配方转化策略对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决．2．有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一．3．单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略．对于三角函数来说，常常是先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的单调性求解．——— [1个示范例] ——— [1个对点练] ———(xx·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值为32，－1. 已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值； (2)若f (θ)＝85，求cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值．【解】 (1)因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋38π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin 2θ－cos 2θ及f (θ)＝85，得sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方，得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625.因此cos 2⎝⎛⎭⎫π4－2θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－4θ＝sin 4θ＝1625.€J25154 6242 扂22391 5777 坷i22560 5820 堠e34893 884D 衍36232 8D88趈27387 6AFB 櫻21582 544E 呎334446 868E 蚎32214 7DD6 緖!。