高定价2005年高考数学易错

2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价武汉市教育科学研究院 孔峰一、总体评价：2005年高考数学试题（湖北卷）严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求，在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上，融入了新课程新大纲的理念，试题立意新颖，选材不拘一格。

与2004年全国其他独立命题省市试卷相比，试卷的结构、采用的题型和配备的题量，题型的分值比例等方面保持相对稳定。

与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些，且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟，整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能，对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求，尤其值得注意的是，对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查，以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求，因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究，订做到与时俱进。

二、2005年高考数学试题的特点今年，我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上，站在新课程评价理念的高度，稳中求新、稳中求活。

在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。

审视试卷，笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动，令人回味，试题命题呈现出诸多亮点，对我们高考复习有很多有益的启示。

１、立足基础，突出能力，考查思维的灵活性无论在选择题、填空题，还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。

但其中一些基础试题在强调基础知识的同时，试题对能力的考查也十分突出，可以从多方面去思考，体现了思维的灵活性。

不同能力的学生处理方式不同，体现了不同的思维水平和数学思维品质。

例1 （高考理科第7题文科第10题）若sin α+cos α=tan α (0<α<2π),则α∈A.⎪⎭⎫⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫⎝⎛4,6ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ 本题以方程的形式出现，似乎应该求出角α，但这只是一种表象，透过现象看本质，选择支是角α的范围，于是只需角α的一个三角不等式，由此联想大家熟知的基本结论：当α是锐角时，sin α+cos α>1.于是tan α>1,答案选C 。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

【练15】（2005高考全国卷一第一问）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n s >（1）求q 的取值范围。

答案：()()1,00,-+∞【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。

例16、．（2003北京理）已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++=（1）求数列{}n a 的通项公式（2）令()n n n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。

【思维分析】本题根据条件确定数列{}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。

解析：（1）易求得2n a n =（2）由（1）得2n nb nx =令n s =232462n x x x nx ++++（Ⅰ）则()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得()231122222n n n x s x x x x nx +-=++++-当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +⎡⎤-⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦当1x =时()24621n s n n n =++++=+综上可得：当1x ≠()11211nn n x x s nx x x +⎡⎤-⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦当1x =时()24621n s n n n =++++=+【知识点归类点拔】一般情况下对于数列{}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，则其前n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。

【练16】（2005全国卷一理）已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++(),0,0n N a b +∈>>当a b =时，求数列{}n a 的前n 项和n s答案：1a≠时()()()21221221n n nn a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时()32nn n s +=.【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。

Using the research method of literature, means of observation, behavioral approach, conceptual analysis and the pattern of information-seeking of local and overseas were analyzed and compared, Basic patternstrategies of technology information-seeking2005年高考数学复习建议与思考诸暨市学勉中学郭天平近年高考数学试题整体趋于稳定，逐步走向成熟，充分体现了在稳定中求发展、求创新的特点。

临近高考，我们都感到时间的紧迫，需要复习的内容多，时间不够用，这是教师与学生很正常的心理。

对后阶段如何复习提高效率谈谈自己的一点看法及建议，与大家一起探讨。

第一方面：重视《考试说明》与高考信息研究，做到有的放矢《考试说明》是高考复习的指导性文件，复习效果的好坏，很大程度取决于对《考试说明》研究是否透彻。

近年高考试题贯彻“总体保持稳定，深化能力立意、积极改革创新”的指导思想，兼顾教学基础、方法、思维、应用潜能方面的考查、形成平稳发展的稳定格局。

认真钻研《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，关注高中数学课程改革进程，吸取新课程中的新思想、新理念，使复习把握教学教育改革的发展方向，就能做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效益。

同时，应及时了解考试中心以及中学教学期刊等有关最新动态，并结合教学实践加以研究，从而转化为课堂教学的具体内容，使最后阶段复习有的放矢、事半功倍。

第二方面：重视回归课本，依“纲”固“本”，突出对课本基础知识的再挖掘纵观近几年的高考数学试题，不难发现，相当数量的试题是课本例题、习题的直接引用或稍作变形而得来的，即使综合题也是基础知识的组合、加工和发展，充分表现出教材的基础作用，再加上课本是知识体系的浓缩，反映的是知识间的经典关系。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.见理12、方程0224=-+x x 的解是__________. 见理23、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________.【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值. 【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.见理35、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)22y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化. 6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，∴sin 7α==， 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2a b=，c =，又222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）见理8 9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可.【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是：1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=.解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0【解后反思】解法2是通法，详见理22.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________. 见理911、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.见理1012、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.见理11二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=xx f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 见理1314、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 见理14.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a ”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >>⇒>，乙⇒甲：1)0101a a >>><⇒>因此是充要条件，选B 解法2：∵201a a a a a>⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720 见理12三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【思路点拨】见理17.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN, ∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD, ∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°. 在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215, 又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,123123123123123123在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC CB DC, ∴∠DB 1C=arctan21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan 21. 【解后反思】见理17.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】见理18. 【正确解答】原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i.【解后反思】见理18.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力. 【正确解答】 (1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则={k b ,b},于是k b=2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型.20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 见理2021、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜. 【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54,∴N 的坐标(58,54).(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离. 当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离; 当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f gf Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.见理21。

2005年高考数学试题分析与2006届高考复习建议2005年普通高等学校招生全国统一考试，在2004年高考改革的基础上进一步深入和发展。

全国及部分省市共命制了16套（含文理科）共29种试卷。

这些试卷依据《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》或单独命题省市的《2005年高考考试说明》的各项要求，在遵循“数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。

”原则的基础上，进一步加大了改革的力度，凸显了新课程改革的理念，做到了坚持循序渐进，体现适度创新。

我省是继去年以来第二次自主命题，并首次实行网上高考评卷，评卷方式实行了科学的“多评制”，做到了一卷二评、三评甚至四评，最大限度地实现了阅卷公平、公正。

第一部分 试卷整体分析一、全面、综合测试基础知识，重视考查对数学内涵的理解数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法是中学数学教学的主要内容，考查学生对基础知识的掌握程度，是数学考试的重要目标之一。

对知识的考查，不仅是知识的简单重现，更注重理解和运用，特别是注重知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点上设计试题，对所学知识融会贯通，理论联系实际，防止单纯性的死记硬背。

1.对数学基础知识的考查全面又突出重点试卷全面考查《考试大纲》要求的知识内容，教材中各章的内容都有涉及，如二项式定理、排列组合、复数、球等教学课时较少的内容，在试卷中都有考查。

在全面考查的前提下，重点考查高中数学知识的主干内容，如函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线、平面向量、概率、导数。

例1：（湖南卷文1）设全集U ＝{–2,–1,0,1,2}，A ＝{–2,–1,0}，B ＝{0,1,2}，则(C U A)∩B ＝（C ）(A){0} (B){–2,–1} (C){1,2} (D){0,1,2}例2：（全国1卷理1）设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（A ）（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I （D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）这两题都考查集合概念与运算，是源于课本的基础题目，既可以从集合的基本关系和基本运算入手解答，也可以运用文氏图求解。

2005年全国高考数学试题(三角函数部分)选择题1.(北京卷)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是 D (A )sin(α＋β)>sin α＋sin β (B )sin(α＋β)>cos α＋cos β (C )cos(α＋β)<sinα＋sinβ (D )cos(α＋β)<cosα＋cosβ2.(北京卷)函数f (x )＝cos xA(A )在[0,),(,]22πππ上递增,在33[,),(,2]22ππππ上递减 (B )在3[0,),[,)22πππ上递增,在3(,],(,2]22ππππ上递减 (C )在3(,],(,2]22ππππ上递增,在3[0,),[,)22πππ上递减 (D )在33[,),(,2]22ππππ上递增,在[0,),(,]22πππ上递减 3.(全国卷Ⅰ)当20π<<x 时,函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 D(A)2(B)32(C)4(D)344.(全国卷Ⅰ)在ABC ∆中,已知C BA sin 2tan=+,给出以下四个论断： B ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③ 5.(全国卷Ⅱ)函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是 C(A) 4π (B)2π(C)π (D)2π 6.(全国卷Ⅱ)已知函数y ＝tan x ω 在(-2π,2π)内是减函数,则 B(A)0 <ω ≤ 1 (B)-1 ≤ ω < 0 (C)ω≥ 1 (D)ω≤ -17.(全国卷Ⅱ)锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1＝ tan B,则有(A)sin 2A –cos B ＝ 0 (B)sin 2A ＋ cos B ＝ 0 (C)sin 2A – sin B ＝ 0 (D) sin 2A ＋ sin B ＝ 0 8.(全国卷Ⅲ)已知α为第三象限角,则2α所在的象限是 D(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限9.(全国卷Ⅲ)设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10.(全国卷Ⅲ)22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1211.(浙江卷)已知k ＜－4,则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 12.(浙江卷)函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B ) (A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 13.(江西卷)已知==ααcos ,32tan 则( B )A.54B.－54 C.154 D.－53 14.(江西卷)设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为( A )A.周期函数,最小正周期为32π B.周期函数,最小正周期为3π C.周期函数,数小正周期为π2D.非周期函数15.(江西卷)在△OAB 中,O 为坐标原点,]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,则当△OAB 的面积达最大值时,=θ( D )A.6π B.4π C.3π D.2π 16、(江苏卷)若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos ＝( A ) A.97-B.31-C.31D.97 17.(湖北卷)若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin( C )A.)6,0(πB.)4,6(ππ C.)3,4(ππ D.)2,3(ππ 18.(湖南卷)tan600°的值是( D )A.33-B.33C.3-D.319.(重庆卷)=+-)12sin12)(cos12sin12(cos ππππ( D )A.23-B.21-C.21D.23 20.(福建卷)函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图,则 ( C )A.4,2πϕπω== B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω==D.45,4πϕπω==21.(福建卷)函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数 ( C )A.]4,4[ππ-B.]43,4[ππ C.]2,0[πD.],2[ππ22.(山东卷)已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ,则下列判断正确的是( B )(A)此函数的最小正周期为π2,其图象的一个对称中心是)0,12(π(B)此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,12(π(C)此函数的最小正周期为π2,其图象的一个对称中心是)0,6(π(D)此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是)0,6(π23(山东卷)函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为( B )(A)1 (B)22,1-(C)22- (D)22,1 24.(天津卷)要得到函数x y cos 2=的图象,只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的(C)(A)横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动8π个单位长度 25(天津卷)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示,则函数表达式为( A )(A))48sin(4π+π-=x y (B))48sin(4π-π=x y (C))48sin(4π-π-=x y (D))48sin(4π+π=x y填空题：1.(北京卷)已知tan2α＝2,则tanα的值为－34,tan ()4πα+的值为－712.(全国卷Ⅱ)设a 为第四象限的角,若513sin 3sin =a a ,则tan 2a ＝___43-___________. 3.(上海卷)函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（天津理科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯10=50分）（1）设集合{||41|9,},{|0,}3xA x x x RB x x R x =-≥∈=≥∈+，则A B = （A ）(3,2]-- （B ）5(3,2][0,]2--（C ）2(,3][,)5-∞-+∞ (D) 2(,3)[,)5-∞-+∞【思路点拨】本题主要考查集合的概念，集合的运算，分式不等式和绝对值不等式的解法，故直接根据它们的解法，将A 、B 进行化简，根据集合的运算即求得解. 【正确解答】5{|2}2A x x x =≥≤-或，{|03}B x x x =≥<-或， 5(,3)[,)2A B =-∞-+∞ ，选D【解后反思】此题采用直接法，这类题型的特点是把描述法语言的集合等价转化为简单的集合表示，再根据数形结合（数轴）的方法，利用集合的运算法则，就不难解决这类题型. （2）若复数312a ii++（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6【思路点拨】本题考查复数概念及代数运算，只要分子分母同乘以分母的共轭复数并化为代数形式，再根据纯虚数的概念得解. 【正确解答】3(3)(12)1[6(23)]12(12)(12)5a i a i i a a i i i i ++-==++-+++-，因而60a +=，即6a =-. 【解后反思】正确理解复数的概念，设复数z=a+bi （a 、b ∈R ）则z 为实数的充要条件为b=0，z 为纯虚数的充要条件为 00a b =⎧⎨≠⎩，同时注意i 的运算规则.（3）给出三个命题：①若1a b ≥>-，则11a b a b≥++. ②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ≤. ③设11(,)P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以(,)Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 和2O 相切．其中假命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【思路点拨】本题是考查不等式的概念和两圆位置关系的判定，也涉及到不等式或等式，因此要逐一进行判断：①可作差，②是平方差，③利用圆心与半径的和（或差）进行比较，即可解决.【正确解答】①：11(1)(1)011(1)(1)(1)(1)b a b a a b a b a b +-+--==≥++++++，真命题. ②：22()()042n nm n m m --=--≤，由于m 和n 是正整数，等号不一定取到，故它是假命题.③：由题设条件可知，当2211()()1a x b y -+-=时，即P 在圆2O 上，圆1O 和2O 相交或者相切，假命题. 选B.【解后反思】这是一道概念和方法的混合题，必须对相应的性质透彻理解，两个数比较大小的常用方法之一是作差法，本题②还需平方后作差，一般遇到根式不等式时都是这样处理. （4）设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（A ）,,l m l αβαβ⊥=⊥ （B ）,,m αγαγβγ=⊥⊥ （C ）,,m αγβγα⊥⊥⊥ (D) ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 【思路点拨】本题是判断线线、面面和线面垂直的判断题，可作出示意图逐一判断.【正确解答】图(1)由此可见判断A 不正确；图(2)由此可见判断B 正确.证明：,,m m αγαγβγβ=⊥⊥∴⊥ ，而,,m m αγαγβ=⊥⊥ 不一定有βγ⊥.B中m β⊥是,,m αγβγα⊥⊥⊥的既不充分也不必要的条件，D 是充要条件.【解后反思】对空间图形的线线垂直、线面垂直的判定和性质要实在地理解是解决这类问题的关键.（5）设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（A ）±2 （B ）43±（C ）12± （D ）34± 【思路点拨】本题是考查双曲线和椭圆的特征之间的关系，可采用直接法找出双曲线的长半轴和短半轴，进一步求出渐进线的斜率.【正确解答】由题意可知，对于椭圆：1115,3,4a b c ===；对于双曲线：215c a ==，22124a c c ==，因此2a =，225205b =-=，双曲线的斜率为12b k a =±=±选C.【解后反思】圆锥曲线的标准方程中的几何性质是一个重要的考点，而他们之间的联系不能混淆，如双曲线的一条渐近线的斜率是短轴长和实轴长的比，或由22221x y a b-=±中渐近线方程式为b y x a=±. （6）从集合{1,2,3,,11} 中任选两个元素为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{(,)|119}B x y x y =<<且内的椭圆个数为（A ）43 （B ）72 （C ）86 （D ）90【思路点拨】本题利用集合元素的互异性和椭圆上的焦点落在矩形内的可能性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，而可能性的产生必须利用组合的概念，同时必须注意椭圆的条件：m n ≠才使问题得到圆满解决.【正确解答】,m n 不同组合的可能性有11108C C 种，由题意知，m n ≠，所以满足条件的椭圆个数为11108872C C -=，选B【解后反思】本题是一道综合题，涉及到集合排列与组合、椭圆，要正确理解各个知识点并要有严密的逻辑判断能力.这是检测思维训练的综合题.（7）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解.【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选B 【解后反思】一般地，如果在一次试验中事件发生的概率为p.那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为：()(1)(0,1,2,,)k k n k n nP k C p p k n -=-= .（8）要得到函数y x =的图像，只需将函数)4y x π=+的图像上所有点的（A ） 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度（B ） 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度（C ） 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度（D ） 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【思路点拨】本题考查了sin()y A x ωϕ=+的图象变换，可利用诱导公式，对给出的函数名称化为所要变换的函数名称即可.【正确解答】s i n (22c o s (2)44y x x ππ=+=-，横坐标伸长两倍后变为c o s ()4y x π=-，向左平移4π个单位长度后变为y x =.选C 【解后反思】一般地，要注意sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕ=+>>≠的图象变换中周期与平移变换先后的差异.若将sin y A x ω=再向左平移ϕω（0ϕ>）或右（0ϕ<）平移 ||ϕω个单位，得到sin()y A x ωϕ=+的图象，若将sin y A x =向左平移（0ϕ>）或向右平移（0ϕ<）个单位后，得到sin()y A x ϕ=+的图象，再周期变换(ω)得到sin()y A x ωϕ=+的图象. （9）设1()fx -是函数1()()(1)2x x f x a a a -=+>的反函数，则使1()1f x ->成立的x 的取值范围为（A ）21(,)2a a-+∞ （B ）21(,)2a a --∞（C ）21(,)2a a a- (D) (,)a +∞ 【思路点拨】本题考查了指数函数和互为反函数的性质，由于1a >.可知()f x .在R 上单调递增，因此1()f x -在R 上也是单调递增. 所以，问题就转化为当1x >时，求()f x 的范围. 【正确解答】可以判断()f x 是增函数，则1()f x -也是增函数，1()1f x ->，则211()()22x xa f x a a a--=->，选A【解后反思】深刻理解互为反函数的性质是解决这个问题的关键.一般地若()f x 为递增函数，则1()()f a b f b a ->⇔>.（10）若函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是（A ）1[,1)4 （B ）3[,1)4 （C ）9[,)4+∞ （D ）9[1,)4【思路点拨】本题考查了复合函数的性质导数的应用及不等式恒成立问题.令3()g x x ax =-必须在()0g x >的条件下再根据a 的不同情形进行分类讨论. 【正确解答】令3()g x x ax =-，2()3g x x a '=-， 当01a <<时，由3()log ()a f x x ax =-区间1(,0)2-内单调递增的充要条件是()0()0g x g x >⎧⎨'<⎩对一切1(,0)2x ∈-恒成立，即223a xa x⎧>⎪⎨>⎪⎩对一切1(,0)2x ∈-恒成立，解得3[,1)4a ∈， 当1a >时，由3()log ()a f x x ax =-区间1(,0)2-内单调递增的充要条件是()0()0g x g x >⎧⎨'>⎩对一切1(,0)2x ∈-恒成立，即223a xa x⎧>⎪⎨<⎪⎩对一切1(,0)2x ∈-恒成立，无解，故选B. 【解后反思】一般地，()m f x >对[,]x a b ∈上的一切x 恒成立的充要条件是max ()m f x >；()m f x <对[,]x a b ∈上的一切x 恒成立的充要条件是min ()m f x <.二、填空题（4分⨯6=24分）（11）设*n N ∈，则12331666n n n n n n C C C C -++++= ．【思路点拨】本题考查了二项式定理的二项展开式，与展开式的结构进行比较，对a 、b 恰当地赋值即可解决.【正确解答】令12331666n n n n n n N C C C C -=++++ ，则123310(16)6667n n nn n n n n nnC C C C C C N -+=+++++=+= ，716n N -=. 【解后反思】要深刻理解二项式定理的结构特征，并能灵活运用，对011()n n n n nn n n a b C a C a b C b -+=+++ 中，令a=1,b=x 时，01(1)n n n n n n x C C x C x +=+++ ，本题中再令x=6便得以解决.要注意展开式中有n+1项以防漏项.（12）如图，PA ABC ⊥平面，90ACB PA AC BC a ∠==== 且，则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于 ．【思路点拨】此题可用模型法解，即构造正方体，（如右图）即可解决.【正确解答】如图，可知QB //Ac ，∴∠QBP 即为异面直线PB 与AC 所在的角，连续PQ ，在RT PQB中，tan QPB ∠=即异面直线PB 与AC【解后反思】本题是考查线线、纯平面垂直的判定与性质和异面直线所成的角的求法，可按定义将异面直线中的一条进行平移，将异面直线的问题转化为相交直线，即立体几何平面化处理，考虑到本题的图形特征（正方体的一个角），模型法解决比较方便，这就要求学生基本图形的理解和掌握. （13）在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)nn n a a +-=+- *()n N ∈，则100S =【思路点拨】本题考查数列的运算能力和判断能力，考虑到100S 和符号因子(1)n-可对n 的奇偶性分析入手，找出规律而解之.【正确解答】n 为奇数时，2n n a a +=；n 为偶数时，22n n a a ++=，100125050(2492)26002S a a =++⨯=. 【解后反思】根据数列的特征，分n 为奇偶找出其规律性是解决本题的关键. （14）在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)B(3,4)A -和点，若点C AOB ∠在的平分线上且2OC =，则OC ＝ ．【思路点拨】本题借助角平分线知识考查二倍角公式及向量的有关概念，可根据角平分线的性质代数化处理. 【正确解答】由题意知，22tan 3tan 1tan 4AOC AOB AOC ∠∠==-∠，得1t a n 3A O C ∠=，可设(,3)OC k k =- ，由||2OC = ，得k =(OC = .【解后反思】解析几何的本质是几何而方法是代数，确定C 的位置在于OC 的终边，因此设出C 点是关键.（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50％．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获益的期望是 元． 【思路点拨】本题考查概率与数学期望，考查学生识表能力. 【正确解答】由图知，该公司一年后估计可获益的期望 为0.960.60.04(0.25)0.476E ξ=⨯+⨯-=（万元）4760=元.【解后反思】对图表的识别能力是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学教学的一个重点，要引起高度的重视. （16）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．【思路点拨】本题由抽象函数的奇偶性和对称性，考查学生的思维能力，要根据其给出的条件及由此引起的连锁性质进行解决.【正确解答】由题意知(1)(),()()f x f x f x f x -=-=-得到(1)()()f x f x f x +=-=- ∴(1)()0f x f x ++=，令x=1、2，得(2)(1)0f f +=，(3)(4)0f f +=，而令x=0得(1)(0)f f =，∵()f x 是R 上的奇函数.∴(0)0f =∴(2)(1)(3)(4)0f f f f ====而令x=5，得(5)(4)(4)0f f f =-=-=，∴(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=【解后反思】由(1)()f x f x +=-得(2)(1)()f x f x f x +=-+=∴()f x 是周期为2的周期函数.三、解答题（共6小题，共76分） （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ．设,,a b c 满足条件222b c b c a +-=和12c b =+tan A B ∠和的值. 【思路点拨】本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力，把握住这些定理的结构，进行边角互化即可求得.【正确解答】解法一：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ， 因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B解得,2cot =B 从而.21tan =B 解法二：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ， 因此，︒=∠60A ，由222a bc c b =-+，得.41532133411)(1)(22=--+++=-+=b c b c b a 所以.215=b a ①由正弦定理5123152sin sin =⋅==A a bB .由①式知,b a >故∠B<∠A ，因此∠B 为锐角，于是152sin 1cos 2=-=B B ，从而.21cos sin tan ==B B B 【解后反思】解斜三角形问题时，一是要观察差异（或角、或函数、或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法和技巧）分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.二是要尽可能统一，即统一到角（解法1）或统一到边（解法2）便于问题的解决. （18）（本小题满分12分）已知1221*(,0,0)n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++++∈>> ． （I ）当a b =时，求数列{}n u 的前S n n 项和； （II ）求1limnn n u u →∞-．【思路点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式、求数列的前n 项和的基本方法、求数列的极限等基础知识，考查运算能力.对第（I ）问是属于系数是等差数列的多项式求和，一般是错位相减，但要注意对a 进行讨论.对第（II ）问是在（I ）的基础上，因此首先要考虑a=b 和a b ≠的两种情形求和，在求数列的极限时要考虑极限的存在性，也需进行必要的讨论.【正确解答】（I ）解：当n n a n a b a )1(,-==时，这时数列}{n a 的前n 项和 .)1(432132n n n a n na a a a S ++++++=- ①①式两边同乘以a ，得.)1(4321432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得.)1(2)1(132++-++++=-n n n a n a a a a S a 若a a n aa a S a a n n n ++---=-≠+1)1(1)1()1(,1，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(a aa a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++.若1=a ，.2)3()1(32+=+++++=n n n n S n（II ）解：由（I ），当b a =时，n n a n a )1(+=，则.)1(lim )1(lim lim11a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→当b a ≠时，])()(1[211n nn n n n n aba b a b a b ab b a a a ++++=++++=--).(11)(1111+++--=--=n n n n b n b a a b a b a此时，.111nn n n n n b a b a u u --=++-若0>>b a ，a ab a bb a b a b a u u nnn n n n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim lim lim 111.若,0>>a b .1)()(lim lim 1b ba bb aa u un n n n n n =--=∞→-∞→【解后反思】（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1111,,A AB A AC AB AC A A A B a ∠=∠===，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120，,E F 分别是棱111,B C A A 的中点 （I ）求1A A 与底面ABC 所成的角； （II ）证明1//A E 1平面B FC ； （III ）求经过1,,,A A B C 四点的球的体积．【思路点拨】本题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，分析图形特征可发现基本图形：正三棱锥1A －ABC 和侧面1B BC 1C 为正方形.就可作出相应的辅助线，抓住中点特征，中点与中点连成中位线就可解决（Ⅱ）.而求四面体1A －ABC 的外接球的体积，关键是确定球心的位置，难点是求球的半径，也必须抓住正三棱锥的特征.【正确解答】（Ⅰ）解：过A 1作A 1H ⊥平面ABC ，垂足为H.连结AH ，并延长交BC 于G ，连结EG ，于是∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.∵∠A 1AB=∠A 1AC ， ∴AG 为∠BAC 的平分线.又∵AB=AC ， ∴AG ⊥BC ，且G 为BC 的中点因此，由三垂线定理，A 1A ⊥BC.∵A 1A//B 1B ，且EG//B 1B ， EG ⊥BC 于是∠AGE 为二面角A —BC —E 的平面角，即∠AGE=120°由于四边形A 1AGE 为平行四边形，得∠A 1AG=60°，所以，A 1A 与底面ABC 所成的角为60°，（Ⅱ）证明：设EG 与B 1C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF.在平行四边形AGEA 1中，因F 为A 1A 的中点，故A 1E//FP.而FP ⊂平面B 1FC ，A 1E//平面B 1FC ，所以A 1E//平面B 1FC.（Ⅲ）解：连结A 1C ，在△A 1AC 和△A 1AB 中，由于AC=AB ，∠A 1AC=∠A 1AB ，A 1A=A 1A ，则△A 1AC ≌△A 1AB ，故A 1C=A 1B ，由已知得 A 1A=A 1B=A 1C=a .又∵A 1H ⊥平面ABC ， ∴H 为△ABC 的外心.设所求球的球心为O ，则O ∈A 1H ，且球心O 与A 1A 中点的连线OF ⊥A 1A.在Rt △A 1FO 中， .3330cos 21cos 111a a H AA F A O A =︒-== 故所求球的半径a R 33=，球的体积 3332734)33(3434a a R V πππ===. 【解后反思】本题可以说是一常规题，是由一正三棱锥和一正四棱锥拼接而成，该题考点多，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理与几何计算交错在一体，融论证于难度适中的计算之中，还考查了基本的作图技能，引入恰当的辅助线，主要体现为深入和全面考查多种数学能力.（20）（本小题满分12分）某人在山坡P 点处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC =米，塔所在的山高220OB ＝米，200OA =米，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l上，l 与水平面的夹角为1,tan 2αα=．试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC ∠最大（不计此人身高）？【思路点拨】本题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力，从图形分析就有解析几何的背景，BPC ∠实质上是角问题，可利用解析几何的思路来处理较有利，而求BPC ∠的最大值必须转化为函数处理，根据函数的解析式选用恰当的方法求解.【正确解答】如图所示，建立平面直角坐标系，则A （200，0），B （0，220），C （0，300），直线l 的方程为,tan )200(α-=x y 即.2200-=x y 设点P 的坐标为（x ，y ）， 则).200)(2200,(>-x x x P 由经过两点的直线的斜率公式 ,28003002200xx x x k PC -=--= .26402202200x x x x k PB -=--= 由直线PC 到直线PB 的角的公式得6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=⋅--=x x x xx x x x k k k k BPC PC PB PCPB).200(28864016064>-⨯+=x xx 要使tanBPC 达到最大，只须288640160-⨯+x x 达到最小，由均值不等式 ,2886401602288640160-⨯≥-⨯+xx 当且仅当xx 640160⨯=时上式取得等号，故当x =320时tanBPC 最大，这时，点P 的纵坐标y 为 .602200320=-=y 由此实际问题知，,20π<∠<BPC 所以tanBPC 最大时，∠BPC 最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.【解后反思】在遇到数学应用问题时，建立数学模型是首要任务，而通过运用数学方法解决是一难点，需要较强的运算能力和归纳能力，在研究分式函数求最值时必须重视定义域的作用.（21）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<，过抛物线C 上的一点000(,)(0)P x y x ≠作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点（,,P A B 三点互不相同），且满足120(0,1)k k λλλ+=≠≠-．（I ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （II ）设直线AB 上一点M ，满足BM MA λ= ，证明线段PM 的中点在y 轴上；（III ）当1λ=时，若点P 的坐标为（1，－1），求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围．【思路点拨】本题主要考查抛物线的几何性质、直线方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力，对（I ）只要化抛物线为标准方程即可求得00m x x +=，也就是根据条件逐步揭示m x 与0x 的关系式，同时要注意曲线和方程的概念，（III ）中1λ=时即M 为AB 的中点时的情形，已知P 点坐标意味着抛物线的确定，当PAB ∠为钝角时，转化为向量的数量积小于0来求，同时要注意等价性，必须进行验证.【正确解答】（Ⅰ）解：由抛物C 的方程)41,0(,)0(2aa ax y 焦点坐标为得<=，准线方程为.41a y -= （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程)(,010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-. ),(),(1100y x A y x P 和点点的坐标是方程组⎩⎨⎧=-==2010)(axy x x k y y 的解、将②式代入①式得.,,001110100113x ak x a k x x y x k x k ax -==+=-+-故于是③ ⎩⎨⎧=-=-20202200)(),(),(ax y x x k y y y x B y x P 的坐标是方程组和点又点 的解、将②式代入①式得.,,002120200223x ak x a k x x y x k x k ax -==+=-+-故于是 .,,01212x k a x k k --=-=λλ则由已知得 ⑥,,),,(y x M M M λ=由的坐标为设点则.112λλ++=x x x M 将③式和⑥式代入上式得.1000x x x x M -=+--=λλ .,.00轴上的中点在线段所以即y PM x x M =+（Ⅲ）解：因为点P （1，－1）在抛物线2ax y =上，所以.,12x y a -=-=抛物线方程 由③式知.)1(,1221211+-=-=--=k y x y k x 得代入 代入将1=λ⑥式得.)1(,1212212--=-=-=k y x y k x 得代入因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为).12,1(),12,1(12111211-+-------k k k B k k k A 于是),2,2(1211k k k ++= ),4,2(11k k = ).12)(2(2)2(4)2(2111121111++=+++=⋅k k k k k k k k因∠PAB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有,0<⋅即 ① ② ④ ⑤.0)12)(2(11<++k k k 求得k 1的取值范围为.021211<<--<k k 或 又点A 的纵坐标故满足,)1(2111+-=k y y .411,021;1,21111-<<-<<--<-<y k y k 时当时当 所以，∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围为).41,1()1,(--⋃--∞【解后反思】要注意相关概念的理解和基本量的关系式的处理，在消元时要有目标意识，理清思路，当然要有过硬的运算能力，否则一处算错，全题皆错.（22）（本小题满分14分）设函数()sin ()f x x x x R =∈．（I ）证明(2)()2sin f x k f x k x ππ+-=，其中k 为整数；（II ）设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+； （III ）设()f x 在(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,,,n a a a 证明12n n a a ππ+<-<．【思路点拨】本题考查函数的极值的基本概念和方法，考查应用导数、同角三角函数、数形结合等方法分析问题和综合解题能力.第（II ）问的关键是寻找极值点0x 满足的关系式.而第（III ）的结论提出对1n n a a +-取某一三角函数值且能判定其符号.【正确解答】（Ⅰ）证明：由函数f (x )的定义，对任意整数k ，有x x k x k x x f k x f sin )2sin()2()()2(-++=-+πππ.sin 2sin sin )2(x k xx x k x ππ=-+=（Ⅱ）证明：函数上在定义域R x f )(,cos sin )(x x x x f +='可导 ①.0cos sin ,0)(=+='x x x x f 得令显然，对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ，上述方程化简为.tan x x -=如图所示，此方程一定有解，.tan )(000x x x x f -=一定满足的极值点由.tan 1tan sin ,tan 1tan cos sin sin sin 020*********x x x x x x x x x +=+=+=得 （Ⅲ）证明：使则存在一个非负整数即的任意正实根是设,,tan ,0)(0000k x x x f x -=='> ),,2(0ππππk k x ++∈即0x 在第二或第四象限内.由①式，)(tan cos )(x x x x f +='在所以满足0)(='x f 的正根x 0都为)(x f 的极值点.由题设条件，x x a a a n tan ,,,,21-=为方程 的全部 正实根且满足,21 <<<<n a a a 那么对于n=1,2,…,)tan (tan 11n n n n a a a a --=-++).tan()tan tan 1(11n n n n a a a a -⋅+-=++ ②由于则,2,)1(,)1(21ππππππππn a n n a n n +<<+-+<<-++,2321ππ<-<+n n a a 由于,0tan tan 1>⋅+n n a a 由②式知n n n n a a a a -<-++11.0)tan(由此可知必在第二象限，即.1π<-+n n a a 综上，.21ππ<-<+n n a a【解后反思】近几年高考对三角变换的考查要有所降低，但本年的内容的考查，特别是对三角函数的图象与性质的灵活运用、图象语言的考查有所增加.对000x t x =-的深刻理解是解决本题的关键.而函数内的综合，必须注意条件与结论间的内在关系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能发展能力，有效转化，适应高考.。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（天津文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯10=50分）（1） 集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是 （ ） （A ）16 （B ）8 （C ）7 （D ）4 【思路点拨】本题考查集合、真子集的基本概念，可采用直接法求集合A【正确解答】用列举法，{0,1,2}A =，A 的真子集有：,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}∅，共7个，选C【解后反思】注意不要忘记空集，以及真子集不包含集合本身.（2） 已知111222log log log b a c <<，则 （ ）（A ）222b a c >> (B) 222a b c >> (C) 222c b a >> (D) 222c a b >> 【思路点拨】本题考查指数函数和对数函数的增减性.【正确解答】由函数性质可知，函数12log y x =在()0,∞上是减函数，因此得b a c >>，又因为2x y =是增函数，所以222b a c>>，选A【解后反思】要深刻理解指数函数和对数函数的图象与性质，并从已知条件和结论的特征出发，发现它们各自所具有的模型函数，以便有目的地思考.（3）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）（A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解.【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选B 解法2：三次射击行为互不影响。

击中两次的可能性为()()232230.60.4C -，击中3次的可能性为()()333330.60.4C -，经计算()()()()2323332333810.60.40.60.4125C C --+=本题答案选A【解后反思】一般地，如果在一次试验中事件发生的概率为p.那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为：()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=L .（4）将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位后的直线l 为：2(1)0x y λ+-+=.已知圆的圆心为(1,2)O -，半径为5.解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有55=，得3λ=-或7.解法2：设切点为(,)C x y ，则切点满足2(1)0x y λ+-+=，即2(1)y x λ=++，代入圆方程整理得：225(24)(4)0x x λλ+++-=， （*）由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有0∆=，得3λ=-或7. 解法3：由直线与圆相切，可知CO l ⊥，因而斜率相乘得－1，即2211y x -⨯=-+，又因为(,)C x y 在圆上，满足方程22240x y x y ++-=，解得切点为(1,1)或(2,3)，又(,)C x y 在直线2(1)0x y λ+-+=上，解得3λ=-或7.选A【解后反思】直线与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中的特殊图形，具有一般曲线的解决方法外（解法2）还有特别的解法，引起重视理解和掌握.（5）设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （ ）（A ）,,l m l αβαβ⊥=⊥I（B ）,,m αγαγβγ=⊥⊥I（C ）,,m αγβγα⊥⊥⊥ (D) ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 【思路点拨】本题是判断线线、面面和线面垂直的判断题，可作出示意图逐一判断.【正确解答】图(1)由此可见判断A 不正确；图(2)由此可见判断B 正确. 证明：,,m m αγαγβγβ=⊥⊥∴⊥Q I，而,,m m αγαγβ=⊥⊥I 不一定有βγ⊥.B中m β⊥是,,m αγβγα⊥⊥⊥的既不充分也不必要的条件，D 是充要条件. 解法2：A 选项：缺少条件m α⊂； B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=I 时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行。