八年级数学下册 3.2 异分母的分式加减法课件 (新版)北师大版

b a 3a 2b
公分母6ab
2b b 3a a 2b 3a 3a 2b
2b 3a 6ab 6ab
2 2
第一种情况： 当分式的分母都是单项式时， 最简公分母的 系数是 各分母系数的最小公倍数； 相同的字母 取最高次幂； 单一的字母 各取一次。
2b 2 3a 2 6ab
Байду номын сангаас
解: (1) (2)
原计划修建这条盲道需要
由 实际每天修建盲道的长度 =
天;
m, 天.
1120 x
(x+10)
可知 实际修建这条盲道用了
1120 x 10
因此 , 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了
1120 x
-
1120 11200 (天) . x 10 x ( x 10)
……
你能用几种方法计算：
【异分母分数加减法法则】 异分母分数相加减， 先通分，化为同分母的分数，再按同分母分数加 减法法则进行计算。
问题3.通分的依据是什么？如何进行通分？
【 通分】 利用分式的基本性质 ,把异分母的 分式化为同分分母的过程 . 【 通分的依据】分式的基本性质 【 通分的关键】确定最简公分母
问题4.如何确定异分母分式的最简公分母？
课前热身
1 3 m m
y x x y x y
（1）
b a 3a 2b
（2）
1 2 2 a 1 1 a
学海激思
《分式的加减法》（2）
异分母分式的加减
1.对于本节课你期待学到些什么内容呢？ 2.你在进行分式的加减运算时遇到过什么 样的困惑或困难？
1.进行异分母分式加减的基本思路和方法是什么？ 2.异分母分式的加减法法则是什么？ 运用法则时 应该注意什么？ 3.如何进行通分？通分的依据是什么？ 4.如何确定异分母分式的最简公分母？ 5.如何用字母表示异分母分式的加减法法则？ 6.分式的加减法的应用。 ……

6a2c
2a2b2c
x(x-5)（x+5）
(x+y)2 (x-y)
二 异分母分式的加减
例2 通分:
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
；
解： 最简公分母是 2a2b2c
3 2a2b

3 bc 2a2b bc

3bc 2a2b2c
ab ab2c

(a b)2a ab2c 2a

2a2 2ab 2a2b2c
������2
解：原式=（aa22bb）2
ab (a b)2
= 1 1 a 2b a b
因式分解
先化简，再确定 最简公分母
=
ab
a 2b
(a 2b)(a b) (a 2 b)(a b)
通分
= a b a 2b (a 2b)(a b)
解：
= (1)原式=
7y 6x2 y2
4x 6x2 y2
7y 4x 6x2 y2 ;
x(x 2)
x(x 3)
(2)原式= (x 3)(x 2) ─ (x 3)(x 2)
x(x 2) x(x 3)
=
(x 3)(x 2)
=
x
.
(x 3)(x 2)
2.异分母分式加减法法则 异分母分式相加减，先通分，化为同分母的
分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计 算。
导入新课
回顾与思考
3.通分 把几个异分母分数（式）化成与同分母的
分数（式）的过程，叫做通分。
4. 把下面分数通分：
7 与1 12 8
14 3 24 24

x －y
x －y
4 x－y
4

.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－

b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－

1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)

－
－

－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)


－ 1；
+

a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)

( －)
－

；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .

2 x x 4x 9 y2 9 y2 4 x2
4x 36 x 2 y 2
3
例题&解析
☞ 计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc
先找出最简 公分母,再通分,转 化为同分母的分 式相加减.
10 bc 8 ac 9 ab 解：原式= 2 2 2 2 2 2 12 a b c 12 a b c 12 a b c
最简公分母是： x
y (x+y) (x-y)2
若分式的分子、分母是多项式,能分解因式 的要先分解因式,再确定最简公分母.
y 通分： 4 x 2
2 y y 9 y 2 4x 4 x2 9 y2
5 6 xy
2 2
x 9 y2
解：最简公分母是 36 x y
9 y3 36 x 2 y 2
5 30 xy 5 6 xy 2 2 6 xy 36 x y 6 xy 6 xy
2 2
b a b 2b a 3a 2、 3a 2b 3a 2b 2b 3a
2 2 2b 3a 2b + 3a = = + 6ab 6ab 6ab
例题&解析
☞
计算：
1 6 (1) 2 ; x 3 x 9
x 3 6 解： (1) 原式 （x 3） ( x 3) ( x 3)(x 3) x 3 6 （x 3)(x 3)
xy ( x y)
x y xy
2 x 2( x 2)( x 2)
1 2( x 2)
例题&解析
1 计算： x 1 1 x 1 解: x 1 1 x x 1 1 1 1 x ( x 1)(1 x) 1 1 x 1 x ( x 1)(1 x) 1 1 x 1 x2 1 2 x2 1 x 1 x

14．(2019·宜昌)已知：x≠y，y＝－x＋8，求代数式x－x2 y＋y－y2 x的 值．
解：原式＝x－x2 y－x－y2 y＝xx2－ －yy2＝（x＋y） x－（yx－y）＝x＋y， 当 y＝－x＋8 时，x＋y＝x＋(－x＋8)＝8.
15．(2019·巴中)已知实数 x，y 满足 x－3＋y2－4y＋4＝0，求代 数式x2－ xyy2·x2－21xy＋y2÷x2y－x xy2的值．
巩固新知
1 计算：(1) b ＋ a ； 3a 2b
(2)
1－ 2 a－1 1－a2
.
解：(1) b ＋ a ＝ 2b2 ＋ 3a2 ＝ 2b2＋3a2 . 3a 2b 6ab 6ab 6ab
(
2)
1－ a－1
2 1－a
2
＝
1 a－1
＋
a
2 2－1
＝ a＋1 ＋
2
(a－1)(a＋1) (a＋1)(a－1)
解：
(1)小刚从家到学校需要1 2 3 2 5 h . v 3v 3v 3v
(2)小丽从家到学校需要3 h . 2v
因为 5 ＞ 3 ，所以小丽在路上花费时间少. 3v 2v
小丽比小刚在路上花费时间少
5 3 10 9 1 h . 3v 2v 6v 6v
巩固新知
1 已知两个式子： A
4 ，B x2 4
出现了错误，解答过程如下：
原式 ＝（x＋1）1（x－1）＋（x＋1）2（x－1）(第一步)
＝（x＋1）1＋（2 x－1）(第二步)
＝
x
3 2－1
.(第三步)
(1)该学生解答过程是从第____一____步开始出错的， 其错误原因是_分__式__的__基__本__性__质__用__错___的做法： 原式＝xx＋＋23－（x＋2x）－（2x－2）＝xx＋ ＋32－x＋1 2＝x＋x＋3－2 1＝1. 其中做法正确的是( C ) A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的

1
1
−
−1
+1
÷

，然后从
2 2 −2
2，1， − 1
中选取一个你认为合适的x的数作为x的值代入求出
原代数式的值.
相加减．
问题2：异分母分数又是如何进行加减呢？
异分母分数相加减，先通分，化为同分母分
数后，再加减．

问题3：那么


+

=? 你是怎么做的？
对于问题3，小明认为，只要把异分母的分式
化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了
同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法,但
他俩的具体做法不同：
且能够进行分解因式的要先分解后再类比最
小公倍数找最简公分母；
2、通分前是单项式的分子通分后就可能是多项
式了，运算时记得添括号；
3、异分母分式相加减的法则；
4、运算结果要约分，化成最简分式或整式，有
些运算律仍然适用.
5、进一步了解类比与转化的思想方法.
必做题：
一、 1




+ ; 2
3
4
−3
1
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分
母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异
分母分式通分时，通常取最简公分母.


−
问题：将分式− , ,

解：最简公分母是

∙

− =−
=−



∙


∙

=
=

3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.

6
=
x2
; 9
（3） 2a
a2
4
a
1
2
=
a
2a
2a
2
a
a2
2a
2
2a a 2 = a 2a 2
=
a
a2
2a
2
=1. a2
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是 3 km， 其中小丽走的是平路，骑车速度是 2v km/h.小 刚需要走 1 km的上坡路、 2 km的下坡路，在 上坡路上的骑车速度为 v km/h，在下坡路上的 骑车速度为 3v km/h.那么 （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少 用多长时间？
C.
a
ab
b
D. a b
2.化简
a2 a 1
a 1
的结果是（
A
）
1
A. a 1
B.
a
1
1
C. 2 a 1
a1
D. 2 a 1
a1
3.已知 Ma24 4， N=a 122 1a， 则M，N（ C ）
A. M=N
B. MN=1
C.M+N=0 D.不能确定
x y x2 y2
4.计算
解（1）小刚从家到学校需要
12325h
v 3v 3v 3v
（2）小丽从家到学校需要 3 h .
2v
因为 5 3 ， 所以小丽在路上花费的时间少
3v 2v
小丽比小刚在路上花费时间少
53=109=1h习
1.
1 a
1 b
的运算结果是（
C
）
1
A. a b
2

(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
逐个突破 解：设西瓜的半径为R , 球的体积公式是
则: (1)
V西瓜
4 R3
3
,
V西瓜瓤

4 (R d)3
3
.
(2)
V西瓜瓤 V西瓜
;
a2 2a (2) a2 4 .
（1）解：原式=
6ay. y 6ay.2a
y 2a
a(a 2) （2）解：原式= (a 2)(a 2)

a
a

2
新知探究
观察下列运算：
(1) 2 4
8 ; (2) 5 2
10.
35
15 7 9
63
类比分数的乘法法则我们尝试计算
3a
例1.（1）计算：4 y

2y 3a
2 2
例1.（2）计算
a a

2 2

a2
1
2a
注：分式运算的结果通常要化成最简分 式或整式. 而最后结果中的分母既可以 是乘乘积形式，也可以是多项式.
针对训练1：
计算：
（1）
-a b
b a2
（2）
a
a

b

b
b
a
注意： 在分式的乘法中，
一定要把积的分子与分 母的公因式约去，得到 最简分式。同时要注意 符号的变化
两个分数相乘, 把分子相乘的积 两个分式相乘, 把分子相乘
作为积的分子,把分母相乘的积作为 积的分母;
两个分数相除, 把除数的分子分 母颠倒位置后,再与被除式相乘.

例题解析
计算：
（1）
x
1
1
1 x 1
（2） x
x
3 3
x 3 x3
（3）x 1 1 1 x
例题解析
（1）
1 x 1
1 x 1
x
x
1
1 x
1
x
x
1
1 x
1
x 1 x 1 x 1 x 1
x
2 2
1
2 x2 1
例题解析
（2）
x x
3 3
x x
3 3
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
(5) 1 , 1 ; x3 x3
(6)
2a
,1;
(a 2)(a 2) 2 a
(7)
9
1 3a
,
a2
a
9
,
a2
2 6a
9
.
小结 1
（1）系数取各系数的最小公倍数； （2）凡出现的字母（或含字母的因式）都要取； （3）相同字母的次数取最高次幂； （4）当分母是多项式时应先分解因式； （5）分母前的负号应提到分数线前。
华润初中 杨萍
x 32 x 32 x 3x 3
x
3
x
3 x
x2 32
3
x
3
2x x 3 x 3 2x 6 12x
x2 9
x2 9 x2 9
例题解析
（3）
x 1 1 1 x
x 1 1 1 1 x
x 11 x
1 x
1 1 x
x 11 x 1
1 x2
1
1 x
1 x
2 x2 1 x