函数综合的典型题型

函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。

题型九 二次函数综合题类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练）1.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ^于点D ，当n 为何值时，PDG BNG V V ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB Ð=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）n =；（3）①12；②或．【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；②先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．【详解】解：（1）将点(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得：309330a b a b --=ìí+-=î，解得12a b =ìí=-î，则抛物线的解析式为223y x x =--；（2）由题意得：点P 的坐标为2(,23)P n n n --，对于二次函数223y x x =--，当0x =时，3y =-，即(0,3)C -，设直线BC 的解析式为y kx c =+，将点(3,0)B ，(0,3)C -代入得：303k c c +=ìí=-î，解得13k c =ìí=-î，则直线BC 的解析式为3y x =-，(,3)G n n \-，223(23)3PG n n n n n \=----=-+，(3BG n ==-PDG BNG @V QV ，PG BG \=，即23(3n n n -+=-，解得n =3n =（与3n <不符，舍去），故当n =PDG BNG @V V ；（3）①如图，设线段OC 的中点为点D ，过点B 作x 轴的垂线，交直线1OB 于点E ，则点D 的坐标为3(0,2D -，点E 的横坐标为3，设直线BD 的解析式为00y k x c =+，将点(3,0)B ，3(0,2D -代入得：0003032k c c +=ìïí=-ïî，解得001232k c ì=ïïíï=-ïî，则直线BD 的解析式为1322y x =-，由平移的性质得：直线1OB 的解析式为12y x =，当3x =时，32y =，即3(3,)2E ，33,2OB BE \==，11tan 2BE BOB OB Ð==\，故答案为：12；②由题意得：11NN OB ^，则设直线1NN 的解析式为12y x c =-+，将点(,0)N n 代入得：120n c -+=，解得12c n =，则直线1NN 的解析式为22y x n =-+，联立2212y x n y x =-+ìïí=ïî，解得4525x n y n ì=ïïíï=ïî，即直线1NN 与直线1OB 的交点坐标为42(,)55n n ，设点1N 的坐标为1(,)N s t ，则4250225s n n t n +ì=ïïí+ï=ïî，解得3545s n t n ì=ïïíï=ïî，即134(,)55N n n ，将点134(,)55N n n 代入223y x x =--得：2334()55235n n n -´-=，整理得：2507509n n --=，解得n =或n =则点N的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．2.二次函数2()40y ax bx a =++¹的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ^轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO Ð=Ð时，求直线BP的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】（1）234y x x =--+；（2）151588y x =-+；（3）PQ QB 有最大值为45，P 点坐标为()2,6-【分析】（1）将(4,0)A -，(1,0)B 代入2()40y ax bx a =++¹中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；（2）设BP 与y 轴交于点E ，根据//PD y 轴可知，DPB OEB Ð=Ð，当2DPB BCO Ð=Ð，即2OEB BCO Ð=Ð，由此推断OEB V 为等腰三角形，设OE a =，则4CE a =-，所以4BE a =-，由勾股定理得222BE OE OB =+，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；（3）设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得 M 点坐标，则5BM =，由//BM PN ，可得PNQ BMQ △∽△，5PQ PN PN QB BM ==，设20000(,34)(40)P a a a a --+-<<，则00(,4)N a a +22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：2(4)(4)40+40a b a b ì×-+×-+=í+=î解得：13a b =-ìí=-î，∴二次函数的表达式为234y x x =--+；（2）设BP 与y 轴交于点E ，∵//PD y 轴，DPB OEB Ð=Ð∴，2DPB BCO Ð=Ð∵，2OEB BCO Ð=Ð∴，ECB EBC \Ð=Ð，BE CE \=，设OE a =，则4CE a =-，4BE a =-∴，在Rt BOE V 中，由勾股定理得222BE OE OB =+，222(4)1a a -=+∴解得158a =，150,8E æöç÷èø∴，设BE 所在直线表达式为(0)y kx e k =+¹150,81+0.k e k e ì×+=ï\íï×=î解得15,815.8k e ì=-ïïíï=ïî∴直线BP 的表达式为151588y x =-+．（3）设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M．由A 、C 两点坐标分别为(4,0)-，(0,4)可得AC 所在直线表达式为4y x =+∴M 点坐标为(1,5)，5BM =由//BM PN ，可得PNQ BMQ △∽△，5PQ PN PN QB BM ==∴设20000(,34)(40)P a a a a --+-<<，则00(,4)N a a +22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===∴，∴当02a =-时，PQ QB有最大值0.8，此时P 点坐标为()2,6-．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．3.如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ Ð=°，求点Q 的坐标．【答案】（1）1m =-，3y x =-；（2）()2,1P ，P ，P ；（3）75,24æö-ç÷èøQ 【分析】（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A 关于BC 的平行线1AP ，联立直线1AP 与抛物线的表达式可求出1P 的坐标，设出直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线23P P ，联立方程组即可求出P ；（3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ^于点D ，过点D 作DF x ^轴于点F ，过点C 作CE DF ^于点E ，得直线CD 对应的表达式为132y x =-，即可求出结果；【详解】（1）将()3,0B 代入()()22369=++-+y mx m x m ，化简得20m m +=，则0m =（舍）或1m =-，∴1m =-，得：243y x x =-+-，则()0,3C -．设直线BC 对应的函数表达式为y kx b =+，将()3,0B 、()0,3C -代入可得033k b b =+ìí-=î，解得1k =，则直线BC 对应的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1AP ∥BC ，设直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移 GC 个单位，得到直线23P P ，由（1）得直线BC 的解析式为3y x =-，()1,0A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-ìí=-+-î，解得：10x y =ìí=î（舍），或21x y =ìí=î，∴()12,1P ，由直线AG 的表达式可得()1,0G -，∴2GC =，2CH =，∴直线23P P 的表达式为5y x =-，联立2543y x y x x =-ìí=-+-î，解得：11x y ìïïíï=ï，22xy ìïïíï=ïî，∴3P ，2P ，∴()2,1P ，P ，P ．（3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ^于点D ，过点D 作DF x ^轴于点F ，过点C 作CE DF ^于点E ，∵45ACQ Ð=°，∴AD=CD ，又∵90ADC Ð=°，∴90ADF CDE Ð+Ð=°，∵90CDE DCE Ð+Ð=°，∴DCE ADF Ð=Ð，又∵90E AFD Ð=Ð=°，∴CDE DAF D D ≌，则AF DE =，CE DF =．设==DE AF a ，∵1OA =，OF CE =，∴1CE DF a ==+．由3OC =，则3=-DF a ，即13+=-a a ，解之得，1a =．所以()2,2D -，又()0,3C -，可得直线CD 对应的表达式为132y x =-，设1,32Q m m æö-ç÷èø，代入243y x x =-+-，得213432-=-+-m m m ，2142=-+m m m ，2702-=m m ，又0m ¹，则72m =．所以75,24æö-ç÷èøQ ．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．4.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA Ð的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC V 的外心，且BCD △与ACO △:4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA Ð=Ð若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a +1；（2）2y x x 2=--；（3）存在，P 1（12-，54-），P 2（1，-2）．【分析】（1）根据二次函数解析式可得A （a ，0），C （0，-a ），B （-1，0），即可得出OA=OB=a ，OB=1，即可证明△OCA 是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB 的长；（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D ，根据等腰直角三角形的性质可得，利用两点间距离公式可用a 表示出BC 的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC 是等腰直角三角形，即可证明△DBC ∽△OCA ，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a 值即可得答案；（3）如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点C 作AC 的垂线，交x 轴于F ，过点O 作OG ⊥AC 于G ，连接AP 交CF 于E ，可得△OCF 是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF 的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D 坐标，即可得出BH 、DH 的长，根据CAP DBA Ð=Ð，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD ∽△ACE ，根据相似三角形的性质可求出CE 的长，根据两点间距离公式可得点E 坐标，利用待定系数法可得直线AE 解析式，联立直线AE 与抛物线的解析式求出点P 坐标即可得答案．【详解】（1）∵抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．∴当x=0时，y=-a ，当y=0时，(1)()0x x a +-=，解得：11x =-，2x a =，∴A （a ，0），C （0，-a ），B （-1，0），∴OB=1，OA=OC=a ，∴△OCA 是等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D ，∵点D 为ABC V 的外心，∴DB=DC ，∵△OCA 是等腰直角三角形，OA=a ，∴∠OAC=45°，，∵∠BDC 和∠BAC 是 BC所对的圆心角和圆周角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠OAC ，∴△DBC ∽△OCA ，∵BCD △与ACO △:4，∴BC AC ==，解得：2a =±，经检验：2a =±是原方程的根，∵1a >,∴a=2，∴抛物线解析式为：(1)(2)y x x =+-=22x x --．（3）如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点C 作AC 的垂线，交x 轴于F ，过点O 作OG ⊥AC 于G ，连接AP 交CF 于E ，∵a=2，∴C （0，-2），A （2，0），AC=，∵∠OCA=45°，∴∠OCF=45°，∴△OCF 是等腰直角三角形，∴F （-2，0），设直线CF 的解析式为y=kx+b ，∴202k b b -+=ìí=-î，解得：12k b =-ìí=-î，∴直线CF 的解析式为2y x =--，∵△OCA 是等腰直角三角形，OG ⊥AC ，∴OG 所在直线为AC 的垂直平分线，点G 为AC 中点，∵点D 为ABC V 的外心，∴点D 在直线OG 上，∵A （2，0），C （0，-2），∴G （1，-1），设直线OG 的解析式y=mx ，∴m=-1，∴直线OG 的解析式y=-x ，∵点D 为△ABC 的外心，∴点D 在AB 的垂直平分线上，∴点D 的横坐标为122-+=12，把x=12代入y=-x 得y=-12，∴D （12，-12），∴DH=12，BH=1+12=32，∵CAP DBA Ð=Ð，∠BHD=∠ACE=90°，∴△BHD ∽△ACE ，∴DH BHCE AC=，即12CE =解得：CE =，∵点E 在直线CF 上，∴设点E 坐标为（n ，-n-2），∴，解得：23n =±，∴1E （23-，43-），2E （23，83-），设直线AE 1的解析式为y=k 1x+b 1，∴1111243320k b k b ì-+=-ïíï+=î，解得：11121k b ì=ïíï=-î，∴直线AE 1的解析式为112y x =-，同理：直线AE 2的解析式为24y x =-，联立直线AE 1解析式与抛物线解析式得21122y x y x x ì=-ïíï=--î，解得：111254x y ì=-ïïíï=-ïî，1220x y =ìí=î（与点A 重合，舍去），∴P 1（12-，54-），联立直线AE 2解析式与抛物线解析式得2242y x y x x =-ìí=--î，解得：1112x y =ìí=-î，2220x y =ìí=î（与点A 重合，舍去），∴P 2（1，-2）．综上所述：存在点P ，使得CAP DBA Ð=Ð，点P 坐标为P 1（12-，54-），P 2（1，-2）．【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键5.已知二次函数图象过点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P 为AC 的中点时，在线段PB 上是否存在点M ，使得∠BMC ＝90°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K 在抛物线上，点D 为AB 的中点，直线KD 与直线BC 的夹角为锐角θ，且tan θ=53，求点K 的坐标．【分析】（1）设二次函数的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4），将点C 坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P （﹣1，2），点Q （2，2），由勾股定理可求BC 的长，由待定系数法可求PB 解析式，设点M （c ，―25c +85），由两点距离公式可得（c ﹣2）2+（―25c +85―2）2＝8，可求c ＝4或―2429，即可求解；（3）过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，先求出DE ＝BE=角三角函数可求NE =DEtanθDK 与射线EC 交于点N （m ，4﹣m ）和DK 与射线EB 交于N （m ，4﹣m ）两种情况讨论，求出直线DK 解析式，联立方程组可求点K 坐标．【解析】（1）∵二次函数图象过点B （4，0），点A （﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4），∵二次函数图象过点C （0，4），∴4＝a （0+2）（0﹣4），∴a =―12，∴二次函数的解析式为y =―12（x+2）（x ﹣4）=―12x 2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC 中点Q ，连接MQ ，∵点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4），点P 是AC 中点，点Q 是BC 中点，∴P （﹣1，2），点Q （2，2），BC =设直线BP 解析式为：y ＝kx+b ，由题意可得：2=―k +b 0=4k +b ，解得：k =―25b =85∴直线BP 的解析式为：y =―25x +85，∵∠BMC ＝90°∴点M 在以BC 为直径的圆上，∴设点M （c ，―25c +85），∵点Q 是Rt △BCM 的中点，∴MQ =12BC ＝∴MQ 2＝8，∴（c ﹣2）2+（―25c +85―2）2＝8，∴c ＝4或―2429，当c ＝4时，点B ，点M 重合，即c ＝4，不合题意舍去，∴c =―2429，则点M 坐标（―2429，5629），故线段PB 上存在点M （―2429，5629），使得∠BMC ＝90°；（3）如图2，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，∵点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4），点D 是AB 中点，∴点D （1，0），OB ＝OC ＝4，AB ＝6，BD ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝45°，∴DE ＝BE∵点B （4，0），C （0，4），∴直线BC 解析式为：y ＝﹣x+4，设点E （n ，﹣n+4），∴﹣n+4=32，∴n =52，∴点E （52，32），在Rt △DNE 中，NE =DEtanθ253=①若DK 与射线EC 交于点N （m ，4﹣m ），∵NE ＝BN ﹣BE ，4﹣m ）―∴m =85，∴点N （85，125），∴直线DK 解析式为：y ＝4x ﹣4，联立方程组可得：y =4x ―4y =―12x 2+x +4，解得：x 1=2y 1=4或x 2=―8y 2=―36，∴点K 坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK 与射线EB 交于N （m ，4﹣m ），∵NE ＝BE ﹣BN ，―4﹣m ），∴m =175，∴点N （175，35），∴直线DK 解析式为：y =14x ―14，联立方程组可得：y =14x ―14y =―12x 2+x +4，解得：x 3=y 3=x 4=y 4=∴点K ，综上所述：点K 的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣3616）．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+3分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，经过A ，B 两点的抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴的正半轴相交于点C （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 为线段AB 上一点，∠APO ＝∠ACB ，求AP 的长；（3）在（2）的条件下，设M 是y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），∴c=3―1+b+c=0，解得b=―2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC =AOAB，∴AP4∴AP＝（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．。

二次函数试题论：①抛物线1212--=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2)1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？③抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2)1(21+-=x y 怎样移动得到的？⑤抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）A -1B 2C -1或2D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—25、抛物线y= 21x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）A （—6，—6）B （—6，6）C （6，6）6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２A １ B ２ C ３ D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则c b a + =c a b + =ba c+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

专题11函数性质综合大题目录【题型一】“分式型”1：分离常数反比例函数 (1)【题型二】“分式型”2：转化为“对勾” (2)【题型三】“分式型”3：转化为“双曲” (3)【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型 (4)【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型 (5)【题型六】“分式型”6：判别式法 (5)【题型七】“分式型”7：中心对称求和型 (6)【题型八】“分式型”8：保值函数 (6)【题型九】分式型结构不良型 (7)【题型十】含绝对值型 (8)培优第一阶——基础过关练 (8)培优第二阶——能力提升练 (9)培优第三阶——培优拔尖练 (10)【题型一】“分式型”1：分离常数反比例函数【典例分析】已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z ).(1)若1k =，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正，求整数k 的值.已知函数25()1x f x x +=+，()23g x x ax =+-．(1)若()0,x ∃∈+∞，使得()6g x x <-，求实数a 的取值范围；(2)若集合{|(),[0,2]}A y y f x x ==∈，对于x A ∀∈都有()0g x ≤，求实数a 的取值范围．【题型二】“分式型”2：转化为“对勾”【典例分析】已知函数()2x 4xx a f x -+=，()g x x b =-，2()2h x x bx =+(1)当2a =时，求函数()()y f x g x =+的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当[]3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,m 上的最大值为()f m ，试求实数m 的取值范围；(3)若不等式()()()()1212h x h x g x g x -<-对任意1x ，[]20,2x ∈（12x x <）恒成立，求实数b 的取值范围.已知函数t y x x =+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【题型三】“分式型”3：转化为“双曲”【典例分析】已知函数()21mx f x x n -=+是奇函数，且()322f =.(1)求实数,m n 的值；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；(3)当0x >时，解关于x 的不等式：()()223f x f x >+.【变式训练】已知函数()110m x f x x+-=满足()23f =.(1)求()f x 的解析式，并判断其奇偶性；(2)若对任意[)5,x ∈+∞，不等式()30f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围.【题型四】“分式型”4：分母二次、分子一次型【典例分析】已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤..已知函数2()1x m f x nx -=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且1(1)2f =.(1)求m ，n 的值；(2)判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；(3)设()52g x kx k =+-，若对任意的1[1,1]x ∈-，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.【题型五】“分式型”5：分子、分母二次型【典例分析】．已知22(4)2()1ax a x f x x +-⋅-=+．(1)若=4a 时，求()f x 的值域；(2)函数()25()1()2g x x f x =++，若函数()h x =[0,)+∞，求a 的取值范围．求函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与2f ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的大小．【题型六】“分式型”6：判别式法【典例分析】已知函数2221()1x x f x x x --=++．(1)解不等式：()1f x >；(2)求函数()f x 的值域．【变式训练】．已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；【题型七】“分式型”7：中心对称求和型【典例分析】已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【变式训练】已知函数3()1x f x x +=+.(1)求1(2)+2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值；(3)求11112(1)+(2)+()+(3)+++(2021)++(2022)+2320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【题型八】“分式型”8：保值函数【典例分析】若函数()f x 在定义域的某个区间[],m n （m n <）上的值域恰为[],km kn （0k >），则称函数()f x 为[],m n 上的k 倍域函数，[],m n 称函数()f x 的一个k 倍域区间．已知函数()2h x x ax b =++，且关于x 的不等式()0h x <的解集为()2,2-．(1)求实数a ，b 的值；(2)若()()45x g x h x =+（[]0,1x ∈），是否存在k （k +∈N ），使得函数()g x 为定义域内的某个区间[],m n 上的k 倍域函数？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．对于定义域为I 的函数()f x ，如果存在区间[,]m n I ⊆，使得()f x 在区间[,]m n 上是单调函数.且函数(),[,]y f x x m n =∈的值域是[,]m n ，则称区间[,]m n 是函数()f x 的一个“优美区间”(1)判断函数2()y x x R =∈和函数43(0)y x x=->是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）(2)如果[,]m n 是函数22()1()(0)a a x f x a a x+-=≠的一个“优美区间”，求n m -的最大值；(3)如果函数2()g x x a =+在R 上存在“优美区间”，求实数a 的取值范围.【题型九】分式型结构不良型【典例分析】已知______，且函数()22x b g x x a +=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【变式训练】已知函数2()2x b g x x a+=+，(1,1)x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出a ，b 的值，并解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）①已知函数3()f x b x a =+-，满足(2)(2)0f x f x -++=；②已知函数()(0,1)a f x x b a a =+>≠在[1]2，上的值域为[14]，；③已知函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +在定义域[1,1]b b -+上为偶函数．(1)判断()g x 在(1,1)-上的单调性；(2)解不等式(1)(2)0g t g t -+<．【题型十】含绝对值型【典例分析】已知函数()234x bf x ax +=+是定义在()2,2-上的偶函数，且()315f =.（1）求,a b 的值；（2）判断函数()f x 在区间()0,2上的单调性，并证明；（3）解不等式()()2122f m f m +>-.已知函数1()a x f x x-=（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若()2f x x <在(1,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]m n 上值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围．分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.已知函数()21xf x x =+(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若当()1,2x ∈时，()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围.2．已知函数()2x b f x x a +=+，函数()f x 为R 上的奇函数，且()112f =.(1)求()f x 的解析式：(2)判断()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用定义给予证明：(3)若()f x 的定义域为()1,1-时，求关于x 的不等式()()2120f x f x -+<的解集.3．已知()21x f x x =+.(1)若函数()y h x =是偶函数，且当0x ≥时，()()h x f x =，当0x <时，求()h x 的表达式；(2)证明：函数()y f x =在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数.4．已知函数2212()1x f x x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性，并证明；(2)证明：()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.5．已知定义在R 上的函数()412x x f x x -=+.(1)求证：()f x 是奇函数；(2)求证：()f x 在R 上单调递增；(3)求不等式()()22340f x f x -+-<的解集.培优第二阶——能力提升练1.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性．(3)解关于t 的不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤．2.已知函数()2142x a f x a x +-=-（x R ∈且2x a ≠）．(1)当()f x 的定义域为12,2a ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭时，求函数()f x 的值域；(2)设函数()()()22g x x a x f x =+-，求()g x 的最小值．3.已知函数2()1x f x x =+．(1)用定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；(2)对任意[2,4]x ∈都有()f x m ≤成立，求实数m 的取值范围．4.已知函数21()([1,1])1x b f x x x +-=∈-+是奇函数，2()(2)1g x x a x =+-+是偶函数.(1)求a b +.(2)判断函数()f x 在[1,1]-上的单调性并说明理由，再求函数()f x 在[1,1]-上的最值.(3)若函数()f x 满足不等式(1)(2)0f t f t -+<，求出t 的范围.培优第三阶——培优拔尖练1.已知函数21()ax f x x b +=+是奇函数，且()12f =．(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)若1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x ≠．求证12121([()()]22x x f f x f x +<+．2.已知函数()21x f x ax b+=+是其定义域内的奇函数，且()12f =，(1)求()f x 的表达式；(2)设()()(0)x F x x f x =>，求()()()()1111232021232021F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．3.已知定义在R 上的函数()()41R 2x x f x x a a =++∈为偶函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性（不用证明）；(3)已知函数()22g x x x m =--，[]1,4x ∈-，若对1x ∀∈R ，总有[]21,4x ∃∈-，使得()()12f x g x ≤成立，试求实数m 的取值范围.4.设()21f x x ax =--+，()22ax x a g x x ++=.(1)若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求a 的取值范围；(2)若存在[]11,2x ∈，使得对任意的21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.。

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。

专题四函数性质的综合问题一、题型全归纳题型一 函数的奇偶性与单调性【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．【例1】已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 13，b ＝(ln 3)2，c ＝ln 3，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )【解析】 由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又因为|a |＝ln 3>1，b ＝(ln 3)2>|a |，0<c ＝ln 32<|a |，所以f (c )>f (|a |)>f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，所以f (c )>f (a )>f (b )．故选C.题型二 函数的奇偶性与周期性【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．【例1】(2020·武昌区调研考试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数y ＝f (x －1)为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝ ．【解析】解法一：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，所以⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4-25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+211-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝－18. 解法二：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，由题意知，当－1≤x <0时，f (x )＝x 3，故当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝－(x －2)3，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝32-25-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.题型三 函数的综合性应用【题型要点】求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，现给出下列命题：①函数f (x )是以2为周期的周期函数；②函数f (x )是以4为周期的周期函数；③函数f (x －1)为奇函数；④函数f (x －3)为偶函数，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，f (x ＋2)＝－f (x )， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )的最小正周期为4，故①错误，②正确； 由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋1)＝－f (x －1)．又f (－x －1)＝f (x ＋1)，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，故f (x －1)为奇函数，③正确； 若f (x －3)为偶函数，则f (x －3)＝f (－x －3)，又f (－x －3)＝f (x ＋3)，所以f (x ＋3)＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，可得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B.题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用结论一、奇函数的最值性质【题型要点】已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ ．【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.结论二、抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (17)＝ ．【解析】由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是最小正周期为8的偶函数，所以f (17)＝f (1＋2×8)＝f (1)＝2.结论三、抽象函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数．(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．【例2】(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定，其中正确命题的个数为( ) ①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数；③f (x )的图象关于x ＝1对称；④f (x )的图象关于x ＝2对称． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，f (4)＝f (0)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )，令t ＝x ＋1，则f (t ＋1)＝f (1－t )，所以f (x ＋1)＝f (1－x )， 所以f (x )的图象关于x ＝1对称，而f (2＋x )＝f (2－x )显然不成立．故正确的命题是①②③，故选C.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)【解析】：由f (a －3)＋f (9－a 2)<0得f (a －3)<－f (9－a 2)．又由奇函数性质得f (a －3)<f (a 2－9)．因为f (x )是定义域为(－1，1)的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．98【解析】：由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 由f (1)＝2×12＝2得f (－1)＝－f (1)＝－2，所以f (2 019)＝－2.故选A.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－4【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0，1]上有f (x )＝x 2，则⎪⎭⎫⎝⎛212019f ＝( ) A.94 B.14 C ．－94D ．－14【解析】：函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-2020f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f .因为在[0，1]上有f (x )＝x 2，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛＝14， 故⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝－14，故选D. 5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3231， C.⎪⎭⎫⎝⎛3221，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3221，【解析】：因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<⎪⎭⎫⎝⎛31f ，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.6.(2020·石家庄市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛231，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2523，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，D ．[2，3)【解析】因为0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，所以f (x )在区间[0，1]上是增函数，又函数f (x )是奇函数，所以函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )在区间(1，3)上是减函数，又⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝1，所以在区间(1，3)上不等式f (x )≤1的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，，故选C.6.(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0，＋∞)，且f (1)＝0，则(x －1)f (x －1)≤0的解集为( ) A ．[－2，0] B ．[－1，1]C ．(－∞，0]∪[1，2]D ．(－∞，－1]∪[0，1]【解析】：由题意可知，函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (－1)＝0，令x －1＝t ，则tf (t )≤0，当t ≥0时，f (t )≤0，解得0≤t ≤1；当t <0时，f (t )≥0，解得t ≤－1，所以0≤x －1≤1或x －1≤－1，所以x ≤0或1≤x ≤2.故选C. 7.对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2【解析】：设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足条件：①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)；③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是( )A ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)【解析】：因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 因为x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[0，2]上为增函数， 所以函数f (x )在[2，4]上为减函数．易知f (7)＝f (3)，f (6.5)＝f (2.5)，f (4.5)＝f (0.5)＝f (3.5)，则f (3.5)<f (3)<f (2.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．9．(2020·甘肃静宁一中一模)函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <⎪⎭⎫ ⎝⎛27fB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25fD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛27f【解析】：函数f (x ＋2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛21f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫⎝⎛25f .故选C. 10.(2020·辽宁沈阳东北育才学校联考(二))函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，若对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【解析】：令F (x )＝xf (x )，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以F (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝F (x )， 所以F (x )是偶函数，因为f (－1)＝0，所以F (－1)＝0，则F (1)＝0，因为对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2时，都 有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C.二、填空题1.若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为 ．【解析】：由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4. 2.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________； 【解析】 易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1.3.偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝ ． 【解析】：因为f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．所以f (－1)＝3.4.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2020)＝________.【解析】因为定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，所以f (2020)＝f (505×4＋0)＝f (0)＝0＋e 0＝1. 5.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝ ．【解析】：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为 ．【解析】：因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数．因为f （x ）－f （－x ）x ＝2·f （x ）x <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，解得x ∈(－1，0)∪(0，1)． 三、解答题1.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．【解析】：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．2.已知函数f (x )对任意x ∈R 满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x ＋1)，若当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝12.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．【解析】：(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (0)＝0，即b ＝－1.又⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝1－a ＝12，解得a ＝14. (2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b ＝x⎪⎭⎫⎝⎛41－1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡043-，，由f (x )为奇函数知，当x ∈(－1，0)时，f (x )∈⎪⎭⎫ ⎝⎛430，， 又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f (x )∈⎪⎭⎫⎝⎛4343-，.。