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第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
知识点考纲下载平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的概念及其几何意义．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．会用坐标表示平面向量的平行与垂直．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．了解复数的加、减运算的几何意义．理解复数代数形式的四则运算.第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→B．－BC→＋12AB→C．BC→－12BA→D ．BC →＋12BA →解析：选A.因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →， BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.(2019·瑞安模拟)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解析：选D.依题意得AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，故选D.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．答案：①已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；其中真命题的序号是________．【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．角度一 用已知向量表示未知向量如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →【解析】 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 【答案】 D角度二 求参数的值如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________．【解析】 因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →， 又AM →＝λAB →＋μBC →， 所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.【答案】 23向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．(2019·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD ，点M 1，M 2，M 3，…，M n －1和N 1，N 2，N 3，…，N n －1分别将线段BC 和DC 进行n 等分(n ∈N *，n ≥2)，如图，若AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝45AC →，则n ＝( )A ．29B ．30C ．31D ．32解析：选C.由题图知，因为AM 1→＝AB →＋1n BC →，AM 2→＝AB →＋2n BC →，…，AM n －1＝AB →＋n －1nBC →，AN 1→＝AD →＋1n DC →，AN 2→＝AD →＋2n DC →，…，AN n －1＝AD →＋n －1n DC →.AB →＝DC →，AD →＝BC →.所以AM 1→＋AM 2→＋…＋AM n －1＋AN 1→＋AN 2→＋…＋AN n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋2n ＋…＋n －1n ·(AD →＋AB →)＝3（n －1）2AC →，所以3（n －1）2＝45，解得n ＝31.故选C.2．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点， 所以PB →＋PC →＝2PD →， 又P A →＋BP →＋CP →＝0， 所以P A →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 因为a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示BC →，AD →，BE →； (2)证明：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 所以BC →＝AC →－AB →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b ，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋13AC →＝－a ＋13b .(2)证明：BE →＝－a ＋13b ，BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋23AD →＝－a ＋23⎝⎛⎭⎫34a ＋14b ＝－12a ＋16b ＝12⎝⎛⎭⎫－a ＋13b ， 所以BF →＝12BE →，所以BF →与BE →共线，且有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝ (1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．[基础达标]1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A ．AB →＋(P A →＋BQ →)B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ →解析：选D.AB →＋(P A →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋P A →＝P A →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →；QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →；P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a 解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则|CM →|＝( )A ．12B ．6C ．3D ．32解析：选C.因为|CA →＋CB →|＝2|CM →|，|CA →－CB →|＝|BA →|，所以2|CM →|＝|BA →|＝6， 所以|CM →|＝3，故选C.4．已知a ，b 是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a |＋|b |≥|a －b | B ．|a ·b |≤|a |·|b |C ．(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2D ．(a －b )3＝a 3－3a 2·b ＋3a ·b 2－b 3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a |＋|b |≥|a －b |，所以A 正确； 因为|a ·b |＝|a ||b ||cosa ，b|，又|cosa ，b|≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成立，B 正确；由向量数量积的运算，得(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，C 正确；根据排除法，故选D. 5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故qp .所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．(2019·温州市普通高中模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(0， 2 )解析：选B.由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b . 答案：b －a －a －b8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13.答案：[3，13]9．(2019·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为 ________．解析：因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →，又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →，从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.答案：6510．(2019·杭州中学高三月考)已知P 为△ABC 内一点，且5AP →－2AB →－AC →＝0，则△P AC的面积与△ABC 的面积之比等于________．解析：因为5AP →－2AB →－AC →＝0， 所以AP →＝25AB →＋15AC →，延长AP 交BC 于D ，则53AP →＝23AB →＋13AC →＝AD →，从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且CD ＝23CB ，设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为23×35d ＝25d ，所以△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为25.答案：2511．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.12.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . [能力提升]1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B.因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P ABS △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB →＋yAC →，则xy 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤19，49B ．⎣⎡⎦⎤19，14 C ．⎣⎡⎦⎤29，12D ．⎣⎡⎦⎤29，14解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB →＝λBC →⎝⎛⎭⎫－23≤λ≤－13，所以AB →－AP →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎡⎦⎤29，14，故选D. 3．(2019·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 的延长线，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n ＝________．解析：作BG ∥AC ，则BG ∥NC ，|BG ||AN |＝|BM ||AM |.因为O 是BC 的中点，所以△NOC ≌△GOB ， 所以|BG |＝|NC |，又因为|AC |＝n |AN |， 所以|NC |＝(n －1)|AN |，所以|BG ||AN |＝n －1. 因为|AB |＝m |AM |，所以|BM |＝(1－m )|AM |， 所以|BM ||AM |＝1－m ，所以n －1＝1－m ，m ＋n ＝2.答案：2 4. (2019·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，M ，N 分别为线段BC ，CD 上的点，且满足1CM 2＋1CN2＝1，若AC →＝xAM →＋yAN →，则x ＋y 的最小值为________．解析：连接MN 交AC 于点G ，由勾股定理，知MN 2＝CM 2＋CN 2，所以1＝1CM 2＋1CN2＝MN 2CM 2·CN 2， 即MN ＝CM ·CN ，所以C 到直线MN 的距离为定值1，此时MN 是以C 为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为AC →＝xAM →＋yAN →＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋y AM →＋y x ＋y AN →，所以由共线定理知，AC →＝(x ＋y )AG →， 所以x ＋y ＝|AC →||AG →|＝5|AG →|，又因为|AG →|max ＝5－1＝4， 所以x ＋y 的最小值为54.答案：545．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＝12a ＋b ， 又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝⎛⎭⎫a ＋12a ＝34a ， 又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a ＝12a ＋12b .(2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.证明：充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． 必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
第二节ꢀ平面向量的分解与向量的坐标运算ꢀꢀ内容索引【教材·知识梳理】1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是一平面内的两个_不__平__行__的向量，那么该平面内的任一a e+a e向量a，存在唯一的一对实数a，a，使a=________.112212不共线(2)基底：_______的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.122.平面向量的正交分解正交基底在_________下分解向量，叫做正交分解.3.平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模的坐标表示.(x+x，y+y)(x-x，y-y)设a=(x，y)，b=(x，y)，则a+b= _____________，a-b= _____________，12121212 1122(λx，λy)λa= ____________，|a|=______________.114.平面向量共线的坐标表示x y-x y=0设a=(x，y)，b=(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是__________.1221 1122【常用结论】1.向量共线的充要条件有两种：(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).(2)a=(x，y)，b=(x，y)，则a∥b⇔x y-x y=0.11221221 2.两向量相等的充要条件：它们的对应坐标相等.3.注意向量坐标与点的坐标的区别：(1)向量与坐标之间是用等号连接.(2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标.(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定.(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标，点是唯一的.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(ꢀꢀ)(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(ꢀꢀ)(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ,μ,λ,μ满足λa+μb=λa+μb,11221122则λ=λ,μ=μ.(ꢀꢀ)1212(4)若a=(x,y),b=(x,y),则a∥b的充要条件可以表示成(ꢀꢀ)1122提示:(1) ×.共线向量不可以作为基底.(2)×.同一向量在不同基底下的表示不相同.(3)√.用平面向量基本定理解释.(4)×.若b=(0,0),则无意义.【易错点索引】序号易错警示典题索引基础自测T1考点一、T11忽略作为基底的必要条件是非零向量2不能准确建立平面几何与向量的关系不能灵活运用“三角形法则”、“平3行四边形法则”,不能将所求向量用基底表示考点二、T14混淆平行与垂直关系的坐标公式考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修4P103练习AT1改编)下列各组向量中,可以作为基底的是(ꢀꢀ)A.e=(0,0),e=(1,-2)12B.e=(-1,2),e=(5,7)12C.e=(3,5),e=(6,10)12D.e=(2,-3),e=12【解析】选B.两个不共线的非零向量构成一组基底.2.(必修4P105练习AT1改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是(ꢀꢀ)A.-6ꢀꢀꢀB.6ꢀꢀꢀC.9ꢀꢀꢀD.12【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.3.(必修4P106习题2-2BT2改编)已知三个力F=(-2,-1),F=(-3,2),F=(4,-3)同123时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F,则F等于(ꢀꢀ)44A.(-1,-2) C.(-1,2)B.(1,-2) D.(1,2)【解析】选D.根据力的平衡原理有F+F+F+F=0,所以F=-(F+F+F)=(1,2).123441234.(必修4P102例6改编)设P是线段PP上的一点,若P(1,3),P(4,0)且P是线段1212PP的一个三等分点(靠近点P),则点P的坐标为(ꢀꢀ)121A.(2,2)B.(3,-1)C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)【解析】选A.由已知=(3,-3).设P(x,y),则(x-1,y-3)=(1,-1),所以x=2,y=2,点P(2,2).5.(必修4P105习题2-2A T4改编)设e,e是不共线的两个向量,且λe+λe121122=0,则λ+λ=________.ꢀ12【解析】因为e,e是不共线的两个向量,且λe+λe=0,所以λ=λ=0,所12112212以λ+λ=0.12答案:0考点一ꢀ平面向量的坐标运算ꢀ【题组练透】1.(2019·宝鸡模拟)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.ꢀ【解析】设D(x,y),由得(4,1)=(5-x,6-y),即答案:(1,5)2.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且,则|| =________.ꢀ【解析】设P(x,y),由已知A(2,3),B(4,-1),由得解得所以答案:【规律方法】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.2.向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.【秒杀绝招】ꢀ中点法解T1,设D(x,y),AC中点与BD中点相同,所以解得作为基底,则即平面向量基本定理解T2,将即,所以考点二ꢀ平面向量基本定理及其应用ꢀ【典例】1.(2020·郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,,F为AE的中点,则=(ꢀꢀ)2.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且,点O在线段CD上(与点C,D 不重合),若,则x的取值范围是世纪金榜导学号(ꢀꢀ)【解题导思】序联想解题号由“则=”及选项,想到运用平面向量基本定理,向量的代数1运算2设,其中1<λ<,找到λ与x的关系再求解【解析】1.选C.如图,取AB中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以所以所以2.选D.设,其中1<λ<,则不共线,所以x=1-λ∈,即x的取值范围是.【规律方法】ꢀ平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.【变式训练】1.在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC,若则=(ꢀꢀ)【解析】选A.由已知2.已知在△ABC 中,点O 满足,则m+n 的取值范围是________.ꢀ(0<λ<1),由=0,知,由平面向量基本定理知,m+n=-2λ,所以m+n ∈(-2,0).=0,点P 是OC 上异于端点的任意一点,且【解析】设答案:(-2,0)所以考点三ꢀ共线向量的坐标表示及其应用ꢀ命题精解考什么:(1)向量共线求参数,含参数的综合问题等;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.怎么考:与向量共线,三角函数,不等式等结合考查求点或向量坐标,参数,最值等.读学霸好方1.已知向量共线求参数的方法利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.2.与共线向量的综合问题,其关键点是如何利用共线的条件.法【命题角度1】向量共线求参数【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量若c∥,则λ=________.ꢀ【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以4×λ=2×1,解得λ=.答案:2.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若∥a,则点B 的坐标为________.ꢀ【解析】设B(x,2x),则=(x-3,2x),因为∥a,所以x-3-2x=0,解得x=-3,所以B(-3,-6).答案:(-3,-6)【解后反思】两平面向量共线问题涉及哪些定理公式?提示:(1)若a=(x,y),b=(x,y),则a∥b的充要条件是x y-x y=0;(2)若11221221a∥b(b≠0),则a=λb.【命题角度2】含参数的综合问题【典例】设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为世纪金榜导学号()A.-3B.-2C.2,其中D.3【解析】选A.易知,=(2m-1,1),=(-2n-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n≥2≤2-2,即m+n≤-3.,所以2m+n+1【解后反思】两平面向量共线问题如何求解?提示:(1)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.运用公式a=λb或x y-x y=0求解.1221(2)当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.(2019·南昌模拟)已知向量a=(m,n),b=(1,-2),若|a|=2,a=λb(λ<0),则m-n=________.【解析】因为a=(m,n),b=(1,-2),所以由|a|=2,得m2+n2=20,①由a=λb(λ<0)得②由①②,解得m=-2,n=4,所以m-n=-6.答案:-62.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则的最小值是()A.24B.8C.D.【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均为正数,所以(2x+3y)当且仅当时,等号成立.所以的最小值是8.【综合创新·练】1.(2020·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,P(3,1),P(-1,3),P,P,P12123三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若,则λ= ()A.-3B.3C.1D.-1【解析】选D.设=(x,y),则由∥a知x+y=0,所以=(x,-x).若则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.2.给定两个长度为1的平面向量以O为圆心的圆弧上运动,若值是(),它们的夹角为90°,如图所示,点C在,其中x,y∈R,则x+y的最大A.1B.C.D.2【解析】选B.方法一:设∠AOC=α,则α∈则四边形ODCE是平行四边形,所以.过点C作CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,所以x=cosα,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=,所以1≤x+y≤,即x+y的最大值是..又因为α∈,则方法二:因为点C在以O为圆心的圆弧上,所以=x2+y2+2xy=x2+y2,所以x2+y2=1,则2xy≤x2+y2=1.又(x+y)2=x2+y2+2xy ≤2,所以x+y的最大值为.思想方法数形结合思想在向量中的应用【典例】已知||=1,||=,=0,点C 在∠AOB内,且(m,n∈R),则的值为________.=0,所以,以OA 为x 轴,OB 为y 轴建立平面直角坐标的夹角为30°,设【解析】因为系,则=(1,0),因为tan 30°=答案:3,所以m=3n,即=3.【思想方法指导】向量中的数形结合思想必须理清的四个问题一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则;二是向量模的几何意义;三是向量的方向;四是题目中涉及图形有哪些性质.【迁移应用】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设(λ,μ∈R),则=()【解析】选A.如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设点D(m,m)(m≠0).=(m,m)=λ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),λ=m,μ=m,所以。
平面向量的概念、线性运算及坐标运算【考纲要求】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】 考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量；平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理 平面向量的线性运算②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |表示，|AB ||BA |=.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC +=.（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =，即在ΔADC 中，AD DC AC +=. 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =-. 则AB CD AB DC -=+. 要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，它的长与方向规定如下： （1）||||||λ=λ⋅a a ；（2）当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ=0时，0λ=a ；2．运算律设λ，μ为实数，则 （1）()()λμ=λμa a ； （2）()λ+μ=λ+μa a a ； （3）()λ+=λ+λa b a b3．向量共线的充要条件已知向量a 、b 是两个非零共线向量，即//a b ，则a 与b 的方向相同或相反. 向量(0)≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a . 要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=a ；当0=a 时，也有0λ=a ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i ，j 为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量a 表示成x y =+a i j 的形式，由于a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量a 的坐标表示. 2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则 （1）1212(x x ,y y )±=±±a b （2）11(x ,y )λ=λλa 3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则1221//x y x y 0⇔-=a b （0→≠b ） 要点诠释：①若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//a b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=a ，22(x ,y )=b ，则//a b 的充要条件是=λb a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量a 与非零向量b 共线，向量b 与非零向量c 共线，则向量a 与向量c 共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
【考点剖析】1.最新考试说明：（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．（4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示．（5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．（6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.命题方向预测：（1）平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.3.课本结论总结：（1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.②零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：•0a=0，0+a=a.③单位向量：模为1个长度单位的向量，与a 方向相同的单位向量为a|a|.④相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.⑤相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a，有-(-a)=a.(2)向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b ＝b＋a.(2)结合律：(a ＋b)＋c＝a＋(b ＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(3) 平面向量基本定理若a 、b 是平面内不共线的向量，向量c 是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对,x y ，使x y c =a +b .(4) 共线向量①共线向量概念：若两个非零向量a 、b 的方向相同或相反，则称a 与b 共线，也叫a 与b 平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行.① 共线向量定理：a ∥b （b ≠0）⇔存在唯一实数λ，使得a =λb . ② 若a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则a ∥b ⇔1x 2y -2x 1y =0.(5) 平面向量的基本运算①若a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ），则a ±b =（1x ±2x ，1y ±2y ）， λa =（λ1x ，λ1y ）， ②若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则AB =（2x -1x ，2y -1y ）.4.名师二级结论：（1）若A 、B 、C 三点共线且OA OB OC λμ=+，则λμ+=1.（2）若向量,a b 不共线，xa yb =，则0x y ==（3）C 是线段AB 中点的充要条件是1()2OC OA OB =+. (4)若1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）. (4)G 是△ABC 的重心的充要条件为0GA GB GC ++=.(5)若△ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则△ABC 重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++ (6)已知1122(,),(,)A x y B x y ，且AC CB λ=，则点C 的坐标为1212(,)11x x y y λλλλ++++.5.课本经典习题：(1)新课标A 版第92页，习题A 组第12 题在△ABC 中，14AD AB =，DE ∥BC ，且与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB a =，AC =b ，用a ，b 分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算，具有代表性.(2) 新课标A 版第101页，练习第7 题已知A （2,3），B （4，-3），点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =,求点P 的坐标. 【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想，是经典题型.6.考点交汇展示： (1)三角函数交汇【2021届北京重点中学8月测试10】设02πθ<<，()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，若a ∥b ，则tan θ=.【答案】12.(2)与平面几何交汇【2021高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．【答案】11,26-【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.【考点分类】热点1 平面向量的线性运算1.【2021高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD 表示为AC CD +，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC 表示出来.2. 【2021江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______.【答案】3-【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ⊥⇔1212+0x x y y =.3.【2021浙江，理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A .{}{}min ,min ,a b a b a b +-≤B .{}{}min ,min ,a b a b a b +-≥ C .{}2222max ,a b a bab +-≤+D .{}2222max ,a b a bab +-≥+【答案】Ｄ4. 【2021上海，理14】已知曲线C ：24x y =--l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为. 【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤【方法规律】1. 判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1） 零向量的方向及与其他向量的关系.（2） 单位向量的长度与方向.2. 对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.5.当M是线段AB的中点时，则OM=1()2OA OB是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.6.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【解题技巧】1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．3.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．【易错点睛】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．例1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标． 【错解】设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )．[2分]因为四边形ABCD 为平行四边形，则AD ＝BC →，而AD ＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．由AD ＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D (－3，－5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5）．【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏.【正解】如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，D (x ，y )．[2分]①若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →，而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5)．②若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →2.而AB →＝(4,0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5)．③若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →.而AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．热点2 共线向量问题1.【2021陕西，理13】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.【答案】122.已知点A （1,3），B （4，-1），则与向量AB 同方向的单位向量为（ ）（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】22134==(3,-4)=(,-)5553+(-4)AB e AB，故选A【方法规律】1. 向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.2. 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3. 若A 、B 、C 三点共线且OA OB OC λμ=+，则λμ+=1.【解题技巧】1.一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【易错点睛】若a ＝(11,x y )，b ＝(2x ，2y )，则a ∥b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为2x ，2y 有可能等于0，所以应表示为12210x y x y -=.例 已知(2,)a k =,(1,(1))b k k k =-+，且a b ，求实数x 的值.【错解】因为(2,)a k =,(1,(1))b k k k =-+，且a b ，所以21(1)k k k k =-+，解得k =-3. 【错因分析】已知a ＝(11,x y )，b ＝(2x ，2y )，错误将1122x y x y =当做a ∥b 的充要条件，因为2x ，2y 有可能等于0.【预防措施】正确记忆和运用a ∥b 的充要条件，已知a ＝(11,x y )，b ＝(2x ，2y )，则a ∥b 的充要条件是12210x y x y -=＝0.【正解】因为(2,)a k =,(1,(1))b k k k =-+，且a b ，∴2(1)(1)0k K k k +--=，解得k =-3或k =0.【热点预测】1.【2021届广东揭阳一中、潮州金山中学联考】已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b =（ ）A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)【答案】D 【解析】由已知，2,4,12y y ==所以，2(1,2)2(2,4)(5,10)a b +=+=，故选D . 2.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈(),AD AB R μμ=∈且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ）A ．M 可能是线段AB 的中点 B ．,M N 可能同时在线段BA 延长线上C ．,M N 可能同时在线段AB 上D ．,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D3. 【2021届陕西榆林市二模】已知向量i 与j 不共线，且,AB i m j AD ni j =+=+，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ）Ａ.1m n += Ｂ.1m n +=- Ｃ.1mn = Ｄ.1mn =-【答案】C【解析】若,,A B D 三点共线，则AB AD λ=，即i m j ni j λλ+=+，所以1n m λλ=⎧⎨=⎩，则1mn =. 4.已知m 、R n ∈，、、是共起点的向量，、不共线，n m +=，则、、的终点共线的充分必要条件是（ ）A ．1=+n mB ．0=+n mC ．1=-n mD ．1-=+n m【答案】A 【解析】设,,a OA b OB c OC ===,即b n a m c +=时，,,A B C 在同一直线上.由直线的向量式参数方程知，、、的终点共线的充分必要条件是1=+n m ，选A .5. 【2021届北京海淀区二模】已知向量，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC AB AD λμ=+，则=+μλ（ ）A.2B.2-C.3D. 3-C DBA【答案】A6.【2021福建,理8】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有)2,5(),2,1(21-=-=e e 成立.7. 【2021届广东深圳五校联考】已知a (),2a =-，b ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“a ∥b ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知a ∥b (1)1(2)012a a a a ⇔--⨯-=⇔=-=或，故知“a ＝2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，故选Ｂ8. 【2021北京，理10】已知向量a 、b 满足||1=a ，(2,1)=b ，且λ+=0a b （R λ∈），则||λ=. 【答案】5 【解析】由λ+=0a b 知，λ=-b a ，于是||||||λ=⋅b a ，因为(2,1)=b ，所以||5=b ，又因为||1=a ，所以5||=λ.9.【2021届江苏扬州中学8月考12】已知ABC ∆是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ∆内部两点，且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+，则APD ∆的面积为． 【答案】43.10.已知向量)3,2(=a ，)2,1(=b ，且b a ,满足()//()a b a b λ+-，则实数=λ_______．【答案】1-【解析】由)3,2(=a ，)2,1(=b ，得++=+3,2(λλb a )2λ，)1,1(=-b a ，因为()//()a b a b λ+-，所以(2)1(32)1λλ+⋅=+⋅，解得1λ=-．11.在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC 2=，点O 在线段CD 上（与点C,D不重合）若AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围是____________. 【答案】1(,0)2- 【解析】依题意，存在实数(0,1)λ∈，使得CO CD λ=，则有=AO AC CO AC CD λ+=+12AC BC λ=+⋅1()2AC AC AB λ=+⋅-=(1)22AC AB λλ=+-，所以2x λ=-，故实数x 的取值范围是1(,0)2-. B DA12. 【2021届河北衡水中学一模】在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为 ．【答案】等边三角形13.【2021届福建高考压轴】设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ; ③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ其中真命题是____________.【答案】①②④14.【2021陕西，理18】在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上（1）若=++OP ；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】（1）22（2）m n y x -=-，1.【解析】（1）因为0PA PB PC ++=，所以()()()0OA OP OB OP OC OP -+-+-=，即得1()(2,2)3OP OA OB OC =++=，最后求得||22OP = （2）因为OP mAB nAC =+，所以(,)(2,2)x y m n m n =++，即22x m n y m n =+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-令y x t -=，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.。
