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数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束，务必将试卷和答题卷一并上交。
第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．若集合A={x|－2<x≤1}，B={x|.x≤0或x>l}，则A (R B)等于 A ．（-2，1]B ．（-∞，1]C ．{1}D ．(0，1] 2．已知a+2i=ii b +-1 (a ，b∈R，i 为虚数单位)，则a －b 等于 A ．-2B ．-1C ．1D ．2 3．已知a∈（-2π，0），cos a=53，则tan(a+4π)等于 A ．-71 B ．71 C ．-7 D ．74．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>.0,2,0,12x x x og x 若f （a ）=21，则a 等于 A ．-1或2 B ．2 C ．-1 D ．1或-25．若双曲线-mx 2y 2=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为 A ．332 B ．2 C ．15 D ．15154 6．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，表示的平面区域上运动，则x-y 的取值范围是A ．[-2，-1]B ．[-2，1]C ．[-1，2]D ．[1，2]7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为A ．64B ．128C ．-64D ．-1288．已知命题p ：若非零实数a ，b 满足a>b ，则ba 11<；命题q ：对任意实数x∈（0，+∞），211og （x+1）<0．则下列命题为真命题的是A ．p 且qB ．p 或⌝qC ．⌝p 且qD ．p 且⌝q9．某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有A ．91种B ．90种C ．89种D ．86种10．将函数f （x ）=l+cos 2x －2sin 2（x －6π）的图象向左平移m （m>0）个单位后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为A ．6πB ．12πC ．3πD ．2π 11．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，AB⊥BC 且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球O 的表面积为A ．80πB ．90πC ．100πD ．120π12．如图，以原点O 为圆心的圆与抛物线y 2 =2px （p>0)交于A ，B 两点，且弦长AB=23，∠AOB=120o ，过抛物线焦点F ，作一条直线与抛物线交于M ，N 两点，它们到直线x=-1的距离之和为27，则这样的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卷上用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2017年高考数学模拟试卷（广西理科附答案和解释）2017年广西高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5） 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b ＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 4．设向量 =（1，2）， =（�3，5），=（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x的值是（） A．�B． C．�D． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f （）= D．f（x）的图象关于（，0）对称 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值． 20．如图，F1，F2为椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf （x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M 时，|x+y+xy|＜15．2017年广西高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D． 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： = ，∴z的实部与虚部分别为7，�3．故选：A． 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c ＞a＞b D．a＞b＞c 【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3， =3，∴c＞b＞a．故选：A． 4．设向量=（1，2）， =（�3，5）， =（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x 的值是（） A．� B． C．� D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量 =（1，2），=（�3，5）， =（4，x），∴ + =（�2，7），又 + =λ（λ∈R），∴ ，解得λ=�，x=�14；∴λ+x=��14=�．故选：C． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．【解答】解：∵tanα=3，∴ = = = ．故选：B． 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A． 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+ ）+ ] =cos（2x+ ）=�sin（2x+ ）的图象，故排除A；当x=�时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=�对称，故B正确； f（）=�sin =�sin =�，故排除C；当x= 时，f（x）=�sin =�≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B． 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 【考点】程序框图．【分析】输入x和n的值，求出k的值，比较即可．【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，输出s=94，故选：A． 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，b= a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，∴b= a，∴c= = a，∴e= = ，故选D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，= ×（12+17+22+27）=19.5，= ×（10+18+20+30）=19.5，代入线性回归方程 =kx�4.68，得19.5=k×19.5�4.68，解得k=1.24，∴线性回归方程为=1.24x�4.68；当x=32时，=1.24×32�4.68≈35，由此可推测t的值为35．故选：B． 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高为2，圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，所以该几何体的体积为V= ×2×4×2+ ×π×22×4= +8π．故选：A． 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（�∞，0）上单调递增，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则2f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax�lnx�1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴�1≤ax�lnx�1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．①当≤1，即 a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a�ln3≤2，∴0≤a≤ ，综合可得，1≤a≤ ．②当≥3，即0＜a≤ 时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，∵最大值 g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a�ln3≥0，∴ ≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．故函数的最小值为g（）=1�ln ，∵g（1）=a，g（3）=3a�ln3，g（3）�g（1）=2a�ln3．若 2a�ln3＞0，即ln ＜a＜1，∵g（3）�g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a�ln3，此时，由1�ln ≥0，g（3）=3a�ln3≤2，求得≤a≤ ，综合可得，ln ＜a＜1．若2a�ln3≤0，即＜a≤ ln3=ln ，∵g（3）�g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1�ln ≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln ．综合①②③可得，1≤a≤ 或ln ＜a＜1或≤a≤ln ，即≤a≤ ，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为�21 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1= ，令7�r=2，解得r=5．∴（x�1）7的展开式中x2的系数为�=�21．故答案为：�21． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为（�3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．圆心到准线x=�2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．故答案为：4． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r= ≥ =3 ，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米， AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得， cosB= = = ，所以sinB= = ，则该沙田的面积：即△ABC的面积S= = =21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意可得数列{an}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前n项和公式即可求得S20．（2）由（1）可知2n•an=（n+1）•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n•an}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20�log220的值．【解答】解：（1）由题意可得数列{an}为等差数列，首项a1=2，公差d=1，∴an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20= = =230；（2）由2n•an=（n+1）•2n，数列{2n•an}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，两式相减得：�S20=2•2+22+23+…+220�21•221， =2+ �21•221， =�20•221，∴S20=20•221，log2S20�log220=log220•221�log220=log220+log2221�log220=2 1．∴log2S20�log220=21． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）= ．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B ．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X 可取0，1，2，3，则X～B . ，．所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故（或）． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C�AB1�D1的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．解：（2）由（1）知OA=OB1=3，又AB1=3 ，∴OA2+OB12=AB12，∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，�，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2 ，3），D1（0，，），设平面CAB1的法向量 =（x，y，z），∵ =（3，0，�3）， =（1，�，1），∴ ，取x=1，得 =（），设平面AB1D1的法向量 =（a，b，c），∵ =（0，，�）， =（�3，，），∴ ，取b=1，得 =（），∴cos＜＞= = = ，由图知二面角C�AB1�D1的平面角为钝角，∴二面角C�AB1�D1的余弦值为�． 20．如图，F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，当直线AB 的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点， D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，∴ ，解得a=2，b=1，c= ，∴椭圆C的标准方程为 =1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P （，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S= |x1|×|y1�y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，△=16（4k2+1�m2），，同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0， AB= |x1�x2|= ， h= ，∴S=1，综上，△ABC的面积为1． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f （x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=�1或t= ，即f（x）=�1�b 或f（x）= �b都有3个实数解，由图象可得�1�b＞0，且�b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+ �a，则y=xf（x）=4x3+1�ax的导数为y′=12x2�a，由题意可得12�a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+ �12，f′（x）=8x�，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，�7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x�1），即为y=7x�14；（2）由f（x）=4x2+ �a，导数f′（x）=8x�，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x= 处取得极小值，且为3�a，由f（x）有两个零点，可得3�a=0，即a=3，零点分别为�1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=�1或，则f（x）=�1�b或f（x）= �b，由题意可得f（x）=�1�b或f（x）= �b都有3个实数解，则�1�b＞0，且�b＞0，即b＜�1且b＜，可得b＜�1，即有a+b＜2．则a+b 的范围是（�∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；（2）利用|MN|=|ρ1�ρ2|，求线段MN的长．【解答】解：（1）（x�）2+（y+1）2=9可化为x2+y2�2 x+2y�5=0，故其极坐标方程为ρ2�2 ρcosθ+2ρsinθ�5=0．… （2）将θ= 代入ρ2�2实用精品文献资料分享ρcosθ+2ρsinθ�5=0，得ρ2�2ρ�5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=�5，∴|MN|=|ρ1�ρ2|= =2 ．… [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f（x）= ，当x＜�2时，由x�3＞0得，x ＞3，舍去；当�2≤x≤ 时，由3x+1＞0得，x＞�，即�＜x≤ ；当x＞时，由�x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（�，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15． 2017年3月23日。
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合错误!未找到引用源。
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A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
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【答案】B2．复数错误!未找到引用源。
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在复平面内对应的点在第一象限，则错误!未找到引用源。
的取值范围是A. 错误!未找到引用源。
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【答案】A3．若椭圆C：错误!未找到引用源。
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的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】C中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，4．在ABC则角错误!未找到引用源。
的正弦值为A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】A5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
6．已知向量错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，向量错误误!未找到引用源。
方向上的投影为2.若错误!未找到引用源。
//错误!未找到引用源。
，则错误!A.. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!错误!未找到引用源。
【答案】D7．执行如图的程序框图，输出的错误!未找到引用源。
的值是第7题图A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C8．若以函数错误!未找到引用源。
的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则错误!未找到引用源。
的值为A.1B. 2C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】C9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥错误!未找到引用源。
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|310}A x x =+<，2{|610}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．11[,]32-B ．φC ．1(,)3-∞D ．1{}32.复数1()1a R ai∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．01a << C ．1a > D ．1a <-3.若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．3 C ．2 D ．44.在ABC ∆中，3cos 5B =，5AC =，6AB =，则内角C 的正弦值为（ ） A ．2425 B ．1625 C. 925 D ．7255.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．13 B ．23 C. 1 D ．436.若向量(1,0)a =，(1,2)b =，向量c 在a 方向上的投影为2，若//c b ，则||c 的大小为（ ）A ． 2B ．7.执行如图的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．28B ．36 C. 45 D ．558.若以函数sin (0)y A x ωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（ ）A ．1B ．2 C. π D ．2π9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P ABCD -中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为（ ） A．4．3 C. 12 D．210.定义,min{,},a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，设21()min{,}f x x x =，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．712 B ．512 C. 1ln 23+ D ．1ln 26+ 11.函数11()33x f x -=-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数12.设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ． 2 B ．165 C. 3 D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．14.若锐角,αβ满足4sin 5α=，2tan()3αβ-=，则tan β= ． 15.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是 ．16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，给出如下命题：①函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数；②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；③若函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e ； ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y1210887（1）求出y 与x 的回归方程^^^y b x a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附：①回归方程^^^y b x a =+中，^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.3.2≈1.8≈，若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，CB CD ==60BCD ∠=，1CC（1）若E 是线段1A A 上的点且满足13A E AE =，求证：平面EBD ⊥平面1C BD ； （2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值．20. 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）．（1）若||4||MB AM =，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．21. 已知函数()ln f x x ax =-，1()g x a x=+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[0,2]θπ∈），若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）． （1）求点A 的极坐标；（2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于,B C 两点，求||||||MB MC -的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（1）解不等式|1||3|4x x +++<；（2）若,a b 满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++．试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB二、填空题13. 14 14. 176 15. 827 16. 2 三、解答题17. 解：（1）第一类解法： 当1n =时，13a =.当2n ≥错误！未找到引用源。
2017年高考数学理科模拟试卷（二）（8、9）一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（ ） A ．[1,4)-B ．(2,3]C ．(2,3)D ．(1,4)-2．设复数z 满足11zi z+=-，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．23．已知平面向量n m ，的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，n m AC 62-=，D 为BC 边的中点，则AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0116 B ．0927 C ．0834 D ．07265．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ． 340cm6. 若3cos()cos()02πθπθ-++=，则cos2θ的值为（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-7. 若202n x dx =⎰ ，则12nx x -()的展开式中常数项为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0B ．32 C ．3 D ．32-9．有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．48010. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==0.6(0.2)c f =则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+ 成立，且(6)2f -=-，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．则给出下列命题：①(2016)2f =-； ②6-=x 为函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在()9,6--上为减函数； ④方程0)(=x f 在[]9,9-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ）A.1B.2C.3D.412．如图，1F ，2F 分别是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则21F BF ∆的面积为（ ） A ．8 B ．28 C ．38 D ．16 二、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13．已知实数x y 、满足条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为__________.14. 设等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，已知83=S ，76=S 则2a =__________.15．已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点,A B ，满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为_________.16．已知三棱锥S ABC -中，底面ABCSA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为_________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）在数列}{n a 中，2+4=1+n n a S ，1=1a （1）n n n a a b 2=1+，求证数列}{n b 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S .21111111121112212111212)13(414343)1(21243,21}2{43222322,3}{)1()2(2,3}{2)2(2244)24(2432523,24)1(:--+-++++++++++⋅-=-=⨯-+===⨯=-===-=--=+-+=-==-==++=+n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a a a a a q b b ，b b b a a a a a a a a s s a a a b ，a a a a 所以的等差数列公差为是首项为因此数列于是所以公比中等比数列知由的等比数列公比为是首项为因此数列即于是故解得由已知有解所以22)43(22)43(424131+-=+-=+=---n n n n n n a S18．（本题满分12分）众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为43，32，21，且各场比赛互不影响.（1）若甲至少获胜两场的概率大于107，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD //，︒=∠90ADC ，平面⊥PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2===AD PD PA ，1=BC ，3=CD （1）求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（2）若MC PM 3=，求二面角C BQ M --的大小． .证明：（1）∵Q 为AD 的中点，P A=PD=AD=2，BC=1， ∴PQ ⊥AD ，QDBC ， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴DC ∥QB ，∵底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°， ∴BQ ⊥AD ， 又BQ∩PQ=Q ，∴AD ⊥平面PQB ， ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD ．…………………………………… 6分（2）∵PQ ⊥AD ，平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD =AD ，∴PQ ⊥底面ABCD 以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则Q （0，0，0），B （0，，0），C （﹣1，，0），P （0，0，），设M （a ，b ，c ），则，即（a ，b ，c ﹣）=（﹣1，，﹣）=（﹣，，﹣），∴，b=，c=，∴M （﹣，，），=（﹣，，），=（0，，0），设平面MQB 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x =1，得=（1，0，），平面BQC 的法向量=（0，0，1），设二面角M ﹣BQ ﹣C 的平面角为θ，则cosθ==，∴θ=，∴二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为．…………………………… 12分20．（本题满分12分）已知抛物线E ：，直线与E 交于A 、B 两点，且，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线E 的方程； （2）已知点C 的坐标为)0,3(-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明22221211m k k -+为定值.21．（本题满分12分）已知函数21()()2g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线与直线20+x y =垂直.（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求12()()g x g x -的最小值.解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x'=+. ∵与直线20x y +=垂直，∴112x k y a ='==+=，∴ 1a =.…………………2分（Ⅱ）()()()()()221111ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x--+'=+--∴=+--=由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()210123140b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪∆=-->⎩或b<-1故b 的取值范围是()3,+∞……………………………6分（Ⅲ）2'1(1)1()(1)x b x g x x b x x--+=+--=令 '()0g x = 得2(1)10x b x --+=由题12121,1x x b x x +=-= 221111122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 221121221ln()(1)()2x x x b x x x =+----22112121221ln ()()()2x x x x x x x x =+--+- 2211211221222111ln ln 22x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭12x t x =，则1111()()()ln ()2g x g x h t t t t-==-- ………………………8分 120x x <<，所以令12(0,1)x t x =∈， 又72b ≥，所以512b -≥， 所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤10,4t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦…………………10分 2'22111(1)()1022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减 ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭ 故11()()g x g x -的最小值是152ln 28-………………………12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.22．（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点,且AB ∥DC ，DC 的延长线交PQ 于点Q ．（1）求证：；（2）若AQ ＝2AP ，AB ＝2，BP ＝2，求QD ．解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴AC CQ ＝ABAC ，即AC 2＝CQ ·A B …………………5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴BP PC ＝AP PQ ＝AB QC ＝13，由AB ＝2，BP ＝2，得QC ＝32，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴AP 2＝PB ·PC ＝12，∴AP ＝23，∴QA ＝43，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴AQ 2＝QC ·QD QD ＝82………………10分23．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知射线C 1：θ＝π6(ρ≥0)，动圆C 2：(x 0∈R )．（1）求C 1，C 2的直角坐标方程；（2）若射线C 1与动圆C 2相交于M 与N 两个不同点，求x 0的取值范围．解：(1)∵tan θ＝y x ，θ＝π6(ρ≥0)，∴y ＝33x (x ≥0)．所以C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0).2分 ∵⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 2的直角坐标方程x 2＋y 2－2x 0x ＋x 20－4＝0…………4分 (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6（ρ≥0），ρ2－2x 0ρcos θ＋x 20－4＝0（x 0∈R ），关于ρ的一元二次方程ρ2－3x 0ρ＋x 20－4＝0(x 0∈R )在[0，＋∞)内有两个实根…………6分即⎩⎨⎧Δ＝3x 20－4（x 20－4）>0，ρ1＋ρ2＝3x 0>0，ρ1·ρ2＝x 20－4>0，……8分得⎩⎨⎧－4<x 0<4，x 0>0，x 0>2，或x 0<－2，即2≤x 0<4……………10分24.（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1．（1）求a ＋b ＋c 的取值范围；（2）若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由柯西不等式得，(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3，∴－3≤a ＋b ＋c ≤3，∴a ＋b ＋c 的取值范围是[－3，3]……………5分 (2)同理，(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3………………7分 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则|x －1|＋|x ＋1|≥3，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞………………10分2017届柳州联考试卷（二） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABBACACBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.11 14. 163-15. 8316.π5三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.21111111121112212111212)13(414343)1(21243,21}2{43222322,3}{)1()2(2,3}{2)2(2244)24(2432523,24)1(:--+-++++++++++⋅-=-=⨯-+===⨯=-===-=--=+-+=-==-==++=+n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a a a a a q b b ，b b b a a a a a a a a s s a a a b ，a a a a 所以的等差数列公差为是首项为因此数列于是所以公比中等比数列知由的等比数列公比为是首项为因此数列即于是故解得由已知有解所以22)43(22)43(424131+-=+-=+=---n n n n n n a S19.证明：（1）∵Q 为AD 的中点，P A=PD=AD=2，BC=1，∴PQ⊥AD，QD BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴DC∥QB，∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，∴BQ⊥AD，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，∵AD⊂平面P AD，∴平面PQB⊥平面P AD．……………………………………6分（2）∵PQ⊥AD，平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，则Q（0，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，），设M（a，b，c），则，即（a，b，c﹣）=（﹣1，，﹣）=（﹣，，﹣），∴，b=，c=，∴M（﹣，，），=（﹣，，），=（0，，0），设平面MQB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），平面BQC的法向量=（0，0，1），设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴θ=，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为．……………………………12分21. 解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x'=+. ∵与直线20x y +=垂直，∴112x k y a ='==+=，∴ 1a =.…………………2分 （Ⅱ）()()()()()221111ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x--+'=+--∴=+--= 由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()210123140b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪∆=-->⎩或b<-1故b 的取值范围是()3,+∞……………………………………6分（Ⅲ）2'1(1)1()(1)x b x g x x b x x --+=+--= 令 '()0g x = 得2(1)10x b x --+=由题12121,1x x b x x +=-=221111122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221121221ln ()(1)()2x x x b x x x =+----22112121221ln ()()()2x x x x x x x x =+--+- 2211211221222111ln ln 22x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭12x t x =，则1111()()()ln ()2g x g x h t t t t-==-- ………………………8分 120x x <<，所以令12(0,1)x t x =∈， 又72b ≥，所以512b -≥， 所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥ 整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤ 10,4t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦………………………………………10分 2'22111(1)()1022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减 ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭ 故11()()g x g x -的最小值是152ln 28-………………………………12分 22．解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴AC CQ ＝AB AC ，即AC 2＝CQ ·A B …………………5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴BP PC ＝AP PQ ＝AB QC ＝13，由AB ＝2，BP ＝2，得QC ＝32，PC＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴AP 2＝PB ·PC ＝12，∴AP ＝23，∴QA ＝43，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴AQ 2＝QC ·QD QD ＝82………………10分23．解：(1)∵tan θ＝y x ，θ＝π6(ρ≥0)，∴y ＝33x (x ≥0)．所以C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0).2分 ∵⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 2的直角坐标方程x 2＋y 2－2x 0x ＋x 20－4＝0…………4分 (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6（ρ≥0），ρ2－2x 0ρcos θ＋x 20－4＝0（x 0∈R ），关于ρ的一元二次方程ρ2－3x 0ρ＋x 20－4＝0(x 0∈R )在[0，＋∞)内有两个实根………………………6分即⎩⎨⎧Δ＝3x 20－4（x 20－4）>0，ρ1＋ρ2＝3x 0>0，ρ1·ρ2＝x 20－4>0，……………………8分得⎩⎨⎧－4<x 0<4，x 0>0，x 0>2，或x 0<－2，即2≤x 0<4……………………10分 24．解：(1)由柯西不等式得，(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3，∴－3≤a ＋b ＋c ≤3，∴a ＋b ＋c 的取值范围是[－3，3]……………5分(2)同理，(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3………………7分 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，则|x －1|＋|x ＋1|≥3，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞………………10分。
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B A A. 11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3 【答案】B2．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是 A. 0<a B. 10<<a C. 1>a D. 1-<a 【答案】A3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. 21 B. 33 C. 22 D. 42 【答案】C4．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A. 2524 B. 2516 C. 259 D. 257 【答案】A 5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.31 B. 32 C. 1 D. 43【答案】D 6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a 方向上的投影为2. 若c //b ，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为第7题图A.1B. 2C. πD. π2 【答案】C9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.B. C.12D. 2【答案】A 10.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 26【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是 A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为A.2B.516 C. 3 D. 25【答案】B 解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】1414若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】176 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】827 16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数; ②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <. 解：（1）第一类解法：当n=1时，13a =....................................................................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分 222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分 21n =+....................................................................................................................4分 而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分 第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分 第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法：由S n 22n n =+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分 且13a =，212132d a a S S =-=--=...............................................................................4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分（2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分 111()22123n n =-++..........................................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分 111()2323n =-+.........................................................................10分 11646n =-+...........................................................................11分 1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<. 附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()n i ii n i i x y nx y b xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-. 若X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】(1) ∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分 【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.n i i i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分 2221()2955750.n i i xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关， ....................................................................7分【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+- 10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185= ........................................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠= ，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.解:(1) 解法(一): 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分 ），（430,1E,3(4M ,)33,0(1，C,∴13(,44MC =- ,(1,0,)4DE =. ................................................ ..........4分13100444MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分（证得1MC ⊥ME 或BE也行）DE与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分解法(二): 设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角...........................................................2分60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴142EM C M ==………………4分(至少算出一个)1,4C E =.............................................................................................5分 ∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分解法(三): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角 (3)分则），（430,1E ，)33,0(1，C,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,4ME =,13(4MC =- .∴113()(044ME MC ∙=⨯-+= ................................5分 ∴ME ⊥1MC,∠190EMC = ,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,24E-（0，）,(0)2B ，,13(0,2C ，∴13(0,2OC =,1(,224BE =-- .1310()022OC BE =+⨯-+= ,∴1OC ⊥BE (5)分BE与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD . 1OC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分32B （,1C ，3(2DB =，1DC =设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，302x y ⎧+=⎪⎨=， 取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m =...................................10分 【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是 ME=1(,4】cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.............................................................................................11分7=∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为7....................................12分 解法二: (第1问未建系)60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A ,DA⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC 的法向量 (8)分3,22B （，0）,1C ，3(,22DB =，1DC = ,设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3020x y ⎧+=⎪=， 取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m = (10)分cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.................................................................................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B --.......................................12分解法三: (几何法)设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠= ,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分 NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角...................9分依题意可得NB =32, NFBF..................11分 ∴cos ∠BFN =NF BF∴二面角1C C D B --....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l 的方程为4x my =+........................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法二: 由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法三: 由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
2017-2018学年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|2x≤1，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤02．若复数的实部是，则实数a=（）A．2 B．C．D．﹣3．二项展开式（2x﹣）6中，常数项为（）A．240 B．﹣240 C．15 D．不存在4．若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为3，则ω值为（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A．1 B．2 C．3 D．46．函数f（x）=lnx﹣x2的单调减区间是（）A．（﹣∞，] B．（0，] C．时，对于任意两个不等的实数x1，x2∈[，]，均有|f （x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
做答时请写清题号。
22．如图，AB切⊙O于点B，点G为AB的中点，过G作⊙O的割线交⊙O于点C、D，连接AC 并延长交⊙O于点E，连接AD并交⊙O于点F，求证：EF∥AB．23．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|=3|OQ|，求直线l的极坐标方程．24．如果x是实数，且x＞﹣1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n＞1+nx．2016年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|2x≤1，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤0【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的交集为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤1=20，得到x≤0，即A=（﹣∞，0]，∵B={a，1}，且A∩B≠∅，∴实数a的范围是a≤0，故选：D．2．若复数的实部是，则实数a=（）A．2 B．C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣i的实部是，∴=，解得a=．故选：B．3．二项展开式（2x﹣）6中，常数项为（）A．240 B．﹣240 C．15 D．不存在【考点】二项式系数的性质．【分析】通项公式：T r+1=26﹣r x6﹣3r．令6﹣3r=0，解得r即可得出．【解答】解：二项展开式（2x﹣）6中，通项公式：T r+1==26﹣r x6﹣3r．令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项为=240．故选：A．4．若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为3，则ω值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再结合题意利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为=3，则ω=，故选：C．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由2S3=a3+a7=18，列出关于a1，d的方程组，解得即可．【解答】解：设公差为d，∵2S3=a3+a7=18，∴，解得a1=1，故选：A．6．函数f（x）=lnx﹣x2的单调减区间是（）A．（﹣∞，] B．（0，] C．=2n，n=1时也成立．∴b n=2n．此时数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2×3n﹣1．∴a n b n=4n×3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=4（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1），3T n=4（3+2×32+…+n×3n），∴﹣2T n=4（1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n）=4×，∴T n=（2n﹣1）×3n+1．18．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：参考数据，其中（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由公式求出b，a，可得线性回归方程，从而预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数；（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，即可求其数学期望和方差．【解答】解：（1）由公式可得b=0.7，a=7.3所以所求的线性回归方程为：…当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．（2）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==其分布列为：所以：EX=1×+2×=，DX=（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=…19．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是CD的中点．（1）求BB1和平面A1C1M所成角的余弦值；（2）在BB1上找一点N，使得D1N⊥平面A1C1M．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面A1C1M的法向量和的坐标，计算cos＜，＞，则BB1和平面A1C1M所成角的余弦值为．（2）设N（1，1，t），令∥求出t即可得出N的位置．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），M（0，，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，，﹣1），=（0，0，1）．设平面A1C1M的法向量为=（x，y，z），则=0， =0，即，令x=1得=（1，1，﹣）．∴=﹣，||=，||=1．∴cos＜＞==﹣．∴BB1和平面A1C1M所成角的余弦值为=．（2）D1（0，0，1）设N（1，1，t）（0≤t≤1），则=（1，1，t﹣1）．∵D1N⊥平面A1C1M，∴∥，∴t﹣1=﹣，即t=．∴当N为BB1中点时，D1N⊥平面A1C1M．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，△ABF2的周长等于4，点A、B在椭圆C上，且F1在边AB上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4可知a=，利用=可知，通过可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长等于4，且F1在边AB上，∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4，∴，即a=，又∵=，∴，∴==1，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1；（2）依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，又∵b=﹣kx0+y0，∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，∵△=3y02+x02﹣3＞0，∴k1•k2=，又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，∴k1•k2==﹣1，∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，∴MN为圆O的直径，显然当P点为P（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为4•2=4．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣（2a+1）x，a∈R（1）当a=1时，求不等式f（x）•g（x）＞0的解集；（2）若a≠0，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递减区间；（3）求证：当a∈时，对于任意两个不等的实数x1，x2∈[，]，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，解不等式（x﹣3）•lnx＞0即可；（2）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间即可；（3）结合函数的单调性得到函数，构造ω（x）=，求出ω（x）的单调区间得到f（x2）﹣f（x1）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2），解出即可．【解答】解：（1）定义域是（0，+∞），不等式等价于（x﹣3）•lnx＞0，故不等式的解集是（0，1）∪（3，+∞）；（2）F′（x）=，a＜0时，F′（x）＜0，解得：x＞1，a=时，F′（x）≥0恒成立，函数无减区间，0＜a＜时，令F′（x）＜0，解得：1＜x＜，f（x）在（1，）递减，a ＞时，令F ′（x ）＜0，解得：＜x ＜1，f （x ）在（，1）递减；（3）不妨设x 1＞x 2，由（2）得：a ≤时，f （x ）+g （x ）在[，]单调递增，≤a ≤时，≥，∴f （x ）+g （x ）在[，]是单调递增函数，f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2）对x ∈[，]恒成立，当a ≥时，令ω（x ）=，则ω′（x ）=﹣=0，解得；x=﹣1，随着x 的变换，ω′（x ），ω（x ）的变化如下： ﹣1∴ω（x ）max =﹣3﹣2，∴∀x ∈[，]，2a ≥，从而f （x ）﹣g （x ）在[，]单调递增，f （x 1）﹣g （x 1）＞f （x 2）﹣g （x 2）在[，]恒成立，f （x 2）﹣f （x 1）＜g （x 1）﹣g （x 2）＜f （x 1）﹣f （x 2）对x 1，x 2∈[，]，x 1＞x 2恒成立，∴任意实数x 1，x 2∈[，]，均有|f （x 1）﹣f （x 2）|＞|g （x 1）﹣g （x 2）|成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|310}A x x =+<，2{|610}B x xx =--≤，则A B =（）A ．11[,]32-B ．φC ．1(,)3-∞D ．1{}32.复数1()1a R ai ∈+在复平面内对应的点在第一象限,则a 的取值范围是（ ）A ．0a <B ．01a <<C ．1a >D ．1a <-3.若椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．3 C 2 D 24.在ABC ∆中,3cos 5B =,5AC =,6AB =，则内角C 的正弦值为（）A ．2425B ．1625C.925D ．7255.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( ）A ．13B ．23C. 1D ．436。
若向量(1,0)a =，(1,2)b =，向量c 在a 方向上的投影为2，若//c b ，则||c 的大小为（ ) A ． 2 B ．5C 。
4D ．257。
执行如图的程序框图，输出的S 的值是( ）A ．28B ．36 C. 45 D ．558.若以函数sin (0)y A x ωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（ ) A ．1 B ．2 C. π D ．2π9。
已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P ABCD -中,四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为（ ） A 6 B ．3C 。
12D 210。
定义,min{,},a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，设21()min{,}f x x x =，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为（ )A ．712B ．512C.1ln 23+D ．1ln 26+11.函数11()33x f x -=-是（)A ．奇函数B ．偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数12。
2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数3+4i i 2+的实部与虚部分别为（ ）A ．2,1B ．2，iC ．11，2-D ．11，2i - 2．已知集合{}2310A x x x =+<,{}1B x x =>，则A B 等于（）A ．{}12x x <<B ．{}51x x -<<C ．{}1x x >D ．{}5x x >-3．圆M ：()2216x y ++=与直线30x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 等于（ )A ．2B ．4C ．2D ．224．612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．52B ．160C ．52- D ．160- 5．若n∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a>”是“31∏>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知变量x ,y 满足约束条件24,4312,1,y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为()A ．12- B ．1 C ．2- D ．1128．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡。
如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》。
执行该程序框图，则输出的i 等于（ )A ．4B ．8C ．16D ．32 9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，8430SS =-≠,则412S S 的值为（ ）A ．13- B ．112- C ．112D ．1310．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>,0πϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．函数()f x 的值域为[]4,4-C ．函数()f x 的图象关于10,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到sin y A x ω=的图象11．函数()()2244log xx f x x -=-的图象大致为(）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ,点15B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.若线段AB 的垂直平分线过右焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．23第Ⅱ卷(共90分）二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若正方体的外接球的表面积为6π,则该正方体的表面积为 ． 14．设向量()2log3,a m =，()3log 4,1b =-，且a b ⊥，则m 的值为 ．15．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ= ． 16．已知函数()32f x xax =-与()2g x ax ax b =-+在(]0,2上存在相同的零点，则b 的取值范围为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 6sin a C c B =。
