数学物理方程教案3行波解

第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。

中心：用行波法求解无界空间波动问题。

1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。

三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。

（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。

习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。

学 习 资 料 汇编小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。

因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。

2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。

同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。

[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。

t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。

[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。

第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。

公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。

若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。

方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。

顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。

小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。

因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。

2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。

同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。

[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。

t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。

[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。

第三章 行波法§3.1 达朗贝尔公式（P150-152）1．确定下列初值问题的解（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -===解：因为()()0,1x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x at x at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰ =t（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()2sin ,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =2231sin cos 626x at x at a t a⎡⎤++⎣⎦ =2231sin cos 3x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()3,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =()()1cos cos 122x at x at x at x at e d aα+---+++⎰ =1cos cos x at e t -+2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。

解：该问题的数学模型为：()()()()2',,0,0,,0tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩由达朗贝尔公式：()()()()'1,22x at x atx at x at u x t a d a ϕϕϕαα+--++=+-⎰=()x at ϕ- 2．求解弦振动方程的古沙问题()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩解：该方程的通解为：()()()12,u x t f x t f x t =++- （1）令：t x =-()()()1202x f f x ϕ=+令： t x =()()()1220x f x f ψ=+令2y x =，则有：()()()()12210202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩所以：()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭又 ()()121(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣⎦ 所以古沙问题解为： ()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。

行波解拉普拉斯算子变分公式一、行波解拉普拉斯算子1.1 行波解的概念在偏微分方程的研究中，行波解是一种非常重要的解法。

行波解是指形式为$u(x, t) = \phi(x \cdot \omega - ct)$的解，其中$\phi$为任意函数，$\omega$为波矢，$c$为波速。

行波解可以很好地描述波动传播的特性，被广泛应用于声学、光学、电磁学等各个领域。

1.2 拉普拉斯算子的定义拉普拉斯算子是指在直角坐标系下的二阶偏微分算子，通常用$\Delta$表示。

在三维空间下，拉普拉斯算子的表达式为$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$二、变分公式的引入与应用2.1 变分法的基本思想在数学和物理领域中，变分法是一种描述变化的方法。

通过引入变分，可以求得函数的极值或近似解。

变分法在最优控制、量子力学等领域有着广泛的应用。

2.2 变分公式在行波解与拉普拉斯算子中的应用将变分公式引入行波解的讨论中，可以得到关于波动传播的更深入的理解。

对于包含拉普拉斯算子的方程，利用变分公式可以得到更为简洁的形式，方便进行进一步分析和求解。

结论与个人观点：行波解与拉普拉斯算子以及变分公式的深度结合，为我们理解波动传播提供了更加丰富和全面的视角。

通过对这些概念的深入理解，我们可以更好地应用于实际问题的求解与研究中。

希望未来可以有更多关于这些领域的深入探讨，为学术与科研工作带来更多的启发与帮助。

希望这篇文章对您有所帮助，如有任何问题，欢迎与我联系。

在行波解与拉普拉斯算子的结合中，我们可以进一步深入探讨其在具体领域中的应用。

以声学、光学和电磁学为例，我们可以看到行波解与拉普拉斯算子在这些领域中的重要性和广泛应用。

在声学领域，行波解和拉普拉斯算子经常用于描述声波的传播特性。

小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。

因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。

2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。

同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。

[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。

t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。

[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。

非线性偏微分方程行波解1直接积分法行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。

这个过程简记为行波变换。

直接积分法指直接求解这个常微分方程。

例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=⇒-+-=积分难计算：1用特殊形式的解试凑：exp()1exp()B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x xx u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++=2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。

2混合指数方法适用于多项式方程，非多项式方程需变换。

如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤1.行波变换2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。

通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φϕ-=,若n 为负数,可设1φϕ-=。

3.为获得更多的解，引入变换+C φϕ=4.设1,exp()n nn a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项构成方程的解），代入方程，得到递推关系。

解出n a 。

得到方程的解。

注：1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。

【2】2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i ii i i ni n n i ii i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。

【3】3齐次平衡法齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。

数学物理方程教案3行波解教案标题：3行波解教学目标：1.了解波动现象的基本概念和特性。

2.理解和应用一维行波方程的解法。

3.学会从实际问题中提取并建立行波方程，并求解相关物理量。

教学重点：1.行波的基本概念和特性。

2.一维行波方程的建立与求解。

3.实际问题中的行波解的应用。

教学难点：1.提取实际问题中的行波方程。

2.求解一维行波方程。

3.利用行波解求解相关物理量。

教学准备：1.运动方程和波动方程的相关知识。

2.实际问题中的场景和数据。

教学过程：一、导入（10分钟）1.引入波动概念：请学生回顾一下前面学过的波动现象，比如声波、水波等。

2.讨论波动的特点：请学生讨论一下波动的特点，例如传播方式、速度等。

二、讲解行波的概念（10分钟）1.定义行波：行波是一种以恒定速度传播的波动现象，它的波节和波峰保持不变。

2.行波的特点：请学生列举一下行波的特点，例如传播方式、波形保持不变等。

三、推导一维行波方程（15分钟）1. 回顾一维平面波的方程：y(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。

2. 假设一维行波方程：y(x, t) = A * sin(kx - ωt)。

4. 将角频率和波速关系式代入一维行波方程，得到行波方程：y(x, t) = A * sin(kx - vt)。

四、解一维行波方程（20分钟）1.带入初值条件：请学生根据具体问题给出初值条件。

2.代入一维行波方程，求解未知参数，得到行波解。

五、应用行波解求解相关物理量（25分钟）1.振幅：请学生根据行波解的形式，提取振幅的表达式。

2.波长：请学生根据行波解的形式，提取波长的表达式。

3.频率：请学生根据行波解的形式，提取频率的表达式。

4.速度：请学生根据行波解的形式，提取速度的表达式。

5.将上述参数代入具体问题中，求解相关物理量。

六、小结与拓展（10分钟）1.总结行波解的求解思路和步骤。

第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。

中心：用行波法求解无界空间波动问题。

1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。

三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。

（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。

习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。