为中国数学学科的科学发展探索新途径——记广州大学数学与信息科学学院院长曹广福教授

曹广福实变函数范文实变函数是数学中一个重要的概念，是数学分析的基础之一、曹广福是中国著名的数学家，为实变函数的研究做出了重要的贡献。

实变函数是数学中最基本的函数类之一，它的定义和研究对于理解数学分析以及其他数学领域都是至关重要的。

实变函数是一个定义在实数集上的函数，它的定义域是实数集，值域也是实数集。

实变函数的研究主要涉及到函数的性质、连续性、极限、导数以及积分等。

曹广福在实变函数的研究方面做出了很多重要的成果。

他对实变函数的性质进行了深入的研究，提出了许多重要的定理和结论。

其中最著名的当属曹广福极限定理。

该定理描述了实变函数在一定条件下的极限行为，具有重要的理论和应用价值。

曹广福极限定理为实变函数的研究提供了重要的工具和方法，对于解决实际问题以及其他数学领域的研究都具有重要意义。

除了曹广福极限定理外，曹广福还在实变函数的连续性研究方面做出了很多贡献。

他提出了连续函数的一个重要判别定理，即实变函数在其中一点连续的充要条件是它在该点的左右极限存在且相等。

这一判别定理为连续函数的性质研究提供了重要的判据，对于解决实际问题以及其他数学领域的研究都具有重要意义。

曹广福还对实变函数的导数进行了深入的研究，提出了导数存在的一个重要条件。

他发现了导数存在的一个充要条件是函数的左导数和右导数存在且相等。

这一发现对于实变函数的导数性质研究具有重要的意义，为解决实际问题以及其他数学领域的研究提供了重要的工具。

此外，曹广福还对实变函数的积分进行了深入的研究。

他提出了积分存在的一个重要条件，即函数在区间内有界且有界变差。

这一条件为实变函数的积分性质研究提供了重要的判据，对于解决实际问题以及其他数学领域的研究具有重要的意义。

总之，曹广福是实变函数研究领域的重要人物，他在实变函数的性质、连续性、极限、导数和积分等方面做出了很多重要的贡献。

他的研究成果为实变函数的理论研究以及其他数学领域的发展提供了重要的工具和方法，对于解决实际问题以及推动数学科学的发展都具有重要的意义。

中国数学会第十一届理事会正副理事长和秘书长名单2011 年 11 月 15 日晚在成都举行的中国数学会第十一届理事会上，选举出中国数学会第十一届理事长、副理事长和秘书长，名单如下：理事长王诗宬北京大学数学科学学院副理事长席南华中科院数学与系统科学研究院陈敏中科院数学与系统科学研究院高小山中科院数学与系统科学研究院陈大岳北京大学数学科学学院陈永川南开大学组合数学研究中心程晋复旦大学数学学院信息与计算数学系罗懋康四川大学数学学院李星宁夏大学杨新民重庆师范大学秘书长张立群中科院数学与系统科学研究院中国数学会第十一届理事会常务理事名单2011 年 11 月 15 日晚在成都举行的中国数学会第十一届理事会上，选举出中国数学会第十一届常务理事会，37 位常务理事名单如下：姓名工作单位席南华中科院数学与系统科学研究院张立群中科院数学与系统科学研究院尚在久中科院数学与系统科学研究院潘建中中科院数学与系统科学研究院陈敏中科院数学与系统科学研究院曹道民中科院数学与系统科学研究院洪佳林中科院数学与系统科学研究院高小山中科院数学与系统科学研究院张纪峰中科院数学与系统科学研究院王诗宬北京大学数学科学学院陈大岳北京大学数学科学学院耿直北京大学数学科学学院肖杰清华大学数学科学系保继光北京师范大学数学科学学院郭田德中国科学院研究生院数学科学学院程晋复旦大学数学学院信息与计算数学系周风华东师范大学数学系王维克上海交通大学数学系陈永川南开大学组合数学研究中心扶磊南开大学陈省身数学研究所陈增敬山东大学李嘉禹中国科技大学数学科学学院程崇庆南京大学曹永罗苏州大学数学科学学院李胜宏浙江大学数学系林亚南厦门大学数学科学学院姚正安中山大学数学与计算科学学院陈化武汉大学数学与统计学院郭建华东北师范大学数学与统计学院于波大连理工大学数学科学学院李勇吉林大学数学学院张讲社西安交通大学理学院数学学科信息科学系张和平兰州大学数学与统计学院李星宁夏大学罗懋康四川大学数学学院杨新民重庆师范大学周家足重庆西南大学数学与统计学院中国数学会第十一届理事会理事名单2011 年 11 月 15 日在成都举行的中国数学会第十一次全国代表大会上，会议代表选出中国数学会新一届（第十一届）理事会，139 位理事（其中 7 位女理事），名单如下：姓名工作单位席南华中科院数学与系统科学研究院张立群中科院数学与系统科学研究院尚在久中科院数学与系统科学研究院潘建中中科院数学与系统科学研究院陈敏中科院数学与系统科学研究院曹道民中科院数学与系统科学研究院洪佳林中科院数学与系统科学研究院周爱辉中科院数学与系统科学研究院许学军中科院数学与系统科学研究院高小山中科院数学与系统科学研究院张纪峰中科院数学与系统科学研究院李子明中科院数学与系统科学研究院王双虎北京应用物理与计算数学研究所郭田德中国科学院研究生院数学科学学院李玉成中科院软件研究所邹大海中国科学院自然科学史研究所王诗宬北京大学数学科学学院陈大岳北京大学数学科学学院冯荣权北京大学数学科学学院耿直北京大学数学科学学院肖杰清华大学数学科学系保继光北京师范大学数学科学学院曹一鸣北京师范大学数学科学学院何书元首都师范大学数学科学学院刘兆理首都师范大学数学科学学院吴建平首都师范大学数学科学学院王术北京工业大学应用数理学院常彦勋北京交通大学史福贵北京理工大学数学学院刘铁刚北京航空航天大学数学与系统科学学院崔景安北京建筑工程学院张思明北京大学附属中学王殿军清华大学附属中学许作良中国人民大学附属中学谷丹（女）北京四中魏毅寅中国飞航技术研究院陈永川南开大学组合数学研究中心扶磊南开大学陈省身数学研究所黄正海天津大学理学院数学系赵春天津师范大学数学科学学院任奕奕（女）天津市耀华中学蒋春澜河北师范大学邓明立河北师范大学侯晋川太原理工大学数学院闫卫平山西大学数学科学学院郭世荣内蒙古师范大学科学技术史研究院杨联贵内蒙古大学数学科学学院王万义内蒙古师范大学数学科学学院于波大连理工大学数学科学学院毕建行辽宁大学数学院李勇吉林大学数学学院邹永魁吉林大学数学学院郭建华东北师范大学数学与统计学院薛小平哈尔滨工业大学数学系宋文哈尔滨师范大学数学科学学院程晋复旦大学数学学院信息与计算数学系郭坤宇复旦大学数学科学学院周风华东师范大学数学系倪明康华东师范大学数学系熊斌华东师范大学数学系徐斌艳（女）华东师范大学教育科学学院李建奎华东理工大学黄自萍同济大学数学系王维克上海交通大学数学系张寄洲上海师范大学盛万成上海大学理学院数学系黄华上海市教委教研室郭雄上海市延安中学程崇庆南京大学师维学南京大学数学系陈金如南京师范大学数学科学学院陈建龙东南大学数学系曹永罗苏州大学数学科学学院李刚扬州大学数学科学学院葛根年浙江大学数学系李松浙江大学数学系李胜宏浙江大学数学系王维凡浙江师范大学数学研究所李嘉禹中国科技大学数学科学学院陈发来中国科技大学数学院蒋威安徽大学数学科学学院林亚南厦门大学数学科学学院李永青福建师范大学数学与计算机科学学院常安福州大学数学与计算机科学学院杨健夫江西师范大学数学与信息学院朱传喜南昌大学理学院陈增敬山东大学数学科学学院吴臻山东大学数学科学学院吕广世山东大学数学科学学院耿献国郑州大学数学系王天泽华北水利水电学院陈化武汉大学数学与统计学院陈文艺武汉大学数学与统计学院张诚坚华中科技大学数学与统计学院朱长江华中师范大学数学与统计学学院刘合国湖北大学数计学院黄云清湘潭大学蒋月评湖南大学数学与计量经济学院王仙桃湖南师范大学数学与计算机科学学院王正明国防科技大学理学院刘再明中南大学数学科学与计算技术学院姚正安中山大学数学与计算科学学院乌兰哈斯汕头大学曹广福广州大学数学与信息科学学院吴敏（女）华南理工大学理学院数学系丁时进华南师范大学数学科学学院韦增欣广西大学数学与信息科学院吴佃华广西师范大学数学科学学院尹建华海南大学信息科学技术学院数学系张诚一海南师范大学罗懋康四川大学数学学院张伟年四川大学数学学院黄廷祝四川电子科技大学数学科学学院何诣然四川师范大学数学与软件科学学院杨新民重庆师范大学周家足西南大学数学与统计学院李扬荣西南大学数学与统计学院穆春来重庆大学数学与统计学院韦维（女）贵州大学理学院伍鹏程贵州师范大学李永昆云南大学数学与统计学院房辉昆明理工大学娄源冰西藏大学李孝裕西藏自治区拉萨中学赵彬陕西师范大学彭济根西安交通大学理学院张讲社西安交通大学理学院数学学科信息科学系刘三阳西安电子科技大学理学院郭真华陕西西北大学数学系聂玉峰陕西西北工业大学理学院应用数学系张和平兰州大学数学与统计学院刘仲奎兰州西北师范大学李星宁夏大学韩惠丽（女）宁夏大学数学计算机学院李春光北方民族大学数值计算与工程应用研究所郭翀琦（女）青海大学基础部冶成福青海师范大学数学系滕志东新疆大学数学与系统科学学院黄琼湘新疆大学数学与系统科学学院转载于新浪博客/s/blog_752c91b80100vx8v.html 转载于中国数学会/cms/index.htm。

问题驱动的高中数学教学方法研究作者：唐睿来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第09期【摘要】怎样上好一堂数学课？广州大学曹广福教授曾提出问题驱动一说，问题是数学的核心，是推动数学发展的动力。

通过数学学习学会用数学的眼光观察问题、用数学的头脑思考问题以及用数学的方法解决问题，这才是数学教育之本质。

南京师大附中陶维林教授也曾提出问题启发一说，问题是数学的心脏，在教学中教师最主要的任务就是提出问题，以及引导学生提出问题。

教师最重要的也是最困难的，就是提好——问题，提——好问题。

孔子的启发式仍然是最好的教学方法，没有问题就没有启发。

本文将从曹教授问题驱动这一概念背景下，来探讨高中数学即包括知识教学也包括解题教学的教学方法。

问题有两类，第一类是关于知识教学的，即“是什么”和“为什么”的问题；第二类是关于怎样解题的，即“怎么做”和“怎么想”的问题。

知识教学和怎样解题的教学，这是数学课堂的两大基本任务。

数学课堂就是通过这两大基本途径来帮助学生学会数学地表达以及数学地思维的。

希望通过对数学教材和高考试题的深入研究，而不至于使得这种探讨变得空洞。

但考虑到篇幅，将其放到本文的附录部分中。

【关键词】问题驱动高中数学教学方法【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）09-114-02一、谈数学知识（即核心概念和原理）的教学方法我们把数学知识分为概念性知识和原理性知识，除了概念性知识，其余的诸如数学的公理、定理、公式、性质、法则、步骤、方法等都统归为原理性知识。

原则（一）固本浚源：既要知道“是什么？”更要知道“为什么？”曹广福教授认为，数学课堂的灵魂是思想，缺少思想的教育不是教育，而是知识与技能培训。

知识本身不是终极目标，知识只是一种思想载体，是思想外化的表现。

在他看来，课堂教学不能拘泥于教材，任何一门理论的产生都离不开思辨，要增强课堂的弹性。

首先，数学知识的教学需要多质疑“是什么”的问题，这叫求知。

科学网首页篇一：科学网曹广福说课系列说课—微积分有一个牛曹大侠还是敢吹的，我听过的课比大多数教师都多，要说一百个老师有一百种不同的讲课风格并不为过，如何评价一个教师的课？尽管我们有课堂评价指标体系，但坦而言之，仅靠那指标体系打出来的分数很多不靠谱，所以有些老师对学生评课的分数不屑也是情有可原的，但课堂的确有好坏之分。

最近听了一节课，严格说来只有十分钟左右，因为课堂进行到十分钟时被我打断了，“课”结束了，再讲下去也就那样，曹大侠怎如此霸道地剥夺了人家讲课的权力？别激动，仅是试讲而已。

我忽然有了一种想写出来的冲动，因为一直有人对讲课不以为然，觉得博士、教授怎会连一节课都讲不好？嘿嘿，还真不见得，哪怕你是著名研究院的博士或者名牌大学的教授，很难说你的课就一定讲得好。

试讲者讲的是极值问题，主要介绍费马定理，他是这样开场的：今天我们要介绍费马定理，费马定理有两种，一个是费马大定理，即X^n+Y^n=Z^n在n?3时没有整数解…（主讲者简单介绍了一下费马，不过介绍不到位），不过我们今天要介绍的是费马定理，不是费马大定理。

先来介绍一下概念（接着主讲者画了个函数图像，写下了极大值、极小值的概念）。

费马定理是说：如果函数y=f(x)在点x_0的邻域内有定义，且在该点可导，则当函数在该点有极值时，有f’(x_0)=0。

主讲人写了“证明“两个字并开始边讲边写证明过程，等到证明快要讲完时被我打断了。

我问了几个问题：“你在一开始讲费马大定理与后面的内容有什么内在联系？其次，如果我是学生，我自然会产生这样的疑问，你为什么要定义极值？你怎么知道有费马定理的？”接着我对他说：“如果是我来讲，我可能会这样讲：现实中常常碰到求最大值与最小值的问题，例如木工要将一个圆柱形的木头锯成抗弯强度最大的矩形梁，该怎么锯？市场上，商家总是追求利润最大化，但并非价格越高利润越大，因为价格提高，销量就会减少，如何确定合适的价格使利润最大？反映到数学上来，就是求函数的最大值或最小值。

说课—微积分有一个牛曹大侠还是敢吹的，我听过的课比大多数教师都多，要说一百个老师有一百种不同的讲课风格并不为过，如何评价一个教师的课？尽管我们有课堂评价指标体系，但坦而言之，仅靠那指标体系打出来的分数很多不靠谱，所以有些老师对学生评课的分数不屑也是情有可原的，但课堂的确有好坏之分。

最近听了一节课，严格说来只有十分钟左右，因为课堂进行到十分钟时被我打断了，“课”结束了，再讲下去也就那样，曹大侠怎如此霸道地剥夺了人家讲课的权力？别激动，仅是试讲而已。

我忽然有了一种想写出来的冲动，因为一直有人对讲课不以为然，觉得博士、教授怎会连一节课都讲不好？嘿嘿，还真不见得，哪怕你是著名研究院的博士或者名牌大学的教授，很难说你的课就一定讲得好。

试讲者讲的是极值问题，主要介绍费马定理，他是这样开场的：今天我们要介绍费马定理，费马定理有两种，一个是费马大定理，即X^n+Y^n=Z^n在n≣3时没有整数解…（主讲者简单介绍了一下费马，不过介绍不到位），不过我们今天要介绍的是费马定理，不是费马大定理。

先来介绍一下概念（接着主讲者画了个函数图像，写下了极大值、极小值的概念）。

费马定理是说：如果函数y=f(x)在点x_0的邻域内有定义，且在该点可导，则当函数在该点有极值时，有f’(x_0)=0。

主讲人写了“证明“两个字并开始边讲边写证明过程，等到证明快要讲完时被我打断了。

我问了几个问题：“你在一开始讲费马大定理与后面的内容有什么内在联系？其次，如果我是学生，我自然会产生这样的疑问，你为什么要定义极值？你怎么知道有费马定理的？”接着我对他说：“如果是我来讲，我可能会这样讲：现实中常常碰到求最大值与最小值的问题，例如木工要将一个圆柱形的木头锯成抗弯强度最大的矩形梁，该怎么锯？市场上，商家总是追求利润最大化，但并非价格越高利润越大，因为价格提高，销量就会减少，如何确定合适的价格使利润最大？反映到数学上来，就是求函数的最大值或最小值。

本次活动，所有选手都非常重视，赛前一个月都在精心准备．有些选手将高中必修教材的每一节课都认真背了一遍，甚至将每一节课的三维目标都牢记于心．还有选手从网上下载说课模板并背熟，无论抽到哪一节课都能套模板进行说课．部分选手赛前一宿没睡，有看书的，有背诵模板的 ．比赛结束后，选手们如释重负，立即打包回校．有些选手说：无论成绩好坏，终于可以好好休息了，以后再也不参加这种比赛了，太折磨人了！ ．思考㊀在能手评选活动中，教师们以各种形式关注㊁参与，对增强教学研究氛围㊁提高教研水平㊁提升教师教学业务能力等都有很大的促进作用．大赛既展现了参赛教师的教学风格与水平及对课程与教材的理解和教师教学理念，又反映了教师所在学校的校本教研状况．一节赛课，需要教师在日常教学实践中注重研究课程标准与教材，分析学生的知识结构与认知规律，科学有度地创设情境，在学生认知冲突中提出问题，围绕学生自主建构生成课堂教学行为，注重让学生经历体验知识的发生㊁发展㊁形成过程，培养学生积极的情感㊁态度与价值观［２］．在长期积累㊁反思，不断打磨与改进自己课堂教学实践的过程中，树立正确的学生观与教学观，注重自身专业发展与提升，结合自身的特长确立属于自己的教学风格，真正做到这些的教师就不必在赛前兴师动众㊁彻夜思索，精彩也会在不经意间生成．参考文献［１］㊀刘聪胜，汪仁林．这样的课堂高效吗？［Ｊ］．中学数学杂志，２０１３（１１）．［２］㊀汪和平．例谈数学教学中的轻与重［Ｊ］．中学数学教学参考（上旬），２０１２（６）．作者简介㊀刘聪胜，男，陕西省旬阳县人，中学数学特级教师，陕西省首批名师工作室主持人，陕西省跨世纪三五人才．陕西省咸阳市教育教学研究室副主任；咸阳市教育学会副会长兼秘书长；咸阳市数学学会副理事长．从事中学数学教学及研究工作三十多年，发表论文六十余篇，主编教辅用书三十余本，主持教育教学研究课题十余项，其中两项获陕西省教育厅基础教育科研成果一等奖，三项分获二㊁三等奖．课堂信息对学生思维影响研究 基于曹广福教授‘基本不等式“一课的视频分析天津师范大学教师教育学院㊀㊀３００３８７㊀㊀韩㊀倩㊀㊀曹广福教授为首届（２００３年）百名国家级教学名师之一，现为广州大学数学与信息科学学院院长，长期从事基础数学及运筹与控制研究工作，在国内外有重要影响的期刊上发表了大量论文，主持过国家自然科学基金㊁教育部博士点基金㊁教育部骨干教师资助计划等多项国家级与省部级科学研究基金项目．并且连续主持了三届国家级创建名牌课程项目，及省㊁市级精品课程建设项目，主编国家 十五 ㊁ 十一五 规划教材，２０１４年获得首届国家基础教育教学成果二等奖．２０１４年年底，广州市教育局决定，分别授予广州大学数学与信息科学学院院长曹广福教授㊁执信中学何勇校长为 广州市教育名家工作室 主持人．高校名教授与中学特级教师即可共同开展课堂教学研究，这在全国尚属首创，并开创了高校与中学教研紧密结合的先例．曹先生受邀参加广州执信中学同课异构的交流活动，就高中数学 基本不等式 进行了课例的示范，深受大家的好评．培养学生的数学思维能力，是当代教育改革的核心问题之一，而将思维学㊁信息论与数学教育结合起来的研究却少之又少．徐利治先生曾开展数学教育研究要重视跨学科研究［１］．曹先生 基本不等式 的课例，彰显了思维与信息的关系定理的内涵．本文简介思维与信息的三个相关定理，并分析这些定理在曹先生 基本不等式 教学中的体现与运用效果．１㊀信息的概念与三个基本定理所谓信息，是指可获得某种事物认识的内容．田运先生根据信息结构划分，将信息分为饱和信息㊁含熵信息㊁空壳信息㊁黑洞信息［２］．发出的信息中携载了信源含有的全部信息量则称为饱和信息，而含熵信息则是不饱和信息，空壳信息是没有熵也没有信息量的信息，黑洞信息则是全是熵㊁但没有信息量的信息［３］．思维信息论有三个基础性定理，简单的说，思维与信息相关第一定理可以表述为：在意识对信息的消化作用大于意识对信息的抑制作用的条件下，思维的过程状态完全取决于可触信息的信息量和起作５１用的方向；思维与信息相关第二定理表述为：解释的性质取决于解含信息与信息度（适合的信息内容与适合的信息数量）的符合程度（或偏离程度）；思维与信息的第三定理表述为：主体的思维性质取决于收受信息具有何种结构［４］．２㊀‘基本不等式“关于三个定理的体现２．１㊀思维与信息相关第一定理的体现世界上存在着数以万计的信息，其中对思维主体能够发生作用的只有一小部分，若教师在课堂中不能以语言或行动引起学生注意，学生意识就会起到抑制信息作用，从而不能引起学生的思维认知过程，教学效果则会大打折扣．而在曹广福教授的这一课中，课堂开始时他说道：很高兴能有这个机会给大家上一节课，不过说心里话，我站在这个讲台上心里是十分忐忑不安的，并不是说在座有很多老师我感到紧张，反正我这人脸皮本身比较厚，不会因为这个紧张．我紧张有两个原因，一个是我们在座的同学都是这个年级最优秀的同学，第二个呢，我已经差不多３０年没站在中学的课堂上，心里很没谱，所以需要同学们给我信心，我们大家一起来共同探讨好这节课．这样的开白场，曹教授把自己放在了一个十分谦虚的位置，给学生以下几点信息：第一，老师是非常紧张的，以引起学生注意；第二，同学们都是很优秀的，以增强学生的自信心；第三，老师需要同学来给以信心，以增强学生对本节课的重视度，提升听课效率． 共同探讨 一词更是谦虚地把学生的学习热情带动起来．以上信息都旨在提升学生对本节课的关注，使学生将意识集中到课堂学习中来，从而使后期的知识信息能尽可能多的成为可触且易消化的信息．这同思维与信息相关第一定理表述的是一致的．只有尽可能多的给予学生可触信息，才能使学生意识具有消化作用，激发起学生对于课堂新知的学习兴趣．我今天要和大家一起探讨的问题是 基本不等式 ．大家已经学过很多不等式了，我相信大家一定很清楚，不等式用来干什么？除了用来考试，它还能干什么？（停顿）一个是用来比较，还有一个是用来估计．我们知道一个函数通常是在一个范围内变化的，随着自变量发生变化，函数值也会跟着发生变化，就是说在这范围内它会出现很多的量，在各种不同量的比较中，有两个量是比较特殊的，大家知不知道是哪两个量？曹老师用了一分钟的时间回顾了不等式所学过的应用范畴，提出了一个问题，通过更具体的提问引导让学生回答出我们研究不等式是解决最大值和最小值问题，而对于这个问题的思考，同样也是用了一分钟的时间．当然这两个一分钟所要表达信息的重要程度以及学生所获得的信息类型是截然不同的，前一分钟的信息为饱和信息，而后一分钟信息会造成学生的认知冲突，是含熵信息，更容易引起学生意识的消化作用．为了达到教学目的，教师首先必须想方设法使自己的教学能够最大限度地吸引学生［５］．通过曹老师课堂的开场白我们了解到，适当的提问㊁停顿㊁自答都可以给予学生一定的可触信息，引起其意识的消化作用，特别要抓住学生心理，将其吸引到课堂中来，才能使本节课的学习更为高效，比如精彩幽默的语言，挥洒自如的教态，得体的仪表，亲切的话语，热情的鼓励，信任的目光等．２．２㊀思维与信息相关的第二定理的体现人总是通过自己头脑中的某种思想框架来消化信息的，解释就是一定的思想框架对一定的信息的消化结果［６］．所以在教学过程中，即使适当引入了情境及问题串启发学生，也是需要教师对所提出的情境及问题进行适当解释．在曹教授的课堂中，关于函数中两个最重要的量是最值这一问题，曹教授解释道： 最大值最小值问题大家在前面其实已经碰到过，再讲二次函数的时候肯定碰到过，对二次函数进行配方，在配方之后，这个完全平方是非负的，甚至是一个正的，所以把它给省掉，这样就可以把自变量给消失掉，最后解得到一个常数，在验证这个常数能不能得到．但实际上最大值最小值问题，它所出现的函数类型是各种各样的，不一定仅仅是二次函数，实际上最大值最小值问题，从古希腊到今天已有一千二百年历史，一直是数学的一个非常重要的问题，它也是自然科学非常重要的问题．实际上数学就是自然界中一种抽象的印象，所以很多自然科学中的问题和数学是平行的，把它抽象出来就变成数学问题了，在整个数学发展的历史长河中，有一门学科堪称最伟大的发明创造，叫微积分，而促使微积分产生并促使它发展的一个很重要的问题，就是最值问题．由此可见最大值最小值问题在我们的自然科学以及我们的数学领域，他充当了一个多么重要的角色．较长的一段解释，旨在说明函数最值的重要性，也说明了不等式问题应结合函数的最值问题来解决．我们应如何去界定这个解释是否适合，并没有一个定论，不同的对象㊁不同的解释有不同的信息数量．思维与信息的第二定理告诉我们，解释的性质取决于解含信息数量与信息度的符合程度（或偏离程度）．在曹教授的上述解释中以微积分的发明创造指６１出不等式的重要地位，引起学生对后续学习的积极性，可见上述解释是适合的．在将不等式问题归为函数的最值问题之后，曹教授给出如下的情境信息：思考１㊀你家建别墅时还剩下些材料，你打算使用这些剩余材料在别墅旁边依着墙壁修一个高度一定的矩形狗窝，若你剩余的材料可以修一个长为Ｌ的围墙，请问如何修建可以获得最大面积的狗窝？该问题实质为二次函数的最值问题，我们设面积为Ｓ，狗窝与别墅墙壁平行的那一侧长为ｘ，则有Ｓ＝ｘ（Ｌ－ｘ）２＝１２（ｘＬ－ｘ２）＝１２［－（ｘ－Ｌ２）２＋Ｌ２４］ɤＬ２８．对于二次函数的最值问题，我们可以通过配方法进行伸缩变换．这是学生已知的情境及解决方法，此时曹教授提问道，对于不是二次的问题，又要如何解决．而对于新课的引入，曹教授并未更改情境，同样的情境下，只是反过来问．思考２㊀你家建别墅的材料用完了，没有准备好修建狗窝的材料，现在你计划依着墙壁修建一个面积为Ｓ的矩形狗窝，你已选中建狗窝的材料，狗窝的高度也确定了，如何以最小的成本建成这样的狗窝？情境未变，只是把已知和求解反过来，就化成了新课要解决的问题．设狗窝与别墅墙壁平行的那一侧长为ｘ，周长为Ｌ，则Ｌ＝ｘ＋２Ｓｘ，该式不是二次函数，求该式的最值启发学生同思考１中信息结合起来，从而学生想到可以把ｘ（ｘ＞０）写成ｘ２的形式，进而应用二次函数配方法求最值解决，这样学生便主动找出新问题的解决办法，锻炼了思维能力．其中更值得注意的是，对于思考２中的式子，是由某学生上台板书出来的，其通过思考１中的信息，自己找到了解决基本不等式的方法．这就是曹教授成功之处，他像是一位向导或协助者，通过思考１及对函数最值信息的解释，引导启发学生思维．对于上台板书的同学获得的信息是含熵信息，使得她研究后续问题时能够主动联想到已有信息，从得获得正确的探究问题的思路．而后，曹教授对学生板书的式子进行了解释和修正，这里解释信息以使全班同学对于基本不等式的提出都能清楚明了，当然是合理且必要的．２．３㊀思维与信息相关第三定理的体现该课例思考１中信息为饱和信息，关于思考１的不确定性已在思维中全部消除，思考２则是给予学生含熵信息，学生必然努力去寻求更多的信息以消除不确定性，通过对思考１中信息的再思考，想到配方法求最值问题，自己找到解决新问题的方法．而后追随学生的思路，曹教授给出ａ＋ｂ＝ａ２＋ｂ２ʃ２ａｂ∓２ａｂ＝（ａʃｂ）２∓２ａｂ配成完全平方式之后，平方部分是大于等于零的，于是该式大于等于平方后面部分，这时再看学生板书的式子，大于等于一个负数对于我们的研究是没有意义的，所以得到基本不等式为ａ＋ｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂȡ２ａｂ在已知了基本不等式之后，曹教授并没有立刻给出练习，而是对基本不等式的结构进行分析： 这个不等式看起来并不难，刚才我们用配方法证明了它的正确性，但其实呢，数学中代数与几何是相通的，通常我们会把几何问题代数化（如解三角形），同样也可以将代数问题几何化，那么同学们课下可以运用几何的方法将这个基本不等式进行证明一下（教师指导了思路）．接下来我们来分析一下这个基本不等式变形的结构ａ＋ｂ２ȡａｂ（ａ＞０，ｂ＞０），它反映了什么关系？学生沉默，曹教授引导：大家应该对不等式前面的ａ＋ｂ２不陌生，很容易在生活中找到这样的例子． 学生轻声说道 平均数． 对，就是算术平均，它是一个集中量数（比如考试成绩的平均分），ａｂ呢？我们称之为几何平均，几何平均通常用在比率以及平均增长速度中，（教师举例子求ＧＤＰ的平均增长速度）．所以这一个简单的不等式它沟通了两个正因子的和与积的不等关系，将积与和之间架起了桥梁，方便了我们的估计运算．既然两者之间可以相互转化，那么同学们可以对第一个问题Ｓ＝ｘｙ＝ｘ（Ｌ－ｘ）２试着将积化为和看能不能求出最值． 接着教师总结 所以当我们再遇到积与和的形式的问题时，我们就可以通过基本不等式将两者进行相互转化，目的是为了做估计或者是求最值问题，这就是这个基本不等式的最大用途． 基本不等式结构的分析，学生对基本不等式的理解更加深刻，并对它的用途及方法更加清楚明了．７１从以上教学过程中可以看出，课堂中信息的作用是渗透到教学的每一个细小环节的，教师给予学生不同的信息结构，会使学生产生不同性质的思维，这同思维与信息相关第三定理是吻合的．一堂高质量的数学课，不仅是知识的传授，更要尽可能地启发学生的数学思维，这就要求教师在不同的授课阶段给予学生不同的信息，新知识的讲授不仅仅是定义㊁定理㊁公式的累积，而应使学生在学习新知识的过程中产生与已有知识信息的认知冲突，激发其探索精神，主动寻求信息以消除不确定性，从而思维得到训练，知识得到扩展，更对知识的本质加深理解．３㊀小结数学是思维的科学［７］，高效的数学教学是在活跃的思维中积极主动的数学知识生成，是在独立思考基础上的数学学习，形成与贯穿理性质疑㊁批判性思维和探究创新性的活动过程［８］，教师课堂信息对学生思维活动起着至关重要的作用．首先教师所提供信息应使学生将意识集中到课堂学习中来，从而使后期的知识信息能尽可能多的成为可触且易消化的信息；新课的引入方式不拘一格，其目的都是对新课的引导和推进；进而课堂中适当的提问㊁探究及讨论，都是可以使学生产生认知冲突的含熵信息，使学生努力去寻求知识或通过已知消除未知，激发学生主动思考；课堂中的教学过程应符合人类的认识规律，才能使学生在活跃的思维中积极主动的生成数学知识．总之，思维与信息是相关的，遵循信息与思维的相关定理，在任何的教学模式下都是激发学生思维的重要途径．参考文献［１］㊀徐利治，王前．数学哲学㊁数学史与数学教育的结合数学教育改革的一个重要方向［Ｊ］．数学教育学报，１９９４，３（１），３－８．［２］㊀田运．信息与思维［Ｍ］．福建教育出版社，１９９３．［３］㊀田运．思维信息论概说［Ｊ］．求是学刊，１９９０，１，２０－２３．［４］㊀田运，思维信息相关理论［Ｊ］，江汉论坛，１９９０，２．［５］㊀张奠宙，宋乃庆．数学教育概论［Ｍ］．高等教育出版社，２００５．［６］㊀田运．思维科学［Ｍ］．浙江教育出版社，１９８８，１０．［７］㊀单墫．数学是思维的科学［Ｊ］．数学通报，２００１，（６）：封１－２．［８］㊀乔希民，李军庄．基于促进学生高效学习的数学课堂教学行为研究［Ｊ］．数学教育学报，２０１０，１９（５），８４－８６．阅读与教研功力的修炼华东师范大学第二附属中学㊀㊀２０１２０３㊀㊀任念兵㊀㊀当职初教师数年，经历了熟悉教材内容㊁熟悉教学方法㊁关注学生学法的过程，站稳了讲台之后，也就在教师专业成长过程中逐渐从 求生存 进入 谋发展 的阶段．作为中学数学教师， 谋发展 的基本形式自然是立足于教学实践进行教学研究，包括学习和反思两大方面．先贤对学习和反思两者之间的辩证关系有过精炼的表述 学而不思则罔，思而不学则殆 ，相对而言， 学 侧重指功力， 思 侧重指见识，功力的深浅㊁见识的高低正是对学习㊁反思效果的度量．何谓 功力 ？阅读是学习的重要形式，因此，一般情况下，功力就是你在读书上所下功夫的多少深浅，这当然需要长时间的日积月累．何谓 见识 ？是对问题的认识㊁观点和见解，一般通过教研论文的写作加以呈现．见识的表达需要功力，功力的深浅以见识的高低来体现，功力和见识都需要不断地积累．笔者在文［１］谈了教研见识的表达 写作，本文则谈谈教研功力的修炼 阅读．教研功力的修炼可以通过多种形式的学习来实现，笔者撇开其他形式，专挑文献阅读作为教研功力修炼的参考维度，主要是基于下面的几点考虑：其一，虽然通过日常教学实践（包括听课㊁上课㊁听报告㊁与同行交流等）可以获得直接经验，但青年教师在实践中积累的教学经验往往很有限；而通过阅读则可以获得前人总结的大量教育教学经验，这些间接经验将弥补自身直接经验之不足．因此，阅读是教师尤其是青年教师积累经验㊁学习提高㊁专业成长的重要途径．其二，即使是课例研究等教研形式，也需要文献阅读的辅助．顾泠沅先生与他的研究团队总结了教师专业成长的新范式，指出三个关注（自我经验㊁文献见解㊁学生收获）和两次反思（更新理念㊁改善行为）的课堂改革经验，无一例外是教师专业成长的捷径．上海市著名语文特级教师于漪的 三次备课 经验，作为在课堂拼搏中学会教学的典型案例，引起了一线教师的广泛共鸣，所谓 同一篇课文三次备课８１。

２０２４年第１期 现代大学教育 管理经略基金项目：２０２３年度国家社会科学基金一般项目“青少年数字风险的生成机理及治理路径研究”，项目编号：２３ＢＳＨ１２２。

收稿日期：２０２３－０８－０８作者简介：罗儒国（１９７８—），男，湖南常德人，教育学博士，华中师范大学教育学院副教授，从事课程与教学论、教师教育研究；武汉，４３００７９。

Ｅｍａｉｌ：ｌｕｏｒｕｇｕｏ＠１６３ ｃｏｍ。

教师数字化教学的知识风险：典型表征与化解进路罗儒国摘　要：在迈向教育数字化转型的新阶段，防范与化解教育教学风险成为教育领域关注的重要议题。

大数据、人工智能等数字技术为教师数字化教学中的知识获取与存储、选择与组织、传递与共享带来新的机遇，有效满足了教师对知识教学、知识管理与创新的现实需求，同时也给教师数字化教学带来潜在的知识风险。

这些风险表现为知识碎片化与知识鸿沟风险、知识离身化与知识错觉风险、知识侵权与知识破损风险、知识浅薄化与知识惰化风险、知识圈层化与知识粘滞风险等多重样态。

教师数字化教学知识风险的形成既有教师核心素养欠缺、数字化教学风险治理机制缺位等原因，也有技治主义僭越、知识不确定性与管理缺失等诱因。

教师数字化教学知识风险的防范与化解需要：重塑教师的知识观念与角色，培养数字风险素养；创新学校教育治理体制，提升数字风险治理能力；优化社会知识管理范式，构建知识风险协治机制；加强技术伦理规约，搭建优质知识服务平台。

关键词：教师；教育数字化；数字化教学；知识风险；数字风险素养；知识管理；风险治理中图分类号：Ｇ４０－０５８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１－１６１０（２０２４）０１－００８９－１１ 大数据、人工智能等数字技术引发经济结构与社会形态的重大变革，深刻改变了人类的思维、工作、学习和生活方式，将人们带入一种全面数字化的生存状态。

在数字化时代，知识既是数字社会经济发展的关键战略资源，也是培养学生的重要手段，更是教师数字化教学的关键资本。

【编者按】本刊2020年第8期刊登了沈威和曹广福两位老师的《中学数学课题式教学概述》一文，阐述了"中学数学课题式教学”的含义、逻辑起点、根本动力和基本环节。

课题式教学类似于问题驱动的教学、研究性学习等，并非新鲜概念&两位老师提出这一概念，强调的重点不是探究学习、思考操作、交流讨论的热闹教学形式，而是深入数学发展史，寻找促使理论知识产生的本原性问题及其派生性问题，引导学生通过分析与解决问题，把课程当课题来研究，完成数学的“再创造”本期刊登“中学数学课题式教学”一篇课例文章。

“直方图”课题式教学设计研究"沈威!，曹广福2+.惠州学院数学与统计学院，5160070.华南农业大学数学与信息学院，510642）摘要:直方图作为一类特殊的统计图，联系着离散型统计变量与连续型统计变量;作为重要的数据分析工具,被普遍运用于解决各类现实问题。

人教中数学教材“直方图”内容的编写存在没有凸显数分布直方图的必要性、没有自然地画出频数分布直方图等问题。

由此，尝试基于中学数学课题式教学的理念设计“直方图”的教学：以学生的生活现实和数学现实为基础，围绕促使理论知识产生的一系列问题，引导学生研究体育比赛的成绩数据，通过问题的发现与提出、分析与解决，完成数学的“再创造”。

关键词:课题式教学数学思想科学人教版教材直方图“直方图”是初中数学“统计与概率”领域的重要内容。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对其的教学要求是“通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息”,而对“统计与概率”领域的教育价值定位为培养学生的数据分析观念。

那么，“直方图”的教学如何较好地体现课程标准的要求？我们首先分析直方图蕴含的数学思想和科学价值，然后剖析人教版教材“直方图”内容的编写，最后尝试基于中学数学课题式教学的理念设计“直方图”的教学。

―、教学内容分析教学内容分析是教学设计的重要基础。

数学概念教学中创设问题情境的类型作者：崔宝蕊来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第04期【摘要】数学概念是数学学习的基础，在数学教学中具有关键地位.概念的建立不可能一蹴而就，需要一个心理加工的过程，这就为概念教学带来了困难.情境化的概念教学，为学生学习数学概念提供了缓冲的时间，是一种有效的教学途径.基于曹广福教授《变化率与导数》一课，结合实际教学内容，分析概念教学中创设问题情境的类型.在概念教学中，发现可以创设日常生活问题情境、学科问题情境、数学问题情境.【关键词】概念教学；问题情境；教学途径曹广福教授为首届（2003年）百名国家级教学名师之一，于2014年获得首届国家基础教育教学成果二等奖，2015年又成为国家“万人计划”中的百名教学名师中一员.作为国家级教学名师，面向中学生讲授课程是不多见的.曹教授面向中学生所讲的《变化率与导数》一课，采用丰富新颖且多样化的教学内容，以一种利于学生理解的教学方式，成功地突出这一课的重点，并化解难点.《变化率与导数》一课的内容位于人教版选修教材11和选修22.教材通过实际背景和具体应用的实例，引入导数的概念，借助气球膨胀率、高台跳水等实际问题，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识到瞬时变化率就是导数.然而，由于教材中所选择的实际问题已经渐渐脱离学生的日常生活，教师直接采用教材中的教学内容，往往无法达到预期的教学效果.实际问题的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用.如果所选的实际问题无法引起学生的兴趣，带动学生的思考，就无法使学生理解，甚至阻碍学生的理解，这样的实际问题便形同虚设.曹广福教授以其丰富的学识，以及对导数深刻的认识，采用多样化的教学内容，创设大量的问题情境，巧妙地解释了平均变化率、瞬时变化率、以及导数的思想与内涵.借助问题情境进行概念教学，创造出另一种有效的教学途径.目前，有关概念教学和问题情境的研究较多，例如，《数学概念教学应该帮助学生形成七种数学观念》[1]提出，数学概念教学要培养学生状态变换观念、本质结构观念、时空坐标观念、依存关系观念、系统集合观念、量化测度观念、无穷逼近和极限观；《GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究——以导数概念为例》[2]基于APOS理论，借助GeoGebra软件设计数学概念教学；《概念多元表征的教学设计对概念学习的影响》[3]指出直接学抽象的数学概念是很困难的，用数学概念的多元表征学习数学概念是一种新理念和策略.《数学“情境——问题”教学对数学探究学习的思考》[4]指出“情境——问题”教学的积极作用；《创设数学问题情境应关注的几个关系》[5]提出创设情境过程中应关注5组关系：形式和内容，预设和生成，同一性与多样性，生活化与数学化，继承和创新；《小学数学教材中情境的类型及作用与原则》[6]指出小学教材中情境的类型，情境对小学生数学学习的作用，以及情境创设的原则等等.然而，这些研究关注的只是概念教学或问题情境教学的其中之一，本文试图将二者结合，在概念教学中创设问题情境.相关研究[7-10]分别围绕概念教学中创设情境的意义和注意问题；创设情境的主要方式和原则；问题情境与数学概念教学的关系；以及创设数学概念形成问题情境的方法等方面进行了思考，但是对概念教学中，创设问题情境的类型尚未详细介绍.本文以概念教学为背景，基于曹广福教授的《变化率与导数》一课，对问题情境的类型进行初步研究.1日常生活问题情境曹教授所创设的问题情境可以划分成三种类型.第一种为生活情境，即从日常生活中挖掘问题.数学情境是校外数学走向学校数学的中介[11]，就教学而言，从学生的生活经历出发，依据学生的日常体验发现问题，是一个非常好的教学角度.与生活相关的情境，尤其是学生每天亲身经历的事情，可以减少学生对复杂问题的距离感.在《变化率与导数》的引入过程中，问题1和问题2都与学生的生活息息相关.问题1你的朋友从东莞开车去深圳，与此同时，你从广州开车去深圳，理想状态下，速度是均匀的（但是实际上是不可能的，路况比较复杂，一会快，一会慢，因此假设是理想状态，两人匀速）.你花了两个小时十分钟，你的朋友比你提前一个小时到，你能由此断定谁比谁快吗？交流片段一师：速度不仅和时间有关，还和距离有关.假设从广州到深圳的距离是s1，从东莞到深圳的距离是s2，你花的时间是t1，你朋友花的时间是t2，在匀速直线运动下，速度分别是多少？生：v1=s1t1，v2=s2t2.师：但是实际路况比较复杂，你在不同时段行驶的速度是不同的.假设你在t1时刻到了s1的位置，在t2时刻到了s2的位置，这个时候，你在t1时刻到t2时刻的这个时间段里，你行驶的速度是多少？生：v=s2-s1t2-t1.师：这个比值就是你在这个时间段的速度，这个就叫变化率.假如说这个分母实际上正好是单位时间，比如说一小时，一分钟，一秒钟，这个时候比值就是路程的差.所以我们在物理上定义速度的时候，也可以这么讲：在单位时间内，一个物体走过的路程就是速度.但是通常实际问题中，自变量的改变量未必是一个单位，而可能是若干单位，这个时候，在自变量改变的范围内，函数值改变了多少？函数值关于自变量的变化率又应该如何刻画？师生共同：假设自变量x从x0变到x1，而函数值f（x）从f（x0）变到f（x1），这个时候，比值f（x1）-f（x0）x1-x0就是变化率.问题2在一个寒冷的早晨，你爸爸开车送你上学，由于交通拥堵，路况复杂等原因，一路走走停停，好不容易将你按时送到学校，为了报答你爸爸送你上学时的辛苦，请你用数学方法描述一下你爸爸送你上学时的状况.提示：汽车行走涉及哪些因素？（1）能不能用牛顿定律描述路程、速度与时间的关系？为什么？（2）汽车在任意时刻的速度有没有发生变化？假如时间间隔很短，速度的变化会不会很大？如何描述在某个很短的时间间隔内汽车的平均速度？（3）如何描述汽车在任意时刻的速度？交流片段二师：把我们生活中出现的问题，用数学的方法表示出来的同时，要清楚数学上的模型和生活中的问题是有误差的，不是精确的表达方式，是一个大概的表达方式.换句话说，影响你爸开车速度的因素很多，但是真正有关的最主要的因素是什么？生：速度和时间.师：比如路变窄，或者有很多车，主要影响的还是你的速度和时间，我们在讨论这类问题的时候，通常是首先假设一个关键的变量，比如说，我们假设路程和时间有关.s=s（t），另外速度是在变的，题目中说的很清楚，由于交通拥堵，一路走走停停，速度是不断变的，速度也和时间有关v=v（t）.实际上，如果速度发生变化，你想想看，这意味着什么？你们学过物理的牛顿三大定律.生：加速度.师：实际上还有一个加速度，它和时间有关系a=a（t），所有的这些量都和时间有关，而且随着时间不断变化.我们刚才说，你朋友从东莞到深圳，你从广州到深圳，我们是做了一个假设，你假设在这条路上我是匀速行驶，但实际上是在变的.大家想想看，一开始汽车是静止的，然后你爸开始发动汽车，然后汽车行走，从静止状态到开始行走，这个中间是有加速度的.速度是在变化的，但是这个变化是突然变化吗？还是渐渐变化的？生：渐渐变化.师：我们可以用刚才的比值s（t2）-s（t1）t2-t1得到平均速度.现在要想求他在每一时刻的速度是多少？这要怎么算？我们刚刚有一句话很重要，这个速度不管快慢，它是渐渐变化的，就是说，当时间间隔很短时，它的变化会很大吗？生：不会很大.师：比如1秒到11秒这个时间段之间，这时速度变化不会很大.就是说，当t2和t1的时间很接近时，这个式子（比值）就非常接近t1时刻的速度.你们觉得这个说的通吗？生：说的通.师：这个（式子）称为平均变化率，或者说是时刻t1到时刻t2的平均速度.当时刻t2和时刻t1越来越接近时，在这个小区间上速度的变化就很小，近似为时刻t1的速度，这时就是瞬时速度，或者说是瞬时变化率.那怎么得到最后的精确速度呢？我们暂时不管，至少我们直观上已经了解了平均速度或者平均变化率和瞬时速度或者瞬时变化率之间的关系.曹教授从日常生活这一角度，引入问题，进行问题情境教学，它包括两个方面.一方面是从日常生活中发现数学问题，利用这种问题，创设问题情境进行教学.另一方面是，把抽象的数学内容，根据教学内容的需要，赋予某种生活含义，从而使所讲内容更有利于学生的理解和接受.问题1和问题2都是常见的生活问题，情境中主体都是学生.曹教授借助问题1揭示了什么是“变化率”，这是这节课的起点，也是基础部分.而后借助问题2引出平均变化率和瞬时变化率的含义，这两个数学概念是这节课的重点，需要学生的理解和掌握.曹教授在分析问题情境的过程中，没有把具体的数学符号或者概念直接给学生，而是让学生逐步参与进来，不断地去发现概念，接受概念，进而对这两个概念有深刻感知.同时，这两个问题情境之间也有一定的内在联系.例如，在解释问题2的过程中，借助问题1的情境让学生明白“变化”不仅是突然发生的，也可能是逐步的.同时向学生传递一种辩证法思想，即“变是绝对的，不变是相对的”，万事万物都是在不断变化的.这种思想的渗透使学生更好地接受变化，理解平均变化率和瞬时变化率的含义，为之后导数的学习打下基础.不难发现，创设日常生活问题情境要结合教学内容的实际需求，不能随意编造，要和学生的真实经历与生活体验相联系.同时，情境之间可以互相映衬，共同解决问题.创设情境的过程中要注意，不要将情境一味的生活化，让情境“喧宾夺主”，从而失去了数学的味道.创设问题情境的目的是理解数学概念，应该以概念为中心，借助生活问题情境开展概念教学.2 相关学科问题情境曹教授所创设的第二种问题情境，是从其他相关学科中挖掘问题.研究表明[12]，恰当创设相关学科问题情境，对学生的学习效果有积极影响，在《变化率与导数》的教学过程中，问题3、问题4、问题5都是利用相关学科问题情境，间接化解这节课的教学难点.问题3如果大米与水的价格均上涨或下降了，大米与水的需求量将发生什么样的变化？你能粗略模拟出大米和水的需求量与价格的关系曲线吗？它们揭示了什么道理？提示：人没有了水能不能活？人没有了大米能不能活？交流片段三师：人没有了水能不能活？生：不能.师：可是人没有了大米呢？生：能.师：为什么？生：可以吃面粉、肉、玉米等等.师：大米有许多替代产品，但是没有水就无法生存.有人说喝牛奶，但是牛奶也是由水构成.那么我们能够得到什么？显然，需求量和价格之间是有关系的，比如说价格上升，那么我们就节俭一点，假如价格下降，我们可能就会浪费.但是有一点是肯定的，人没有了水会不能活，你每天对水的最低需求量是一定的，假如水的价格上升，人对水的最低需求量会变少吗？生：不会.师：对水的需求量有一个最低限，价格再高，对水的需求量也不能减少.假设价格是P，这个P通常是离散的，我们现实生活中，通常是卖多少块一斤，不可能是一个连续不变的量.但是大家要注意，如果你今后从事经济学研究的话，经济学出现的东西很多是离散的.一般都是按一天算，一个小时算，或者是一个月算，一年算.GDP就是这么算的.但是我们利用数学来研究经济学问题的时候，你是可以用连续函数来研究的.现在我们假设价格是P，这个P是可以连续变化的，假定它的需求量是Q，那么P和Q之间有一个函数关系Q=Q（P）.现在我们假设Q1是水，Q2是大米，它们都是价格的函数，则有Q1=Q（P1），Q2=Q（P2）.根据我们刚才的分析，大米的价格曲线和水的价格曲线相比会是什么样子的？粗略地把他们模拟出来.生：尝试画出粗略的函数图像.师：进行引导.当价格是P1时，有一个需求量Q（P1），当价格是P2的时候，也有一个需求量Q（P2），在这个价格变化范围内，变化有多大？Q（P2）-Q（P1）P2-P1是水的需求变化大还是大米的需求变化大？生：Q水（P2）-Q水（P1）P2-P1师：这个比率在经济学中非常重要，它叫敏感度.什么叫敏感度？就是需求量关于价格的敏感程度的大小.从这个式子可以看出，水相对大米来说，价格是不敏感的，价格提的再高，最终还是要有这么多的需求量.但是大米相对于水来说是比较敏感的.这揭示了一个什么样的道理？水是一个不可替代的生活必需品，这样的商品是不可以市场化的，必须由政府调控，而大米是可以有替代品的，它的价格弹性很大，敏感度相对很高，所以它可以市场化.问题4牛顿当年在干什么？众所周知，牛顿发明了三大定律，你是否知道牛顿处理的非匀速运动？苹果砸在牛顿的头上让牛顿领悟到了什么？他得到了什么重要公式？交流片段四师：大家都知道，牛顿发明了三大定律.你在物理上学过的都是匀速运动，还有加速度是一定的常加速运动，只有这两种情况.但实际上，自然界的运动中，速度都是在逐渐变化的，而实际上，牛顿所研究的是非匀速运动.好，那么苹果砸到牛顿的头上，牛顿领悟到了什么？苹果为什么不往上掉呢？生：万有引力.师：他得到了万有引力.他是怎么发现这个公式的？他得益于谁的工作？生：伽利略.师：对，伽利略.苹果从苹果树上落下来，它是什么运动？生：自由落体.师：这与伽利略的自由落体有关：H=12gt2.伽利略做实验，使用两个质量不同的铁球，然后从同一高处放下，如果是同时放下，一定是同时落地，和它们的质量没有关系.当然我们都知道，如果是纸片的话就有问题了，纸片为什么不能同时落地呢？生：空气阻力.师：因为有空气阻力.现在大家想想看，那如果落到牛顿头上的不是苹果，而是伽利略实验的铁球，结果如何？有同学说铁球太重，如果铁球比苹果重十倍，但是从头上方很低的地方落下去，也不会把牛顿砸死.这跟什么有关系？生：高度.师：跟高度有关系.为什么铁球从很高的地方落下来后，有可能会把牛顿砸死？如果球或者苹果足够高的话，它落下来，越接近地面，速度会怎么样？生：越大.师：速度会产生什么？动量，也可以叫冲量.动量越大，对你的冲击力越大，最终取决于速度.所以说为什么铁球落到牛顿头上会把牛顿砸死，因为铁球落得位置比较高，落到地面上时速度比较快.现在已经知道了高度的公式，那么在时刻t的速度是多少呢？我们根据下一个问题算一算.问题5假设伽利略的铁球从50米高的天台上落下，请问在铁球下落一秒时距离地面还有多高？这个时刻的速度是多少？下落两秒时情况如何？这时的速度会发生变化吗？交流片段五H=12gt2，g=9.8，t=1，则1秒时的高度为H1=50-H（1）=50-12g.这个时候的速度是多少呢？据我们刚才的分析，他从1s再往下落，如果时间间隔很短，比如说在1s与在10001s，这两个时刻的速度则差别不大.现在令t0=1，在t0到t这个时刻，物体分别下落H（t），H（t0）.自由落体的平均速度是多少？生：H（t）-H（t0）t-t0.师：如果t和t0接近，那么这个速度就是瞬时速度.这个结论很重要，用极限来表示接近，极限用英文字母前三位lim表示，记为limt→t0H（t）-H（t0）t-t0，即当t和t0接近时，这个速度就是瞬时速度.现在我们把时间带入，就能得到1秒时自由落体的速度：limt→1H （t）-H（1）t-1=limt→112g t2-12gt-1=limt→112gt2-1t-1=limt→112g（t+1）=g.在2s的时候，算法是一样的：limt→212g（t+2）=2g.我们化成一般情况，则在时刻t0的速度为gt0.这和我们物理上学过的是不是一样的？就是说自由落体是匀加速运动.这是我们数学上推导出来的，但是和物理上的结果一样，这个就叫瞬时变化率.如果我们讨论一般的数学函数，瞬时变化率是什么？PPT：假设函数y=f（x）定义在区间[a，b]内，x0是区间内的一点，y=f（x）在x0处的瞬时变化率为limx→x0f（x）-f（x0）x-x0.师：书上用简略符号代替，Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0），当x→x0时，它的差Δx就趋向于0.这个极限就是f（x）在点x0处的导数，就是所谓的瞬时变化率.它由平均变化率取极限得来.曹教授借助问题3，看似创设了一个与生活相关的问题情境，但实际上与简单的经济学内容相联系，利用数学式子，解释了一个经济学道理.使得日常生活、数学、经济学这三者融为一体.同时让学生模拟画出这种“变化”的函数图像，揭示了一个思想，即“函数与我们的生活同在”，设计的非常巧妙.问题4和问题5都围绕着物理情境展开，其中问题4可以说是问题5的一个铺垫.问题4创设了一个物理背景，先简单解释物理学中的一个基本内容，并对物理知识进行简单的回顾和联想.最后使学生发现，可以利用数学运算，推导出物理公式，验证了学生已有认知结构中的物理知识，揭示学科之间的相互贯通的思想.最终回归到这节课的教学重点和难点上，明确指出瞬时变化率和导数的概念，同时揭示平均变化率、瞬时变化率、导数这三者之间的关系.相关学科的问题情境不仅利于学生进行数学模式抽象，而且对数学的应用提供了具体的背景.[13]恰当创设这三个问题情境，利用学生认知结构中的其他学科知识，也可以带动学生的思考和学习数学.以其他相关学科问题为背景，有助于培养学生的发散性思维，开拓学生的视野，提高学生思考的深度与广度.从本节课的数学教学中，插入了物理学和经济学内容，发现可以利用数学去推导这两门学科的学科知识.经过归纳、类比，除了这两门学科，数学与其他相关学科也具有一定的联系.然而，在创设这种问题情境之前，要充分分析学情，不仅分析学生对数学学科的学习情况，还要了解他们对其他学科的学习内容与学习程度，从而与学生已有认知结构中的内容建立联系.3数学问题情境创设问题情境不能忽略数学的本质，过度“生活化”或者“兴趣化”，大幅度的去掉“数学化”.这样的问题情境不但不会促进学生对新概念的学习，还会造成学生的认知负荷，对学习内容的接受发生阻碍.为了进一步强化学生对三个数学概念的理解，即平均变化率、瞬时变化率以及导数的理解.曹教授创设的最后一个问题情境是数学自身情境，即与数学相关，回归数学的本质，以数学为核心强化对概念的理解，同时规范数学的表达方式.问题6你能不能通过函数图像，分析一下函数在一点的变化率是什么？瞬时变化率是什么？用图像说明.交流片段六师：这是一道课后思考题.建议大家不要直接看书，要在看书之前，先自己分析这个问题.实际上，第一个问题已经帮大家分析过了，就是我们刚才经济问题中画的图，一个水的需求量与价格的变化曲线，还有一个大米的需求量与价格的变化曲线，那么变化率和瞬时变化率在这两个曲线当中分别意味着什么？你能不能自己去把他画出来？留做课后思考.对概念的感性认识还不足以形成概念，要在感性认识的基础上反复经过比较、分析、综合、概括、抽象、判断和推理等一系列思维活动，在逐步认识到事物的本质和内部联系的基础上，才能形成概念[14].在概念教学中，创设情境不是教学的目的，而是教学的工具，不是为了情境而创设情境，而是为了理解概念而创设情境.对概念的学习，最终还要回归到数学的本质，利用数学的严谨性，简洁性等特点，表达概念，应用概念，建立概念间的联系.利用问题情境进行概念教学，不是问题、情境、概念三者之间的简单叠加，也不是利用情境引出概念后，单独进行概念学习.而是把概念融入于情境中，在情境中揭示概念的含义.好的问题情境要有始有终，要与教学内容息息相关.在解决问题时，不仅仅要思考问题，还要考虑到问题的实际背景，这样设置的情境才有意义.这节课的特别之处就是问题情境，曹教授以其丰富的学识创设了大量的问题情境，并且情境的类型丰富，都具有一定的代表性，贯穿于整节课的教学中.4启示基于曹广福教授的《变化率与导数》一课，发现了创设问题情境的重要性，同时也意识到，可以利用多种问题情境进行概念教学，把情景教学和概念教学相融合，并进一步得到以下启示.4.1教师可以利用问题情境进行概念教学任何学科的学习，就其实质而言，一般都存在着一个思维方式的建构或转变的问题，而概念则是思维方式建构或转变的基石[15].数学概念是学习数学的基础，概念的重要性影响概念教学的难度，选取恰当的教学方法进行概念教学，对学生概念的理解、掌握与应用，有着一定的积极作用.以《变化率与导数》一课为例，在进行概念教学的过程中，利用问题情境去解释数学概念，先使学生感受到概念的基本内容，而后使学生理解概念的含义.数学源于生活，数学教学离不开学生生活实际[16]，基于日常的生活经验，综合的学科知识，扎实的专业功底等等，围绕数学教学内容，恰当地创造数学问题情境，有助于促进学生对数学知识的理解.学生对数学概念的学习，不是孤立的对概念的认知和记忆，需要经历一个过程.斯法德（Sfard）[17]的概念二重性指出，概念具有过程性和对象性，并且进一步研究表明，概念的获得有先后次序，形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程.这就要求教师在讲解数学概念时，不能把概念内容直接扔给学生，然后让学生接收，而需要以一种缓慢的进程，逐步的带领学生去发现数学概念，从而达到对概念的理解和掌握.而在问题情境的背景下，会经历体会情境、分析情境、解决问题等阶段，这恰恰提供了一个缓冲过程，为理解概念提供时间和空间.把概念放在情境中，利用问题情境进行概念教学，不失为一种良好的教学方法.。