2011年高考最有可能考的50题(数学理)大纲版

2011年新课标高考数学试题及答案（理科）Part IV Translation & WritingTranslationA. Translate the following sentences from Chinese intoEnglish.1) 约翰同时干许多事情。

我觉得他应当休息一下。

(work on, all at once, take a break)John works on many things all at once. I think he should takea break2) 杨教授说的话有着神奇的力量。

许多同学接受他的忠告，开始专注学业了。

(what, magical, advice, focus on)What Prof. Yang said has magical power. On his advice, many students began to focus on their schoolwork.3) 由于星期天晚上汤姆没有提示他将做何种选择，我无法弄清楚他会如何完成这项任务。

(clue, option, fgure out, accomplish) As Tom gave no clue Sunday night about which option he would choose, I can’t figure out how he will accomplish the task4) 我的父亲是极负责任的人。

虽然他总是很忙，但他设法每天都给家庭留出一些时间。

(responsibility, on the go, set aside) My father is a man of great responsibility. Though he is on the go all the time, he manages to set aside some time for the family every day.5) 这个项目的成功与否取决于我们如何确定轻重缓急。

五、解析几何（重庆理）8．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为BA ．25B ．210C ．D ．220（浙江理）8．1A ．2132a =（四川理）10A ．(2,9)-- 10(4,114a --2(2)y x ax y a x ⎧=+⎨=-⎩（陕西理）2A ．28y x =-（山东理）8右焦点为圆C A ．22154x y -= B ．145-= C ．136-= D ．163-= （全国新课标理）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为B（A （B （C ） 2 （D ） 3（全国大纲理）10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=DA ．5B ．5C ．5-D ．5-（江西理）9．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是BA ．（3-3） B ．（3-，0）∪（0，3）C ．[（湖南理）5A ．4 （湖北理）4 CA ．n=0 （福建理）7rA ．1322或（北京理）8 A ．{C ．{9,11（安徽理）（2 （A ）2 （湖北理）14．如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与y轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。

（Ⅰ）已知平面β内有一点'2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的坐标为 （2，2） ；（Ⅱ）已知平面β内的曲线'C 的方程是'2'2(220x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是22(1)1x y -+= 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。

2011届大纲版高考精选预测（理47）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集I={1，3，5，7，9}，集合A ={1，9，|a －5|}，IA ={5，7}，则a 的值为A.2B.8C.－2或8D.2或82.已知函数f (x )=3x －1，则它的反函数y =f －1(x )的图象是3.若点P (x ,y )在曲线⎩⎨⎧+-=+=θθsin 54cos 53y x (θ为参数)上，则使x 2+y 2取得最大值的点P 的坐标是A.(6，－8)B.(－6，8)C.(3，－4)D.(－3，4)4.复数i 215+的共轭复数为 A.－31035-iB.－i 31035+ C.1－2i D.1+2i5.下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是A.M ：a ＞b N :ac 2＞bc 2B.M :a ＞b ,c ＞d N :a －d ＞b －cC.M :a ＞b ＞0,c ＞d ＞0 N :ac ＞bdD.M :|a －b |=|a |+|b | N :ab ≤06.已知a 2=2a ·b ，b 2=2a ·b ，则a 与b 的夹角为A.0°B.30°C.60°D.180°7.生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率)，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，若使H 6获得10 kJ 的能量，则需要H 1最多提供的能量是A.104kJ B.105 kJC.106 kJD.107kJ8.一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为 A.5400° B.6480° C.7200° D.7920°9.2路公共汽车始发站，停放着两辆公共汽车，有3名司机和4名售票员，准备上车执行运营任务，每部汽车需要1名司机和2名售票员，其中1名售票员为组长，那么不同分工方法总数是A.36B.72C.144D.28810.已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是A.33100 B.93100 C.100(3－22)D.21a 211.△ABC 边上的高线为AD ，BD =a ，CD =b ，且a ＜b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B —AD —C.若cos θ=ba，则三棱锥A —BDC 的侧面△ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.形状与a 、b 的值有关的三角形12.数列{a n }中，a 1=1,S n 是其前n 项和.当n ≥2时，a n =3S n ，则31lim1-++∞→n n n S S 的值是A.－31B.－2C.1D.－54 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.把一个函数的图象按向量a =(3,－2)平移，得到的图象的解析式为y =log 2(x +3)+2，则原来的函数的解析式为___________.14.在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. 15.以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为___________.16.有下列四个命题：①若平面α的两条斜线段PA 、QB 在平面α内的射影相等，则PA 、QB 的长度相等 ②已知PO 是平面α的斜线，AO 是PO 在平面α内的射影，若OQ ⊥OP ，则必有OQ ⊥OA ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个 ④平面α内有两条直线a 、b 都与另一个平面β平行，则必有α∥β其中不正确．．．命题的序号为___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 讨论函数f (x )=21cos(2x －2α)+cos 2α－2cos(x －α)cos x cos α的值域、周期性、奇偶性及单调性.18.(本小题满分12分)在正方体AC 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点. (1)求证：AD ⊥D 1F ；(2)求AE 与D 1F 所成角的大小； (3)求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1. 19.(本小题满分12分)甲乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次抽一题.(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx +1.当x =－1，x =1时，取极值，且极大值比极小值大4. (1)求a ,b 的值；(2)求f (x )的极大值和极小值. 21.(本小题满分12分)已知：a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β)(0＜α＜β＜π). (1)求证：a +b 与a －b 互相垂直；(2)若k a +b 与a －k b 大小相等,求β－α (其中k 为非零实数).22.(本小题满分14分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b n }对任意自然数n ，均有(b n +1－b n +2)log 2a 1+(b n +2－b n )log 2a 3+(b n －b n +1)log 2a 5=0成立，又b 1=t ,b 7=13t (t ∈R ,且t ≠0).(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =11+n n b b ，若S n 表示数列{b n }的前n 项和，T n 表示数列{c n }的前n 项和，求nnn n b n T S ⋅⋅∞→lim.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.D2.解析：根据f －1(x )的定义域及值域观察可得. 答案：D3.解析：化参数方程为普通方程后得. 答案：A4.D5.D6.解析：利用cos θ=||||b a ba ⋅.答案：C 7.C8.解析：运用欧拉公式及多边形的内角和公式可得. 答案：B9.C 10.B 11.C12.解析：由题意得S n －S n －1=3S n , ∴211-=-n n S S ,S 1=a 1=1. ∴S n =S 1(－21)n －1=(－21)n －1， n n S ∞→lim =0.答案：A二、填空题(每小题4分，共16分) 13.y =log 2(x +6)+4 14.－96015.(x －5)2+y 2=16 16.①②③④三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：利用三角函数公式可化得f (x )=－21cos2x . 4分∴f (x )的值域为：［－21，21］;周期T =π；f (x )为偶函数.9分当x ∈［k π,k π+2π］(k ∈Z )时 ,f (x )为增函数， 当x ∈［k π－2π,k π］(k ∈Z )时，f (x )为减函数.12分18.解：(1)略4分(2)2π 8分(3)通过证明FD 1⊥平面AED 得到平面AED ⊥平面A 1FD 1.12分19.解：(1)它是等可能性事件，基本事件总数为C 110C 19种，所述事件包含的基本事件数为C 16C 14，故所求概率为191101416C C C C =154.6分(2)可直接算也可用求其对立事件的概率来算，结果为1513. 12分20.解：(1)f ′(x )=5x 4+3ax 2+b ,因x =1时有极值，则5+3a +b =0,反代入得： f ′(x )=(x +1)(x －1)(5x 2+3a +5).由题意有5x 2+3a +5≠0恒成立，故3a +5＞0,a ＞－35. 故当x =－1时取极大值，x =1时取得极小值,且f (－1)－f (1)=4，再由b =－3a －5可解得a =－1,b =－2. 7分 (2)f (－1)=3为极大值，f (1)=－1为极小值.12分21.解：(1)只要证明(a +b )·(a －b )=0，而(a +b )·(a －b )=a 2－b 2；6分(2)由|k a +b |=|a －k b |知2k cos(β－α) =－2k cos(β－α).又k ≠0,故cos(β－α)=0，又0＜α＜β＜π，所以β－α=2π. 12分22.解：(1)设{a n }的公比为q (0＜q 且q ≠1).则a 3=a 1q 2,a 5=a 1q 4,代入已知等式并化简得： (b n +2+b n －2b n +1)log 2q =0,因为log 2q ≠0， 所以b n +2+b n =2b n +1，所以{b n }为等差数列.由b 1=t ,b 7=13t 得b n =(2n －1)t . 6分(2)由于)121121(21121+--=+n n t b b n n ，8分 所以T n =,)12()1211215131311(2122+=+--++-+-n t n n n t 而S n =21n b b +·n =n 2t .10分所以232341)4(lim lim t n n t n b n T S n nn n n =-=⋅⋅∞→∞→. 14分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π 12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数0)y x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1ABAC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3(B)3 (C)3【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D到平面ABC 的距离.在Rt BCD∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23,23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()(2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==故圆N的半径r =∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)21 【答案】A圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

1.（2011贵州四校一联）在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（ A ） A．13 B．26 C．8 D．162．(2011豫南九校四联)设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ A ）A．1033 B．1034 C．2057 D．20583. （2011乐山一调）等差数列的前n项和，若，则等于（A ）A.108；B.96；C.28；D.12；4. （2011乐山一调）在中，，沿向量的方向，点将线段AB分成了n等份，设，（1）用表示，则＝ （2）；参考公式：）解析：令，则由得：原式＝5. （2011乐山一调）设数列满足且。

（1）求数列的通项公式；（2）对一切，证明成立；（3）记数列的前n项和分别为，证明：解：（1）…………4分；（2）证明：。

构造函数在内单减，则所以对一切，都成立。

………………9分（3）证明：，由（2）知……….12分6. （2011泸州一诊）如果等差数列中，，那么(C)A. 14B. 21C. 28D. 357.（2011泸州一诊）设数列的前项和为，若，则通项.8．（2011泸州一诊）已知数列满足，且，.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）比较与的大小，并予以证明.解：（Ⅰ）∵, 2分数列是首项为，公差为的等差数列，故, 3分因为,所以数列的通项公式为， 4分（Ⅱ）∵，∴，①，② 5分由①-②得6分7分∴, 8分（Ⅲ）, 9分于是确定与的大小关系等价于比较与的大小，由,,,,,…,可猜想当时，，证明如下：证法1：（1）当时，由上验算显然成立，（2）假设时成立，即，则时，所以当时猜想也成立，综合(1)(2)可知，对一切的正整数，都有， 11分综上所述，当时，,当时，. 12分证法2：当时，， 10分综上所述，当时，,当时，. 12分9．(2011绵阳二诊)已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n项和，a1 = b1 = 1，．（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求a n与b n的通项公式；（Ⅱ）若a n∈N*，{}是公比为9的等比数列，求证：．解: 设等差数列{ a n }的公差为d，等比数列{ b n }公比为q．（Ⅰ）∵，∴，而a1 = b1 = 1，则q（2 + d）= 12．①又∵b2是a1，a3的等差中项，∴a1 + a3 = 2b2，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q．②联立①，②，解得或…………………… 4分所以a n = 1 +（n－1）· 2 = 2n－1，b n = 3n－1；或a n = 1 +（n－1）·（－5）= 6－5n，b n =（－4）n－1．…………………… 6分（Ⅱ）∵a n∈N*，，∴，即q d= 32．①由（Ⅰ）知q ( 2 + d ) = 12，得．②∵a1 = 1，a n∈N*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，∴d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，∴a n = 2n－1，．…………………… 10分∴（n≥2）．当n≥2时，＜=＜．显然，当n = 1时，不等式成立．故n∈N*，．思路2 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项开始缩小：当n≥2时，．10.（12分）已知数列满足（1）求（4分）（2）设求证：；（4分）（3）求数列的通项公式。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1) 复数212i i+-的共轭复数是 (A) 35i - (B) 35i (C) i - (D) i (2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2 (B)y=|x|+1 (C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120(B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ=（A ）45- (B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （C ） （B ） 2 （D ）3（8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40（9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）310 （B ）4 （C ）163 （D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p（11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减 （B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减 （C ）()f x 在(0,)2π单调递增 （D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x =-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

2011高考预测压轴卷-数学(理)-大纲版（三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题上一并上交。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 与B 相互独立，那么P （AB ）=P （A ）P （B ）如果A 与B 是两个任意事件，P （A ）≠0，那么P （AB ）=P （A ）P （B|A ）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

1.设复数i a a a z )152(512-+++=为实数时，实数a 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.32.平面直角坐标系中，a =（1，3），b a ⋅=5，|b a +|=23，则|b |=（ ） A.3 B.3 C.2 D.23.已知b a ,为实数，则b a 22>是b a 22log log >的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，E 是CD 的中点，沿AE 将△ADE 折起，使二面角D-AE-B 为60°，则四棱锥D-ABCE 的体积是（ ）A.13399B.133927 C.13139 D.1313275.若y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A.（-1，2）B.（-4，2）C.（-4，0）D.（-2，4）6.已知有穷数列{}n a n (=1，2，3，…，6），满足∈n a {1，2，3，…，10}，且当j i j i ,(≠=1，2，…，6）时，j i a a ≠，若321a a a >>，654a a a <<，则符合条件的数列{n a }的个数是（ ）A.37310C CB.310310C CC.37310A AD.36610A C7.已知曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为，，，321P P P …，则|53P P |等于（ ） A.π B.2π C.3π D.4π8.已知圆2)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，其坐标均使得不等式m y x ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A.[)∞+，1 B.(]1，∞- C.[)∞+-，3 D.(]3-∞-， 9.已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F 、)0,10(2-F ，M 是此双曲线上的一点，且满足21MF MF ⋅=0，|1|·|2MF|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.1922=-y x B.1922=-y x C.17322=-y x D.13722=-y x 10.已知函数)(x f 的导数))(1()(a x x a x f -+='，若)(x f 在a x =处取到极大值，则a 的取值范围是（ ）A.（-∞，1） B （-1，0） C.（0，1） D.（0，+∞）11.函数)(x y 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，（x -1）.0)(<'x f ，设)3(,21),0(f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==，则（ ） A.c b a << B.b a c << C.a b c << D.a c b <<12.定义在R 上的函数)(x f y =是减函数，且函数)1(-=x f y 的图像关于（1，0）成中心对称，若t s ,满足不等式)2(2s s f -≤)2(2t t f --，则当1≤s ≤4时，st 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,41 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21考生注意事项：请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2011届大纲版高考精选预测（理48）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A ={x |x =2k ,k ∈Z },B ={x |x =2k +1,k ∈Z },C ={x |x =4k +1,k ∈Z },又a ∈A ,b ∈B ,则有 A.a +b ∈A B.a +b ∈B C.a +b ∈CD.a +b 不属于A ，B ，C 中的任意一个2.已知f (x )=sin(x +2π,g (x )=cos(x －2π),则f (x )的图象 A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 D.向右平移2π个单位，得到g (x )的图象3.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A.y =3xB.y =－3xC.y =33x D.y =－33x 4.函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增 D.y 在(1,+∞)内单调递减 5.已知直线m ,n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是 A.m ∥α,n ∥α B.m ⊥α,n ⊥α C.m ∥α且n ⊂α D.m ,n 与α成等角6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51 B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，③并非如此 C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同7.曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时的P 点坐标为 A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1)C.(2,8)D.(－21,－81) 8.已知y =log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞)9.已知lg3,lg(sin x －21),lg(1－y )顺次成等差数列，则 A.y 有最小值1211，无最大值 B.y 有最大值1，无最小值 C.y 有最小值1211，最大值1D.y 有最小值－1，最大值110.若OA =a ，OB =b ，则∠AOB 平分线上的向量OM 为 A.||||b b a a +B.λ(||||b b a a +)，λ由OM 决定 C.||b a ba ++D.||||||||b a ba ab ++11.一对共轭双曲线的离心率分别是e 1和e 2,则e 1+e 2的最小值为 A.2 B.2 C.22D.412.式子2n2322222C C C 321lim +++++++∞→ n n 的值为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.从A ={a 1,a 2,a 3,a 4}到B ={b 1,b 2,b 3,b 4}的一一映射中，限定a 1的象不能是b 1，且b 4的原象不能是a 4的映射有___________个.14.椭圆5x 2－ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =___________. 15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为___________.16.已知a n 是(1+x )n的展开式中x 2的系数，则)111(lim 32nn a a a +++∞→ =___________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x-22，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=f (1),当n ≥2时，S n －21)(2=n a f (n 2+5n －2). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4;(2)求出数列{a n }的通项公式，并给予证明. 18.(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，满足sin C =BA BA cos cos sin sin ++.(1)判断△ABC 的形状；(2)设三边a ,b ,c 成等差数列且S △ABC =6 cm 2，求△ABC 三边的长. 19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB =1，PA =h ，AD =y .(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径. 20.(本小题满分12分)某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 、y 小时.(1)作图表示满足上述条件x 、y 的范围；(2)如果已知所需的经费p =100+3(5－x )+2(8－y )(元)，那么v 、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？21.(本小题满分12分)已知f (x )=log a (x +1)，点P 是函数y =f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y =g (x )的图象，当a ＞1,x ∈［0,1)时，总有2f (x )+g (x )≥m 恒成立.(1)求出g (x )的表达式； (2)求m 的取值范围. 22.(本小题满分14分)直线l :ax －y －1=0与曲线C ：x 2－2y 2=1交于P 、Q 两点， (1)当实数a 为何值时，|PQ |=221a +?(2)是否存在a 的值，使得以PQ 为直径的圆经过原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：由已知得a 是偶数，b 是奇数，则a +b 是奇数，又b ∈B ，B ⊃C ，∴a +b ∈B ,选B. 答案：B2.解析：f (x )的图象向右平移2π个单位，得sin ［(x －2π)+2π］=sin x ，又g (x )=cos(x －2π=cos(2π－x )=sin x ,故选D. 答案：D3.解析：设直线为y =kx .由⎩⎨⎧==+++kxy x y x 03422消去y ，得 (1+k 2)x 2+4x +3=0,由Δ=16－4×3(1+k 2)=0,k =±33. 又知切点在第三象限，∴k =33，选C. 答案：C4.解析：令x －1=X ,y －1=Y ,则Y =－X1. X ∈(0,+∞)是单调增函数，由X =x －1,得x ∈(1,+∞)，y =1－11-x 为单调增函数,故选C. 答案：C5.解析：若m ∥n ,则m ,n 与平面α成相等的角，反之 ，若m ,n 与平面α成等角，不一定有m ∥n ,故选D.答案：D6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是51，故选A. 答案：A7.解析：由y =x 3，得y ′=3x 2.由已知得3x 2=3，x =±1. 当x =1时，y =1,当x =－1时，y =－1，故P 点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B.答案：B8.解析：由已知log a (2－a ·0)＞log a (2－a )，即log a 2＞log a (2－a )， 当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧>--<0222a a无解，当a ＞1时，有⎩⎨⎧>-->0222a a，得1＜a ＜2,选B.答案：B9.解析：由已知得2lg(sin x －21)=lg3+lg(1－y )，且⎪⎩⎪⎨⎧<>121sin y x ,得(sin x －21)2=3(1－y ) 得y =1－3)21(sin 2-x , 当sin x =1时，y min =1211，无最大值，选A.答案：A 10.答案：B11.解析：设双曲线2222b y a x -=1的离心率e 1=a b a 22+，则共轭双曲线2222a x b y -=1的离心率e 2=b b a 22+.e 1+e 2=bb a a b a 2222+++ ≥2·abb a b a 2222+⋅+ (a =b 时取等号)=2·abb a 22+≥2·2 (a =b 时取等号).∴e 1+e 2的最小值为22，选C. 答案：C12.解析：原式=31C )12)(1(61lim +∞→++n n n n n=6)1()1()12)(1(61lim -⋅+++∞→n n n n n n n =2,选C. 答案：C二、填空题(每小题4分，共16分) 13.解析：A 44－2A 33+A 22=14. 答案：1414.解析：由已知得x 2+ky 52-=1,k ＜0,由焦点坐标(0，2)知长轴在y 轴上， 得(－k5)－1=4,得k =－1. 答案：－115.解析：由题意得S =q-12,－1＜q ＜0. 由q =S S 2-得－1＜SS 2-＜0,解不等式得1＜S ＜2. 答案：1＜S ＜216.解析：由已知得x 2的系数为C 2n ，即a n =C 2n =2)1(-n n , ∴a 2=1,21a =1=122⨯,23213⨯=a ,…,)1(21-=n n a n ,∴)]111()3121()211[(2lim )111(lim 32nn a a a n n n --++-+-=+++∞→∞→=2)11(2lim =-∞→nn .答案：2三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分) 17.解：(1)由已知，当n ≥2时，f (a n )=na -22, ∵S n －)25(21)(22-+=n n a f n ， ∴S n －21222=-na (n 2+5n －2),即S n +a n =21(n 2+5n +2). 又a 1=f (1)=2, 由S 2+a 2=a 1+2a 2=21(22+5×2+2), 得a 2=3;由S 3+a 3=a 1+a 2+2a 3=21(32+5×3+2), 解得a 3=4;由S 4+a 4=a 1+a 2+a 3+2a 4=21(42+5×4+2),解得a 4=5.6分 (2)则a 1=2,a 2=3,a 3=4,a 4=5,于是猜想：a n =n +1(n ∈N ).8分以下用数学归纳法证明： (a )当n =1时命题成立.(b )设n =k 时，a k =k +1(k ∈N ).由S k +1+a k +1=21［(k +1)2+5(k +1)+2］, a 1+a 2+…+a k +2a k +1=21(k 2+7k +8),2a k +1=21(k 2+7k +8)－(2+3+…+k +1)=21(k 2+7k +8)－2)3(+k k =21(k 2+7k +8－k 2－3k ) =2k +4.a k +1=(k +1)+1,即当n =k +1时命题也成立.故由(a )、(b )知对一切n ∈N 均有a n =n +1.12分18.(1)解法一：sin C =2cos2cos 22cos 2sin2B A B A BA B A -+-+ =tan2BA +=C CB A B A cos 1sin )cos(1)sin(-=+++.∵sin C ≠0,∴cos C =0,0°＜C ＜180°,∴C =90°,∴△ABC 为直角三角形.6分解法二：∵cos A +cos B =CBA sin sin sin +,∴cba acb ac bc a c b +=-++-+22222222.化简整理得：(a +b )(c 2－a 2－b 2)=0,∴a 2+b 2=c 2, ∴△ABC 为直角三角形. 6分(2)解：由已知得：a 2+b 2=c 2,a +c =2b ,21ab =6, 解得：a =3 cm,b =4 cm,c =5 cm.12分19.解：(1)显然h ＞1，连接AQ ， ∵平面ABCD ⊥平面ADQP ,PA ⊥AD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，由已知PQ ⊥DQ ,∴AQ ⊥DQ ,AQ =y 2－h 2.∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ,CQ =12-h ,∴ABCQAQ DQ =,即11222-=-h hy h . ∴y =122-h h (h ＞1).4分(2)y =122-h h =11)1(22-+-h h=12-h +112-h ≥2, 6分当且仅当11122-=-h h ,即h =2时，等号成立.此时CQ =1,即Q 为BC 的中点，于是由DQ ⊥平面PAQ ，知平面PDQ ⊥平面PAQ ,PQ 是其交线，则过A 作AE ⊥平面PDQ ,∴∠ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角，由已知得AQ =2,PQ =AD =2,∴AE =1,sin ADE =21=AD AE ,∠ADE =30°. 8分(3)设三棱锥P －ADQ 的内切球半径为r , 则31(S △PAD +S △PAQ +S △PDQ +S △ADQ )·r =V P －ADQ . ∵V P －ADQ =31S △ADQ ·PA =32,S △PAQ =1,S △PAD =2,S △QAD =1,S △PDQ =2,∴r =2222222-=+. 12分20.解：(1)由题意得：v =y 50,w =x300,4≤v ≤20,30≤w ≤100,3分∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间，即9≤x +y ≤14,②因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界).6分(2)因为p =100+3(5－x )+2(8－y ),所以3x +2y =131－p ,设131－p =k ,那么当k 最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点(10,4)，即当y =4时，p 最小，此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元.12分21.解：(1)设Q (x ,y )⇒P (－x ,－y ),代入f (x )方程得，g (x )=－log a (－x +1). 4分(2)2f (x )+g (x )≥m 恒成立⇔2log a (x +1)－log a (1－x )≥m 恒成立⇔log ax x -+1)1(2≥m 恒成立,即m 小于等于log a x x -+1)1(2的最小值. 令h (x )=xxx x x -+-=-+14)1(1)1(22=414)1(14)1(4)1(2--+-=-+---xx x x x .8分易证h (x )在x ∈［0,1)上单调递增，∴h (x )min =h (0)=1,又∵a ＞1,∴log a x x -+1)1(2≥log a 1=0,即log a xx -+1)1(2的最小值为0，∴m 的取值范围是m ≤0.12分22.解：(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),⎩⎨⎧=-=--120122y x y ax ,∴(1－2a 2)x 2+4ax －3=0. 若1－2a 2=0,即a =±22时，l 与C 的渐近线平行，l 与C 只有一个交点，与题意不合， ∴1－2a 2≠0,Δ=(4a )2－4(1－2a 2)(－3)＞0, ∴－26＜a ＜26. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+221221213,214a x x aa x x (*) ∴｜PQ ｜=21a +｜x 1－x 2｜=221a +. ∴(x 1－x 2)2=4,∴(x 1+x 2)2－4x 1x 2=4. ∴(－2214a a -)2－4221)3(a--=4. ∴a =±1∈(－26,26). ∴所求的实数a 的值为a =±1. 5分(2)假设存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则由OP ⊥OQ ，得y 1·y 2=－x 1·x 2. ∴(ax 1－1)·(ax 2－1)=－x 1·x 2,∴(1+a 2)x 1·x 2－a (x 1+x 2)+1=0. 9分把(*)式代入得：a 2=－2与a 为实数矛盾，∴不存在实数a 使得以PQ 为直径的圆经过原点. 14分。