上海市浦东新区高一数学上学期上南中学四校联考试题新人教A版

上南中学高一年级月考数学试卷 2012.9.20一．填空题：（每小题3分，共42分）1. 集合{1,2,3,4}A =的非空子集的个数为 15 ；2. 若,0,0<>>c b a 则a c > c ； 3．已知集合}2,2{2a a a -为数集，求实数a 的取值范围是 0≠a 且4≠a ；4．若集合{}0132=++x kx x 中至多有一个元素，则k 的取值范围是 0=k 或49≥ ； 5．写出命题“已知a 、b 、c 是实数，如果0<ac ，那么()002≠=++a c bx ax 有实数根”的否命题 已知a 、b 、c 是实数，如果0≥ac ，那么()002≠=++a c bx ax 没有实数根” ；6．写出0x <的一个充分不必要的条件 1-<x （答案不唯一） ；7．设{}{}2,2,1,,4,2,1m Q m P ==，则满足P Q P =的实数m 的值为 0,2- ；8.集合{|24},{|0}A x x B x x a =-<<=-<，当A B =∅时，实数a 的取值范围是 2-≤a ；9.设全集R U =，集合{|11},{|02}A x x B x x =-≤≤=<<，则()B A C U ⋃= {}21≥-<x x x 或 ；10．若{}R x x x x A ∈<--=,0432，则N A = {}3,2,1,0 ； 11．已知全集{}{}{}4,1,2,5,4,3,2,1===B A C B A U U ，则=B {}4,2,1 ；12．设集合2{|43},{|2}A y y x x a B y y ==--++=<，若A B ⊂≠，则实数a 的取值范围是 5-<a ；13．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=Z x Z x x A ,36，试用列举法表示集合A = {}9,3,6,0,5,1,4,2- ； 14．给出下列条件p 与q ：① 1:=x p 或2=x ；11:-=-x x q ．② :p 一元二次方程02=++m x x 有实数解；41:<m q ． ③ x p :是6的倍数；x q :是2的倍数． ④ :p 一个四边形是矩形；:q 四边形的对角线相等．其中p 是q 的必要不充分条件的序号为 ② ；二．选择题（每小题3分共12分）15．若0,0<<>>d c b a ，则下列不等式恒成立的是 （ C ）()22ad bc A < ()33ad bc B < ()c b d aC < ()db c a D < 16．下列命题为真命题的是 （ D ） ()A 若A B =∅，则B A ,至少有一个为空集；()B 若集合(){}(){}1,,1,2--==+-==x y y x B x y y x A ，则{}1,2-=B A ； ()C 任何集合必有一个真子集；()D 若{}{}22,x y x Q x y y P ====，则Q P ⊆；17．若不等式012>-+bx ax 的解集是{}43<<x x ，则实数b a +的值为 （ A ） ()21A ()2B ()41C ()31D 18．条件M 是N 的充要条件的为 （ D ） ()A 22:;:bc ac N b a M >> ()B c b d a N d c b a M ->->>:;,: ()C bd ac N d c b a M >>>>>:;0,0: ()D 0:;:≤+=-ab N b a b a M三．解答题（共46分）19．（满分7分）已知0>>b a ，试比较2222b a b a -+与ba b a -+的值的大小． 解：因为2222222ba ab b a b a b a b a --=-+--+，又因为0>>b a ，所以002222>-⇒>>b a b a 且0<-ab ， 即02222222<--=-+--+b a ab b a b a b a b a ，所以2222b a b a -+＜ba b a -+． 20．（满分9分）若{}x U ,1,0=，{}1,0=A ，且U x ∈2，求A C U ． 解：因为U x ∈2，则有02=x 或12=x 或x x =2．解得0=x 或1±=x ，由集合元素的互异性知1-=x ，则{}1,1,0-=U ，故{}1-=A C U21．（满分10分）已知31:,421:≤≤+≤≤+x m x m βα，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围． 解：设{}421+≤≤+=m x m x A ，{}31≤≤=x x B ． 因为α是β的必要条件，所以A B ⊆，所以⎩⎨⎧+≤≤+42311m m 021≤≤-⇒m ． 所以实数m 的取值范围是021≤≤-m ． 22．（满分10分）设{}{},015,022=++==++=cx x x B b ax x x A又{}{}3,5,3==B A B A ，求c b a ,,的值．解：因为{}3=B A ，所以8015332-=⇒=++c c ， 所以{}{},5,30152==++=cx x x B 由{},5,3=B A 可得{}3=A 或{}5,3=A ，而{}3=B A ，所以{}3=A ．所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=∆0330422b a ac a ⎩⎨⎧=-=⇒96b a ， 所以8,9,6-==-=c b a ．２３．（满分10分）已知{}{}2,,1,21,1,1r r B d d A =++=，其中1,0≠≠r d ，问当rd ,满足什么条件时B A =？并求出这种情形下的集合A ． 解：由题意，有两种情形：⑴ ⎩⎨⎧=+=+②①2211r d r d ，由①得1-=r d ，代人②得0122=+-r r ，所以1=r ，与条件1≠r 矛盾，因此在这种情形下B A =不能成立．⑵ ⎩⎨⎧=+=+②①r d r d 2112，由①得12-=r d ，代人②得，0122=--r r ()()0112=-+⇒r r ，由条件1≠r ，得21-=r ，代人②得43-=d ． 当21-=r ，43-=d 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==21,41,1B A ．。

2022-2023学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题一、填空题1．R .（用符号“∈”或“∉”填空） 【答案】∈【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可.【详解】解：R . 故答案为：∈.2．已知集合{}22,33A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为____________.【答案】1-或2-【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为1A ∈，{}22,33A a a =++，所以2331a a ++=，解得1a =-或2a =-， 故答案为：1-或2- 3．函数22log 1x y x +=-的定义域是__________. 【答案】(,2)(1,)-∞-+∞【分析】先利用对数式中真数为正得到201x x +>-，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解. 【详解】要使22log 1x y x +=-有意义，须201x x +>-， 即(2)(1)0x x +->，解得1x >或<2x -， 即函数22log 1x y x +=-的定义域是(,2)(1,)-∞-+∞. 故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞.4．:x α是2的倍数，:x β是6的倍数，则α是β的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）. 【答案】必要非充分【分析】由充分性和必要性的定义即可得出答案. 【详解】x 是2的倍数推不出x 是6的倍数，如2x =， 但x 是6的倍数能推出x 是2的倍数. 故α是β的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.5．用有理数指数幂的形式表示3a 0a >）____________. 【答案】154a【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解. 【详解】3315333444a a a a a +⋅==， 故答案为：154a6．设01a <<，则关于x 的不等式2236x x a a -+>的解集是____________.【答案】(1,3)-【分析】由于01a <<，根据指数函数的单调性可得2236x x -+<，解不等式即可. 【详解】因为01a <<，且2236xx a a -+>，则根据指数函数的单调性可知，2236x x -+<，解得13x -<<，所以不等式的解集为(1,3)-. 故答案为：(1,3)- 7．已知一元二次方程2130(0)x x a a a+-=>的两个实根为12x x 、，则221221x x x x +=____________. 【答案】3【分析】先利用韦达定理求出1212,x x x x +⋅，再由()2212212112x x x x x x x x +=+，代入即可得出答案.【详解】一元二次方程2130(0)x x a a a+-=>的两个实根为12x x 、， 所以12121,3x x x x a a+=-⋅=-，所以()2212212112133x x x x x x x x a a ⎛⎫+=+=-⋅-= ⎪⎝⎭.故答案为：3.8．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点(00)，的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式3100x -<的所有正整数解. 【答案】①②④【分析】根据集合的概念即可判断.【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于②，“在平面直角坐标系中，到定点(00)，的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式3100x -<的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④.9．设a 、b 、c 、d 是实数，则下列命题为真命题的是____________. ①如果a b >，且c d >，那么a c b d +>+； ②如果ab ，且cd ≠，那么ac bd ≠；③如果0a b >>，那么110a b<<； ④如果22()()0a b b c -+-≤，那么a b c ==. 【答案】①③④【分析】根据不等式的性质一一判断求解.【详解】对于①,因为a b >，且c d >，根据不等式的可加性， 所以a c b d +>+，故①正确；对于②，例如1,8,2,4,a c b d ====有ac bd =，故②错误； 对于③,11b a a b ab--=，因为0a b >>，所以0b aab -<， 即110ab<<，故③正确；对于④，因为22()()0a b b c -+-≤，所以0a b -=且0b c -=， 所以a b c ==，故④正确， 故答案为：①③④.10．已知对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象经过点(3,2)，且该函数图象经过点()0,4x ，则实数0x 的值是____________. 【答案】9【分析】根据点在图象上可求出a =0x .【详解】因为对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象经过点(3,2)，所以log 32a =解得a = 所以y x =，因为该函数图象经过点()0,4x ，所以04x =解得09x =，故答案为:9.11．已知正数a 和b 满足1223,1a b a b=+=，用a 及b 表示18log 12=____________.【答案】21a b+【分析】令)2(31a b m m =>=，由121a b +=，可得18m =，进而可得以181811log 2,log 3,a b ==现由1818183l g 2og 12lo log 2=+即可得答案.【详解】解：因为,a b 均为正数， 令)2(31a b m m =>=， 则有21log ,log 2m a m a ==，31log ,log 3m b m b==， 又因为121a b+=，所以log 22log 3log 2log 9log 181m m m m m +=+==， 所以18m =，所以23log 18,log 18a b ==， 所以181811log 2,log 3,a b== 所以18181812818l 2l 21(g 43)og 12log log g (3)2o 23lo a b⨯=⨯===++. 故答案为：21a b+12．某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“e 1x x -≥，当且仅当0x =时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意0x >，ln x bx ≥恒成立，则b 的取值范围____________. 【答案】(]0,e【分析】由题意转化为ln ln ln e ln ≤-=-x b x x x 恒成立，即求ln e ln -x x 的最小值，根据e 1x x -≥可得ln e ln 1-≥x x ，从而得到答案.【详解】由0x >，0bx >可得0b >， 由ln x bx ≥得ln ln ≥+x b x ，对任意0x >，ln ln ln e ln ≤-=-x b x x x 恒成立，转化为求ln e ln -x x 的最小值， 因为e 1x x -≥，所以ln e ln 1-≥x x ，所以ln 1b ≤，解得0e <≤b ，当且仅当ln 0x =即1x =时等号成立，所以b 的取值范围为0e <≤b . 故答案为：(]0,e .二、单选题13．下列函数与函数y x =相同的是（ ）A ．2y =B ．ln e x y =C ．y = D ．ln e x y =【答案】B【分析】当两函数定义域相同，对应关系相同时，为同一函数，对四个选项中的函数一一分析定义域和对应关系，选出答案. 【详解】函数y x =定义域为R ，A 选项，2y =定义域为[)0,∞+，A 错误；B 选项，ln e x y =定义域为R ，且ln e x y x ==，与函数y x =相同，B 正确；C 选项，y x ==，与函数y x =不相同，C 错误；D 选项，ln e x y =定义域为()0,∞+，D 错误. 故选：B14．下列函数中，值域是(0,)+∞的是（ ） A ．2yxB ．1y x=C ．2x y =-D ．lg(1)(0)y x x =+>【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2yx 的值域为[)0,∞+；对于B ：1y x=的值域为(,0)(0,)-∞+∞； 对于C ：2x y =-的值域为(),0∞-； 对于D ：0x，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,∞+；故选：D15．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定经过(0,0)和(1,1)B ．幂函数的图象一定关于y 轴或原点对称C ．幂函数的图象一定不经过第四象限D ．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，函数1y x=的图象不经过点()0,0，所以A 不正确； 对于B ，12y x =是非奇非偶函数，所以B 不正确； 对于C ，对于幂函数y x α=，当0x >时，0y >一定成立， 所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C 正确；对于D ，3,y x y x ==，则令3x x =，解得：0x =或1x =或=1x -， 所以幂函数3y x =和y x =有三个交点，所以D 不正确. 故选：C.16．已知定义域为R 的函数()y f x =满足：①对任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立；②若x y ≠则()()f x f y ≠.以下选项表述不正确．．．的是（ ） A ．()y f x =在R 上是严格增函数 B ．若(3)10f =，则(6)100f = C ．若(6)100f =，则1(3)10f -= D ．函数()()()F x f x f x 的最小值为2【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不等式求解判断D 作答.【详解】任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立，R a ∈且0a ≠，假设()0f a =，则有(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==，显然2a a ≠，与“若x y ≠则()()f x f y ≠”矛盾，假设是错的，因此当R a ∈且0a ≠时，()0f a ≠， 取0,0x a y =≠=，有()()(0)f a f a f =⋅，则(0)1f =，于是得R x ∀∈，()0f x ≠，R x ∀∈，2()()[()]0222x x x f x f f =+=>，()()(0)1f x f x f ⋅-==，对于A ，函数1()()2xf x =，,x y ∀∈R ，111()()()()()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅，并且当x y ≠时，()()f x f y ≠，即函数1()()2xf x =满足给定条件，而此函数在R 上是严格减函数，A不正确；对于B ，(3)10f =，则(6)(3)(3)100f f f =⋅=，B 正确；对于C ，(6)100f =，则(3)(3)100f f ⋅=，而(3)0f >，有(3)10f =，又(3)(3)1f f ，因此1(3)10f -=，C 正确；对于D ，()()1f x f x ⋅-=，()0f x >，则有()()()2()()1F x f x f x f x f x ，当且仅当()()1f x f x ，即0x =时取等号，所以函数()()()F x f x f x 的最小值为2，D 正确.故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题17．解不等式|21|1x ->. 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【分析】对|21|1x ->两边同时平方，由一元二次方程的解法即可得出答案. 【详解】由|21|1x ->可得：()2211x ->，则2440x x ->， 则()101x x x ->⇒>或0x <.故不等式|21|1x ->的解集为：()(),01,-∞⋃+∞18．已知集合{(,)41}A x y y x ==-∣，集合{}2(,)2B x y y x ==+∣，用列举法表示集合A B ⋂. 【答案】{(1,3),(3,11)}【分析】集合A ,B 中的元素均为函数图像上的点，故A 与B 的交集即为41y x =-与22y x =+的交点的集合.【详解】联立2412y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩或311x y =⎧⎨=⎩，故{(1,3),(3,11)}A B ⋂= 19．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m ，那么当宽x （单位：m ）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）【答案】居室的宽为5m 时，居室的最大总面积是275m .【分析】由题意，若把材料全部用完，得到两间居室的总长为()303m,010x x -<<，再由长方形的面积公式建立模型求解.【详解】解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为()303m,010x x -<<， 设所建造的居室总面积2m y ， 则()()23033575y x x x =-=--+，当居室的宽为5m 时，居室的面积最大，居室的最大总面积是275m .20．小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知,a b 为正数，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.”得到以下解法：构造函数()()2114f x a b x x a b ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，因为()()221140f x a b x xa b ⎛⎫=++++=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11x a b =-=-时取等号；所以对于函数()()2114f x a b x x a b ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭可得()211440a b a b ⎛⎫∆=-++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当11a b -=-时Δ0=，即()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时可取等号.阅读上述材料，解决下列两个问题：(1)若实数,,,,a b c d x 不全相等，请判断代数式“()2222244a b c d x a b c d x ++++++++”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由）(2)求证：()()222224a b c d a b c d +++≥+++，并指出等号成立的条件.【答案】(1)正(2)证明见解析，当且仅当a b c d ===时取等号【分析】（1）将代数式化为22222222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可知恒正；（2）由()22222404a b c d x a b c d x ++++++++≥，可知0∆≤，由此可得结论；根据()22222404a b c d x a b c d x ++++++++=的条件可得取等条件.【详解】（1）()2222244a b c d x a b c d x ++++++++22222222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,,,,a b c d x 不全相等，222202222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222244a b c d x a b c d x +++∴+++++取值为正.（2）()()222224a b c d a b c d +++≥+++由（1）知：()2222244a b c d x a b c d x ++++++++222202222a b c d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当2x a b c d -====时取等号），()()2222240a b c d a b c d ∴∆=+++-+++≤，即()()222224a b c d a b c d +++≥+++（当且仅当a b c d ===时取等号）.21．已知()y f x =是定义在D 上的函数，对于D 上任意给定的两个自变量的值12,x x ，当12x x ≠时，如果总有()()12f x f x ≠，就称函数()y f x =为“可逆函数”. (1)判断函数()11f x x x=+是否为“可逆函数”，并说明理由；(2)已知函数()2y f x =在区间()0,∞+上是增函数，证明：()()()21,0,F x f x x x =-∈+∞是“可逆函数”；(3)证明：函数()()31x f x a x a x=+∈-R 是“可逆函数”的充要条件为“0a =”. 【答案】(1)()11f x x x=+不是“可逆函数”，理由见解析(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据对勾函数的单调性可确定()1f x 与()2y a a =>恒有两个不同的交点，知()1f x 不是“可逆函数”；（2）任取210x x >>，可得()()()()21212221120x x F x F x f x f x x x --=-+>，知()F x 在()0,∞+上为增函数，符合“可逆函数”定义； （3）当0a =时，任取()()12,,00,x x ∈-∞+∞且12x x ≠，由()()123231120x x f x f x x x --=≠可知充分性成立；假设当()31x f x x a x =+-是“可逆函数”时，0a ≠，构造方程12x x a x+=-，化简整理为一元二次方程，由方程有两个不等实根可知121122112x x x a x x a x +=+=--，与“可逆函数”定义矛盾，知假设错误，必要性得证. 【详解】（1）()11f x x x=+在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()11min 12f x f ∴==， 则()1f x 与()2y a a =>恒有两个不同的交点，记为12,x x ， 则12x x ≠，()()1112f x f x a ==，不符合“可逆函数”定义，()11f x x x∴=+不是“可逆函数”. （2）任取210x x >>，则()()()()()()212122212221211211x x F x F x f x f x f x f x x x x x --=--+=-+； ()2f x 在区间()0,∞+上是增函数，()()22210f x f x ∴->，又210x x ->，120x x >，()()210F x F x ∴->，()F x ∴在区间()0,∞+上是增函数，则当12x x ≠时，()()12F x F x ≠恒成立， ()()()21,0,F x f x x x ∴=-∈+∞是“可逆函数”.（3）先证明充分性：当0a =时，()311f x x=+，则()3f x 的定义域为()(),00,∞-+∞；任取()()12,,00,x x ∈-∞+∞且12x x ≠，则()()123231211211110x xf x f x x x x x --=+--=≠，即()()3132f x f x ≠， ()3f x ∴为“可逆函数”，充分性成立；再证明必要性：假设当()31x f x x a x=+-是“可逆函数”时，0a ≠， 构造关于x 的方程：12x x a x+=-，化简可得：()2210x a x a -++=， 显然0x =与x a =均不是方程的根，又()22214410a a a ∆=+-=+>，解方程可得：1x =2x =12x x ≠，则121122112x x x a x x a x +=+=--，即()()31322f x f x ==，与()3f x 是“可逆函数”矛盾， ∴假设不成立，即0a =，必要性成立；综上所述：函数()()31x f x a x a x=+∈-R 是“可逆函数”的充要条件为“0a =”. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解和证明；解题关键是充分理解“可逆函数”的定义，将问题转化为函数单调性的证明或一元二次方程根的个数的讨论.第 11 页共 11 页。

浦东新区名校2022-2023学年高一上学期12月月考 数学试卷（时间90分钟，满分100分）一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,6A =，{}1,3,4B =，则A B =______．2．函数()21log 21y x =-的定义域为______．3．设α：14x ≤<，β：x m ≤，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 4．已知函数()5f x x a x a =-++-，若存在0x ∈R ，使得()204f x m m <+，则实数m 的取值范围为______． 5．已知函数331()5f x ax bx x=+--，且(2)2f -=，那么(2)f =______． 6．已知幂函数()122()2n f x n n x-=-在()0,+∞上为严格增函数，则n =______．7．若函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围为______． 8．已知曲线lg y x =上的相异两点A ，B 到直线1x =的距离相等，则点A ，B 的纵坐标之和的取值范围是______．9．设函数2,1()11,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若(1)f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为______．10．设平行于x 轴的直线l 分别与函数2xy =和12x y +=的图像相交于点A ，B ，若在函数2x y =的图像上存在点C ，使得ABC △为等边三角形，则C 点的纵坐标为______．11．若关于x 的不等式222x x a x x a +++--≥的解集为R ，则实数a 的范围是______． 12．已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33xg x =-同时满足以下两个条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <②总存在()0,2x ∈-∞-，使得()()000f x g x <成立，则m 的取值范围是______．二、选择题（本题满分16分，共有4题，每小题4分）13．若函数222,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（ ） A ．2- B ．2 C ．3-D ．314．函数3()6x f x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知定义域为R 的函数()f x 为偶函数，且()f x 在[)0,+∞是严格减函数，记23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()21c f t t =-+-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<16．若关于x 的方程24x kx x =-有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭三、解答题（本题满分48分，共有5小题） 17．（本题满分6分）证明：函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数． 18．（本题满分8分）设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 奇函数；（2）若3()2a f x +<对任意a R ∈成立，求a 的取值范围． 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，某校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为x 米（15x ≤≤）．现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价t 关于x的函数关系为23024014900t x x =-++．（1）设公司甲整体报价为y 元，试求y 关于x 的函数解析式； （2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分已知函数()()2()11f x m x mx m m R =+-+-∈．（1）若不等式()0f x <的解集是空集，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围．21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．（1）判断()g x x =是否是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由．（2）若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．浦东新区名校2022-2023学年高一上学期12月月考 数学试卷答案一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1．【答案】{}2,6 2．【答案】()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．【答案】[)4,+∞ 4．【答案】()(),51,-∞-+∞5．【答案】12- 6．【答案】17．【答案】[)1,+∞ 8．【答案】(),0-∞ 9．【答案】[]1,210． 11．【答案】2a ≥ 12．【答案】()3,2m ∈--二、选择题（本题满分16分，共有4题，每小题4分）13．【答案】D 14．【答案】D 15．【答案】B 16．【答案】D三、解答题（本题满分48分，共有5小题） 17．（本题满分6分）【答案】证：设1x 、2x 是定义域1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上任意给定的两个实数，且12x x <， 则1212120x x ->->，()()2112112x x ->- ()()()()()()21221112lg 12lg 12lg12x f x f x x x x --=---=-， 由对数函数的性质，可知()()2112lg012x x ->-所以，()()120f x f x ->因此，函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数18．（本题满分8分） 【答案】（1）因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，可得1a =-因为2112()()2121x xxx f x f x -----===-++， 所以1a =-时()f x 为奇函数，所以1a =-（2）3()3(1)22x a f x a a +<⇔-<+ 当1a >-时，321x a a -<+恒成立，∵20x >，∴301a a -≤+，∴13a -<≤当1a =-时，40-<恒成立，所以1a =-当1a <-时，321x a a ->+恒成立，()Q20,x ∈+∞，显然不满足题意．综上所述，13a -≤≤ 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 【答案】（1）解：因临时隔离室的左右两侧的长度均为x 米，则隔离室前后面的地面长度为20x米， 于是得20252003225032340012003400y x x x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭，15x ≤≤，所以y 关于x 的函数解析式是()251200340015y x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭．（2）解：由（1）知，对于公司甲，25120034001200340015400x x ⎛⎫++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当25x x=，即5x =时取“=”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，对于公司乙，函数23024014900t x x =-++在[]1,4上单调递增，在[]4,5上单调递减，即乙公司最高报价为15380元，因1538015400<，因此，无论x 取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分【答案】（1）当10m +=时，即1m =-，则由()20f x x =-<，得2x <，不合题意， 当10m +≠，即1m ≠-时，由不等式()0f x <的解集为∅得()()210Δ4110m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩，解得3m ≥，所以m 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭； （2）因为()f x m ≥，所以()2110m x mx +--≥，即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦， 当10m +=，即1m =-时，解得1x ≥，所以不等式的解集为[)1,+∞， 当10m +>，即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭， 因为101m -<+，所以不等式的解集为[)1,1,1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当10m +<，即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭， 因为21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+， 所以不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦， 综上，当1m =-，不等式的解集为[)1,+∞，当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当21m -<<-时，不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦； （3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆，所以对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，令2t x =-，则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以2222131(2)(2)1333x t t x x t t t t t t-===-+---+-++-，由基本不等式可得3y t t =+≥=3t t=，即t =时取等号，所以当2x =221x x x --+取最大值，最大值为1-+=， 所以m的取值范围为,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分 【答案】解： （1）[)()()()1,f x g x x x x -===∈+∞在区间[)1,+∞上单调递减，且(]()()0,1f x g x -∈，得证． （2）因为函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数， 所以()()11mf xg x x-=-≤，在区间[)4,+∞上恒成立，即08m ≤≤． （3）不存在。

上海市浦东新区2024学年数学高三第一学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382432．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞，3．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 4．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．5．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．356．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25B ．32C ．35D ．407．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．BC ．3D ．38．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．29．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．112．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市浦东新区高一上学期数学人教A版-指数函数与对数函数-专项提升(3) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）A . B . C . D .（﹣1，0）（0，1）（1，2）（2，3）2. 在下列个区间中，存在着函数f（x）=2x 3﹣3x﹣9的零点的区间是（ ）A .B .C .D . 3. 在下列各个区间中，函数 的零点所在区间是（ ）A .B .C .D .4214. 已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根 ， ， 则的最小值是（ ）A .B .C .D .12111095. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，且f（x）=f（x+2），g（x）= ，则方程g（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）A .B .C .D .6. 函数 的零点所在的大致区间是（ ）A .B .C .D .2 且2 或27. 设函数y=a x （a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值是M，最小值是m，且M=2m，则实数a=（ ）A .B .C .D .5688. 已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则 （ ）A .B .C .D .9. 已知函数的图象与函数 （ ， ）的图象交于点 ，如果 ，那么a的取值范围是（ ）A .B .C .D .1.2 1.3 1.4 1.510. 若函数f（x）=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.438）=0.165f（1.4065）=-0.052A . B . C . D .α＜βα＞βα=β无法确定α与β大小11. 方程x﹣log x=3和x﹣log x=3的根分别为α，β，则有（ ）A .B .C .D .12. 函数 的定义域为（ ）A .B .C .D .13. 函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 ．14. 设函数 且 ，则该函数的图象恒过定点的坐标是 .15. 化简 的结果是 .16. 对于任意的 ，函数 的图象恒过定点，则此定点坐标是 .得分17.(1) 求值：(2) 求值：18. 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2% 试回答下面的问题：（提示： ； ）(1) 写出该城市人口总数 （万人）与年份 （年）的函数关系式；(2) 计算10年以后该城市人口总数（精确度为0.1万人）；(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人（精确度为1年）.19. 已知函数对一切实数都有成立，且.(1) 求的值和的解析式；(2) 若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.20. 如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g（x）=x b“拼接”而成．(1) 求F（x）的解析式；(2) 比较a b与b a的大小；(3) 已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b ， 求m的取值范围．21. 已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 当时，设 ， 且 ， 求（用表示）；正整数(3) 在（2）的条件下，是否存在 ， 使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)。

上海市浦东新区部分学校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．已知集合A ={1,2,3,4,5}，集合{0,2,4,6,8}B =，则A B =.3．用列举法表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为.4．把不等式|1|2x -<的解集用区间表示：.5．关于x 的不等式(3)m x x m +<+解集为空集，则实数m 的值为.6．当36a <<=.7．已知集合(1,)A =+∞，集合(,)B a =-∞，且A B B = ，则实数a 的取值范围是.8．已知等式2235(21)(1)x x a x x c ++=+++恒成立，则实数c =.9．已知12x >，则121x x +-的最小值为10．关于x 的方程222(1)40x m x m +-+=有两个互为倒数的实数根，则实数m 的值为.11．已知关于x 的不等式22101kx kx x -+≤+的解集为空集，则实数k 的取值范围是12．若规定由整数组成的集合0,1,2,,}{E n = ，10n ≥，N ∈n 的子集123}{,,,,m a a a a 为E 的第k 个子集，其中3122222m a a a a k =++++ ，则E 的第2024个子集是.二、单选题13．“1x >”是“2x >”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．命题“对任意的实数x ，都有210x x ++>”的否定形式是（）.A ．存在实数x ，使得210x x ++≤B ．对任意的实数x ，都有210x x ++≤C ．存在实数x ，使得210x x ++>D ．存在无数个实数x ，使得210x x ++>15．若a b c R ∈、、，则下列四个命题中，正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b >16．已知||||x y ≠，||||||x y a x y -=-，||||||x y b x y +=+，则,a b 之间的大小关系是（）.A ．a b>B ．a b <C ．a b =D ．a b≤三、解答题17．化简：113232211166(8)63a b a b a b⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭.18．（1）对于实数x ，比较221x +与2x x +的大小；（2）对于实数x ，比较|2152|||x x --+与4的大小.19．若不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}.（1）求a ，b 的值；（2）求不等式11ax bx +-≥0的解集.20．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h 的小道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离S （m ）与车速x （km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1S x x =+甲，20.0050.05S x x =+乙.问：甲、乙两车有无超速现象？21．设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+++-=.(1)若{}2A B = ，求实数a 的值；(2)若集合B 中有两个元素1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并用含a 的代数式表示12x x -；(3)若全集U =R ，A B =∅ ，求实数a 的取值范围.。

四校（奉贤金山青浦松江）高一月考数学试卷2019.05一. 填空题1. 角215-︒属于第 象限角2. 在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为 米3. 在数列{}n a 中，12a =，13n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为4. 函数sin()y x ϕ=+，[0,]ϕπ∈为偶函数，则ϕ=5. 方程22sin 5sin 20x x ++=在R 上的解集为6. 4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-=+++ 7. 若函数2arcsin(cos )y x =的定义域为2[,]33ππ-，则它的值域为 8. 设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是 9. 将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应表 达式为22sin y x =，则函数()y f x =的表达式可以是10. 在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（1为边长不可以作成一个三角形；（2为边长一定可以作成一个锐角三角形；（3为边长一定可以作成一个直角三角形；（4为边长一定可以作成一个钝角三角形；11. 数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，其前n 项和n S ，则2019S = 12. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin()0142()1()114x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=（a ∈R ）有且仅有6个不同实数根，则 a 的取值范围是二. 选择题13. 在△ABC 中，如果sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则△ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形14. 某中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，如设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A 、B 两地之间的距离，某同学选定了与A 、B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：① 测量A ∠、AC 、BC ；② 测量A ∠、B ∠、BC ；③ 测量C ∠、AC 、BC ；④ 测量A ∠、C ∠、B ∠；其中能唯一确定A 、B 两地之间距离的方案序号为（ ）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②15. 已知n S 是等差数列{}n a （*n ∈N ）的前n 项和，且56S S <，且678S S S =>，则下列 结论错误的是（ ）A. 6S 和7S 均为n S 的最大值B. 70a =C. 公差0d <D. 95S S >16. 函数2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是（ ） A.56π B. 76π C. 53π D. π三. 解答题17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）求25817a a a a +++⋅⋅⋅+的值.18. 已知△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，AB = （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长.19. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2,2)x π+-.（1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值.20. 某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活， 现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中 两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中 AP AB BQ ==，23PAB QBA π∠=∠=，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果， 要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离都不超过60米（即要求60PO ≤）， 设OAB α∠=，(0,)3πα∈.（1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()g x f x f x α=⋅+，其中α是常数.（1）设()cos sin f x x x =+，2πα=，求()g x 的解析式；（2）设计一个函数()f x 及一个α的值，使得()2cos (cos )g x x x x =；（3）当()|sin |cos f x x x =+，2πα=时，存在12,x x ∈R ，对任意x ∈R ，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值.参考答案一. 填空题1. 二2. 203π3. 31n a n =-4. 2π 5. {|26x x k ππ=+或52,}6x k k ππ=+∈Z 6. 1257. [,]3ππ- 8. 3(0,]2 9. ()sin 2f x x = 10. （2） 11. 1009 12. 5(0,1]{}4二. 选择题13. D 14. B 15. D 16. C三. 解答题17.（1）29n a n =-；（2）60.18.（1）34C π=；（219.（1）1()2sin()26f x x π=+，02=3x π；（2）7(49f θ-. 20.（1）4003π平方米；（2）能. 21.（1）()cos2g x x =；（2）()2cos f x x =，3πα=-（取23k παπ=-，k ∈Z 中一个都可以）；（3）12min 3||4x x π-=.。

1浦东新区2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}12345,2A ,,,,B xx ==≤∣,则A B ∩= . 2.不等式12x −<的解集为 .3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,当()0x ,∈−∞时,()3222f x x x =+,则()1f = .4.已知0,0a b >>,且2a b =,则2b a+的最小值为 . 5.若2lg a =,则5lg = (用a 表示)6.函数()()11f x lg x x=++的定义域为 . 7.若函数()24f x x x a =−+的零点个数为1,则a = .8.若函数()()f x ax b a b R =+∈、的定义域是[1,2],值域是[2,3],则ab = .9.已知幂函数()()2211m f x m m x +=−−在区间()0,+∞上是严格减函数,则实数m = .10.方程1223x x x −+−=−的解集为 .11.不等式222log x x >−的解集为 .12.已知函数()2,,0x f x x x = ≥ ,若关于x 的不等式()()2f x a f x +≤的解集为R ,则实数a 的取值范围为 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的为（ ）A.0y =B.1y x= C.2y x = D.2x y =214.“1x >”是“11x<”（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要15.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的为（ ）A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油16.已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上严格增,记函数()()g x xf x =.对于如下两个命题:(1)存在函数()y f x =,函数()y g x =在R 上严格增;(2)存在函数()y f x =,函数()y g x =在R 上严格减.则（ ）A.(1)对(2)对B.(1)错(2)错C.(1)对(2)错D.(1)错(2)对三、解答题(共5道大题,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实根为12x x 、.(1)求1212,x x x x +;(2)求证:12x x −=.318.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)已知函数()22f x x x =−.(1)证明函数()f x 在区间(]1,−∞上是严格减函数;(2)求函数()f x 在区间[]22,−上的最值.19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)已知函数()2,f x ax x a x R =−−∈.(1)当1a =时,求函数()y f x =的零点;(2)若函数()y f x =为偶函数,求实数a 的值.20.（本题满分16分.本题共有2小题)诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为r=.6.24%（1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）?（2）设()=表示为第x(x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为y f x()1=的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖f),试求函数()y f x获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符,并说明理由.4521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)定义:如果存在实常数a 和b ,使得函数()f x 总满足()()2f x f a x x b −−=+,则称函数()f x 是“()a,b 型函数”.（1）已知奇函数()y f x =是“()00,型函数”,求函数()y f x =的解析式;(2)已知函数()()1(0,1)x f x lg p p p =+>≠是“()0,b 型函数”,求p 和b 的值;(3)已知函数()()231f x x kx =−+是“()a,b 型函数”,求一组满足条件的k a 、和b 的值,并说明理由.6参考答案一、填空题1.{}12,2.()13,−3.04.25.1a −6.()()100,,−∪+∞7.48.-4或1 9.-1 10.(][)12,,−∞∪+∞ 11.()1,+∞ 12.14, −∞−11.不等式222log x x >−的解集为 .【答案】()1,+∞【解析】画出222x y y log x ==−的图象,如图所示:观察图象知,1x =时两图象相交,所以不等式222log x x >−的解集为()1,+∞.故答案为:()1,+∞.12.已知函数()2,,0x f x x x = ≥ ,若关于x 的不等式()()2f x a f x +≤的解集为R ,则实数a 的取值范围为 . 【答案】14, −∞−【解析】函数()2,0,0x x f x x x < = ≥,由一次函数和二次函数的性质可知, ()f x 在R 上单调递增,所以不等式()()2…f x a f x +的解集为R ,等价于不等式2…x a x +在R 上恒成立,即不等式2…a x x −在R 上恒成立,设()221124g x x x x =−=−− ,则()14min g x =−,所以14a ≤−,故答案为14, −∞− . 二、选择题13.D 14.A 15.D 16.A15.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆7汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的为（ ）A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于选项A ,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升,故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米,故A 错误;对于选项B ,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最小,故B 错误,对于选项C ,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,里程为80千米,燃油效率为10,故消耗8升汽油,故C 错误,对于选项D ,因为在速度低于80千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,故D 正确.16.已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上严格增,记函数()()g x xf x =.对于如下两个命题:(1)存在函数()y f x =,函数()y g x =在R 上严格增;(2)存在函数()y f x =,函数()y g x =在R 上严格减.则（ ）A.(1)对(2)对B.(1)错(2)错C.(1)对(2)错D.(1)错(2)对【答案】A【解析】()()()()g x xf x xf x g x −=−−=−=−,()g x ∴是奇函数,()g x ∴在[)0,+∞上的单调性与在R 上的单调性相同.(1)若()2f x x =,则()3g x x =,显然()g x 在R 上是增函数,故命题(1)为真命题;(2)若当0…x 时,()1x f x e −=−−,则()()()12,11,,x x x x x x x g x xe x g x e xe g x e e −−−−−=−−∴=−+−=−=′′′∴∴当02,…x g <′′时()0x >,当2x >时,()0g x ′′<,()()21210,…g x g e ∴−′<′=8()g x ∴在[)0,+∞上单调递减,故命题(2)正确.故选A .三．解答题 17.(1),;b c a a −(2)略 18.(1)略; (2)最大值为8,最小值为-1(2)0 20.（本题满分16分.本题共有2小题) 诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为6.24%r =.（1）请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）?（2）设()y f x =表示为第x (x 是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为()1f ),试求函数()y f x =的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符,并说明理由.【答案】（1）(1)101万美元; (2)相符【解析】（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为()1195161 6.24%19516 6.24%20124.8992201252×+−××=≈万美元; 每项奖金发放额为1119516 6.24%101.483210162 ×××=≈万美元； (2)由题意知:()119516f =,()()()()1211 6.24%12f f f =⋅+−⋅()()6.24%11 3.12%f ⋅=⋅+()()()()1321 6.24%22f f f =⋅+−⋅()()()()26.24%21 3.12%11 3.12%f f ⋅=⋅+=⋅+9所以,()()()1*195161 3.12%.x f x x N −=⋅+∈ 则2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为()()1314195161 3.12%,f =⋅+即2012年度诺贝尔奖各项奖金额为()1114 6.24%15162f ×××≈万美元，与150万美元相比多了1万美元,计算结果与新闻不符.21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)定义:如果存在实常数a 和b ,使得函数()f x 总满足()()2f x f a x x b −−=+,则称函数()f x 是“()a,b 型函数”.（1）已知奇函数()y f x =是“()00,型函数”,求函数()y f x =的解析式;(2)已知函数()()1(0,1)x f x lg p p p =+>≠是“()0,b 型函数”,求p 和b 的值;(3)已知函数()()231f x x kx =−+是“()a,b 型函数”,求一组满足条件的k a 、和b 的值,并说明理由.【答案】(1)()2x f x =; (2)10,0p b ==; (3)12,,12a k b ===− 【解析】(1)由题意奇函数()y f x =是“()00,型函数”,所以()()f x f x =−−,且()()f x f x x −−=联立解得函数()y f x =的解析式为()2x f x =; (2)由题意函数()()1(0,1)x f x lg p p p =+>≠是“()0,b 型函数",()()()()()()1,111x x x x x p f x f x x b f x f x lg p lg p lg lgp xlgp p −−+−−=+−−=+−+===+所以而所以xlgp x b =+恒成立,当且仅当1lgp =,0b =时成立,解得10,0p b ==, 即满足题意的p 和b 的值分别为10,0;10 (3)由题意函数()()231f x x kx =−+是“()a,b 型函数",所以()()2,f x f a x x b −−=+而 ()()()()()()()()22223333212121212f x f a x x kx a x k a x x a x k x a −−=−+−−−+−=−−−−+− 所以()()()22331212x a x k x a x b −−−−+−=+恒成立,当且仅当()()22331210x a x −−−−=,21,2k ka b =−=时成立, 当且仅当112,21x x a k −=+−=,2ka b −=恒成立或112x x a −=−−+,21,2k ka b =−=恒成立(舍去),所以112,21,2a k ka b −=−=−=,解得11,1,2a b k ==−=, 即满足条件的k,a 和b 的一组值分别为11,1,2a b k ==−=.。