2018届高中数学人教A版 解三角形单元测试(Word版,含答案)3

解三角形一、单选题1．在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒， c=1，则最短边长为（ ）A C ．12D【答案】B【解析】由题意，易知B C A <<，所以b 最小．由正弦定理，得sin sin c B b C == 2．已知ABC ∆中，2=a ，3=b ， 60=B ，那么=∠A （ ）A ． 45B ． 90C ． 135或 45D ． 150或 30 【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理，B bA a sin sin =得：22360sin 2sin sin 0===bB a A ，由于b a <，则B A <，于是045=A ，选A. 考点：利用正、余弦定理解三角形.【易错点评】利用正弦定理求三角形的内角，当求出b a <22sin =A 时，容易得出045=A 或 135，这时务必要研究角A 的范围，由于，则B A <，说明角A 为锐角，所以045=A .3．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（ ）A ．AB > B ．sin sin A B >C ．cos cos A B <D ．sin2sin2A B > 【答案】D【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确； 由正弦定理可知， sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确； 当90,30A B ==时， a b >，但sin2sin2A B <，所以D 错误。

故选D 。

点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用。

本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率。

4．在∆ABC 中，,30,,1=∠==A x b a 则使∆ABC 有两解的x 的范围是（ ）A 、)332,1( B 、),1(+∞ C 、)2,332( D 、)2,1( 【答案】D 【解析】试题分析：结合图形可知，三角形有两解的条件为,sin b x a b A a =><，所以01,sin 301b x x =><，12x <<，故选D 。

相似三角形单元测试卷（共100分）一、填空题:（每题5分，共35分）1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽 是 cm （保留根号）．3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则S S ADE ∆=四边形DBCE : ．图1 图2 图34、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种）5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条．图4 图5 图66、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ．7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝ ． 二、选择题: （每题5分，共35分）8、若k bac a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 图7 图8 图910、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ，则FG 的长为（ ）A 、8cmB 、6cmC 、64cmD 、26cm 11、下列说法中不正确的是（ ）A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似；B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似；C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似；D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似.12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:413、两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ）A ．1∶3B ．1∶9C ．1D ．2∶314、下列3个图形中是位似图形的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 三、解答题（15题8分，16题10分，17题12分，共30分） 15、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，试说明AD ·BC=BE ·AC16、如图所示,小华在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部,当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离;(2)当小华走到路灯B时,他在路灯A 下的影长是多少?17.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2） （1）当t=1秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．AB C ED参考答案一、 填空题：（1）、1或4或16；（2）、±6；（3）、-94；（4）、1.6或2.5；（5）、)15(10 ； （6）、1：8；（7）、∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB ；（8）、31.5； （9）、0.2；（10）、3；（11）、2.4；（12）、1：2三、作图题： 23、（略） 四、解答题：24、证明：∵AD 、BE 是△ABC 的高 ∴∠ADC=∠BEC ∵∠C=∠C∴△ADC ∽△BEC ∴AD ：BE=AC ：BC ∴AD ×BC=BE ×AC25、解：由图得，AB=5，AC=25，BC=5，EF=2，ED=22，DF=10， ∴AB ：EF=AC ：ED=BC ：DF=5：2∴△ABC ∽△DEF26、解：过点C 作C E ∥AD 交AB 于点E ，则CD=AE=2m ，△BCE ∽△B /BA / ∴A / B /：B /B=BE ：BC 即，1.2：2= BE ：4 ∴BE=2.4∴AB=2.4+2=4.4答：这棵树高4.4m 。

解三角形一、单选题1．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， a =2，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为A B ．2 C ． D ． 【答案】A【解析】由正弦定理得: ()()()2b a b c b c +-=-,即224b c bc +-=,由余弦定理得:2241cos 222b c bc A bc bc +-===, 3A π∴=,又2242b c bc bc bc bc +-=≥-=,4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时取等号,此时ABC ∆为正三角形,则ABC ∆的面积的最大值为11sin 422S bc A ==⨯=故选A. 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.2．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CB A sin sin sin -=（ ） A53 B 53± C 54 D 54± 【答案】D 【解析】试题分析：根据正弦定理可知C BA sin sin sin -84105BC AC AB ,故选D. 考点：正弦定理，双曲线的定义. 3．如果等腰三角形的顶角的余弦值为35，则底边上的高与底边的比值为 A ．12 B ．45 C ．23D ．1 【答案】D【解析】设等腰三角形的顶角为2α，底边上的高为h ，底边长为2x ，由三角形知识得tan x h α=，∵3cos 25α=，∴222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===++，∴1tan 2xhα==，∴2h x =，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D 4．ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，b =，45A =︒，则B =（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒ 【答案】A【解析】由正弦定理可得：a bsinA sinB=，1222bsinA sinB a ===. 又因为2a =，b =， a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b ，a cos C =c （2-cos A ），则cos B =（ ） AB ．14CD【答案】B【解析】∵a cos C =c （2-cos A ），∴a cos C +c cos A =2c ，由正弦定理可得：sin A cos C +sin C cos A =2sin C ， ∴sin B =sin （A +C ）=2sin C ， ∴b =2c ，由a =b ，可得a =b =2c ，∴22221cos 2224a cbc B ac c c +-===⋅．故选：B ．6．在ABC ∆中，已知A=45，2,a b ==B 等于（ ）A ．30B ．60C ．150D ．30或150 【答案】A 【解析】 试题分析：由正弦定理得045,21sin sin sin sin 0>>∴>==⇒=B b a A a b B B b A a 故知B=300,所以选A. 考点：正弦定理.7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若060=A ，045=B ，6=a 则=b （ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin a bA B=，即006sin 60sin 45b =，得006sin 452sin 60b ==，选B ．考点：正弦定理 8．在中，则等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150° 【答案】D【解析】试题分析：由已知得b 2+c 2-a 2=−√3bc,根据余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=−√32, ∴∠A =150°.考点：1、余弦定理；2、特殊角的三角函数值.9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边长，b 和c 是关于x 的方程x 2﹣9x+25cosA=0的两个根（b ＞c ），且，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，利用正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2=bc ，进而利用余弦定理求cosA ，从而可求sinA 的值，由方程x 2﹣9x+25cosA=0，可得x 2﹣9x+20=0，从而b ，c ，利用余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，可求得a ，直接判断三角形的形状即可．解：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，∴sin 2B+sin 2C ﹣sin 2A=sinBsinC ， 由正弦定理：∴b 2+c 2﹣a 2=bc ，由余弦定理cosA==，∴sinA=，又∵由（1）方程x 2﹣9x+25cosA=0即x 2﹣9x+20=0，则b=5，c=4， ∴a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，∴a=3， ∴b 2=c 2+a 2，三角形是直角三角形10．在锐角三角形中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab的取值范围是（ ） A ．3232 B ．)2,2 C ．2,3 D ．02（，） 【答案】A 【解析】2,B A =∴由正弦定理sin sin a bA B=得：sin sin sin 1sin sin22sin cos 2cos a A A A b B A A A A ====， B 为锐角，即090B <<，且2,B A A=∴C为锐角，0290{ 0180390A A ︒︒︒<<<-< ,所以233045,cos 22A A <<∴<<22cos 3A <<， 31232cos 2A <<ab 的取值范围是3232，故选A. 11．已知ΔABC 的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．8√2 D ．4√2 【答案】A【解析】分析：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，得AB ⋅AC =8，再由均值不等式，即可求解2AB +AC 的最小值.详解：由题意知ΔABC 的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．若ΔABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2−c2=4，且C=60∘，则ab的值为（）A．34B．23C．32D．43【答案】D【解析】【分析】：根据题意和余弦定理，直接求解。

解三角形一、单选题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a2+c2－b2=3ac ，则角B 的值为A 、6πB 、3πC 、6π或65πD 、3π或32π【答案】A 【解析】略 2．ABC ∆中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 【答案】B 【解析】因为sin cos cos a b c A B C ==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== ,即ABC ∆为等腰直角三角形，选B.3．已知△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝1 ：1 是A ．60°B ．90°C ．120°D ．135° 【答案】C 【解析】略4．锐角ABC ∆中，若2A B =，则ab的取值范围是A 、()1,2B 、(C 、)2D 、【答案】D 【解析】略5．（2015秋•潍坊期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足bcosC=a ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】C【解析】试题分析：已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a 2+c 2=b 2，利用勾股定理即可判断出△ABC 的形状．解：在△ABC 中，∵bcosC=a ， ∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a 2+c 2=b 2，∴利用勾股定理可得△ABC 的形状是直角三角形． 故选：C ．考点：正弦定理；余弦定理．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的（ ）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得2sin sin a bR A B==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），则2sin a R A =， 2sin b R B =， 2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的充分必要必要条件，故选A.考点：本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.视频7．在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形（ ） A ．一个也没有 B ．有无数个 C ．仅有一个 D ．仅有2个 【答案】C 【解析】试题分析：设三边长分别是x ，x+1，x+2（x ∈N *） ∵三角形ABC 是钝角三角形ABC ∴最长边所对的角为钝角，可得x 2+（x+1）2＜（x+2）2，整理得x 2﹣2x ﹣3＜0 解之得﹣1＜x ＜3，满足条件的正整数x=1或2但是三边为1、2、3时，不能构成三角形；而三边为2、3、4时，恰好构成钝角三角形 因此满足条件的三角形只有1个 考点：三角形的形状判断8．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角 【答案】C 【解析】试题分析：利用三角形内角和可将已知条件化为，B C 2sin 2sin =,2C B π=+=∴或C B ，故选C ．考点：三角形形状的判断．9．在ABC ∆中， •3AB BC =,其面积32S ⎡∈⎢⎣，则AB BC 与夹角的取值范围为（ ） A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．23,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设|,?AB c BC a ==， AB 与BC 的夹角为θ33cos ?,AB BC ac ac cos θθ∴⋅==∴＝13332222S acsin tan tan θθθ∴≤≤＝＝ 144tan ππθθ∴≤≤≤≤.故选B ．10．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若4AB DB =，1()4CD CA CB R λλ=+∈，则λ的值为A ．23 B. 34 C. 23- D ． 34-【答案】B 【解析】略11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinA =sinC ，则△ABC 一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 【答案】B【解析】由正弦定理设asinA =bsinB=csinC=k，又sinA=sinC，即ak=ck，所以a=c．故选B．12．在ΔABC中，b=asinC,c=acosB，则ΔABC一定是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】B【解析】在ΔABC中，∵b=asinC,c=acosB，由正弦定理可得sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1,∴A=π2，∴sinC=sinAsinB，即sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故ΔABC一定是等腰直角三角形，故选B.二、填空题13．在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, a=1，且(bc−2)cosA+ accosB=1−b2，则△ABC面积的最大值为______________．【答案】√34【解析】【分析】根据余弦定理得到参数a的值，进而得到bc=1,根据重要不等式可得到面积的最值.【详解】由(bc−2)cosA+accosB=1−b2，得c(bcosA+acosB)+b2=1+2cosA，由bcosA+acosBc =sinBcosA+sinAcosBsinC=sin⁡(A+B)sinC=1，所以bcosA+acosB=c.所以c2+b2=1+2cosA，故cosA=c2+b2−12，又由余弦定理，cosA=c 2+b2−a22bc, a=1，故bc=1，又cosA=c 2+b2−12≥2bc−12=12，所以sinA≤√32，故S△ABC=12bcsinA≤√34，当且仅当b=c=1即△ABC为等边三角形时等号成立，所以△ABC面积的最大值为√34．故答案为：√34【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14．在ABC ∆中，有下列命题： ①sin sin a A b B =； ②sin sin a B b A =； ③cos cos a B b A =；④若sin sin A B >，则A B >； ⑤若A B >，则sin sin A B >． 其中恒成立的命题序号为_____________ 【答案】②④⑤ 【解析】试题分析：由正弦定理得，命题①等价于22b a =,显然只有等腰三角形时才成立；命题②显然成立；cos cos a B b A=B A B A A B B A =⇔=-⇔=⇔0)sin(cos sin cos sin ,故只有在等腰三角形时成立；B A b a B sin sin A >⇔>⇔>,显然命题④⑤成立，考点：运用正弦定理判断与三角形的命题。