结构动力学

特征值只能决定模态向量的方向，而不能决定其模长，因此可以正规化模态向量，即令某个分量取 值 1。 4.5 模态向量的正交性与展开定理 模态向量的正交性：r≠s 时，对模态向量，有[u (r)]T[m][u(s)]=0， [u(r)]T[k][u(s)]=0。 第 r 阶模态质量 Mr=[u(r)]T[m][u(r)]；第 r 阶模态刚度 Kr=[u(r)]T[k][u(r)] 有 ωr2=Kr/Mr 模态向量的正规化方法：将模态向量除以对应模态质量的平方根，即 [u(r)]/sqrt(Mr) N 个正规化模态向量组成矩阵为模态矩阵 U，有 UT[m]U=E，UT[k]U=[ωr2]，[ωr2]为系统的特征值矩 阵。 模态向量展 开，形成 系统方程 的通 解 ： q(t )
特解 X2 为： H () Ae 率！
it
，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频
2 n A cos t arctan 2 2 2 2 1 2 1 2 2 n n n
2 2 (t ) n → x(t ) 2n x x(t ) n A cos t ，设通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后
通解 X1 为：
x
2 0
v n x0 0

2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
i t
从相频曲线看，低频区，激励与响应同相，高频区激励于响应反相，阻尼区属于过度性。
3.5
3
2.5
=0.05 =0.15 =0.25 =0.5 =0.707 =1
2
()
1.5 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
/n
Fourier 级数分析法：将周期激励分解为基波和高次谐波，计算谐波响应，然后叠加 Fourier 变换法：激励具有的所有频率成分分解为无限多无限小的谐波组合，计算谐波响应然后叠加 脉冲响应函数法：激励分解为无穷多个不同幅值脉冲的组合，计算脉冲响应，然后叠加 2.2 周期激励 Fourier 级数分析法
m2 mn
k1 k2 k 2 [k ] c1 c2 c 2 [c ]
k2 k 2 k3 k3
k3
kn 1 kn kn
， kn kn kn 1 cn cn cn 1
2
若激励表示为 Aeit ，响应表示为 Xeit ，可表述 x(t ) H () f (t ) ，则 x(t ) H () Ae 共振频率 r n 1 2 2 ，有阻尼自然频率 d n 1 2 ， 因此，对共振的研究应考虑阻尼比 ξ=0.707 的特殊点。可利用共振曲线辨识 ξ。
i t
参考前文 x(t ) H () Ae
，∴周期激励下 x(t )
H ( p ) A e
p 1 0 p

i p0t p

响应与激励同周期，但发生波形畸变 对阻尼比=0 的情况，只要基频 ω0 是 ωn 的整数分之一时，就能共振。 2.3 非周期激励 Fourier 变换法
x2 (t ) C1r1 cos(1t 1 ) C2 r2 cos(2t 2 ) q1r1 q2 r2
写成矩阵形式
1 1 1 1 X Q ，其中 为模态矩阵，每列为模态向量。 r1 r 2 r1 r 2
3.4 自然坐标 坐标选取不当，则会发生弹性耦合（静力耦合）或惯性耦合（动力耦合） ，等等。
3.2 自然模态 两自由度系统存在 2 个自然频率，一大一小，全为正值。 系统振动的形态→固有振型： 系统在某自然频率下做同步简谐振动 （文中推导 2 自由度无阻尼振动 假设两质量块运动同步）时，2 质量块振幅比值或位移比值是确定的，且有系统本身特性确定。这个常 数比值确定系统的振动形态。
a i2 c u2 ri 振幅或位移比值， a、 b、 c 和 d 由系统决定，ω i 为固有频率， 2 个 b d i2 u1
(t ) cx (t ) kx(t ) kf (t ) Ap eip0t ， mx
p 1

周期激励
A e
ip p 1 p

0t
： ω0 是基频， (p=2,…,inf)时 pω0 是高次谐波， Ap 为 p 次谐波的幅值， 复变量。
傅里叶变换 Ap
2 T ip0t 2 dt T f (t )e T 2
1 2
Fourier 逆变换 f (t )



F ( )eit dt
Fourier 变换法求解振动系统非周期激励响应：将 f(t)进行 F 变换，求得频谱密度 F(ω)，由 F(ω)H(ω) 计算 X(ω)，然后进行 F 逆变换，求得 x(t)。 2.5 冲击与系统的冲击响应 冲击问题的研究，由于阻尼在短时间内不能吸收冲击能量，因此研究冲击问题主要都是无阻尼模 型。 Ch3 两自由度系统的振动 分析方法与单自由度不同，是多自由度的特例 基本方程
量矩阵都是实对称矩阵，则 n 个自然频率都是正实根，最小的自然频率称为基频。于是针对第 r 个自然 频率和模态向量，有 q(t )( r ) u ( r ) cos r t r 。 ∴有无阻尼自由振动通解 q(t )
C u
r 1 r
n
(r )
cos r t r
将 q1 和 q2 代入运动方程，将物理坐标 X 变换为自然坐标 Q，则产生解耦运动方程
1 12 1 0 q 1 q 1 q 2 2 2 q 2 0
Ch4 多自由度振动的基本知识 广义坐标：能够完备的描述系统运动的一组独立的参变量 完备是指能够充分确定系统任意时刻的运动， 独立指坐标在相互之间不存在函数关系， 其数量即系 统的自由度。广义坐标不唯一，广义坐标的总体构成“位形向量” ，位形向量的空间是“位形空间” 。 广义坐标的选择需要与广义力适应，使得两者乘积的量纲为 [功 ]。 4.2 n 自由度运动方程 刚度矩阵[k]，阻尼矩阵 [c]，这里用“[]”表示矩阵。质量矩阵 [m] diag m1
2 n A cos t arctan 2 2 1 2 1 2 2 i n n n

n X 1 幅频特性 H ( ) ，相频特性 ( ) arctan 2 2 A 1 2 2 i 1 2 n n n
振幅和相位由初始条件确定。确定自然频率的方法： 1、 静变形法： kx mg ， n
g x
2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能 Tmax=势能 Vmax。 1.4
2 (t ) cx (t ) kx(t ) 0 s 2 2n s n 有阻尼自由振动 mx 0 ，通解 Aewt
c2 c2 c3 c3
c3
cn 1 cn cn
对[k]和 [c]，主对角线元素为与 mj 相连的所有刚度和阻尼的和，mi 和 mj 之间的刚度和阻尼构成非 对角线元素，取负值，[k]和[c]都是对称矩阵， [m]则不一定是对角矩阵。
(t )} [c]{q (t )} [k ]{q(t )} Q(t ) 系统运动微分方程 [m]{q
4.4 无阻尼自由振动特征值 无阻尼系统自由振动： m q (t ) k q (t ) 0

若假设各质量块的运动是同步的，即设 q j (t ) u j f (t ) ，各广义坐标下的振幅比或位移比是常值，
由此代入无阻尼自由振动方程，有 f (t ) f (t )
k u m u
j 1 ij j j 1 ij
n
n
j
，则有 f (t ) f (t ) 0 ，其
解的 形式 为 f (t ) C cos(t ) ，其 中 2 ，其 它则 为任 意 常数 。自 由 振动 方程 的 特征 方程
[m] 2 [k ][u ] 0 可以求出系统的 n 个自然频率以及自然频率对应的模态向量。如果刚度矩阵和质
x1 (t ) C1 cos(1t 1 ) C2 cos(2t 2 ) q1 q2
x2 (t ) C1r1 cos(1t 1 ) C2 r2 cos(2t 2 ) q1r1 q2 r2
x1 1 1 q1 此时，有 x 2 r1 r 2 q 2 ，即物理坐标通过模态矩阵变换到自然坐标。
T→inf， Σ→ 取 Re Ap e

ip0t
1 A e 2
p
ip0t
ip0t A* Bp eip0t B p e ip0t ，B0=A0/2，∴ f (t ) B p eip0t pe
inf

inf
Bp
1 T 1 p0 ip0t 2 f ( t ) e dt F ( ) f (t )e it dt ，离散变量 ωp→连续变量 ω T T T 2 T
通常自然频率可以很容易的通过实验测定， 但阻尼比 ξ 的计算或辨识则比较困难， 需要利用自由振 动衰减曲线计算。在间隔 1 个振动周期 T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值 A1 和 A2， A1/A2=EXP(ξω nT) Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t mx
1 k1 k 2 x1 c1 c2 c2 x k 2 x1 F1(t ) m1 2 k 2 m2 x2 c2 c2 c3 x k 2 k 3 x2 F 2(t )