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数值分析2014年复习题部分答案

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1.求一个次数不高于4次的多项式，使它满足
．
解法一（待定参数法）满足的Hermite插值多项式为
设，令得
于是
解法二（带重节点的Newton插值法）建立如下差商表
这样可以写出Newton插值公式
3.设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处与的值，并估计误差．
解步长，．在区间上的线性插值函数
分段线性插值函数定义如下
，
估计误差：在区间上
而
令得的驻点，于是
故有结论
，右端与无关，于是有
，
4. 设且．求证：
证明以和为插值节点建立的不超过一次的插值多项式
应用插值余项公式有
8. 求函数在指定区间上关于的最佳平方逼近多项式．
解对做线性变换，即
利用勒让德正交多项式为基建立的一次最佳平方逼近多项式
的最佳平方逼近为
10.计算积分，若复化梯形公式，问区间应分多少等份才能使截断误差不
超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份？
解由于，故对复化梯形公式，要求
即。

取，即将区间分为213等份时，用复化梯形
公式计算，截断误差不超过。

用复化辛普森公式，要求
即。

取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度。

12.已知。

（1）推导以这3个点作为求积节点在上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式所具有的代数精确度；
（3）用所求公式计算。

解（1）过这3个点的插值多项式
故
其中
故所求的插值型求积公式为
（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。

再将
代入上述求积公式，有
故上述求积公式具有3次代数精确度。

（3）
由于该求积公式具有3次代数精确度，从而为的精确度。

13.确定中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。

解令，代入公式两端并令其相等，得
解得
令，得
令，得故求积公式具有3次代数精确度。

17.用追赶法求解如下的三对角方程组
解设有分解
由公式
其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有
从而有
故，，，
故，，，
18.设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。

解雅可比法的迭代矩阵
，
故雅可比法收敛的充要条件是。

高斯-赛德尔法的迭代矩阵
，
故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。

19.设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。

证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故
又，故，
即，故故系数矩阵A按
行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。

23. 对于迭代函数，试讨论：
（1）当为何值时，产生的序列收敛于；
（2）取何值时收敛最快？
（3）分别取计算的不动点，要求
解（1），根据定理7.3，当，
亦即时迭代收敛。

（2）由定理7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。

（3）分别取，并取，迭代计算结果如表7-4所示。

此时都达到。

事实上，
24. 设，试确定函数
和，使求解且
以
为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。

解 要求三阶收敛到
的根
，根据定理7.4，应有
于是由
得
故取
即迭代至少三阶收敛。

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数值分析课后习题答案

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0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2


1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2


0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2


2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1



5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析考试卷及详细答案解答汇总

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姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

《数值分析》所有参考答案

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解：
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析复习题参考答案

数值分析复习题参考答案


x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a

所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )