数理统计例题

参数估计一、 知识点1. 矩估计法；极大似然估计法2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性）3. 区间估计的概念4. 会求一个正态总体期望μ和方差2σ的置信区间 二、习题解答1. 设总体X ～22()(),0p x a x x a a =-<<，求参数a 的矩估计。

解：22002()()()3a aa E X xp x dx ax x dx a ==-=⎰⎰令3aX =，⇒3a X =，由矩估计定义知a 的矩估计ˆ3aX =。

2. 设总体X ～()(1),01,ap x a x x =+<<求（1） 参数a 的矩估计，（2）参数a 的似然估计解：（1）112110001()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++⎰⎰ 令12a X a +=+，⇒211X aX -=-，由矩估计定义知a 的矩估计21ˆ1X a X-=-（2）似然函数()(;)(1)(1)()a n ai i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑， 由ln ()ln 01i d L a nx da a =+=+∑⇒ 1ln i n a x =--∑，得a 的极大似然估计ˆ1ln ina x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布，（1） 求参数a,b 的极大似然估（2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。

分别求a,b 的矩估计值和极大似然估值。

解：（1）总体X 的密度函数1,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他似然函数1,1,2,,()()(;,)0i ni a x b i n b a L a b p x a b ⎧≤≤=⎪-==⎨⎪⎩∏ ，其他显然， b a -越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ，所以能套住所有的i x 的最短区间（ˆa，ˆb ）应为：{}1ˆmin i i na x ≤≤=，{}1ˆmax ii nbx ≤≤=（2）由课本例题知，a,b的矩估计为ˆˆa X b X ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，代入样本值得矩估计ˆa＝1.31，ˆb ＝2.49；极大似然估ˆa＝1.4，ˆb ＝2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1>===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量;解.L (θ;x 1,x 2,...,x n ) ＝∏==ni i x XP 1)(= =θθ-=∏e x i x ni i1!1=θθn n i i x e x ni i-=∏∑=1!1lnL =∑∑==--n i ni iin x x 11!ln ln θθ,令θd L d ln =01=-∑=n xni iθ,θˆ=X X n n i i =∑=11为θ的最大似然估计量.6.设总体X 的均值为μ，试证2ˆσ＝211()n i i X n μ=-∑是总体方差2σ的无偏估计量。

数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。

《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。

分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。

()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。

例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。

分析：这是古典概型的问题。

另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。

解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。

只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。

注：这是加法公式的一个应用。

本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。

再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。

（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。

（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。

（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。

分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。

解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。

典型例题分析例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。

解 以21S 和22S 分别表示两个（修正）样本方差。

由222212σσy x S S F =知统计量2221222175.13520S S S S F ==服从F 分布，自由度为（7，9）。

1） 事件{}22212S S =的概率 {}{}05.320352352022222122212221===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯==⎭⎬⎫⎩⎨⎧===F P S S P S S P S S P因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。

2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：{}{}5.322221≥=≥=F P S S P p 。

由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。

由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<<p 。

例2．设n X X X ，，， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值。

解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度1-=n v ，于是，有{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.02222=≤≥-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。

我们欲求满足2,05.015.1v n χ≥-）（的最小1+=v n 值，由附表可见226,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。

概率论与数理统计自考题型一、选择题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X ≤ μ)等于（）A. 0B. 0.5C. 1D. 取决于μ和σ的值。

答案：B。

解析：正态分布的图像关于x = μ对称，所以P(X ≤ μ) = 0.5。

2. 若事件A与B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则P(A∪B)等于（）A. 0.7B. 0.8C. 0.6D. 0.9。

答案：A。

解析：因为A与B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4 + 0.5 - 0.4×0.5 = 0.7。

3. 设离散型随机变量X的分布律为P(X = k)=ck，k = 1,2,3，则c的值为（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3。

答案：A。

解析：根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1，即c+2c+3c = 1，解得c = 1/6。

4. 对于二维随机变量(X,Y)，如果X与Y相互独立，则（）A. Cov(X,Y) = 0B. D(X + Y)=D(X)+D(Y)C. 以上两者都对D. 以上两者都不对。

答案：C。

解析：当X与Y相互独立时，Cov(X,Y) = 0，且D(X + Y)=D(X)+D(Y)。

5. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的矩估计量为（）A. XB. 1/XC. X²D. 1/X²。

答案：A。

解析：根据泊松分布的期望为λ，由矩估计法，用样本均值X估计总体的期望λ。

6. 样本方差S²是总体方差σ²的（）A. 无偏估计B. 有偏估计C. 极大似然估计D. 矩估计。

答案：A。

解析：样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计。

7. 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则μ的置信区间为（）A. (X - zα/2(σ/√n),X + zα/2(σ/√n))B. (X - tα/2(s/√n),X + tα/2(s/√n))C. (X - zα/2(s/√n),X + zα/2(s/√n))D. (X - tα/2(σ/√n),X + tα/2(σ/√n))。

第八章例题1.在假设检验中，检验水平α的意义是：原假设0H 成立，经检验被____________的概率(填写“拒绝”或“接受”) 拒绝2.在假设检验中，犯第一类错误是指___ 弃真。

即0H 正确却被拒绝 __3. ),(~2σμN X ,当2σ未知时，为检验假设00:μμ=H 须构造统计量__________ nS x /μ- 4.从已知标准差 5.2σ=的正态总体中，抽取容量为16的样本，算得样本均值27.56x =，试在显著水平0.05α=之下，检验假设0:26H μ=.(0.025 1.96u =) 解：0:26H μ=)1,0(~/00N n x U σμ-=；0.05α=，/20.025 1.96u u α==； 算得 1.2u ==； 由于0.025u u <，所以在显著水平0.05α=之下，接受假设0:26H μ=.5.某产品按规定每包重为10kg ，现从中抽取6包进行测试，得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6若包重服从正态分布2(,)N μσ，且20.05σ=，问在显著性水平为0.05α=下，包的平均重量是否为10kg ？（0.025 1.96u =） 解01:10,:10.H H μμ=≠令, 9.9x =0.025||||| 1.095u 1.96x u ===<= 所以可以认为重量为10kg6. 工厂某电子元件平均使用寿命为3000小时，采用新的生产设备后，从中随机抽取20个,测得这批电子元件的平均寿命X =3100小时,样本标准差为S=170小时,设电子元件的寿命X 服从正态分布N ()2,σμ,试检验用了新生产设备后产品质量是否显著改变？(显著性水平01.0=α,54.2)19(01.0=t )解 0H :μ=3000, 1H :3000>μ0.01(19)t 显著改变 7. 设罐头番茄汁中维生素C 含量服从正态分布。

规定每罐维生素C 的平均含量为21毫克。

考点1：子样平均值、方差、顺序中位数、三种分布及其性质1. 设X 1，X 2，…，X n ，是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。

（填空）（★P30 题13）22(1,1)11022()(11)112123i x U a b E X EX b a n n n -+-+====-+===由 DX DX=n 2. 设母体X 具有正态分布N(0，1)，从此母体中取一容量为6的子样（X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，X 6）。

又设Y=(X 1+X 2+X 3)2+(X 4+X 5+X 6)2。

试决定常数C ，使得CY 服从χ2分布。

（★P30题15） 解：123456221234562(0,1)(0,1)3(0,1)33()3()33(2)i x N X X XN X X X N X X X X X X Y CY χ++⇒++⇒++++=+ 123456由于 则 X +X +X N(0,3) X +X +X N(0,3) 1则当 C=时，33. 设X 1，X 2，…，X n ，X n+1，…，X n+m 是分布为N(0,σ2)的正态母体容量为n+m 的子样，试求下列统计量的概率分布：（填空）（★P30题18）211122211(1);(2)nnii i i n mn m i i i n i n m X m X Y Y n X nX ==++=+=+==∑∑∑∑。

2211222222111122211(1)(0,)(0,)(0,1)(0,1)(1)()()i nini i i n mii i i n nini ii n mn miii n i n X N XX N n N n X X X N m Xm X n Y t m X nXmσσσχχσσσσσ==+=+==++=+=+⇒⇒⇒==∑∑∑∑∑∑∑ 由于 故22222221222122211222211(2)(0,)(0,1)(1)()()/(,)/i nii i i n mi i n nni ii i n mn mi i i n i n X N X X X N n X m X m X nY F n m X n X mσχχσσσχσσσ=+=+==++=+=+⇒⇒==∑∑∑∑∑∑由于4、设X 1，X 2，…，X n 来自N(0，1)的子样，则2121()()m m n x x b x x +++++ 服从什么分布且b 为多少。

《数理统计习题》一、填空题1、设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中 ，则称1(X ,,X )n g 为一个统计量。

2、设总体2(,)XN μσ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为4、假设检验的统计思想是5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为6、某地区的年降雨量2(,)XN μσ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,,,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N（2，1），2212,S S 分别为他们的样本方差，若2222221122(20),()(4)aS a b S χχχχ==+，则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则21X服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2(X )0.05P λ≥=，则λ=___________10、设样本1216,,,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若(X )0.99P λ>=，则λ=_________11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，令101611134i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分布为________________ 12、设样本1210,,,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2,X S 分别为样本均值与样本方差，令2210X Y S=，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1ˆθ，2ˆθ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。

2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。

3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。

4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。

5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。

6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。

以Y表示中途下车的人数。

（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。

7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。

（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。

为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。

12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。

13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。

15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。

为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。

第一章第一节例1：甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ，试替用A 、B 、C 表示以下事件。

1) 甲击中目标，乙、丙未击中；2) 三个人中恰有一个人击中目标；3) 三个人中至少有一个击中目标；4) 三个人中恰有两个人击中目标；5) 三个人中至多一个人击中目标；6) 三个人都击中了目标；7) 三个人都未击中目标。

解：1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ，或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ，或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（i ＝1，2，3），试用文字叙述叙述下列事件：1A 2A ，2A ，3A －2A ，C B A 。

解：1A 2A ：前两次射击中至少有一次击中目标；2A ：第二次射击未中目标；3A －2A ：第三次击中目标但第二次未击中目标；C B A ＝A B C ：三次射击中至少有一次击中目标。

第二节例1：同时掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。

解：试验样本空间 ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型问题。

设A 表示事件“出现一正一反”，则事件A 包含两个基本事件（正，反）、（反，正），所以)(A P =42=21 例2：一批产品中有7件正品和3件次品，现从中任取两次，每次任取一件产品，考虑下面两种抽样方式：（a ）第一次取出一件产品，观察是否合格后放回，混合后再取第二件。

这种抽样方式称为有放回抽样。

（b ）第一次取出一件产品不放回，第二次从剩下的产品中再取一件。

这种抽样方式称为无放回抽样。

分别就以上两种情况求：1) 取到的两件都是次品的概率；2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。

前四章一、 选择题（四选一）1．设事件B A 、至少有一个发生发生的概率为0.8，事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.7，则B A 、同时发生的概率为 （ ）（A ） 0.2 （B ）0.3 （C ） 0.4 （D ）0.5 2．已知随机变量X 服从(,)B n p , 则 （ ） (A) (),()(1)E X np D X np p ==- (B) (),()(1)E X p D X n p ==- (C) ()(1),()E X np p D X np =-= (D)()(1),()(1)E X p p D X np p =-=-二、填空题1. 设事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.7，若A 与B 是互不相容（互斥），则事件B A 、至少有一个发生的概率为 ；若B A 、相互独立，则事件B A 、至少有一个发生的概率为 ； 2、设A 与B 互为逆事件（对立事件），(),P A p =,则 ()P B = 。

3、设A 、B 是两个随机事件，()0.5P B =且,(|)0.5P A B =,则,则()P AB = ＿＿＿＿＿。

4、 设),(~p n B X ，则(23)E X -=_5、如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生．．．．K ．次．的概率＿＿＿＿＿；至少发生一次的概率＿＿＿＿＿；一次都不发生的概率为＿＿＿＿＿；6、 设随机变量~(0,1)X N ，X 的分布函数为 ()x Φ, 则(0)Φ= 。

7、 设随机变量()2~2,X N σ，则可以有以下结论：1）()2P X <= ；2）若已知()(),P X C P X C <=≥则 C = ；3）若P (2<X <4)=0.3, 求P {X <0}= 。

8、 设随机变量的概率密度1,02()20,x f x others ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 则P (X >0.9)= 9、设(),X U a b ，则(23)E X -=_10、 设随机变量服从[-a , a ]上均匀分布，其中a >0, 若P (X >1)=1/3，则a = . 11、 已知随机变量的密度函数为,others ,01()0ax b x f x +<<⎧=⎨⎩且P (X >0.5)=5/8, 则a = , b =12、 设离散型随机变量的分布律为1{}5(1,2,)2kP X k A k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A= 。

概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。

答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。

答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。

答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。

答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。

答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。

答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。