第八章 4复合函数求导法则

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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y

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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
eusin v x eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
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uv
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例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 ( u )2 ( u )2转换成
x y
极坐标系中的形式 解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y 2 arctan y x
v et u (sin t) cos t etcos tetsin tcos t et(cos tsin t)cos t
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例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
2w w 求 及 x xz
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
而 zx sin y 求
2ze x
2
2
2
u u 和 x y
解 u f f z 2xex 解
2
y2 z2
y2 z2
2x sin y

z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(

• TPM咨询：
• TPM的特点就是三个"全"，即全效率、全系统和全员参加。全效率:指设备寿命周期费用评价和 设备综合效率。全系统:指生产维修系统的各个方法都要包括在内。即是PM、MP、CM、 BM等 都要包含。全员参加:指设备的计划、使用、维修等所有部门都要参加，尤其注重的是操作者的 自主小组活动。
复合函数的微分公式为:
d[ f ( g( x))] f (u) g( x)dx
二、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a 1
(loga x) x lna
[ f ( g( x))]xx0 f (u0 )g( x0 ) f ( g( x0 ))g( x0 ) 证明：由 y f (u) 在 u0 g( x0 )可导也即可微
y f '(u0 )u o(u)
复合函数的求导法则可以写成:
dy dy du
dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量 求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.
)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u(x),v=v(x) 可导，则
(1) (u v) u v, (2) cu cu (c是常数,)
(3) (uv) uv uv,
u uv uv
(4) ( ) v
v2
.
3.复合函数的求导法则
设为dy dy du 或 y(x) f (u)(x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.