非参数可靠性模型中一些参数的区间估计
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i
, Y k ) m ax ( X j , Y k ) - U<
2
,
-1
分别为 N10 , N01 的相合估计 . 将 R2 N= 入式( 6 ) , 可以得到 . ( 3) 那么, U< - R N uA /2 / N ( U < - <) R N
d
1- U V ex p UV
N ( 0, 1) ,
第 29 卷 第 2 期 2009 年 2 月
北 京 理 工 大 学 学 报 T r ansactio ns of Beijing Institute of T echnolo gy
V ol. 29 No . 2 F eb. 2009
非参数可靠性模型中一些参数的区间估计
牟唯嫣 ,
( 1 . 北京理工大学 理学院 , 北京 摘
R ^ N uA/ 2 . N U V( 1 - U V) 由于 f 是递增函数, 基于上面的区间可解得 V 的第 2 个置信区间为 1+ 1+ 1 - UV ex p UV R ^ N uA/ 2 N U V( 1- U V) R ^ N u A/ 2 NU V( 1 - U V)
-1
E E max( X
-1 -1 * V
1 m n 2
EE
n
I( Y k > Xi ) I( Y k > Xj ) - U 2V
2 N
i< j
分别为 N 10 , N 01 的相 合估 计. 将 R ^ = NN ^ 10 / m + N N ^ 01 / n 代入式( 1 ) , 可以得到 N ( U V - V) d N( 0, 1) . R ^N 那么 , 得到下面的关于 V的渐近水平为 1 - A 的等尾置信区间 U V- R ^ N u A/ 2 / N, U V+ R ^ N uA/ 2 / N , ( 2) 式中 uA/ 2 为标准正态分布的上 A/ 2 分位点. 注意到 P( X < Y) I ( 0 , 1 ) . l ogit 变换 f( x ) = x log , 将( 0 , 1 ) 映射到整个 R 上 , 因此用变换后 1- x 的U - 统计量的渐近正态性可能会得到更好的区间 估计
* * * F m , Gn . X* 1 , X2 , , , X* m 和 Y1 , Y2 , , , Y*n 分别为
N( 0,
N 10 N 01 + ). K 1- K
( 1)
从经验分布函数 Fm , G n 抽取的 bootstr ap 样本. 令 U V 为 U V的 boot st rap 版本. 由 bootst rap U- 统计量 的渐近性质 , 知道 N ( U V- V) 的分布可由给定样 本下 N ( U *V - U V) 的条件分布来近似 . 因此, V的 渐近水平为 1 - A的第 3 个置信区间为
1
熊世峰 ,
2
徐兴忠
1
100081 ; 2 . 中国科学院 数学与系统科研究了非参数模型下的一些可靠性参数 的推断 . 基于 U- 统计量的渐近性质和变换方法 , 导出了这些参 数
的具有渐近正确覆盖率的置信区间 . 给出了比较 这些置信区间效果的模拟结果 . 关键词 : 自助法 ; 非参数 ; 可靠性 ; 变换方法 ; U- 统计量 中图分类号 : O 212 文献标识码 : A 文章编号 : 1001-0645 ( 2009 ) 02-0185-04
E
m
E I ( Y i > X k ) I ( Y j > X k ) - U V,
2
( 4) 式中 H V为给定样本下 U - U V的条件分布, 可以由 M onte Car l o 方法计算 . 定义给定样本下 f ( U * V ) - f ( U V) 的条件分布为 G V. 运用 l ogi t 变换和 bootstr ap 方 法, 知道 G V为 f ( U V) - f ( V) 的近似分布. 因此可得到 V的渐近水平 为 1 - A 的第 4 个置信区间为 1+ 1+ 1 - UV 1 ex p GV (1- A / 2) UV 1- U V -1 ex p G V ( A/ 2) UV
d
. N ( f ( U V) - f( V) ) fc( U V) R ^N
d
N 0,
N 10 N 01 + , K 1- K
( 6)
式中: N 10 = cov [ max ( X1 , Y 1 ) , m ax ( X 1 , Y 2 ) ] , N 01 = cov [ max ( X1 , Y1 ) , max ( X 2 , Y1 ) ] . 由 U- 统计量的 相合性得 N 10 = m N 01 = n 1 n 2 1 m 2 N N10 N N 01 + 代 m n
k = 1 i< j
基于 这 个 想法 , 由
N( 0, 1) 得 f ( V) 的渐近水平为 1 - A的置信区间 f ( U V) f ( U V) + R ^ N uA/ 2 , NU V( 1- U V)
k= 1 i< j
E E max ( X
n
m
k
, Y i ) max ( X k , Y j ) - U 2 <,
* <
5 000 , bootst rap 循环次数为5 000 . 对于 F , 作者考 虑了 4 种总体和 4 种样本大小. V的真值通过产生 50 万个随机观测值由 M onte Car lo 方法算出. 由于 篇幅所限, 本文中只列出 4 种总体情况中一种的模 拟结果 , 见表 1 .
Tab. 1
[ 10- 11 ]
, . ( 5)
2
< 和 U的推断
本节讨论 < 和 U 的推断问题. 首先考虑 <. 显 1 mn
然 , < 的 U- 统计量为 U < =
i= 1 j = 1
E E max ( X , Y ) .
i j
m
n
当 N = m + n y ] , m/ N y K I ( 0, 1) 时, 有 N ( U< - <)
下面给出式 ( 1 ) 中渐近方差的一个相合估计 . 分别构造 E[ I( Y 1 > X 1 ) I ( Y 2 > X1 ) ] 和 E[ I( Y 1 > X1 ) I( Y 1 > X2 ) ] 的 U- 统计量, 有 N ^ 10 = m N ^01 = 1 n 2
k= 1 k= 1 i< j
[ 8] [ 7]
1
V的推断
在本节中讨论 V的推断问题 , 给出它的四种置
信区间并通过模拟对 它们进行 比较. 一般 是通过 U- 统计量的渐近性质来构造 V的置信区间 . 由文献 [ 9 ] 中知道 V的 U- 统计量为 UV= 1 mn
E E I( Y
i= 1 j= 1
m
n
j
> Xi ) ,
收稿日期 : 2008 - 05 - 29 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10771015 ) 作者简介 : 牟唯嫣 ( 1981 ) ) , 女 , 博士生 , E -m ail: w eiyan mu@ sohu . com; 徐兴忠 ( 1962 ) ) , 男 , 教授 , 博士生导师 .
Interval Estimation of Parameters Under Nonparametric Reliability Models
M U Wei yan ,
1
XIONG Shi f eng ,
2
XU Xing - zhong
1
( 1 . Scho ol of Science, Beijing Institute of T echnolog y, Beijing 100081 , China; 2 . Academy of M athematics and Sy stems Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190 , China)
另外 , 可以应用 boot st r ap 方法得到 V的置信区 间, 这样就不需要估计渐近方差. 记基于 X1 , X 2 ,
N , U< + RN u A / 2/
N
( 7)
第2 期
牟唯嫣等 : 非参数可靠性模型 中一些参数的区间估计
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为 < 的渐近水平为 1 - A的等尾置信区间 . 注意到 < I ( 0 , ] ) , g ( x ) = log x 将 R+ 映射到 R, 有 N ( g( U< ) - g ( <) ) gc( U <) RN 可得 < 的置信区间为 R Nu A /2 R N uA /2 U < ex p , U < ex p < NU N U< . ( 8)
1 1 [ U V - HV ( 1- A / 2) , U V+ H V (1- A / 2) ] , *
10 = cov [ I ( Y 1 > X1 ) , I ( Y 2 > X1 ) ] ; N 01 = 式中 : N cov [ I( Y 1 > X1 ) , I( Y 1 > X 2 ) ] .
式 ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) CP
d
N ( 0 , 1) ,
表 1 V的置信区间比较 Comparison of confidence intervals of V
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