第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)43页PPT

应接近于零。
因此，拉格朗日乘数检验就是检验某些拉格朗日乘
数的值是否“足够大”，如果“足够大”，则拒绝
约束条件为真的假设。
检验思路：
H0:Y12X2 kmXkmu(有约束条 ) 件模型 H1:Y12X2 kmXkm kXku(无约束条件)
对于非约束的极大 估似 计然 量 UR,有LUnRL0. 若约束条件成 ，则 立施加约束条件 的下 极大似然估计量
但最终的极大似然 量估 都计 是一致的和
渐近有效。的
二、非线性约束 似然比检验和拉格朗日乘数检验
这两种检验所用统计量都是基于极大似然 估计法的计算,可用于检验数据是否支持某些参 数限制条件。
二、非线性约束
当对模型 Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型:
Yf(X1,X2, Xk,10 ,20 , p0)i p1i0(fi)|0
p f
i1
i(i)|0
u
f
一组令新左的边自为变一量个，新(的1因,变2,量 ，右p)边为未(知i )参|数0为，
则原模型转化成线性模型，可以用普通最小二乘
法来估计这些参数。
将(1,2,p)的第一次估计(值 11,记 21, 为p1),
对非线性约束，沃尔德统计量W的算法描述要复杂得多。
3、拉格朗日乘数检验（LM）
• 与W检验不同的是拉格朗日（Lagrange） 乘数（LM）检验只需估计约束模型。所以 当施加约束条件后模型形式变得简单时， 更适用于这种检验。LM检验是由艾奇逊— 西尔维（Aitchison-Silvey 1960）提出的。
首先，用OLS法估计约束模型，计算残差序列
e ty tˆ1ˆ2 x 2 t ˆqx qt

§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2， 二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。 交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T

已经有专门的软件(DEA)。
随机性前沿函数(Stochastic frontier)
基于统计技术，需要对技术效率的分布形式做出假定 ，利用最大似然法估计。
该法也已经得到广泛应用，也有多种专门的软件。
Frontier Limdep/Nlogit Stata
21
随机前沿函数
线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从 一组参数的初始值开始将非线性函数线性化，然后求 解线性方程组并得到新的估计值；重复上述步骤直到 估计结果达到收敛标准或达到最大迭代次数时为止。
10
NLS方法
用线性化迭代求解法做回归包括以下步骤：
在未给定初始值的情况下，利用OLS方法估计系数（或 用其他算法得到的估计值）作为初始值，反之利用给 定的初始值。
26
EVIEWS下用最大似然法估计参数非 线性方程
最大似然法适合更为一般化的情况
在EVIEWS下选择Object/New Object/LogL 在随后出现的窗口中根据研究需要定义似然函数
需要调用EVIEWS的多个函数功能 给出参数的初始值
调用Estimate并确定有关选项 得到估计结果 可以在File下选择New/Program建立程序文件，更便于
5
两种主要的估计技术
非线性最小二乘法（NLS）
以残差平方和最小为标准获得参数估计 通常基于误差项满足正态分布的假定 一般计量经济软件有标准的指令和算法
最大似然法（ML）
以似然值最大为标准获得参数估计 误差项可以为任意统计分布形式 不同情况需要用到不同的指令和算法
计算技术效率采用以下公式（以生产函数为例）：

.
32
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型1：截距不同，斜率相同。
.
33
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型2：
L n ( Y )0 1 X 2 (X * D ) u
.
34
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
–
ln(x)
=
ln
1
x x
x x
例如:
(微积分: d ln(x) 1 ) dx x
ln(1.01) = .00995 .01;
ln(1.10) = .0953 .10
12
.
二、对数回归
1、线性对数模型
Y01Ln(X)u
参数含义： X改变1%引进Y变化多大？
13
.
Y = 0 + 1ln(X) +ui
Y——考试成绩； D1——教师学生比（比值>20取1，否则0：） D2——英语学习者的比例（比值>10%取1，否则0 ）
.
31
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型1：
L n (Y )01 X 2 D u
Y——收入； X——工作经验（连续） D——学历（大学学历取1，否则取0）
x
的图象
.
50
四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程
一般有以下3种形式：
yˆ x a bx
yˆ a bx x
1 yˆ
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0

灵活性高
非线性回归模型形式多样，可以根据 实际数据和问题选择合适的模型，能 够更好地适应数据变化。
解释性强
非线性回归模型可以提供直观和易于 理解的解释结果，有助于更好地理解 数据和现象。
预测准确
非线性回归模型在某些情况下可以提 供更准确的预测结果，尤其是在数据 存在非线性关系的情况下。
缺点
模型选择主观性
势。
政策制定依据
政府和决策者可以利用非线性回归模型来评估不同政策方案的影响，从而制定更符合实 际情况的政策。例如，通过分析税收政策和经济增长之间的关系，可以制定更合理的税
收政策。
生物学领域
生态学研究
在生态学研究中，非线性回归模型被广 泛应用于分析物种数量变化、种群动态 和生态系统稳定性等方面。通过建立非 线性回归模型，可以揭示生态系统中物 种之间的相互作用和环境因素对种群变 化的影响。
模型诊断与检验
诊断图
通过绘制诊断图，可以直观地观察模型是否满足回归分析的假设条件，如线性关系、误差同方差性等 。
显著性检验
通过显著性检验，如F检验、t检验等，可以检验模型中各个参数的显著性水平，从而判断模型是否具 有统计意义。
04
非线性回归在实践中的应用
经济学领域
描述经济现象
非线性回归模型可以用来描述和解释经济现象，例如消费行为、投资回报、经济增长等 。通过建立非线性回归模型，可以分析影响经济指标的各种因素，并预测未来的发展趋
VS
生物医学研究
在生物医学研究中，非线性回归模型被用 于分析药物疗效、疾病传播和生理过程等 方面。例如，通过分析药物浓度与治疗效 果之间的关系，可以制定更有效的治疗方 案。
医学领域
流行病学研究
在流行病学研究中，非线性回归模型被用于 分析疾病发病率和死亡率与各种因素之间的 关系。通过建立非线性回归模型，可以揭示 环境因素、生活方式和遗传因素对健康的影 响。

9
例6.2.1：设某商店1991—2000年的商品流通费用率和商 品零售额资料如表6.2.2所示。根据表中资料，配合适当 的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若 2019年该商店商品零售额为36.33万元，试预测2019年的 商品流通费用额。
解：
第一步，绘制散点图(见图6.2.1)。从图中可以清楚地看到：随着商品零
►由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小二
乘法估计回归系数并进行检验和预测。
– 第二类，间接代换型
►这类非线性回归模型经常通过对数变形代换间接地化为线性 回归模型。如式(6.1.5)、式(6.1.6)和式(6.1.7)。
6
►由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态， 使得变形后模型的最小二乘估计失去了原模型的残差平方和为
2
曲线的形式也因实际情况不同而有多种形式。配曲线问题 主要包括：
– 1、选配拟合曲线（即确定变量间函数的类型）： ►可以根据理论分析或过去的实际经验事先确定； ►不能根据理论或过去积累的经验确定时，根据实际资 料作散点图，从其分布形状选择适当的曲线来配合。 – 2、确定相关函数中的未知参数
►最小二乘法是确定未知参数最常用的方法。


– (3)对数模型，其方程式为
y l n x u i 1 2 i i
– (4)三角函数模型，其方程式为
( 6 . 1 . 3 )
y s i n xu ( 6 . 1 . 4 ) i 1 2方程式为
x x u 0 1 1 i 2 2 i i y e i
– (6)幂函数模型，其方程式为
b y a x u i i i
i y = a b u i

复习引入
身高
180 175 170 165 160 155 150
32 34 36 38 40 42
选变量
画散点图
选模型
估计参数
一元线性模型建立过程
解：选取脚码为解释变量x，身高为预报变量y
180 175 170 165 160 155 150
30
身高
身高 线性 (身高)
35
40
45
假设线性回归方程为 ：ŷ=bx+a
合作探究——能力提升
通过适当变换，将下列函数转化成线性型函数
⑴ 幂函数曲线 y=axb
合作探究——能力提升
⑴ 幂函数曲线 y=axb 处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再令 u=_______,
v=________, c=________. 得到线性函数u=bv+c 。
合作探究——能力提升
分析和预测
最小二乘法
提出问题
一只红铃虫的产卵数y与温度x 有关,现收集了7组观测数据如下：
温度x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y 7 11 21 24 66 115 325
试建立y与x之间的回归方程； 预测温度为28℃时红铃虫的产卵数目。
问题解决
建立什么样的函数模型？
人教A版高中数学选修233.非线性回归 分析教 学PPT 课件
通过适当变换，将下列函数转化成线性型函数
(2)指数曲线 y=aebx
b
(3)倒指数函数 y ae x
(4) 对数曲线 y=a+blnx
课堂小结
1 怎样建立回归模型？ 2 化未知为已知的数学思想
课外阅读
1、华尔街根据民众情绪抛售股票； 2、对冲基金依据购物网站的顾客评论，分析企业产 品销售状况； 3、银行根据求职网站的岗位数量，推断就业率； 4、投资机构搜集并分析上市企业声明，从中寻找破 产的蛛丝马迹； 5、美国疾病控制和预防中心依据网民搜索，分析全 球范围内流感等病疫的传播状况；

第4页/共34页武汉大学测绘学院 孙海燕
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
第二节 线性回归模型
线性回归模型
y 0 1x1 2 x2 m xm
线性回归理论模型 回归方程的系数 n组观测数据
E( y) 0 1x1 2 x2 m xm
j j 1,2 m
yi , x1i , x2i , xmi
平方和来表示，称为总偏差平方和，记为
n
S总 ( yi y)2 i 1
n
[( yi yˆi ) ( yˆi y)]2 i 1
n
n
n
( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 2 ( yi yˆi )( yˆi y)
i 1i 1i 1S残 S回第15页/共34页武汉大学测绘学院 孙海燕
S总 S残 S回
回归平方和 :
变量 xi 的变化而引起的 yˆi对 y 的偏离平方和
n
S回 ( yˆi y)2 i1
残差平方和 :
各种偶然因素干扰所引起的 yi 与 yˆ i 偏离的平方和
n
S残 ( yi yˆi )2 i1
第17页/共34页武汉大学测绘学院
孙海燕
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
S总 S残 S回
n
i1
( yi
2
y)
S总
2
2 (n 1)
n
i1
( yi
2
yˆi )2
S残
2
2 (n (m 1))
n
i1
( yˆi
2
y)2
S回
2
2(m)
S回 F m
S残 n (m 1)
第18页/共34页武汉大学测绘学院 孙海燕

其中 W xd ia g(K h(xxi))n n
1 x1 x L
X
x
1
x2 x
L
M M
1
xn x
L
( x1
p
x)p !
(x2
x)p
p!
M
(xn x)p p !
Y1
Y
Y
2
M
Y
n
.
20
局部回归
得到加权最小二乘估计
m ˆh L P E (x ) X xˆ(x ) X x (X x T W x X x ) - 1 X x T W x Y
G-M估计是卷积形式的估计，P-C估计可看成G-M估计的近似: 当K连续 x (si1, si )
m ˆ h G M ( x ) i n 1 Y i( s i s i 1 ) K h ( x x ) m ˆ h P C ( x )
.
12
局部回归
核估计存在边界效应，边界点的估计偏差较大, 以N-W估计为例，如下图
写成线性光滑器的形式：
m ˆh PC(x) in1W hi(x)Yi W h i(x ) (x i x i 1 )K h (x x i)
在随机设计模型下，P-C估计可由x的密度估计：
fˆ(x)[n(xixi1)]1
推导出来，相关文献可参考härdle(1994)和 李竹渝等(2007)
.
11
局部回归
缺点：(1).回归函数的形式预先假定 (2).模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足
正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等
(3)需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多 (4).模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果 不好，需要修正或者甚至更换模型

10
第10页/共30页
（2）剩余标准差s：类似于一元线性回归中标准差的估
计公式，此剩余标准差可用残差平方和来获得，即
s
( yi yi )2
n2
s为诸观测点yi与由曲线给出的拟合值yˆi 间的平均偏离 程度的度量，s越小，方程越好。
11
第11页/共30页
在观测数据给定后，不同的曲线选择不会影响
6
对上述非线性函数，参数估计最常用的方 法是“线性化”方法。
以1/y=a+b/x为例，为了能采用一元线性
回归分析方法，我们作如下变换
u=1/x,v=1/y 则曲线函数就化为如下的直线v=bu
这是理论回归函数。对数据而言，回归方程 为
vi=a+ bui + i 于是可用一元线性回归的方法估计出a,b。
5
第5页/共30页
本例中，散点图呈现呈现一个明显的向上且
上凸的趋势，可能选择的函数关系有很多，比 如，我们可以给出如下四个曲线函数：
1) 1/y=a+b/x
2)
y
y
y10a=0ab+a bexlnx/bx(b
0)
3)
4)
在初步选出可能的函数关系(即方程)后，我
们必须解决两个问题第6页：/共如30页何估计所选方程中的
➢ 回归分析和相关分析目的不同
在回归分析中，寻找的是变量之间的关系，代表这种关系的方程可能就是所期望 的结果，也可能是所期望预测的均值。
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虚拟变量回归预测
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虚拟变量回归预测
１．虚拟变量 品质变量不像数量变量那样表现为具体的数值。
它只能以品质、属性、种类等形式来表现。要在回 归模型中引入此类品质变量，必须首先将具有属性 性质的品质变量数量化。通常的做法是令某种属性 出现对应于1，不出现对应于0。这种以出现为１， 未出现为０形式表现的品质变量，就称为虚拟变量。 ２．带虚拟变量的回归模型