云南省玉溪市第一中学2016届高三数学下学期第七次月考试题 文

2016届云南省玉溪一中高三下第七次月考数学（理）试题一、选择题1．设2{Z|2}{|1}A x x B y y x x A ∈≤∈＝，＝＝＋，，则B 的元素个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．无数个 【答案】C【解析】试题分析：因为}2,1,0,1,2{--=A ，所以}5,2,1{=B ，即B 的元素个数是3；故选C ．【考点】集合的表示法． 2．已知复数i i i m z (211-+-=是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：因为i m m i i m i i m z 2121212)1(211-++=-++=-+-=的实部与虚部的和为1，所以12121==-++m m m ；故选B ． 【考点】1.复数的运算；2.复数的概念．3．在等比数列}{n a 中，153,a a 是方程0862=+-x x 的根，则9171a a a 的值为（ ） A ．22 B ．4 C ．22± D ．4± 【答案】A【解析】试题分析：因为153,a a 是方程0862=+-x x 的根，所以⎩⎨⎧==+86153153a a a a ，且0,0153>>a a ，又因为}{n a 是等比数列，所以09>a ，则222281531539171===a a a a a a a ；故选A ． 【考点】1.根与系数的关系；2.等比数列的性质．【易错点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质的应用，属于基础题；在利用等比中项“若p n m 2=+，则2p n m a a a =⋅”解题时，要注意确定中项p a 的符号，要记住“在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号”，如本题中，因为0,0153>>a a ，所以可以得到09>a ，否则会出现错误答案（229±=a ）.4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B ． 【考点】三视图．5．若62)(xb ax +的展开式中3x 项的系数为20,则22b a +的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解析】试题分析：62)(xb ax +的展开式的通项为k k k k k k k k x b a C bx ax C T 3126616261)()(----+==，令3312=-k ，得3=k ，即203336=b a C ，解得1=ab ，则2222=≥+ab b a （当且仅当1±==b a 时，取等号）；故选B ．【考点】1.二项式定理；2.重要不等式．6．如图,正弦曲线x x f sin )(=和余弦曲线x x g cos )(=在矩形ABCD 内交于点F,向矩形ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A.π21+ B.π1 C. π221+ D. π21【答案】C【解析】试题分析：由图象，得矩形ABCD 的面积为π2=S ，阴影部分的面积为21|)sin cos ()cos (sin 44'+=--=-=⎰ππππx x dx x x S ，则由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率是π221+=P ；故选C ． 【考点】1.几何概型；2.定积分的应用．7．在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，则222x y z ++等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】B【解析】试题分析：如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，则422222==++c b a ，根据题意，得222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+，则8)(2222222=++=++c b a z y x ；故选B ．【考点】多面体与球的组合8．执行如右图所示的程序框图,若13)(2-=x x f ,取51=g ，则输出的值为（ ）A.3219 B.169C.85D.43【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得1,0)21()0(,41)21(,1,0=->-===a b f f f b a ，21,0)43()21(,1611)43(,1,21=-<===a b f f f b a ，1692,5181,0)85()21(,649)85(,85,21=+<=-<===b a a b f f f b a ；故选B ．【考点】1.二分法；2.程序框图． 9．已知函数)22,0)(cos(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 图象的一个对称中心为)0,2(，直线21,x x x x ==是图象的任意两条对称轴,且||21x x -的最小值3，且)3()1(f f >,要得到函数)(x f 的图象可将函数x y ωcos 2=的图象（ ）A ．向右平移12个单位长度B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，得函数)(x f 的周期为632=⨯=T ，则62=ωπ，即3πω=，即)3cos(2)(ϕπ+=x x f ，因为函数)(x f 的图象的一个对称中心为)0,2(，且)3()1(f f >，所以232πϕπ=+，解得6πϕ-=，即)]21(3cos[2)63cos(2)(-=-=x x x f πππ，即函数)(x f 的图象可将函数x y ωcos 2=的图象向右平移12个单位长度；故选A ．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角函数的图象变换．10．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A. 5 B.52 C.10 D.102【答案】D【解析】试题分析：因为点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与圆22222c b a y x =+=+在第一象限的交点，所以21PF PF ⊥，设x PF PF 3||3||21==，则x PF PF a 2||||221=-=，x c 102=，所以双曲线的离心率为210==a c e ；故选D ．【考点】1.双曲线的定义；2.圆的性质．11．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是（ ）【答案】C【解析】试题分析：当]4,0(πθ∈时，θtan =BE ，则三棱柱的体积为θθtan 21)(=V ，当)2,4(ππθ∈时，)2t a n (θπ-=AE ，则棱BC 所在部分的体积为)2tan(211)(θπθ--=V，则函数)2,0(),(πθθ∈=V V 的图象关于点)21,4(π对称；故选C ．【考点】1.几何体的体积；2.三角函数的图象与性质．【思路点睛】本题考查几何体的体积公式、分段函数的图象、正切函数的图象与性质，是三角函数与立体几何结合的综合题目，属于中档题；因为过直线,AE AD 的平面ADFE 是变化的，棱BC 所在部分的几何体的形状是不固定的，属于要注意找出分界点，确定几何体的形状，选择合理的体积公式进行求解.12．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()e x f x <的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D【解析】试题分析：因为函数)(x f 满足)2(+x f 为偶函数且1)4(=f ，所以)2()2(x f x f -=+且1)0(=f ，令x e x f x g )()(=，则0)()()(''<-=xex f x f x g 在R 上恒成立，即函数)(x g 在R 上单调递减，又因为1)0()0(0==ef g ，所以由1)(<x g ，得0>x ，即不等式()e x f x <的解集为),0(+∞；故选D ．【考点】1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性的关系．【难点点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、导数在研究函数的单调性中的应用，属于中档题；解决本题的难点有两个：一是由(2)f x +为偶函数得到函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，也是易错之处，二是根据()()f x f x '<和()e x f x <合理构造函数，使其导函数与条件建立联系.二、填空题13．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程5.175.6+=∧m t ，则p 的值为 。

玉溪一中2016届高三第八次月考试题文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合{}|128x P x =≤<，{}1,2,3Q =，则P Q = （ ） A ．{}1,2 B ．{}1 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2. 已知2(,)a i b i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=( )A ．-1B ．1C ．2D ．3 3. 已知条件p ：0a < ，条件q ：2a a > ，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 下列说法错误的是（ ）A ．自变量取值一定时，因变量的取值有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，nS 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A. 2-B. 3-C. 2D. 36. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值7. 已知数列{n x }满足d x x n n =--1（2,≥∈*n N n ，d 为常数），且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝ （ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 8.设1 F 、2 F 是椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ． 23C ． 34D ．459. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 10. 将函数()3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左移动23π之后的图象与原图像的对称中心重合，则正实数ω的最小值是（ ）A ．32B ．12C ．23D ．1311. 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（）A ．B． C． D．12. 已知函数()y f x =的定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-（其中'()f x 是()f x 的导函数），若a =，(lg3)(lg3)b f =，2211(log )(log )44c f =，则（ ）A ．a c b>> B ．c b a >> C ．a b c >>D ．c a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -=_________.14.设点(),a b 是区域40x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则12++a b 的取值范围是__________________.15. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于 ．16.已知P 为等边三角形ABC 内一点,且满足(1)0PA PB PC λλ+++=,若三角形PAC 与三角形PAB 的面积之比为13,则实数λ的值为________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比3q = ，前3项和S 3=133。

平行板电容器的动态分析问题平行板电容器是最常见的一种电容器，其结构可以发生变化，因此电容也跟着随之变化。

当我们改变电容器的某个结构时，电容器的电容也随之变化。

从而导致电容器中间的电场强度也会发生变化。

这就引出一种问题，电容器的动态分析问题。

电容器的动态分析问题总体上来说大概分为两类：电压不变的问题和电荷量不变的问题。

一般情况下，题目中的说法是：电压不变（电容器始终接在电源上）电荷量不变（电容器充电完成后，断开电源）如果根据问题的难度再细分：层次1：仅仅分析电容和电荷量（电压）的变化层次2：分析电容和电荷量（电压）的变化，再加上电场强度的变化，而电场强度的变化有两个方法进行比较（U不变的问题中：E=U/d，Q不变的问题中，Q与E成正比(前提是S 不变)）层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化）层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。

【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】动态分析问题的处理方法：1.先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型2.找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比关系），Q的变化（U的变化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向）3.再分析E的变化4.如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方程或者牛顿第二定律。

典型例题剖析例1：★★【2016 新课标I】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。

若将云母介质移出，则电容器（）A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大B.极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大C. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变D. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变 答案：D 解析：由4πr SC kdε=可知，当云母介质抽出时，r ε变小，电容器的电容C 变小；因为电容器接在恒压直流电源上，故U 不变，根据Q CU =可知，当C 减小时，Q 减小。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年云南省玉溪一中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是（）A．5 B．4 C．3 D．22．已知复数z=（i是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则的值为（）A． B．4 C．D．±44．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．5．若的展开式中x3的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．7．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则x2+y2+z2等于（）A．2 B．4 C．8 D．168．执行如图所示的程序框图，若f（x）=3x2﹣1，取g=则输出的值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象的一个对称中心为（2，0），直线x=x1，x=x2是图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值3，且f（1）＞f（3）要得到函数f（x）的图象可将函数y=2cosωx的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C． D．11．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．某公司为确定明年投入某产品广告支出，对近5年的广告支出m与销售额t（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：t 30 40 p 50 70m 2 4 5 6 8经测算，年广告支出m和年销售额t满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为．14．若不等式组表示的平面区域内的点都不在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）外，则r的最小值为．15．在△ABC中，=•， ++=，且||=||=1，则•等于．16．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2018=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分.17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．18．某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1﹣50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据：甲抽取的样本数据编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别男女男男女男女男女女90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 投篮成绩乙抽取的样本数据编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48 性别男男男男男男女女女女95 85 85 70 70 80 60 65 70 60 投篮成绩（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．优秀非优秀合计男女合计10（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角S﹣BM﹣N为时，求的值．20．已知F为椭圆C： +=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由．21．已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）（1）若f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，），若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求实数m的最大值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值．[选修4--5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且b≠0，求证：f（ab）＞|b|f（）．2015-2016学年云南省玉溪一中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【分析】将B用列举法表示后，作出判断．【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1}B的元素个数是3故选C．2．已知复数z=（i是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z==+=的实部与虚部的和为1，∴+=1，m=1．故选：B．3．在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则的值为（）A． B．4 C．D．±4【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，∴a3=2，a15=4；或a3=4，a15=2．可知a1q2=2，a1＞0．∴=．则==a9=2．故选：A．4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B5．若的展开式中x3的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，求出x3的系数，得出ab的值，再利用基本不等式求出a2+b2的最小值．【解答】解：∵的展开式中x3的系数为20，=•（ax2）6﹣r•=a6﹣r•b r••x12﹣3r，且T r+1令12﹣3r=3，解得r=3；∴a3•b3•=20；∴ab=1，∴a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b时，取“=”；∴a2+b2的最小值为2．故选：B．6．如图，正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；定积分．【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．【解答】解：根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为∫（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是．故选：C．7．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则x2+y2+z2等于（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】球内接多面体．【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D﹣ABC，计算出长方体的长宽高，利用勾股定理可得结论．【解答】解：构造一个长方体，使得四面体ABCD的六条棱分别是长方体某个面的对角线（如图）．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2+b2+c2=4，x2=a2+b2，y2=a2+c2，z2=b2+c2，故x2+y2+z2=2（a2+b2+c2）=8，故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若f（x）=3x2﹣1，取g=则输出的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】此框图的主要作用是用二分法求函数的零点，依次计算a、b的值，直到满足条件b﹣a＜g=0.2，求出的值即可．【解答】解：由程序框图知此框图的主要作用是用二分法求函数的零点，第一次运行a=，b=1，b﹣a=0.5；第二次运行a=，b=，b﹣a=0.25；第三次运行a=，b=，b﹣a=0.125，满足条件b﹣a＜g=0.2，程序运行终止，输出=．故选：B．9．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象的一个对称中心为（2，0），直线x=x1，x=x2是图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值3，且f（1）＞f（3）要得到函数f（x）的图象可将函数y=2cosωx的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据余弦函数的图象的对称性求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），直线x=x1，x=x2是f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值3，∴•=3，∴ω=．图象的一个对称中心为（2，0），∴2ω+φ=+φ=kπ+，∴φ=﹣，∴f（x）=2cos（x﹣）．将函数y=2cosωx=2cos x 的图象向右平移个单位长度，可得y=2cos[（x﹣）]=f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：A．10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选D11．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据条件求出V=V （θ）的表达式，即可得到结论．【解答】解：当时，BE=tan θ，则三棱柱的体积为，当θ∈（，）时，AE=tan （﹣θ）=cot θ，则棱BC 所在部分的体积为V （θ）=1﹣tan （﹣θ），则函数V=V （θ），θ∈（0，）的图象关于点对称，故选：C ．12．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ），且f （x +2）为偶函数，f （4）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g （x ）=（x ∈R ），研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f （x +2）为偶函数，∴y=f （x +2）的图象关于x=0对称 ∴y=f （x ）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．某公司为确定明年投入某产品广告支出，对近5年的广告支出m与销售额t（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：t 30 40 p 50 70m 2 4 5 6 8经测算，年广告支出m和年销售额t满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为．【考点】线性回归方程．【分析】计算出平均数，；根据线性回归方程=6.5m+17.5过样本中心点，代人方程求出p的值．【解答】解：根据题意，计算平均数=（30+40+p+50+70）=38+，=（2+4+5+6+8）=5；又线性回归方程=6.5m+17.5过样本中心点，所以38+=6.5×5+17.5，解得p=60．故答案为：60．14．若不等式组表示的平面区域内的点都不在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）外，则r的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的区域，利用点与圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，（阴影部分），要使平面区域内的点都不在圆x2+（y﹣）2=r2（r＞0）外，则只有区域内离圆心最远的点A，B不在圆外，即可，即|AC|≤r，由图象可知C（0，），A（﹣1，0），则|AC|=，∴r，故r的最小值为，故答案为：15．在△ABC中，=•， ++=，且||=||=1，则•等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算，并由向量加法的几何意义便可得出，从而得出△ABC为直角三角形，并且点O为边BC的中点，从而可画出图形，根据图形可求出AC的大小，进而得出cos∠ACB的值，从而得出的值．【解答】解：；∴=；∴AB⊥AC；=；∴；∴O在为BC的中点；如图所示：∵；∴AB=1，BC=2；∴，；∴=．故答案为：3．16．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2018=．【考点】数列递推式．【分析】根据数列{a n}满足a1=2，a n=，可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结论．【解答】解：∵a n=，=，∴a n+1∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2018=4×504+2，∴T2018=﹣6．故答案为：﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分.17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．【考点】解三角形．【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A∴∴cosA=，∴A=．18．某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1﹣50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，如表是甲、乙两人分别抽取的样本数据：甲抽取的样本数据编号 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 性别男女男男女男女男女女90 60 75 80 83 85 75 80 70 60 投篮成绩乙抽取的样本数据编号 1 8 10 20 23 28 33 35 43 48性别男男男男男男女女女女95 85 85 70 70 80 60 65 70 60 投篮成绩（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．优秀非优秀合计男女合计10（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，X的取值为0，1，2，3.，即可求X的分布列和数学期望．（Ⅱ）写出2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）利用分层抽样方法比系统抽样方法的定义，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，∴X的取值为0，1，2，3.分布列为：X 0 1 2 3P（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得2×2列联表如下：优秀非优秀合计男 4 2 6女0 4 4合计 4 6 10K2=≈4.444＞3.841，所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．…由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．…19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．（Ⅰ）证明：BM⊥平面SMC；（Ⅱ）若SB与平面ABCD所成角为，N为棱SC上的动点，当二面角S﹣BM﹣N为时，求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）利用平面几何知识证明BM⊥MC，结合SM⊥平面ABCD可得SM⊥BM，于是BM⊥平面SMC；（II）设AB=1，利用∠SBM=，∠SMN=可求出SM，SC，在△SMN中使用正弦定理求出SN，即可得出的值．【解答】解：（I）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，SM⊥AD∴SM⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD∴SM⊥BM又AM=AB，DM=DC∴∠BMA=∠DMC=，∴∠BMC=，即CM⊥BM，又SM⊂平面SMC，MC⊂平面SMC，SM∩MC=M，∴BM⊥平面SMC．（II）∵SM⊥平面ABCD，∴∠SBM为SB与平面ABCD所成的角，∴∠SBM=．∴SM=BM．由（1）得BM⊥平面SMC，∵MN⊂平面SMC，∴BM⊥MN，又BM⊥SM，∴∠SMN为二面角S﹣BM﹣N的平面角．即∠SMN=．设AB=1，则SM=BM=，DM=DC=3，∴MC=3．∴SC==2．sin∠MSN=．cos∠MSN=．∴sin∠SNM=sin（∠MSN+∠SMN）==．在△SMN中，由正弦定理得=，∴SN==．∴，∴．20．已知F为椭圆C： +=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，求：（1）直线l方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F的直线交椭圆C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点．以MN为直径的是圆是否恒过一定点，若是，求出定点坐标，若不是请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其椭圆的第二定义即可得出；（2）当DE⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得D，E．可得直线AD的方程：y=，解得M，N，可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）．下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点．设直线DE的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．与椭圆方程联立化为（3m2+4）y2+6my﹣9=0，直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N．利用根与系数的关系可证明=0，即可得出结论．【解答】解：（1）由椭圆C： +=1，可得a=2，c=1，右焦点F（1，0），其离心率e=．∵椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为，∴=4．∴直线l方程为：x=4；（2）当DE⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得y=，∴D，E．可得直线AD的方程：y=，解得M（4，3），同理可得N（4，﹣3），可得以MN为直径的圆过点F（1，0），G（7，0）．下面证明以MN为直径的圆恒过上述两定点．证明：设直线DE的方程为：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，化为（3m2+4）y2+6my﹣9=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=．直线AD的方程为：y=，可得M，同理可得N．∴=•=9+=9+=9﹣9=0，∴以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），G（7，0）．同理可证：以MN为直径的圆恒过一定点G（7，0）．因此以MN为直径的圆恒过一定点F（1，0），（7，0）．21．已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）（1）若f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，），若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求实数m的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】（1）f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立⇔x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0⇔a≤，x＞0．令u（x）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由题意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．则=（x＞0），所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，可得∈（1，+∞），且，（i=1，2），而h（x1）﹣h（x2）=，（x2＞1）设u（x）=（x＞1），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立⇔x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0⇔a≤，x＞0．令u（x）=，x＞0，则u′（x）=1﹣=，当x=1时，x2+lnx﹣1=0；当x＞1时，u′（x）＞0，此时函数u（x）单调递增；当0＜x＜1时，u′（x）＜0，此时函数u（x）单调递减．因此当x=1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（1）=1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（2）由题意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．则=（x＞0），所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，又∵，∴∈（1，+∞），且，（i=1，2），而h（x1）﹣h（x2）=﹣=﹣=+=﹣+=，（x2＞1）设u（x）=（x＞1），则u′（x）=≥0，∴u（x）＞u（1）=，即h（x1）﹣h（x2）＞恒成立，因此．∴实数m的最大值为﹣ln2．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（0，2）作斜率为1直线l与曲线C交于A，B两点，试求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）求出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义求出．【解答】解：（I）∵ρ=，∴ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程是x2=y，即y=x2．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将（t为参数）代入y=x2得t2﹣﹣4=0．∴t1+t2=，t1t2=﹣4．∴+====．[选修4--5；不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且b≠0，求证：f（ab）＞|b|f（）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，即可求f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集；（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（），只需证证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，再作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x﹣1）+f（x+3）≥6得|x﹣2|+|x+2|≥6，若x≥2，则不等式等价为x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，x≥3，若﹣2＜x＜2，则不等式等价为﹣x+2+x+2≥6，即4≥6，此时不等式无解，若x≤﹣2，则不等式等价为﹣（x﹣2）﹣（x+2）≥6，即﹣2x≥6，x≤﹣3，综上x≥3或x≤﹣3，即不等式解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；…（Ⅱ）∵f（ab）＞|b|f（）．等价为|ab﹣1|＞|b||﹣1|=|a﹣b|，∴要证：|ab﹣1|＞|b|||成立，只需证：|ab﹣1|＞|a﹣b|成立，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0显然成立，从而原不等式成立．…2016年10月12日。