暑假小升初数学衔接班教材讲义(1)

七年级数学上册第一章 有理数1.1正数和负数一、基础知识1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。

（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。

）2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。

3. 0既不是正数也不是负数。

4．带有正号的数不一定是正数，同样带有负号的数不一定是负数。

说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。

一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。

▲ 本节重点：能正确识别负数、用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。

教学中要特别强调“0”的特殊身份，明确“0”既不是正数，也不是负数， 二、知识题库1． 将下列各数按要求分类填写 5、0.56、-7、0、29、－32、100、-0.00001 其中是正数的是（ ），是负数的是（ ）。

2．如果水位上升1.2米，记作 1.2 米；那么水位下降0.8米，记作_______米.3．甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为 ， 这时甲乙两人相距 m. ．4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在 ℃~ ℃范围内保存才合适．5．下列说法不正确的是（ ） A 0小于所有正数 B 0大于所有负数C 0既不是正数也不是负数D 0可以是正数也可以是负数 6.—a 一定是负数吗？7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有 的意义．8．举出2对具有相反意义的量的例子： 9．某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？10．某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分 三、直通中考“甲比乙大-2岁”表示的意义是（）A 、甲比乙小2岁B 、甲比乙大2岁C 、乙比甲大-2岁D 、乙比甲小2岁 某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A 、-10℃B 、-6℃C 、6℃D 、10℃1.1有理数一、知识海洋1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数）2.有理数的分类：（1）按整数分数分类（2）按数的正负性分类⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数负整数负数零正分数正整数正数有理数.【有理数】一、基础知识1. 、 和 统称为整数； 和 统称为分数。

2015年暑期小升初数学暑期衔接讲义弘瑞教育培训学校小升初衔接弘瑞教育培训学校小升初衔接弘瑞教育培训学校小升初衔接前言怎样学好初中数学第一部分小学阶段重难点积累课题1 数学公式必备第二部分初一新知识衔接第一章有理数课题1 负数课题2 数轴课题3 绝对值课题4 有理数的加法课题5 有理数的减法课题6 有理数的加减混合运算课题7 有理数的乘法课题8 有理数的除法课题9 有理数的乘方课题10 有理数的混合运算第一章章节测试第二章整式及其加减课题11 代数式的基本概念课题12 代数式求值课题13 单项式与多项式课题14 同类项及合并同类项第二章章节测试弘瑞教育培训学校小升初衔接前言怎样学好初中数学 Part 1:浅谈如何学好初中数学：数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。

那么，怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考：一、课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接收，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率。

高效率养成主要点有：上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不揣摩老师所讲方法之思路以及阶梯技巧；课后及时复习，不留疑点。

二、适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。

做题的要领主要有：刚开始要从基础题入手，反复练习打好基础；再找一些课外的习题，特别是能力提升题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律；对于一些易错题，可备错题本，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。

三、调整心态，正确应考。

首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。

其次，考试中，对于试卷的检查务必重视，纠正一些在第一遍做题中的马虎和过失题。

1、2、3、4、5、第一讲、【问题引入与归纳】数系扩张--有理数（一）正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

有理数的两种分类：有理数的本质定义，能表成m（ n 0,m,n 互质）。

n性质：①顺序性（可比较大小）；四则运算的封闭性（0 不作除数）；稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

绝对值的意义与性质：① |a| a（a a（a0）0）② 非负性 (|a| 0,a20)③ 非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

已知（a有3 个有理数a,b,c ，两两不等，那么设三个互不相等的有理数，既可表示为形式，求a20063)2 |b 2| 0 ，求a b的值是(A.2B.3C.9D.62007b。

a b,b c b c c a中有几个负数？1，a b, a的形式式，又可表示为0，b，b的a,b,c 的积为负数，和为正数，且ax3 bx2 cx 1 的值是多少？ab|a| |b|c |ab| |bc||c| ab bc|aa、【典型例题解析】：若ab f 0,则|a|a |b|b|a ab b|的值等于多少？例9若a,b,c为整数，且 |a b |2007 |c a |2007 1，试求 |c a| |a b||b c|的值如果 m 是大于1的有理数，那么 m 一定小于它的（A. 相反数B. 倒数C. 绝对值已知两数a、b互为相反数，D. 平方c、 d 互为倒数， x 的绝对值是2，x 2(a b cd)x (a b)2006( cd )2007的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+ ⋯+2005+20062、计算：1×2+2× 3+3×4+⋯+n(n+1)例4 如果在数轴上表示 a、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么| a b| |a b|化简的结果等于（）591733651293、计算：132481632644、已知 a , b为非负整数，且满足 |a b| ab 1，求 a,b的所有可能值。

人教版小升初数学2019年暑期衔接教材讲义专题一负数1、相关知识链接小学学过的数：（1）整数（自然数）：0，1，2，3…………（2）分数：1131,,,1,2342……………（3）小数：0.5，1.2，0.25…………提问：（1）温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2）海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3）生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？2、教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。

【知识点1】正数与负数的概念（1）正数：像5，1.2，13，125等比0大的数叫做正数。

（2）负数：像-5，-1.2，-13，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小，“-”不能省略。

注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0 【例1】下列那些数为负数5，2，-8.3，4.7，-13，0，-0【知识点2】有理数及其分类（1）有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。

注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。

（2）有理数分类：按性质分类：,5.2, 5.2⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，…正有理数11正分数：如，，…23有理数负整数：如-1，-2,- 3，…负有理数11负分数：如-，-，…23按定义分类：,5.2, 5.2⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，…整数0负整数：如-1，-2,- 3，…有理数11正分数：如，，…23分数11负分数：如-，-，…23 【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－, 28, 0, 4, , －5.2. 整数集合{ }负数集合{ }负分数集合{ } 非负正数数集合{ }【基础练习】1、零下30C 记作（ ）0C ；（ ）既不是正数，也不是负数。

小升初六升初一数学暑假教材教案培训教育辅导机构专用Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】第1讲预习A班摸底测试（60分钟）月日姓名：第一部分：加深理解，打好基础一、用心思考正确填写：（20分）1、今年“五一”黄金周共接待旅游人数为一亿三千零五十万，这个数写作（）；把精确到十分位是（）。

2、把7米长的钢筋，锯成每段一样长的小段，共锯6次，每段占全长的( )，每段长（）米。

如果锯成两段需2分钟，锯成6段共需( )（）分钟。

3、右图是甲、乙、丙三个人单独完成某项工程所需天数统计图。

请看图填空。

①甲、乙合作这项工程，（）天可以完成。

②先由甲做3天，剩下的工程由丙做，还需要（）天完成。

4、按规律填数：１２５１０１７（）（）２９（）（）１１７４２１5、有一个数，它既是45的约数，又是45的倍数，这个数是（），把这个数分解质因数是（）。

6、在下列括号里填上当的单位或数字：数学试卷的长度约是60（）；你的脉搏一分钟大约跳（）次；8个鸡蛋大约有500（）；小刚跑一百米的时间大约是14（）；一间教室的占地面积大约有40（）；小时=（）分；2千克60克=（）千克。

7、我国国旗法规定，国旗的长和宽的比是3：2。

已知一面国旗的长是240厘米，宽是（）厘米，国旗的长比宽多（）%。

8、一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.5米，直径1米。

前轮转动一周，压路机前进（），压路的面积是（）平方米。

9.笑笑新买一瓶净量45立方厘米的牙膏，牙膏的圆形出口的直径是6毫米。

他早晚各刷一次牙，每次挤出的牙膏长约20毫米。

这瓶牙膏估计能用（）天。

（取3作为圆周率的近似值）10.我们学过+、-、×、÷这四种运算。

现在规定“＊”是一种新的运算。

A＊B 表示2A-B。

如：4＊3=4×2-3=5。

那么9＊6=( )。

二. 反复比较，慎重选择：（5分）1、下列叙述错误的一句是：（）。

小升初衔接专题讲义第一讲、【问题引入与归纳】数系扩张 --有理数（一）1、 正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、 有理数的两种分类：3、 有理数的本质定义，能表成 m （n 0,m,n 互质）。

n4、 性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数5、绝对值的意义与性质:③非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0、【典型例题解析】：x 2 (a b cd)x (a b)2006 ( cd)2007 的值。

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，汐.1 ,'r ）如下图所示，那么|a b| |a b|化简的结果等于（）A. 2aB. 2aC.0D. 2b已知（a 3）2 |b 2| 0，求a b 的值是（）数学能力就是在练习中成长的——汤姆•杰瑞若abf 0,则罟詈的值等于多少?如果m 是大于1 的有理数，那么m —定小于它的（A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方已知两数a 、b 互为相反数，d 互为倒数，x 的绝对值是2，求①|a|a(a 0)a(a 0)② 非负性(|a| 0,a 2 0)小升初衔接专题讲义1、绝对值的几何意义① |a| |a 0|表示数a 对应的点到原点的距离 ② |a b|表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值、【典型例题解析】：(1) 若 2 a 0，化简 |a 2| |a 2| (2) 若 xp 0，化简||x| 2x||x 3| |x|解答: 设ap0，且 x 高，试化简|x " |x 2| 解答：a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?若|x 5| |x 2| 7，求x 的取值范围解答：不相等的有理数a,b,c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果| a b| | b c||a c|，那 么B 点在A 、C 的什么位置？解答：设 apbpcpd ，求 | x a | | x b | | x c | | x d | 的最小值。

《2021年小升初数学无忧衔接（沪教版）》专题01 整数与整除【课程解读】小学课程正数和负数的认识1．了解负数的意义及表示方法。

2．初步建立数轴的概念及正负数的大小观念。

初中课程整数与整除1.理解自然数与整数的意义；理解和掌握整除的概念；2．理解和掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系；会根据因数和倍数的意义描述两个数之间的关系；3．知道一个数的因数和倍数的求法；知道一个数的因数是有限个，一个数的倍数是无限个．【知识衔接】知识回顾（小学）1．常用“负数”来表示与正数相反的意义，如温度、海拔中均有负数出现。

2．正数表示比0大的数，而负数表示比0小的数，负得越多数越小。

3．类似于温度计,可以将正负数分布在一条直线上,这种直线叫做数轴。

我们把规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。

知识衔接（初中）1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做正整数。

2．在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做负整数。

3．零和正整数统称为自然数。

4.正整数、零和负整数，统称为整数。

5.整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

除数、被除数都是整数；被除数除以除数，商是整数而且没有余数.6.整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数.一个数的因数是有限的；最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数通常是成对出现的。

一个数的倍数的个数是无限的；最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

【经典题型】小学经典题型例1. 下面的数轴画得是否正确？如果有错误，错在哪里？注意数轴的三要素，缺一不可例2.(1) 画数轴，并在数轴上表示出以下数的点：0，3，-1.5，-2(2) 将下面的数从小到大排列：4，2.5，-3，2，0，-0.7，-0.3，+1.5答案：﹣0.7＜﹣0.3＜0＜+1.5＜2＜2.5＜4可以让学生先在数轴上找出这些点，然后按照从左到右的顺序排列就可以了x–1–2–3123初中经典题型知识点一：整数和整除的意义÷=，下列表述正确的是（）．例1．根据算式4.20.76A．4.2能被0.7整除B．0.7能整除4.2C．4.2能被0.7除尽D．0.7能被4.2除尽【答案】C【分析】根据整除和除尽的性质分析，即可得到答案．÷=，6是整数，4.2和0.7是小数【详解】∵4.20.76∴4.2能被0.7除尽正确，即选项C正确，其他三个选项错误故选：C．【点睛】本题考查了整除和除尽的知识；解题的关键是熟练掌握整除和除尽的性质，从而完成求解．例2．已知2□能被3整除，□中的数的填法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【分析】根据能被3整除数的特征确定□内可能的数字从而完成解答．【详解】解：2□能被3整除，所以2+□能被3整除，则□可以为1、4、7因此填入□中的数字最多有3种可能．故答案为C．【点睛】本题考查了能被 3整除数的特征，掌握各个数位上的数字和能被3整除，再则这个数就能被整除是解答本题的关键．例3．下列说法中错误的是（）．A．没有最小的整数B．最小的自然数是0-D．整数可分为正整数和负整数两类C．最大的负整数是1【答案】D【分析】根据整数、自然数的性质分析，即可得到答案．【详解】∵整数可分为正整数、负整数和0∴选项D错误又∵其他选项均正确故选：D．【点睛】本题考查了整数的知识；解题的关键是熟练掌握整数、自然数的性质，从而完成求解．例4．算式9 1.56÷=表示（ ）A ．9能被1.5整除B ．1.5能整除9C ．9能被1.5除尽D ．以上说法都不正确【答案】C【分析】根据整除的概念直接进行求解即可．【详解】由算式9 1.56÷=表示9能被1.5除尽；故选C ．【点睛】本题主要考查整除的概念，正确理解整除的概念是解题的关键．例5．下列说法错误的是（ ）．A ．负整数和自然数统称为整数B ．数a 能被数b 除尽，则数a 一定能被数b 整除C ．一个大于1的整数，至少能被两个数整除D ．在10以内只能被两个数整除的最大数是7【答案】B【分析】根据整数、整除的性质分析，即可得到答案．【详解】∵数a 能被数b 除尽，结果可能是整数，也可能是分数∴数a 不一定能被数b 整除∴选项B 错误；又∵其他选项均正确故选：B ．【点睛】本题考查了整数、整除的知识；解题的关键是熟练掌握整数、整除的性质，从而完成求解．例6．算式4559÷=中，___________能被___________整除；算式1863÷=中，18÷6=3能整除_________．【答案】45 5，9 18【分析】根据整除的特征解答即可．【详解】解：算式4559÷=中，45能被5、9整除；算式1863÷=中，18÷6=3能整除18． 故答案为45；5、9；18．【点睛】本题考查了整除的特征，分清被除数、除数和商的关系是解答本题的关键．例7．将下列各数分别填入相应的横线上．11，30-，3.14，0，2，2-，0.618-，227． 正整数：_______________________________；负整数：_________________________________________；自然数：______________________________；整数：_________________________________________；【答案】11，2 30-，2- 11，0，2 11，30-，0，2，2-【分析】根据整数、正负数、自然数的定义分析，即可得到答案．【详解】结合题意，得：正整数：11，2；负整数：30-，2-；自然数：11，0，2；整数：11，30-，0，2，2-故答案为：11，2；30-，2-；11，0，2；11，30-，0，2，2-．【点睛】本题考查了整数、正负数、自然数的知识；解题的关键是熟练掌握整数、正负数、自然数的定义，即可完成求解．例8．在10，45，60三个正整数中，____________能被____________整除．【答案】60 10【分析】根据整数、整除的性质计算，即可得到答案．【详解】∵60106÷=∴10，45，60三个正整数中，60能被10整除故答案为：60，10．【点睛】本题考查了整数的知识；解题的关键是熟练掌握整数、整除的性质，从而完成求解． 例9．最小的自然数是_____________，小于3的自然数是_____________，最小的正整数是_____________，小于4的正整数是_____________．【答案】0 0，1，2 1 1，2，3【分析】根据自然数和有理数的定义解答即可．【详解】解：最小的自然数是0，小于3的自然数是0、1、2，最小的正整数是1，小于4的正整数是1、2、3．故答案为0，0、1、2，1，1、2、3．【点睛】本题考查了自然数自然数和有理数的定义，灵活应用定义是解答本题的关键． 例10．三个连续自然数的和是45，则这三个数是____________．【答案】14，15，16【分析】结合题意，根据自然数的性质计算，即可得到答案．【详解】∵三个连续自然数的和是45 ∴三个连续自然数的平均数45153== ∴这三个数是14，15，16故答案为：14，15，16．【点睛】本题考查了自然数的知识；解题的关键是熟练掌握自然数、整除的性质，从而完成求解．知识点二：因数和倍数例1．a ÷b ＝5（a ，b 都是非0自然数），a 是b 的（ ），b 是a 的（ ）． ①倍数 ②因数 ③积A ．①②B ．②①C ．③① 【答案】A【分析】a ÷b ＝5，a 、b 、5三个数字都是非0自然数，所以被除数a 是除数b 的倍数，除数b 是被除数a 的因数，由此求解．【详解】解：因为a ÷b ＝5，所以：a 是b 的倍数，b 是a 的因数．故选A【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数． 例2．6m n ÷=（m 、n 是自然数），下列说法错误的是（ ）．A ．m 是倍数B ．m 能被n 整除C ．n 是m 的因数D ．6是m 的因数 【答案】A【分析】根据倍数、因数、整除的性质分析，即可得到答案．【详解】∵6m n ÷=（m 、n 是自然数）∴m 是n 的倍数，n 是m 的因数，m 能被n 整除，6是m 的因数∴选项A 的结论错误故选：A ．【点睛】本题考查了倍数、因数、整除的知识；解题的关键是熟练掌握倍数、因数、整除的性质，从而完成求解．例3．一个数既是18的因数，又是18的倍数，这个数是（ ）．A ．6B ．18C ．36D ．27【答案】B【分析】根据因数和倍数的性质计算，即可得到答案．【详解】6是18的因数，不是18的倍数；18是18的因数，又是18的倍数；36不是18的因数，是18的倍数；27不是18的因数，也不是18的倍数；故选：B ．【点睛】本题考查了因数和倍数的知识；解题的关键是熟练掌握因数和倍数的性质，从而完成求解．例4．7M N ÷=，下列说法正确的是（ ）．A ．M 一定是N 的倍数B ．M 能被N 整除C ．M 可能是N 的因数D ．N 可能是M 的因数 【答案】D【分析】根据因数、倍数、整除的性质分析，即可得到答案．【详解】∵7M N ÷=∴M 不是N 的因数，N 可能是M 的因数，即选项C 错误，选项D 正确；当M 、N 不是正整数时，M 一定是N 的倍数、M 能被N 整除结论不成立即选项A 、B 错误；故选D ．【点睛】本题考查了因数、倍数、整除的知识；解题的关键是熟练掌握因数、倍数、整除的性质，从而完成求解．例5．下列说法正确的是（ ）A ．任何正整数的因数至少有两个B ．1是所有正整数的因数C ．一个整数的倍数总比它本身大D ．一个整数的因数总比它本身小 【答案】B【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身”进行分析解答即可．【详解】解：A ．任何正整数的因数至少有两个，错误，如1，只有1个；B.1是所有正整数的因数，正确；C ．一个整数的倍数不一定比本身大，最小倍数是它本身，就相等；D. 一个整数的因数不一定比它本身小，最大因数是它本身，就相等．故选：B ．【点睛】此题考查了因数和倍数的意义及特征．例6．24a b ÷=．当a =（ ）时，24是a 的倍数．A ．1.2B ．10C ．12D ．120【答案】C【分析】根据倍数的性质分析，即可得到答案．【详解】当 1.2a =时，和倍数定义矛盾，故24不是1.2的倍数；当10a =时， 2.4b =不是整数，故24不是10的倍数；当12a =时，2b =，故24是12的倍数；当120a =时，0.2b =不是整数，故24不是1.2的倍数；故选：C ．【点睛】本题考查了倍数、整除的知识；解题的关键是熟练掌握倍数的性质，从而完成求解． 例7．如果2054÷=，我们可以说___________能被___________整除，或者___________能整除__________；也可以说____________是____________的因数，或者____________是____________的倍数．【答案】20 5 5 20 5 20 20 5【分析】根据因数和倍数的意义解答即可．【详解】解：如果20÷5=4，我们可以说20能被5整除，或者5能整除20；也可以说5是20的因数，或者20是5的倍数．故答案为：①20②5③5④20⑤5⑥20⑦20⑧5【点睛】此题应根据因数和倍数的意义进行解答．例8．一个自然数减去3的差是6的倍数，加上3的和是5的倍数，则满足条件的最小自然数为___________．【答案】27【分析】分别列举出与3的差是6的倍数的数以及加上3是5的倍数的自然数，找出满足条件的最小自然数即可．【详解】与3的差是6的倍数的自然数：9，15，21，27，33，39⋯；加上3是5的倍数的自然数：2，7，12，17，22，27，32，37⋯．满足条件的最小自然数是27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查倍数的算法，根据倍数的算法列举出符合条件的数字是解题关键．例9．12的因数有________．【答案】1，2，3，4，6，12【分析】根据找一个数的因数的方法，进行列举即可．【详解】解：因为12=1×12=2×6=3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12，故答案为：1，2，3，4，6，12．【点睛】本题考查了因数的定义，解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答，注意找因数时要成对成对的找，防止遗漏．例10．请在下图中标出表示4的倍数的点．【分析】根据倍数的性质计算，即可得到答案．【详解】结合题意，4的倍数有：4，8，12数轴中标出表示4的倍数的点见下图．【点睛】本题考查了数轴、倍数的知识；解题的关键是熟练掌握倍数的性质，从而完成求解．例11．在圈内填上满足条件的数．【分析】运用分解因数的方法找出9和12的因数，再找出两个数共同的因数即可．【详解】【点睛】本题考查了较小的数找因数的方法，以及找两个数公因数的方法．例12．分别写出32和48的所有因数．【答案】32的因数有1，2，4，8，16，32；48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48【分析】据求一个数的因数的方法，依次进行列举即可．【详解】解：因为32=1×32=2×16=4×8，所以32的所有因数有：1，2，4，8，16，32．因为48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，所以48的所有因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48．【点睛】此题注意考查的是找一个数的因数的方法，应注意基础知识的积累，注意找因数时要成对成对的找，防止遗漏．例13．写出24的因数．【答案】1，2，3，4，6，8，12，24【分析】根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可．【详解】解：24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24．【点睛】本题考查了求一个数因数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏．例14．一个数的最小倍数与最小因数的差为35，写出这个数的所有因数．【答案】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36．【分析】先根据因数与倍数的定义求出这个数，然后再求这个数的因数即可．【详解】解：一个数的最小倍数是本身，最小的因数是1，因为一个数的最小倍数与最小因数的差为35，所以这个数为36，因为36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，所以36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36．【点睛】本题考查了因数与倍数的定义，大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身．【实战演练】先做小学 夯实基础1．将下列各数从小到大排列：3， 0，-2，-3， 4，1，-2.52．计算：(1) 0-5=________；(2) 5-9=________； (3) 4-9+3-7+6=________3. 请你把这些数填入相应的圈里。